capitulo 2

Prévia do material em texto

Alguns exercícios e figuras do texto foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina 1 
 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
 
Cap. 2 - ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
2.1 Fluido 
 Substância que se deforma continuamente sob a ação de uma tensão de cisalhamento, por menor que 
seja esta tensão. 
 
2.2 Fluido estático 
 O fluido é considerado estático se todas as partículas não tiverem movimento ou tiverem a mesma 
velocidade relativa constante em relação a um referencial de inércia. São considerados estáticos, os fluidos 
em repouso ou em movimento de corpo rígido. Não há tensão de cisalhamento, só atuam tensões normais - 
pressão. 
 Tensões normais transmitidas por fluidos são importantes para: 
* calcular forças em objetos submersos; 
* desenvolver instrumentos para a medição de pressões; 
* deduzir sobre as propriedades das atmosferas e dos oceanos; 
* determinar forças desenvolvidas por sistemas hidráulicos, tais como prensas, freios de automóvel, etc. 
 
2.3 Equação fundamental da estática dos fluidos 
 Objetivo: determinar o campo de pressões em um fluido. 
 Considerar um campo de fluido de massa dm e lados dx, dy e dz, estacionário em relação ao sistema 
de coordenadas retangulares mostrado. 
 
 
 z Pz+dz 
 
 Px 
 
 Py Py+dy 
 
 
 Px+dx 
 y 
 Pz 
 
 
 x 
Alguns exercícios e figuras do texto foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina 2 
 
 
Existem dois tipos de forças que podem atuar sobre o fluido: 
 Forças de campo ou de corpo: são forças desenvolvidas sem o contato físico. Ex: gravitacional, magnética 
 Forças de superfície ou de contato: incluem todas as forças que agem sobre a superfície do meio através 
do contato direto (pressão e cisalhamento). 
 
2.3.1 Forças de campo ou de corpo 
Gravitacional 
dF g dm g dV g dx dy dzC
   
  . . . . . . . 
 (1) 
 
onde: 
dFc = força de campo 
dm = elemento de massa 
dV = elemento de volume = dx.dy.dz 
 = massa específica do fluido 
g = vetor gravidade 
 
2.3.2 Forças de contato ou de superfície 
 A pressão total que atua sobre o elemento é dada pela soma de pressões que atuam nas seis faces do 
elemento (vide figura). As forças de pressão são dadas pelo produto dos três itens abaixo: 
* magnitude da pressão; 
* área da face onde atua a pressão; 
* vetor unitário para indicar direção e sentido. 
 
 direção x 
P p dy dz ix  . . .
 (2) 
P p
p
x
dx dydzix dx   








 (3) 
 
 direção y 
P p dx dz jy  . . .
 (4) 
P p
p
y
dy dxdzjy dy   








 (5) 
Alguns exercícios e figuras do texto foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina 3 
 
 direção z 
P p dx dy kz  . . .
 (6) 
 
P p
p
z
dz dxdy kz dz   








.
 (7) 
 
Somando os termos dados nas equações de (2) a (7), obtêm-se a força de superfície resultante atuando 
sobre o elemento de volume. Cancelando os termos comuns com sinais opostos e reagrupando temos: 
 
dF
p
x
i
p
y
j
p
z
k dxdydzs    












   (8) 
 
o termo entre parênteses é o gradiente da Pressão ou  P (operador vetorial) 
 
 Como no fluido estático atuam somente as forças de campo (gravitacional) e de superfície (pressão), 
pode-se combinar as expressões (1) até (7) para obter a força resultante que atua sobre o elemento de fluido. 
 
dF = dFc +dFs = g.dx.dy.dz + (-grad P).dx.dy.dz (9) 
 
dF = (g - grad P).dxdydz (10) 
 
Se o fluido é estático, a somatória das forças atuantes sobre o corpo é zero. 
dF = a.dm = 0 
Para a força ser igual a zero, um dos termos da igualdade abaixo também deve ser zero. 
dF = 0 = (g - grad P).dV 
Como o volume não pode ser zero, então: 
g - grad P = 0 
 
Esta equação vetorial tem 3 componentes escalares que devem ser satisfeitos individualmente: 
  



p
x
gx 0
 (11) 
  



p
y
g y 0
 (12) 
  



p
z
g z 0
 (13) 
 
É comum escolher um sistema de eixos coordenados de tal modo que o vetor g esteja alinhado com 
um dos eixos. Supondo g na direção z (mas em sentido contrário): 
Alguns exercícios e figuras do texto foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina 4 
gx = 0 gy = 0 
 




p
x
p
y
  0
 


p
z
g 
 (14) 
 
 Se o fluido é incompressível temos que  é constante e considerando g é constante 
 p - po = -g.(z-zo) 
 p - po = g.(z0
-z) 
 p = p – p
0
 = g.h 
 
 Equação fundamental da estática dos fluidos 
 p = g.h + p0 
 
2.4. Escalas para a medida de pressões 
 As pressões podem ser expressas de duas formas: manométrica e absoluta. Quando a medida da 
pressão é expressa como sendo a diferença entre seu valor e o vácuo absoluto (ausência total de matéria), 
será chamada de pressão absoluta. Quando a medida da pressão é expressa como sendo a diferença entre 
seu valor e o valor da pressão atmosférica local é chamada de pressão efetiva ou pressão manométrica. 
 
2.4.1. Pressão atmosférica ou pressão barométrica 
 Um barômetro de mercúrio consiste de um tubo de vidro fechado numa extremidade e cheio de 
mercúrio; este tubo é invertido, de forma que a extremidade aberta fique submersa em mercúrio. O tubo de 
vidro possui uma escala, de forma que pode ser determinada a altura da coluna. 
 O valor padrão da pressão barométrica é de 760 mm Hg (ao nível do mar e à temperatura de 15ºC). 
Aqui em Caxias do Sul, o valor da pressão atmosférica (que varia com a altitude e condições atmosféricas) 
fica em torno de 700 mm de Hg. 
 
 
Alguns exercícios e figuras do texto foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina 5 
 
 
 
 
2.4.2. Pressão manométrica 
 Os manômetros são instrumentos que medem a pressão de um ambiente qualquer (vasos, reatores, 
tubulações, equipamentos diversos) em relação à pressão atmosférica. Desta forma, eles só conseguem 
medir pressões em relação à pressão atmosférica, isto é, o quanto esta pressão é maior ou menor que a 
pressão ambiente. Para determinação da pressão absoluta, é necessário um barômetro para determinar a 
pressão atmosférica. As pressões manométricas podem ser positivas ou negativas (vácuo). 
 
2.4.3. Diagrama de pressões 
 
 
 Se desejamos conhecer o valor uma pressão em escala absoluta, basta somar o valor da pressão 
manométrica com o valor da pressão atmosférica local (barométrica), desta forma obtém-se o nível de 
pressões que vai do vácuo absoluto até a pressão A medida. 
 O mesmo pode-se fazer com a pressão B, lembrando apenasque pressões manométricas abaixo da 
atmosférica local, são vácuo ou pressões negativas. 
 
 Pabs = Pman + Patm 
 
2.5. Unidades de medida de pressão 
 A pressão é expressa como força/área. No Sistema Internacional de Unidades, a pressão é expressa 
em N/m2 ou Pascal. A pressão padrão de 1 atm está expressa na tabela abaixo utilizando vários sistemas de 
unidades. 
 
Alguns exercícios e figuras do texto foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina 6 
1 bar = 100.000 Pa 
101325 N/m2  101325 Pa = 1atm 
10, 34 m H2O = 1 atm 
760 mm Hg = 760 torr = 1 atm 
14,696 psi  14,696 lbf/in
2 = 1 atm 
 
2.6. Manometria 
 Uma técnica padrão para a medição da pressão envolve a utilização de colunas de líquidos verticais ou 
inclinadas. Os dispositivos para a medida de pressão baseados nesta técnica são denominados manômetros. 
O barômetro de mercúrio é um exemplo deste tipo de manômetro mas existem muitas outras configurações 
que foram desenvolvidas em função da aplicação. Os três tipos usuais de manômetros são o tubo 
piezométrico, o manômetro em U e o com tubo inclinado 
 
2.6.1. Tubo Piezométrico 
O tipo mais simples de manômetro consiste num tubo vertical aberto no topo e conectado ao recipiente no 
qual desejamos conhecer a pressão. 
 A pressão no ponto A é dada por: 
11ghpA 
 
 Na equação fundamental da estática dos fluidos temos um termo p0 
(pressão de referência). Neste caso, p0 foi desprezado ou igualado a zero, o que 
vai determinar que a pressão medida no ponto A seja uma pressão manométrica 
ou relativa. 
 Se desejarmos a pressão em A com valor absoluto então: 
011 pghpA  
 
 Apesar do tubo piezométrico ser muito simples e preciso, ele apresenta muitas desvantagens. Ele é 
apropriado nos casos onde a pressão no recipiente é maior que a pressão atmosférica (se não ocorreria 
sucção do ar para o interior do recipiente) e não muito grande para que a altura da coluna seja razoável. Note 
que só é possível usar este dispositivo se o fluido do recipiente for líquido. 
 
2.6.2. Manômetro de tubo em U 
Para superar alguns inconvenientes do tubo piezométrico, foi desenvolvido o tubo em U. O fluido que se 
encontra no tubo do manômetro é chamado de fluido manométrico. Para determinar a pressão pA em função 
das alturas das várias colunas aplicamos o Princípio de Pascal. 
 Todos os pontos de um fluido em repouso que estão à mesma altura, estão submetidos à mesma pressão. 
 
Alguns exercícios e figuras do texto foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina 7 
Pelo princípio de Pascal, p2 = p3. Observe que não podemos dizer que p1 é igual à pressão na coluna 
ao lado, no ponto de mesma elevação, porque temos fluidos diferentes. 
Podemos então dizer: 
AA pghp  12 
 
 
023 pghp m  
 
 Igualando p2 e p3 e definindo p0 = patm = 0 
 
 
21 ghghp mAA  
 
 
Existe uma regra prática que nos permite calcular a pressão em 
um manômetro de colunas líquidas levando-se em conta que 
quando nos movemos para cima numa coluna líquida, a pressão 
cai e quando nos movemos para baixo a pressão sobe. 
 
Comece pela pressão numa extremidade qualquer do manômetro 
e vá somando todas as colunas ao descer e subtraindo todas as 
colunas ao subir, igualando à pressão da outra extremidade. 
 
 Se o manômetro estiver com um dos ramos aberto para a 
atmosfera, podemos igualar esta pressão a zero, desta forma estaremos obtendo uma medida de pressão 
manométrica na outra extremidade; ou então igualar ao valor da pressão barométrica, neste caso estaremos 
obtendo uma medida da pressão absoluta. 
 
 O manômetro ao lado também é um manômetro diferencial, mas não tem nenhum ramo aberto para a 
atmosfera. Portanto não é possível determinar o valor da pressão A ou da pressão B, apenas a diferença entre 
ambas as pressões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alguns exercícios e figuras do texto foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina 8 
 
 
Aplicando o princípio de Pascal, temos que p2 = p3. 
Apghp  112 
 
Bpghghp  33223 
 
 Portanto, 
113322 ghghghpp BA  
 
 
Utilizando a regra prática exposta acima, você certamente obterá a mesma expressão. 
 
 
2.6.3. Manômetro de tubo inclinado 
 São utilizados para medir pequenas variações de pressão. Uma perna do manômetro é inclinada de 
um ângulo  e a leitura l2 é medida ao longo do tubo inclinado. 
 
 
Nestas condições a diferença de pressão será: 
BA pghglghp  332211 sen  
Observe que a distância vertical entre os pontos 1 e 2 é l2sen. Assim, para ângulos relativamente pequenos, 
a leitura diferencial ao longo do tubo inclinado pode ser feita mesmo que o diferencial de pressão seja 
pequeno. O manômetro de tubo inclinado é sempre utilizado para medir pequenas diferenças de pressão em 
sistemas que contém gases. Nestes casos 
 sen22glpp BA 
 
 A equação é simplificada porque as contribuições das colunas de gases podem ser desprezadas 
Alguns exercícios e figuras do texto foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina 9 
 
 Os manômetros de tubo inclinado e bulbo tem por objetivo facilitar a leitura da escala inclinada, 
permitindo fixar o zero na mesma. Desta forma, sabe-se que o valor de L precisa ser corrigido devido ao 
abaixamento do nível no bulbo. A equação que permite fazer esta correção leva em consideração o volume 
deslocado de um ramo para outro, relacionando os diâmetros de ambos os ramos. 















2
sen
D
d
gLP 
 
 
 Observe que quanto menor a relação d/D, mais facilmente ela pode ser desprezada. 
 
Exercícios 
 
1. Se um barômetro lê 740 mm Hg, qual é a pressão absoluta de um tanque de gás onde o manômetro mede 
5 bar? 
Resposta: 5,987 bar 
 
2. Um vácuo relativo de 200 mm Hg deve ser lido em um vacuômetro de tubo de Bourdon calibrado em psi. 
Qual será a leitura? 
 
3. Expressar a pressão de 4 mca, em valor absoluto (em Pa e psi), quando a pressão atmosférica é 695 mm 
Hg 
Resposta: 131894 Pa 19,13 psi 
 
4. Calcular a pressão em A, B, C e D na figura abaixo em Pa. 
Alguns exercícios e figuras do texto foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina 10 
Resposta: PA = -5880 Pa PB = 5880 Pa PC = 5880 Pa PD = 22638 Pa 
 
 
 
5. Um manômetro de Bourdon indica que a pressão num tanque é igual a 5,31 bar quando a pressão 
atmosférica local é igual a 730 mm Hg. Qual será a leitura do manômetro quando a pressão atmosférica 
local for igual a 760 mmHg 
Resposta: a mesma 
 
6. Um manômetro de Bourdon instalado na tubulação de alimentação de uma bomba indica que a pressão é 
negativa e igual a 40 kPa. Qual é a pressão absoluta correspondente se a pressão atmosférica local é 
igual a 100 kPa? 
Resposta: 60 kPa 
 
7. O tubo A da figura contém tetracloreto de carbono (densidade = 1,59) e o tanque B contém uma solução 
salina (densidade = 1,15). Determine a pressão do ar 
no tanque B se a pressão no tubo A é igual a 1,72 bar. 
 
Resposta:154370 Pa 
 
 
 
 
 
Alguns exercícios e figuras do texto foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina 11 
 
 
8. A figura abaixo mostra um conjunto cilindro-pistão, com área de seção transversal igual a 0,09m², que 
contém água. Um tubo em U aberto está conectado ao cilindro do modo mostrado na figura. Se h1 = 60 
mm e h = 100mm, qual éo valor da força P que atua sobre o pistão? Despreze o peso do pistão. 
Resposta: 1142 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. A pressão numa tubulação de água é medida pelo manômetro de dois fluidos mostrado. Avalie a pressão 
manométrica no tubo, se d2 é 1 ft. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 35994 Pa (man) 
 
 
10. O manômetro mostrado contém água e querosene. Com ambos os 
tubos abertos para a atmosfera, as elevações da superfície diferem de 
Alguns exercícios e figuras do texto foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina 12 
H0 = 20 mm. Determine a diferença de elevação quando uma pressão de 98Pa (manométrica) for aplicada 
no tubo da direita. 
Resposta: 30 mm 
 
 
11. O manômetro mostrado contém dois líquidos. O líquido A tem densidade 
relativa 0,88 e o B 2,95. Calcule a deflexão h, quando a diferença de 
pressão aplicada for 870 Pa. 
Resposta: 0,043 m 
 
 
 
 
 
12. Considere o manômetro de dois fluidos mostrado. Calcule a diferença de 
pressão aplicada. 
Resposta: 59,5 Pa 
 
 
 
 
 
 
13. Determine a pressão manométrica em psig no ponto a, se o 
líquido A tem densidade relativa 0,75 e o líquido B 1,20. O 
líquido em volta do ponto a é água e o tanque à esquerda 
está aberto para a atmosfera. 
Resposta: 8140 Pa 
 
 
 
 
 
14. O departamento de engenharia de uma empresa está avaliando 
um sofisticado sistema a laser muito caro para medir a diferença 
Alguns exercícios e figuras do texto foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina 13 
do nível de água entre dois grandes tanques de armazenagem. É importante que pequenas diferenças 
sejam medidas com precisão. Você sugere que a tarefa seja feita com um simples arranjo de manômetro. 
Um óleo menos denso que a água pode ser usado para fornecer uma ampliação de 10:1 do movimento do 
menisco; uma pequena diferença de nível, entre os tanques, provocará uma deflexão 10 vezes maior nos 
níveis de óleo do manômetro. Determine a densidade relativa do óleo requerida para uma ampliação de 
10:1. 
Resposta: d=0,9 
 
 
 
 
15. Considere um manômetro conectado conforme 
mostrado. Calcule a diferença de pressão. 
Resposta: 557 Pa 
 
 
 
 
16. O manômetro de tubo inclinado mostrado tem D=3" e d=0,25" e está cheio com óleo Meriam vermelho. 
Calcule o ângulo  que fornecerá uma deflexão de 5" ao longo do tubo inclinado para uma pressão 
aplicada de 1" de água (manométrica). 
Resposta: 13,6º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alguns exercícios e figuras do texto foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina 14 
17. O manômetro de tubo inclinado mostrado tem D=96mm e d=8 mm. Determine o ângulo  necessário para 
dar um aumento de 5:1 na deflexão do líquido L, comparado com a deflexão total de um manômetro 
comum em U. 
Resposta: 11,3º 
 
 
18. Infusões intravenosas são geralmente feitas por gravidade, pendurando-se um frasco a uma altura 
suficiente para superar a pressão do sangue nas veias e forçar o fluido para dentro do corpo. Quanto mais 
alto o frasco é pendurado, maior será a vazão do fluido. 
a) se observamos que a pressão do fluido e do sangue são iguais quando o frasco está pendurado a 1,2 m de 
altura (acima do braço), qual é a pressão manométrica do sangue? 
b) se a pressão manométrica do fluido no nível do braço, necessita ser de 20kPa para uma suficiente taxa de 
fluxo, determine a que altura o frasco deverá ser pendurado. Assuma que a densidade do fluido é 1020 kg/m³. 
 
19. Se as superfícies da água e da gasolina a 20ºC 
estão abertas para a atmosfera e estão à mesma 
elevação, qual será a altura h do terceiro líquido? 
 
Resposta: 1,47m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alguns exercícios e figuras do texto foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina 15 
20) O sistema ar-óleo-água na figura está a 20°C. Sabendo que o manômetro A registra a pressão absolu- 
ta de 103,42 kPa e o manômetro B registra 8.618 Pa menos do que o manômetro C, calcule (a) o peso espe- 
cífico do óleo em N/m3 e (b) a leitura do manômetro C em kPa absoluta. 
 
 
Resposta: ρ= 931,3 kg/m³ ou γ(peso específico) = 9127 N/m³ Pc = 114,776 kPa (abs) 
 
21) Na figura o tanque e o tubo estão abertos para a atmosfera. Se L= 2,13 m, qual é o ângulo de inclinação θ 
do tubo? 
 
 
 
/Resposta: 25°