Equações Diferenciais Ordinárias.Lista1.

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Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) 
Professor Alexandre Marinho. 
I. Definição de Equação Diferencial 
Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em 
relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de equação diferencial (ED). 
II. Definição de Equação Diferencial Ordinária (EDO) 
Se uma equação contém somente derivadas ordinárias envolvendo função de uma variável real, então 
ela é chamada de equação diferencial ordinária (EDO). Por exemplo, 
���� − 4t = 7 ; 2
	 ���� + 	2�	 ���� −
	2�	 ���� = 0 ; �²���²− 4 ���� + 4
 = 0 são equações diferenciais ordinárias. 
Uma equação diferencial ordinária geral de �-ésima ordem é frequentemente representada pelo 
simbolismo 
� �
, �, ���
 ,… , ����
�� = 0. 
III. Definição de Soluções de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) 
Qualquer função � definida em algum intervalo �, do tipo: (a, b), [a, b], (0, +∞), �−∞,+∞ , etc, que 
quando substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade, é chamada de solução para 
equação no intervalo. 
Em outras palavras, uma solução para equação diferencial ordinária �!
, �, �", … , ���#$ 	��� % = 0 é 
uma função � que possui pelo menos � derivadas e satisfaz a equação; isto é, 
� &
, ��
 , �"�
 , … , ���#$ , ���
 ' = 0 para todo 
 no intervalo �. 
Exercícios 
1. Verifique que � = (�² é uma solução para equação não linear ���� − 2
. (�² = 0 no intervalo �−∞,+∞ . R: É solução. 
2. Verifique que � = �)$* é uma solução para equação não linear ���� = 
�+, no intervalo �−∞,+∞ . 
R: É solução 
 
IV. Definição de Equação Separável 
Uma equação diferencial da forma 
���� = -�� .�� é chamada separável ou tem variáveis separáveis. 
Observe que uma equação de variáveis separáveis pode ser escrita como ℎ�� . �� = 0�
 . �
. Se ℎ�� = 1	decorre que 1. �� = 0�
 . �
			 ⇒ 			� = 30�
 . �
 
Agora, se � = ��
 denota uma solução para ℎ�� . �� = 0�
 . �
. Temos que 
ℎ���
 . �� = 0�
 . �
 . Como � = ��
 ⇒ �" = ���� = �"�
 ⇒ �� = �"�
 . �
, decorre que 
ℎ!��
 %. �"�
 . �
 = 0�
 . �
	 ⟹	5ℎ!��
 %. �"�
 . �
 = 50�
 . �
 + 6	 
que é o mesmo que 3ℎ�� . �� = 30�
 . �
 + 6. 
V. Problema de Valor Inicial (PVI) 
Estamos interessados em resolver uma equação diferencial de primeira ordem 
���� = ��
, � sijeita à 
condição inicial ��
7 = �7, em que 
7 é um número no intervalo I e �7 é um número real arbitrário. 
 O problema: Resolva a EDO 
���� = ��
, � sujeita a condição inicial ��
7 = �7 é chamado de 
problema de valor inicial. Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para equação 
diferencial, definida em algum intervalo I tal que o gráfico da solução passe por um ponto �
7, �7 
determinado a priori. 
3. Resolva a seguinte EDO de variável separável 
���� = �� sujeita a condição inicial ��0 = 1. Faça 
uma interpretação geométrica. R: 
�²8 − �²8 = 6				; 			�² − 
² = 1 ; 
4. Resolva a equação diferencial dada por separação de variável. 
a) 
���² = 4. �
 R: ��
 = :; 
³ + 6 
b) 
���� = cos	�
 R: ��
 = @(��
 + 6 
c)	���� = (:� + $� R: ��
 = A)B: + ln�
 + 6 
d) 
���� = − �� R: 
² + �² = 26 
e) 
���� = @(��4
 R: ��
 = #EFG	�:� : 	+C 
f) �
 + (;��� = 0 R: ��
 = AHIB; + 6 
g) 
. �
 + 1 ���� = 2
 + 10 (obs. usar integração por frações parciais em 8�J$7�.��J$ 
i) �
8 − 1 ���� = 4
 + 12 
j) 
���� = �³�² 
5. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. 
a) 
���� = − ��; ��−3 = 4. 
b) 
���� = 3
8; ��1 = 2. 
c) 
���� = −4
�8; 		��0 = 1. 
d) 
���� = 3
8�; 		��0 = 3. 
e) 
���� = 
; − 2@(��
 ; 		��0 = 3. 
6. O ponto (3, 2) está numa curva e em qualquer ponto �
, � sobre a curva a inclinação da reta 
tangente é obtida por 
���� = 2
	– 	3. Ache a equação da curva. R: � = 	
²	 − 3
 + 2 
7. Uma partícula move-se sobre uma linha reta onde v cm/s é a velocidade da partícula em M	@ e N = 	@(�	�2O. M . Se a direção positiva estiver à direita da origem e a partícula estiver a 4	PQ à 
direita da origem, no início do movimento, ache a posição 
$8 	@ depois. 
 
VI. Definição de EDO linear de Primeira Ordem Homogênea 
Sejam � ⊂ ℝ um intervalo e T: � ⊂ ℝ → ℝ, uma função contínua. Toda equação que pode ser 
reduzida à forma 
���� + T�
 . � = 0 é chamada equação diferencial linear homogênea de primeira ordem. 
 
8. Resolva as seguintes EDO’s lineares de primeira ordem homogêneas. 
a) 
���� + 3
. � = 0 R: ��
 = 6. (HIB², 
b) 
���� + �PW@M . � = 0 R: ��
 = 6. (#XA�� 
9. Resolva a seguinte EDO linear de primeira ordem homogênea Y���� + �@(�
 . � = 0��0 = ;8 Z 
R: ��
 = ;8 (�[\X�#$ 
VII. Definição de EDO linear de Primeira Ordem Não Homogênea 
Dadas as funções reais contínuas e não nulas T, ]: ^ ⊂ ℝ → ℝ, toda equação que pode ser reduzida à 
forma 
���� + T�
 . � = ]�
 é chamada equação diferencial linear não homogênea de primeira ordem. 
 
10. Resolva as seguintes EDO’s lineares de primeira ordem não homogêneas. 
a) 
���� + 2
. � = 
 R: ��
 = $8+ 6. (#�² 
b) 
���� + $� . � = 2 R: ��
 = 
 + _� 
c) 
. ���� + � = 
 
11. Resolva a seguinte EDO linear de primeira ordem não homogênea 
. ���� − � = 
² sejeita a 
condição inicial ��0 = 1. 
 
VII. Definição de EDO exata 
Uma expressão diferencial `�
, � . �
 + a�
, � . �� é uma diferencial exata em uma região R do 
plano bc se ela corresponde à diferencial total de alguma função � = ��
, � . Uma equação diferencial da 
forma `�
, � . �
 + a�
, � . �� = 0 é exata se ded� = dfd� . 
 
12. Considere a EDO �
 − � . �
 + ��8 − 
 . �� = 0. 
a) Mostre que tal EDO é exata. 
b) Resolva tal EDO. R: − g²8 + xy − j³; = C 
13. Resolva as seguintes EDO’s exatas. 
a) 2
�. �
 + �
8 − 1 . �� = 0 R: 
²� − � = 6̅ 
b) �2
 − 1 . �
 + �3� + 7 . �� = 0 R: 
² − 
 + ;8�² + 7� = 6̅ 
c) �2�8
 − 3 . �
 + �2�
8 + 4 . �� = 0 R: m8 
² + 4
� − 2�: = 6̅	
14. Resolva a seguinte EDO exata �2x. seny + eg. cosy . dx + �x8. cosy − eg. seny . dy = 0 sujeita 
ao problema de valor inicial ��0 = p:. R: 
². @(�� + (�. PW@� = 8√8 
 
VII. Definição de EDO Homogênea. 
Uma equação diferencial da forma `�
, � . �
 + a�
, � . �� = 0 é chamada de homogênea se 
ambos os coeficientes ` e a são funções homogêneas de mesmo grau. 
Observação: Definição de Função Homogênea: Se uma função � satisfaz ��M. 
, M. � = M�. ��
, � 
para algum numero real �, então �	é uma função homogênea de grau �. 
15. Resolva a seguintes EDO’s homogêneas 
a) �
² + �²	 . �
 − 2
�. �� = 0 R: x² + �² = r
	
b) �
8 − �8 − 2
�. ���� = 0 R: 
³ − 3
�² = 6 
c) �
 − � . �
 − �
 + � . �� = 0 R: 
³ + 3
�² + �³ = 6