lista 38 resistência

Prévia do material em texto

CURSO: ENGª DE PRODUÇÃO 
DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
PROFº: PERINALDO
LISTA DE EXERCÍCIOS 38
RESOLUÇÃO
Transformação de tensões no estado 
plano de tensões: Invariantes do 
tensor de Cauchy
FIGURA 1
O elemento da direita é obtido do da esquerda, a partir de uma rotação segundo o ângulo  .
O desenho a seguir ilustra o diagrama de corpo livre de um elemento em forma de cunha, resultante 
do seccionamento do elemento de tensões da figura (1) no sistema (XY):
FIGURA 2
QUESTÃO 1 – Considere a figura (1) desta lista de exercícios. Admita que:
XX = 2 KPa ; YY = 3 KPa e XY = 1 KPa
No que concerne às circunstâncias descritas, execute as solicitações a seguir:
(a) Seja  = 37º . Para este valor de  , calcular o valor de XX ' (tensão normal no 
sistema de coordenadas rotacionado).
(b) Seja  = 37º . Para este valor de  , calcular o valor de YY ' (tensão normal no 
sistema de coordenadas rotacionado).
(c) Seja  = 37º . Para este valor de  , calcular o valor de XY ' (tensão cisalhante no 
sistema de coordenadas rotacionado).
SOLUÇÃO
As tensões normal e cisalhante na face inclinada do novo elemento são dadas por:
XX ' = n
T  n (forma quadrática para a tensão normal na face inclinada)
XY ' = n
T u (forma bilinear para a tensão cisalhante na face inclinada)
em que:
n = cos sen  ; u = −sen cos  e  = XX XYYX YY 
E quanto a YY ' :
YY ' = cos   /2sen   /2
T XX XYXY YY cos  / 2sen   /2
Por outro lado, obtenhamos a equação característica do tensor de Cauchy para o estado plano de 
tensões.
O problema de autovalores para as tensões principais é escrito como segue:
∣XX − P XYYX YY − P ∣ = 0 
em que XY = YX (reciprocidade das tensões de cisalhamento). Nesta equação, (P) é o valor 
da tensão principal.
Obtém-se:
P2 − XX  YY P  XX YY − XY2  = 0
Atente-se para o fato de que a magnitude das tensões principais é grandeza intrínseca do estado 
plano de tensões considerado. Desta forma, as raízes da equação caracteristica do problema de 
autovalores do tensor de Cauchy independem da rotação do sistema de eixos cartesianos. À luz 
disto, vemos que para a invariância das tensões principais prevalecer, é necessário que os 
coeficientes da equação característica também sejam invariantes sob uma rotação de eixos.
Enunciamos com isto os invariantes do tensor de Cauchy para o estado plano de tensões:
i - XX  YY  = constante
ii - XX YY − XY2  = det  = constante
ITEM (a): 
Para obter a resposta para o item (a) desta lista de exercícios, vamos usar a forma quadrática que 
define XX ' , a saber:
XX ' = n
T  n
XX ' = cos sen 
T XX XYXY YY cos sen 
Entrando-se com  em radianos, tem-se:
XX ' = cos 0,6458sen 0,6458
T 2 11 3cos 0,6458sen 0,6458 KPa
Então: XX ' = 3,323 KPa (Resposta para o item (a))
ITEM (b): 
Para obter a resposta para o item (b) desta lista de exercícios, vamos usar o primeiro invariante do 
tensor:
XX  YY  = constante
Temos que: constante = 2  3 KPa , de onde constante = 5 KPa
Com isto:
XX '  YY '  = 5 KPa
YY ' = 5 − 3,323 KPa , ou seja, YY ' = 1,677 KPa (Resposta para o item (b))
ITEM (c): 
Para obter a resposta para o item (c) desta lista de exercícios, vamos usar o segundo invariante do 
tensor:
XX YY − XY2  = det  = constante
Então:
2 × 3 − 12 = 3,323 × 1,677 − XY '
2
que dá:
XY ' = 0,757 KPa (Resposta para o item (c))
QUESTÃO 2 - Considere a figura (1) desta lista de exercícios. Admita que:
XX = 1,23 KPa ; YY = 4,31 KPa e XY = 2,47 KPa . Nestas condições, calcular 
a tensão YY ' para o elemento que tem  = 43,27º
SOLUÇÃO
Tem-se que:
YY ' = cos   /2sen   /2
T XX XYXY YY cos  / 2sen   /2
o ângulo em radianos é:
 = 43,27 × 
180
rad ou seja,   /2 = 2,326 rad
Também:
Então:
YY ' = cos 2,326sen 2,326
T 1,23 2,472,47 4,31cos 2,326sen 2,326 KPa
que dá:
YY ' = 0,397 KPa