Cálculo III

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CÁLCULO III
AULA 6 – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Conteúdo Programático
Introdução
Funções de Várias Variáveis
3. Limite
4. Continuidade
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS – AULA 6
CÁLCULO III
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
INTRODUÇÃO 
função de uma variável real a valores reais
Exemplo: f(x) = x2 - 2
 O valor de uma grandeza pode depender de valores de duas outras, ou mais. 
 
Exemplo: a quantidade de água em um reservatório pode depender, dentre outras coisas, da quantidade de chuva e da água consumida pelos moradores. 
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CÁLCULO III
INTRODUÇÃO 
Podemos representar relações deste tipo como funções de duas variáveis a valores reais.
 
Agora vamos trabalhar com funções de varias variáveis.
Vejamos alguns exemplos.
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EXEMPLO 1
A demanda semanal de manteiga num supermercado depende de certos fatores, como preço unitário, preço unitário de bens substitutos(ex: margarina), renda familiar, gastos pessoais e outros.
 
Agora vamos supor que a demanda por manteiga dependa de seu preço unitário p1 e do preço unitário da margarina p2. 
Dizemos, então que a quantidade demandada q é função de p1 e p2 e escrevemos q = f(p1,p2).
 
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Seja:
 
q: a quantidade semanal demandada de manteiga num supermercado (em Kg)
x: o preço por Kg de manteiga
y: o preço por Kg de margarina
 
Suponha que q = 100 – 2x + 1 y. Temos assim uma função de duas variáveis em que f(x,y) = q e o domínio da função pode ser definido como:
 
D={(x,y)  R2| x ≥ 0, y ≥ 0 e 100 – 2x + 1 y ≥ 0
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Suponha que q = 100 – 2x + 1 y represente a quantidade semanal de manteiga demandada. Se o preço por Kg de manteiga é 10 e o preço por Kg de margarina é 8. Qual a quantidade semanal demandada de manteiga. 
 
Seja q = 100 – 2x + 1 y. 
Portanto q = 100 – 2 (10) + 1 (8) =88 kg
 
Para trabalhar com funções de várias variáveis necessitamos de algumas definições.
EXEMPLO 2
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Funções de duas variáveis reais a valores reais
 
1. Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função f:A R, onde A é um subconjunto de R2. Tal função associa a cada par (x,y) A, um único numero f(x,y) R. 
 
O conjunto A é o domínio de f e será indicado por Df, ou seja, o domínio de uma função f(x,y) é o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de números reais para os quais f(x,y) pode ser calculada.
Imf={ f(x,y)  R / (x,y)  Df } é a imagem de f.
DEFINIÇÕES
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Exemplo 1: z = f(x,y) = x2 - 4xy 
Esta função tem como domínio D todos os pares ordenados (x,y)  R2.
Exemplo 2:
Esta função tem como domínio D todos os pares ordenados (x,y)  R2 , tais que 
Df={ (x,y)  R2/ x  y }
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2. Uma função real f de n variáveis associa a cada n-upla (x1,x2,..., xn)  D  Rn um único número real 
w = f(x1,x2,..., xn)
Definimos o subconjunto D de Rn como domínio da função f.
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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO
Exemplo 1
Domínio D → todos os pares ordenados (x,y)  R2 , tendo 1 –x2 – y2 ≥ 0, ou ainda, x2 + y2 ≤ 1 (circunferência de raio 1). 
Representação gráfica do domínio.
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Note que um ponto (x,y,z) pertence ao gráfico de f, se e somente se, (x,y) pertence ao domínio D e z = f(x,y).
z ≥ 0
O gráfico da função f será representado pela porção da esfera acima do eixo xy.
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GRÁFICO DA FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Definição
 
Seja f: D  Rn R uma função de n variáveis. 
Definimos o gráfico de f, denotado por Gf, como o subconjunto de Rn+1 formado por todos os pontos de forma (x1,x2,..., xn,f(x1,x2,..., xn)) Rn+1, onde (x1,x2,..., xn)  D.
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Observação
 
Quando a função é definida f(x,y), o gráfico é uma superfície em R3.
Exemplo: f(x,y) = x2 + y2
 Quando a função é definida f(x,y,z), o gráfico não será possível ser visualizado. 
Exemplo: w = f(x,y,z)= x2 + y2 + z
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CURVAS DE NÍVEL
Definição
 
Sejam z=f(x,y) uma função e c Imf. 
 
O conjunto de todos os pontos (x,y) de Df tais que f(x,y)=c, denomina-se curva de nível ou curva de contorno de f. Correspondente ao nível z=c. 
 
Assim, f é constante sobre cada curva de nível
 
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Observações
O gráfico de f é um subconjunto de R3.
Uma curva de nível é um subconjunto do domínio de f, portanto, de R2.
Exemplo 1
O gráfico da função constante k, neste exemplo k =3, f(x,y)=3 é um plano paralelo ao plano xy.
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 Figura: Feita no Winplot
Figura: Feita no Winplot
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Exemplo 2: Desenhe as curvas de nível e o gráfico de f(x,y) = x2+y2
 
Lembre-se f(x,y) = z. 
Quando z = 1 temos uma circunferência de raio 1, 
1 = x2+y2
Quando z = 4 temos uma circunferência de raio 2, 
4 = x2+y2
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Parabolóide de revolução
Curva de Nível
Observe que a curva de nível f(x,y)=c é a projeção no plano xy da interseção do gráfico de f com o plano z = c.
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Observações
 
Em economia, essas curvas de nível são denominadas curvas de isoprodução ou isoquantas de produção. 
Se f representa potencial elétrico, as curvas de nível de f são chamadas curvas equipotenciais.
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Exemplo 1
Considere a função de produção P = L 0,5 K0,5 , em que L representa o trabalho envolvido e K o capital. 
As curvas de nível c = 1 e c = 2 são:
C = 1 então L0,5 K0,5=1  L = 1/K
 
C = 2 então L0,5 K0,5=2  L = 4/K
 
Para fazer o gráfico da curva de nível, basta considerar L = y e K = x. A curva em vermelho é correspondente a c = 1 e a em azul a c = 2.
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Cada curva de nível fornece os pares (K,L) para os quais a produção é constante, sendo a primeira com produção igual a 1 e a segunda igual a 2.
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LIMITE E CONTINUIDADE
 
Limite
 
Vamos estender o conceito e as regras de limite para funções de uma variável real para funções de várias variáveis.
 
Lembre-se: Um ponto variável x no eixo coordenado, para funções de uma variável, e este era aproximado de um ponto x0 de dois modos, à direita e a esquerda.
 
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Como agora estaremos trabalhando com funções de duas variáveis estendemos esta ideia da seguinte forma, um ponto variável (x,y) no plano coordenado pode se aproximar de um ponto fixo (x0, y0) por um número infinito de caminhos, pois agora estamos no espaço.
 
Definiremos que (x,y) se aproxima de um ponto fixo (x0, y0) se a distância entre eles tende a zero, independente do percurso feito por (x,y). Esta distância é dada por:
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OBSERVAÇÃO
Em funções de uma variável podemos falar do limite da f(x) quando x tende a x0, mesmo quando f não está definida em x0. 
 
De forma análoga podemos definir f(x,y) de duas variáveis reais, quando (x,y) tende a um ponto fixo (x0,y0), não sendo necessário que f(x,y) esteja definida em (x0,y0). 
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Agora
basta que (x0,y0) seja um ponto de acumulação do domínio de f, isto é, que cada bola aberta de centro em (x0,y0) e raio r > 0, denotada por Bt(x0,y0), contenha pelo menos um ponto de D distinto de (x0,y0), onde:
De modo formal definimos:
Sejam f: A  2   uma função, (x0,y0) um ponto de acumulação de A e L um número real.
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TEOREMA DO CONFRONTO
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EXEMPLO
Suponhamos
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PROPRIDADES
As propriedades estudas para funções de uma variável são as mesmas para funções de várias variáveis.
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TEOREMA
 
Seja  uma curva em R2 continua e continua em t0. Se ocorrer 
Da mesma forma, tal limite não existirá se um dos limites não existir.
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EXEMPLO
Calcule caso exista 
Observe que no ponto (0,0) a função não esta definida, portanto deveremos calcular o limite quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de cada caminho estipulado.
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Primeiro caminho: Sobre o eixo x, portanto y = 0
Portanto,
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Segundo caminho: Sobre o eixo y, portanto x =0
Portanto,
Podemos então concluir que o
Não existe.
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Perguntas...
Sempre calcularemos
 por caminhos o limite ?
Quantos caminhos devo
 tentar?
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Veja: 
 
Nem sempre é necessário calcular por caminhos o limite de uma função. 
Só utilizaremos este artifício se a função f(x,y) não está definida no caminho.
Exemplo
Calcule caso exista
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OBSERVAÇÕES
No material de estudo é sinalizado que só podemos afirmar que o limite existe se analisarmos as seguintes situações:
 
Primeiro caminho
Segundo caminho
Terceiro caminho
 
Mesmo com as três tentativas dando o mesmo resultado não podemos concluir que o limite existe. Nesse caso devemos analisar o Teorema do Confronto e a definição de limite.
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CONTINUIDADE
Definição
 
Seja f uma função de duas variáveis reais a valores reais e seja (x0,y0)  Df, com (x0,y0) ponto de acumulação de Df. 
Se f for contínua em todos os pontos de um subconjunto A do Df, diremos que f é contínua em A. 
Também podemos dizer que a f é contínua se o for em todos os pontos de seu domínio.
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EXEMPLOS
1. A função constante f(x,y) = k é contínua , pois
2. A função f(x,y) = x é contínua , pois
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3. A função
é contínua em (0,0) ?
Calculamos anteriormente o limite dessa função e concluímos que o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) não existia.
 
Portanto, a função não é contínua no ponto (0,0).
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4. A função
é contínua em (0,0) ?
No material de estudo temos o desenvolvimento dessa questão onde fica provado que o limite da função existe e é igual a zero. 
 
Portanto, a função f(x,y) é contínua no (0,0).
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RESUMINDO
Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função f:A R, onde A é um subconjunto de R2. Tal função associa a cada par (x,y) A, um único numero f(x,y) R.
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Limite
Continuidade
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CÁLCULO III
AULA 7 – DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE
Conteúdo Programático
Derivadas Parciais
2. Diferenciabilidade
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
INTRODUÇÃO 
Vamos considerar o enunciado abaixo:
Suponhamos que temos curvas de nível da temperatura T = T(t,h), medida em graus. Seja t o tempo em horas, e h a altitude, medida em metros, de uma região. 
Agora podemos perguntar:
Como vai variar a temperatura em relação ao tempo no instante to , num ponto de altitude h = ho ?
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Veja que temos funções de duas variáveis nesse enunciado. 
Agora vamos fazer uma análise onde apenas uma variável se modifica, enquanto as outras são mantidas fixas.
Esse procedimento nos leva a definição de uma derivada para cada umas das variáveis independentes.
Essas derivadas parciais, nos possibilita obter respostas para o enunciado dado anteriormente. 
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
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DEFINIÇÃO DE DERIVADAS PARCIAIS
Se y = f(x) (função de uma variável real) sua derivada é definida por: 
Taxa de variação de y em relação a x
Agora estender essa definição para funções de duas variáveis real, z = f(x,y).
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DEFINIÇÃO DE DERIVADAS PARCIAIS
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis reais e (x0,y0) um ponto do domínio de f. A derivada parcial de f em relação a x no ponto (x0,y0) é definida por:
Se o limite existir.
Notações:
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Para calcular a derivada, fixa-se y = y0(mantendo-se y constante) em z = f(x,y) e calcula-se a derivada de g(x) onde definimos g(x) = f(x,y0) em x = x0 , ou seja,
Essa função denomina-se função derivada parcial de primeira ordem de f, em relação à x, ou simplesmente, derivada parcial de f em relação à x.
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
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Analogamente, a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x0,y0) é definida por:
Se o limite existir.
Notações:
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
CÁLCULO III
Para calcular a derivada fixa-se x = x0 em z = f(x,y) (mantendo-se x constante) e calcula-se a derivada de h(y) onde definimos h(y) = f(x0, y) em y = y0, ou seja,
Essa função denomina-se função derivada parcial de primeira ordem de f, em relação a y, ou simplesmente, derivada parcial de f em relação a y.
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
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Analogamente podemos estender esta definição para as derivadas parciais de ordem superiores.
Por exemplo, a derivarmos fxx(x,y) que significa derivar a derivada parcial em relação a x, novamente em relação a variável x. 
Pela definição de derivada parcial de primeira ordem podemos definir formalmente que,
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EXEMPLOS
1. Seja f(x,y) = 2xy – 4y. Calcule 
2. Seja f(x,y) = 2xy – 4y. Calcule 
3. Seja f(x,y) = 2xy – 4y. Calcule 
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CÁLCULO III
4. Seja g(x,y) = 2x2y +3xy2 – 4x. Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Primeiro se deriva o x isolando o y, depois se deriva o y isolando o x 
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5. Seja função
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. 
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
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6. Seja z = sen(2x +y). Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. 
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CÁLCULO III
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
A interpretação geométrica das derivadas parciais de uma função de duas variáveis é análoga à feita para funções
de uma variável real.
Suponhamos que z = f(x,y), definida de R2 em R admite derivadas parciais em (x0,y0).
Para y = y0 temos que f(x,y0) é uma função de uma variável cujo gráfico é uma curva C1, resultante da interseção da superfície z = f(x,y) com o plano y = y0.
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
CÁLCULO III
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
CÁLCULO III
Encontre a declividade da reta tangente a curva Z=x²+y², resultante da intersecção da função f(x,y) com o plano y=2, no ponto P(2,2,8).
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
CÁLCULO III
A inclinação da reta tangente à curva C1 no ponto (x0,y0) é dada por
De maneira análoga, temos que a inclinação da reta tangente à curva C2, resultante da interseção de z = f(x,y) com o plano x = x0, é 
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
CÁLCULO III
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
CÁLCULO III
DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
Seja a função z = f(x,y). 
Podemos construir as derivadas parciais de segunda, terceira, ate a n-ésima ordem. Qualquer uma delas, será de ordem superior.
Notação:
Derivada parcial de segunda Ordem em relação a x, vou ter 4 derivadas
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CÁLCULO III
Derivada parcial de segunda Ordem em relação a y
Derivada parcial de segunda Ordem em relação a y e x.
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CÁLCULO III
Derivada parcial de segunda Ordem em relação a x e y.
Derivada parcial de terceira Ordem em relação a x, ou seja, a derivada segunda em relação a x é novamente derivada em relação a x.
Portanto podemos derivar até a ordem n usando todas as combinações possíveis entre as variáveis.
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CÁLCULO III
EXEMPLO
Seja f(x,y) = 4 x5 y4 – 6 x2y + 2. Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem.
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CÁLCULO III
APLICAÇÕES
Na economia onde o termo análise marginal se refere à prática de usar uma derivada para estimar a variação no valor de uma função resultante de um aumento de uma unidade em uma de suas variáveis.
As derivadas parciais são conhecidas como a produtividade marginal (ou produtos marginais) do capital e do trabalho, respectivamente. 
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CÁLCULO III
DIFERENCIABILIDADE
Função de uma variável 
O gráfico constitui uma curva que não possui pontos angulosos, em outras palavras a curva é suave. Em cada ponto do gráfico temos uma reta tangente única.
Função diferenciável de duas variáveis 
Em cada ponto do gráfico da função f deverá existir um único plano tangente que represente uma boa aproximação da função perto do ponto indicado.
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
CÁLCULO III
“Boa aproximação” 
y = f(x0) + f’(x0)(x – x0)
Quando x se aproxima de x0, a diferença entre f(x) e y se aproxima de zero muito rápido.
As derivadas parciais estão relacionadas com o plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis. 
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CÁLCULO III
DEFINIÇÃO
Plano tangente
Seja f(x,y) uma função diferenciável no ponto (x0,y0). O plano tangente ao gráfico de f(x,y) no ponto (x0,y0,f(x0,y0)) tem com equação:
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CÁLCULO III
Agora podemos definir uma função diferenciável.
Informalmente, dizemos que f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) se o plano dado pela equação anterior fornece uma boa aproximação para f(x,y) perto de (x0,y0).
Veja que quando (x,y) se aproxima de (x0,y0) , a diferença entre f(x,y) e z = T(x,y) se aproxima mais rápido de zero.
Se f não é diferenciável no ponto (x0,y0), então o plano existe mas não é necessariamente tangente ao gráfico.
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
CÁLCULO III
DEFINIÇÃO
Sejam z = f(x,y) uma função definida num conjunto aberto U  2 e (x0,y0)  U. Dizemos que f é diferenciável em (x0,y0) se, e só se, f for diferenciável em todos os pontos de U.
Teorema 1 Se z = f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) , então z = f(x,y) é contínua em (x0,y0).
Se f(x,y) não é contínua em (x0,y0) então não é diferenciável em (x0,y0).
Teorema 2 Se z = f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) , então z = f(x,y) possui derivadas parciais em (x0,y0).
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
CÁLCULO III
OBSERVAÇÕES
Se alguma derivada parcial não existe em (x0,y0) então a função não é diferenciável em (x0,y0).
 
O material de estudo apresenta outros teoremas. Vale destacar o teorema que garante que a continuidade das derivadas parciais em um ponto implica na diferenciabilidade no ponto.
 
A recíproca não é verdadeira, isto é, diferenciabilidade em um ponto não implica em que a derivada parcial seja contínua naquele ponto.
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
CÁLCULO III
O plano tangente ao gráfico de f(x,y) em (x0,y0,f(x0,y0)) é perpendicular a direção do vetor normal. 
Portanto:
A reta que passa por (x0,y0,f(x0,y0)) e é paralela ao vetor normal em (x0,y0) é chamada reta normal ao gráfico da função f(x,y) no ponto (x0,y0,f(x0,y0)) e esta é dada por:
(x,y,z) = (x0,y0,f(x0,y0))+ t N(x0,y0), t 
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
CÁLCULO III
EXEMPLO
 
Determine a equação do plano tangente da reta normal ao gráfico de z2 = x2 +y2 no ponto
1º ) Calcular as derivadas parciais 
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
CÁLCULO III
2º ) Determinar T(x,y)
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
CÁLCULO III
Reta Normal
(x,y,z) = (1,2,))+ t N(x0,y0)
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
CÁLCULO III
RESUMINDO
Derivadas Parciais
2. Diferenciabilidade
y = f(x0) + f’(x0)(x – x0)
DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7
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CÁLCULO III
AULA 8 – REGRA DA CADEIA, VETOR GRADIENTE E 	 		 DERIVADA DIRECIONAL
Conteúdo Programático
Vetor Gradiente
Regra da Cadeia
Derivada Direcional
VETOR GRADIENTE, REGRA DA CADEIA E DERIVADA DIRECIONAL – AULA 8
CÁLCULO III
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
VETOR GRADIENTE
 
Definição
 
Seja z=f(x,y) uma função que admite derivadas parciais em (x0,y0). O vetor gradiente de f em relação (x0,y0) é o vetor:
Notação:
VETOR GRADIENTE, REGRA DA CADEIA E DERIVADA DIRECIONAL – AULA 8
CÁLCULO III
Também podemos usar:
VETOR GRADIENTE, REGRA DA CADEIA E DERIVADA DIRECIONAL – AULA 8
CÁLCULO III
EXEMPLOS
1. Vamos determinar o vetor gradiente da função abaixo:
VETOR GRADIENTE, REGRA DA CADEIA E DERIVADA DIRECIONAL – AULA 8
CÁLCULO III
W = xyz2
2. Vamos determinar o vetor gradiente da função abaixo:
VETOR GRADIENTE, REGRA DA CADEIA E DERIVADA DIRECIONAL – AULA 8
CÁLCULO III
2. Vamos determinar o vetor gradiente da função abaixo no ponto (1,3).
VETOR GRADIENTE, REGRA DA CADEIA E DERIVADA DIRECIONAL – AULA 8
CÁLCULO III
3. Vamos determinar o vetor gradiente da função abaixo no ponto (0,0).
VETOR GRADIENTE, REGRA DA CADEIA E DERIVADA DIRECIONAL – AULA 8
CÁLCULO III
4. Determine o vetor gradiente da função abaixo:
VETOR GRADIENTE, REGRA DA CADEIA E DERIVADA DIRECIONAL – AULA 8
CÁLCULO III
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO GRADIENTE
Teorema
Sejam w = f(x,y,z) uma função de classe C1 num conjunto aberto U 3 e e P = (x,y,z)  U tal que . Se S é a superfície de nível de equação f(x,y,z) = k, onde k é uma constante e a superfície de nível contém P, então
o gradiente em P é normal a S em P, ou seja, o gradiente em P é perpendicular a qualquer vetor tangente a S em P.
VETOR GRADIENTE, REGRA DA CADEIA E DERIVADA DIRECIONAL – AULA 8
CÁLCULO III
Veja:
Seja f(x,y) uma função tal que, através do ponto P(xo,yo), passa uma curva se nível Ck de f. Se grad f(xo,yo) não for nulo, então ele é perpendicular à curva Ck em (xo,yo), isto é, ele é perpendicular à reta tangente à curva Ck em (xo,yo).
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CÁLCULO III
Observação: Este teorema é válido para z = f(x,y).
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CÁLCULO III
Lema
Sejam z = f(x,y) uma função diferenciável em (x0,y0) e S o gráfico da função f(x,y). Se T é o vetor não nulo tangente a S em P0 =(x0,y0,f(x0,y0)), então existe uma curva (t), contida em S e diferenciável em t0, tal que (t0) = P0 e ´(t0) = T.
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CÁLCULO III
Estudamos na aula anterior os seguintes tópicos:
Definimos Plano tangente como:
E a reta normal foi definida da forma:
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CÁLCULO III
DEFINIÇÃO
Sejam S uma superfície de nível de equação f(x,y,z) = k, onde k é uma constante e P0 = (x0,y0,z0) um ponto de S. Se f(x,y,z) é de classe C1 num conjunto aberto U  3 tal que P0 U e é não nulo, definimos o plano tangente a S em P0 pela equação:
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CÁLCULO III
A reta normal a S em P0 poderá ser definida da forma: 
Observação: Estes conceitos são validos para z = f(x,y).
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CÁLCULO III
EXEMPLOS
1. Seja f(x,y) = x2 + y2 . Determine 
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CÁLCULO III
2. Determine a equações do plano tangente e da reta normal a superfície S de equação x2 + y2+ z2 = 8, no ponto (1,1,1).
1º Passo: Calcular o gradiente
2º Passo: Calcular o gradiente na direção (1,1,1)
3º Passo: Montar a equação do Plano tangente
4º Passo: Montar a reta normal
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CÁLCULO III
Equação: x2 + y2+ z2 = 8, no ponto (1,1,1).
1º Passo: Calcular o gradiente
2º Passo: Calcular o gradiente na direção (1,1,1)
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CÁLCULO III
Equação: x2 + y2+ z2 = 8, no ponto (1,1,1).
3º Passo:Montar a equação do Plano tangente
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CÁLCULO III
Equação: x2 + y2+ z2 = 8, no ponto (1,1,1).
4º Passo: Montar a reta normal
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CÁLCULO III
REGRA DA CADEIA 
Teorema
Regra da Cadeia para Funções Vetoriais 
 
Se é uma função vetorial diferenciável em I. Seja u uma função real diferenciavel de uma variável real t cuja imagem esta contida em I, então:
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CÁLCULO III
Agora vamos estender esse conceito para funções de várias variáveis.
Teorema
Sejam F(x,y) uma função definida num conjunto aberto U  2 e (t) = (x(t),y(t)), t  I, tal que (I)  U. 
Se (t) é diferenciável em t0 I, e f(x,y) é diferenciável em (t0) = (x0,y0), então a função composta z (t) = f((t)), t  I, é diferenciável em t0 e podemos escrever:
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CÁLCULO III
EXEMPLO 1
Dada as funções diferenciáveis 
z = f(x,y) = xy
x = x(t) → x(t) = t2 
y = y(t) → y(t) = t
Vamos calcular:
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CÁLCULO III
EXEMPLO 2
Dada as funções diferenciáveis
 
z = f(x,y) = yex + xey 
x = x(t) → x(t) = sen t
y = y(t) → y(t) = cos t
Vamos calcular: 
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CÁLCULO III
z = f(x,y) = yex + xey 
x = x(t) → x(t) = sen t 
y = y(t) → y(t) = cos t
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CÁLCULO III
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CÁLCULO III
 
Observação
 
Podemos estender a regra da cadeia para mais de duas variáveis.
 
Suponha que F(x,y,z) = f( x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)). 
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CÁLCULO III
EXEMPLO
A Temperatura de T(x,y) graus centígrados em cada ponto (x,y) de uma chapa de metal não varia com o tempo. Um inseto atravessando a chapa está em 
(x,y) = (t2 + 1, 3t) no instante t. 
A temperatura tem as seguintes propriedades: Tx(5,6) = 4 e Ty(5,6) = -2. 
Qual a taxa de variação desta temperatura em relação ao tempo no instante t = 2?
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CÁLCULO III
A temperatura em cada instante é z(t) = T(x(t),y(t)), onde x(t) = t2 + 1 e y(t) = 3t
Tx(5,6) = 4 e Ty(5,6) = -2. 
Qual a taxa de variação desta temperatura em relação ao tempo no instante t = 2?
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CÁLCULO III
DERIVADA DIRECIONAL
Objetivo
 
Generalizar o conceito de derivadas parciais para obter a taxa de variação de uma função em uma direção específica.
 
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CÁLCULO III
DERIVADA DIRECIONAL
Definição
 
 Sejam f(x,y) , P0 = (x0,y0) um ponto do domínio de f e vum vetor não nulo no plano xy. O conjunto de pontos P0 + t v,t, é a reta que contém P0 e é paralela ao vetor v A derivada direcional de f(x,y) em P0 na direção de v, denotada por fv (P0), é a taxa variação de f(x,y) na direção da reta. 
 
Geometricamente fv (P0) representa a inclinação da reta tangente a curva z= (P0 + t v). No ponto (x0,y0,f(x0,y0)). 
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CÁLCULO III
EXEMPLO
Se estamos descendo uma montanha, como determinar a inclinação desta montanha em qualquer direção?
 
Se a montanha é representada pelo gráfico da função z=f(x,y), poderemos definir a inclinação na direção:
do eixo dos x  utilizamos
do eixo dos y  utilizamos
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CÁLCULO III
Definimos assim um novo tipo de derivada denominada direcional.
Podemos então definir formalmente que:
Definição
 
Sejam aberto, uma função, e um vetor unitário. 
A derivada direcional de f no ponto P e na direção , é definida por:
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CÁLCULO III
Observação
Na definição de derivada direcional o vetor deve ser unitário. A razão disso é que se o vetor não fosse unitário a derivada direcional não dependeria somente do ponto e da direção, mas também do comprimento do vetor. 
Teorema
Se f é uma função diferencial então:
produto escalar
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CÁLCULO III
Teorema
Se f é uma função diferenciável em P tal que então o valor máximo de ocorre quando tem a direção e o sentido do vetor , sendo o valor máximo .
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CÁLCULO III
EXEMPLO 1
Calcule as derivadas direcionais de na direção do vetor 
Devemos então calcular: 
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– AULA 8
CÁLCULO III
EXEMPLO 2
Seja f(x,y,z) =
Determine a direção de maior variação de f e a taxa de maior variação da função no ponto P= (1,1,-1). 
Direção de maior variação de f em P
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CÁLCULO III
Taxa de maior variação de f em P
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CÁLCULO III
EXEMPLO 3
Determine a taxa de variação de f(x,y,z) = xyz + e2x + y no ponto P = (-1, 2, 1) na direção do vetor u = (1, 1, √2).
Inicialmente calculamos as derivadas parciais da função f.
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CÁLCULO III
RESUMINDO
Vetor Gradiente
Regra da Cadeia
Derivada Direcional
Generalizar o conceito de derivadas parciais para obter a taxa de variação de uma função em uma direção específica.
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CÁLCULO III
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CÁLCULO III
AULA 9 – MÁXIMOS E MÍNIMOS 
Conteúdo Programático
Máximos e mínimos 
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
Introdução:
 
Aplicação das funções de várias variáveis → máximos e mínimos com valores extremos de funções de duas variáveis.
Problema: 
Quais são as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume a e com a menor área de superfície possível?
Agora vamos definir este conceito funções de duas variáveis e depois para funções de várias variáveis.
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
 Definição
 
 Máximo e Mínimo Relativo
 
 Considere uma função real z = f(x,y) definida em D  2 e (x0,y0)  D.
 
 Ponto de Máximo Relativo ou local
Dizemos que é um valor de máximo relativo de , se existir uma bola aberta B de centro , tal que 
para todo (x,y) pertencente a B.
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
 Ponto de Mínimo Relativo ou local
Dizemos que é um valor de máximo relativo de , se existir uma bola aberta B de centro , tal que 
Chamamos o valor de máximo ou mínimo relativo de valor extremo relativo. O ponto onde f assume um valor extremo relativo é definido como ponto extremo relativo.
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
OBSERVAÇÃO
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Interpretação Geométrica
 
Em termos geométricos, um máximo relativo de uma função é um cume, um ponto da superfície z= f(x,y) que é mais alto do que todos os seus pontos vizinhos sobre a superfície.
 
Um mínimo relativo é o fundo de um vale, um ponto que está mais baixo do que qualquer ponto vizinho da superfície.
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Definição
 
Ponto Crítico ou Ponto Estacionário
 
Dizemos que (a,b) é um ponto crítico ou estacionário de f se (a,b) no domínio da f for ou não exista. 
(Isto é, se ). 
 
Se o ponto crítico (a,b) é um ponto interior do domínio da f, então dizemos que este é um ponto crítico interior do domínio .
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
EXEMPLO
Encontre os pontos críticos da função
O domínio da função é (x,y) . Vamos então calcular fx e fy para podermos aplicar a definição de ponto crítico.
 
fx = 3x2 -3 e fy = 3 y2 – 3. 
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Aplicando a definição: 
 
3x2 -3 = 0  3x2 = 3  x =  1
3 y2 – 3 = 0  3y2 = 3 y =  1
Portanto, os pontos críticos serão todos os pares ordenados possíveis com x =  1 e y =  1:
(1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1). 
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
OBSERVAÇÃO
Condição necessária para a existência de pontos extremantes
Z = f(x,y) ser diferenciável
Logo (x0 , y0) é um ponto crítico de f.
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Proposição
Seja z = f(x,y) uma função cujas derivadas parciais de primeira e segunda ordem são contínuas num conjunto aberto que contém (x0 ,y0 ) e suponhamos que (x0 ,y0 ) seja um ponto crítico de f. Definimos então a HESSIANA – H(x,y) como um determinante.
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Para calcularmos o(s) máximos e/ou mínimos relativos apresentaremos o teorema da segunda derivada, mas primeiro aprenderemos a calcular a Hessiana.
Definição: Seja f(x,y) de classe C2. A função H dada por 
denomina-se hessiana de f.
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
OBSERVAÇÃO
determinante da matriz
De forma mais simplificada definimos:
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
TEOREMA DA SEGUNDA DERIVADA
Teorema 
Sejam f(x,y) de classe C2 e um ponto interior do D(f). Suponhamos que (a,b) seja ponto crítico de f. Então:
Se
( ou fxx (a,b) > 0) e H(a,b) > 0 então (a,b) será ponto de mínimo local de f
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Se
e H(a,b) > 0 então (a,b) será ponto de máximo local de f.
Se H(a,b) < 0 então (a,b) não será extremante local. Nesse caso, (a,b) será ponto de sela.
Se H(a,b) = 0 nada se pode afirmar. 
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
EXEMPLO 1
Seja
Os pontos críticos de f são (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1) - calculados no exemplo anterior. 
Vamos primeiro calcular a Hessiana:
e
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
1º Passo: 
Podemos verificar que H(1,1) = 36 >0 e
Logo pelo teorema da segunda derivada, (1,1) é ponto de mínimo local. 
Note que (1,1) não é o único ponto de mínimo, existem outros menores que ele, 
por exemplo. Pois f(-3,0) < f(1,1), veremos mais adiante que este será o ponto de mínimo global.
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Logo pelo teorema da segunda derivada, (1,-1) não será extremante local. Nesse caso, será ponto de sela.
2ºPasso: 
Podemos verificar que H(1,-1) = -36 < 0 e 
3ºPasso:
Podemos verificar que H(-1,1) = -36 < 0 e 
Logo pelo teorema da segunda derivada, (-1,1) não será extremante local. Nesse caso, será ponto de sela.
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
4ºPasso:
Podemos verificar que H(-1,-1) = 36 > 0 e 
 
Logo pelo teorema da segunda derivada, (-1,1) é ponto de máximo local.
Pergunta: O que é ponto de sela ?
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Definição
Chamamos ponto sela a todo o ponto crítico que não é extremo, ou seja, a todo o ponto a tal que toda a bola (a,r), contém pontos x tais que f(x) < f(a) e outros pontos x para os quais f(x) < f(a).
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Veja a figura de uma sela de cavalo. No ponto indicado podemos descer na curva amarela ou subir na curva verde. Portanto, em uma bola (a,r) vamos ter uma curva amarela que contém pontos x tais que f(x) < f(a) e para a curva verde, outros pontos x para os quais f(x) > f(a).
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Agora vamos partir para a situação onde queremos saber quem é o maior ou o menor de todos os pontos, para isto, vamos conhecer mais algumas definições.
 
Definição: 
 
Ponto de fronteira
Um ponto (x0,y0) em A que não é um ponto interior. Denomina-se ponto de fronteira de A. 
Um ponto de fronteira de D(f) pode ser um extremante local sem que as derivadas parciais se anulem nele. Os pontos de fronteira devem ser analisados separadamente.
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
EXTREMOS ABSOLUTOS
 
Considere uma função real z = f(x,y) definida em D  2 e (x0,y0)  D.
 
Máximo Absoluto: Dizemos que f(x0,y0) é um
valor de máximo absoluto de f , se f(x0,y0), tal que , para todo (x,y) pertencente a D. 
 
Mínimo Absoluto: Dizemos que f(x0,y0) é um valor de máximo absoluto de f , se f(x0,y0), tal que , para todo (x,y) pertencente a D. 
Observação: O valor de máximo ou mínimo absoluto de f é denominado de extremo absoluto de f.
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Teorema: Existência do extremo absoluto
 
Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D não apenas seja limitado, mas também contenha todos os pontos de fronteira. Então f tem um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto.
 
Observação
 
Um extremo absoluto que seja ponto interior do domínio da função f é automaticamente um extremo relativo de f . 
 
Também pode ser observado que um extremo absoluto de f que não é extremo relativo precisa necessariamente estar em um ponto de fronteira do domínio.
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
A temperatura em uma placa de metálica é dada por T = 3x2 – 2xy + 3y2 + 2y + 5 graus Celsius, onde x e y estão em metros. A placa é circular de raio 1 e centro na origem. Supondo que a mesma é aquecida determine a maior e a menor temperatura da placa.
 
1ª Parte)Primeiro devemos encontrar as derivadas parciais Tx , Ty e os pontos críticos.
 
Tx = 6x – 2y 
Ty = -2x + 6y + 2
EXEMPLO
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Portanto, os pontos críticos serão encontrados com a resolução do sistema:
Resolvendo tal sistema encontraremos x = -1/8 e y = -3/8 
 
Agora vamos estudar esse ponto. 
 
Vamos calcular a Hessiana: 
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Podemos verificar que
 
Logo pelo teorema da segunda derivada o ponto x = -1/8 e y = -3/8 é ponto de mínimo local. 
 
Portanto a temperatura mínima no ponto x = -1/8 e y = -3/8 será aproximadamente T = 3x2 – 2xy + 3y2 + 2y + 5 = 4.625 graus.
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
2ª Parte)
Anteriormente procuramos o ponto interior.
Agora vamos procurar os pontos de fronteira da placa. A placa é uma circunferência centrada na origem ((a,b) = (0,0)) de raio um, portanto a equação que representa a placa será x2 + y2 = 1.
 
Utilizando as coordenadas polares temos:
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
A temperatura será portanto: 
T = 3x2 – 2xy + 3y2 + 2y + 5 T = 3 cos2 - 2 cos  sen  + 3 sen2 + 2 sen  + 5
 
Simplificando teremos: 
T = 3 - 2 cos  sen  + 2 sen  + 5= 8 - 2 cos  sen  + 2 sen  = 4 - cos  sen  + sen 
 
Os candidatos a máximo e mínimo da função T na fronteira da placa são os pontos correspondentes a dt/dӨ = 0 e Ө = 0.
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Podemos ainda escrever que ( 2 cos  + 1) (cos  - 1 ) = 0
 
Portanto 2cos  = -1  cos  = -1/2  = 2/3 ou  = 4/3
 
Logo cos  = 1  = 0.
 
sen 120º = sen (180º – 120º)  sen 120º = sen 60º = 0,8660
cos 120º = – cos (180º – 120º) cos 120º = – cos 60º = – 0,5000
sen 240° = -√3/2
cos 240° = -1/2
Máximos e Mínimos – AULA 9
CÁLCULO III
Quando  = 2/3 temos T = 4 - cos  sen  + sen  = (16 + 3√3)/4. 
 
Quando  = 4/3 temos T = 4 - cos  sen  + sen  = (16 - 3√3)/4. 
 
Quando  = 0 temos T = 4 - cos  sen  + sen  = 4
 
Podemos então concluir que a temperatura mínima absolutas erá em  = 4/3 
e a temperatura máxima absoluta será em  = 2/3.
Máximos e Mínimos – AULA 9
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CÁLCULO III
AULA 10 – MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Conteúdo Programático
	Método dos Multiplicadores de Lagrange
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
Inicialmente vamos considerar os seguintes problemas: 
Maximizar f(x,y) = 4 – x2 – y2
Maximizar f(x,y) = 4 – x2 – y2
Sujeito a: x + y = 2
Observem que o problema (1) pode ser resolvido através dos teoremas estudados na aula 9. Esse é um problema de otimização irrestrita. 
Agora o problema (2) apresenta uma restrição que deve ser considerada na resolução. Temos então um problema de otimização restrita.
INTRODUÇÃO
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
No problema (2) queremos encontrar o maior valor da função num subconjunto de seu domínio. 
O subconjunto do plano xy dado pela reta x + y = 2.
Em outras palavras: 
Queremos encontrar os pontos extremos de uma função f(x,y) na fronteira da região D do plano xy. 
Isso consiste em procurar os extremos da função f(x,y) para (x,y) sobre uma curva no plano xy de equação g(x,y) = 0. g(x,y) é chamada de restrição.
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
 A solução do problema (1) é chamada um ponto de máximo livre ou não-condicionado de f.
A solução do problema (2) é dita um ponto de máximo condicionado de f.
Máximo livre
Máximo condicionado
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Teorema
 
Sejam f(x,y) e g(x,y) sejam funções definidas e de classe C1 num subconjunto aberto U do plano xy que contém a curva C de equação g(x,y)=0. 
Se f(x,y) tem um valor máximo ou mínimo em (x0,y0)  c e g(x0,y0) não é o vetor nulo, então existe um número real λ tal que f(x0,y0) = λ g(x0,y0). Chamamos o número λ de multiplicador de Lagrange.
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Em outras palavras:
Se f(x,y) possui máximo ou mínimo com a restrição g(x,y) = 0 , esse máximo ou mínimo ocorre em um dos pontos críticos da função F dada por
F(x,y, λ) = f(x,y) – λg(x,y)
Como foi dito anteriormente λ (lambda) é chamada de multiplicador de Lagrange. No caso de uma função de três variáveis, a função F é dada por
F(x,y, z,λ) = f(x,y,z) – λg(x,y,z)
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
OBSERVAÇÃO
O método dos multiplicadores de Lagrange permite determinar os pontos críticos de uma função, mas não revela se esses pontos correspondem a máximos, mínimos ou a ponto de sela. Para identificar o ponto crítico é preciso recorrer a outros métodos. 
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E UMA RESTRIÇÃO
Consideremos o seguinte problema
Max f(x,y)
Sujeito a: g(x,y) = 0
Agora vamos usar as propriedades do vetor gradiente para obtermos uma visualização geométrica do método de Lagrange, que nos permite determinar os candidatos a ponto de máximo e/ou mínimo condicionados de f.
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Vamos esboçar o gráfico da g(x,y) = 0 e diversas curvas de nível f(x,y) = k da função objetivo.
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
O valor máximo de f(x,y) sobre a curva g(x,y) = 0 coincide com o maior valor de k tal que a curva f(x,y) = k intercepta a curva g(x,y) = 0. Note que isso ocorre num ponto P0. Nesse ponto, as duas curvas têm a mesma reta tangente t. 
P0
t
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Como grad f e grad g são perpendiculares à reta t, eles têm a mesma direção no ponto P0 ,isto é, 
 
grad f = λ grad g
Para algum número real λ.
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
EXEMPLO 1
Um prédio retangular deve ser construído num terreno com a forma de um triângulo, conforme a figura abaixo. Vamos terminar a área máxima possível para o prédio.
prédio
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Vamos analisar o problema num sistema de coordenadas cartesianas. 
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Podemos observar que a área do prédio é dada por A(x,y) = x.y
e que
o ponto P(x,y) deve estar sobre a reta x + 2y = 20.
Então podemos escrever o seguinte problema:
			Max xy
			Sujeito a: x + 2y = 20
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Agora vamos usar o métodos dos multiplicadores de Lagrange para resolvermos esse problema.
Vamos começar escrevendo a restrição x + 2y = 20 da seguinte forma:
X + 2y – 20 = 0
A função lagrangeana é dada por 
L(x,y,λ) = xy – λ (x + 2y – 20)
Derivando L em relação às três variáveis x, y e λ, encontraremos:
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
L(x,y,λ) = xy – λ (x + 2y – 20)
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Resolvendo o sistema, encontraremos x = 10, y = 5 e λ = 5
Observe que as dimensões do prédio que fornece um valor máximo para a sua área são x = 10 e y = 5. Portanto, 
a área do prédio A(x,y) = x.y será A = 10.5 = 50 m2.
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Observe que este raciocínio é o mesmo se fizéssemos da seguinte forma:
f(x0,y0) – λ g(x0,y0) = 0
 
f(x0,y0) = (y,x)
g(x0,y0)= (1,2)
 
y – λ = 0
x - 2λ = 0
-x – 2y + 20 = 0
  
Resolvendo este sistema encontramos x = 10, y = 5 e =5.
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
EXEMPLO 2
Determine o ponto do plano 2x + y + 3z = 6 mais próximo a origem.
A função que determina a distância é definida por
Portanto, podemos minimizar x2 + y2 + z2 do plano a origem.
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Podemos escrever esse problema da seguinte forma:
		Min x2 + y2 + z2 
		Sujeito a: 2x + y + 3z = 6
Vamos começar escrevendo a restrição 2x + y + 3z = 6 da seguinte forma: 2x + y + 3z – 6 = 0
A função lagrangeana é dada por 
L(x,y,z,λ) = x2 + y2 + z2 – λ (2x + y + 3z – 6)
Derivando L em relação às variáveis x, y, z e λ, encontraremos:
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
L(x,y,z,λ) = x2 + y2 + z2 – λ (2x + y + 3z – 6)
L(x,y,z,λ) = x2 + y2 + z2 – λ2x - λ y - 3λz + 6
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Resolvendo o sistema, encontraremos 
x = 6/7, y = 3/7, z = 9/7 e λ = 6/7
Este ponto é o ponto de mínimo.
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
OBSERVAÇÃO
 
Considerando mais de uma restrição: 
 
f(x0,y0) + λ1g1(x0,y0) + λ2g2(x0,y0) = 0
 
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
EXEMPLO 3
Determine o ponto da reta de interseção dos planos x+y + z = 2 e x + 3y + 2z = 12 que esteja mais próximo a origem.
A função que determina a distância é definida por
Portanto, podemos minimizar x2 + y2 + z2 do plano a origem.
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Podemos escrever esse problema da seguinte forma:
		Min x2 + y2 + z2 
		Sujeito a: 
				x + y + z = 2
				x + 3y + 2z = 12
Vamos começar escrevendo as restrições x + y + z = 2 e x + 3y + 2z = 12 da seguinte forma: 
x + y + z - 2 = 0
x + 3y + 2z – 12 = 0
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
A função lagrangeana é dada por 
L(x,y,z,λ,μ) = x2 + y2 + z2 - (x + y + z - 2) - ( x + 3y + 2z - 12 )
Derivando L em relação às variáveis x, y, z, λ e μ encontraremos:
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Resolvendo o sistema, encontraremos 
x = -10/3, y = 14/3, z = 2/3, =-44/3 e  =8
Este ponto é o ponto de mínimo.
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
EXEMPLO 4
O departamento de estradas está planejando construir uma área de laser para motoristas ao longo de um grande auto estrada. Ela deve ser retangular, com uma área de 5.000 m2 e cercada nos três lados não adjacentes à auto estrada. 
Qual é a quantidade mínima de cerca que será necessária para realizar o trabalho?
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Seja y o lado em vermelho e x o lado em azul.
 
Quantidade total de cerca: f(x,y) = x + 2y
Objetivo: 
 
Minimizar f sujeita à restrição de que a área deve ser de 5.000m2 , ou seja, xy = 5000.
Seja g(x,y)=xy.
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
As derivadas parciais: fx = 1, fy = 2, gx = y e gy = x 
 
Equações de Lagrange: 1 = λy , 2 = λx, e xy = 5000
 
Resolvendo encontramos
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Substituindo x = 2y em xy = 5000 teremos 2y2 = 5000, ou seja, y1 = 50 e y2 = -50. 
Portanto y = 50 e x = 100 e a quantidade mínima de cerca que será necessária para realizar o trabalho será f(100,50) = 200 m
 
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
EXEMPLO 5
Determine a menor distância da origem a superfície 
x2 + 8xy + 7y2 – 225 = 0.
A função que determina a distância é definida por
Portanto, podemos minimizar x2 + y2 com a restrição 
x2 + 8xy + 7y2 – 225 = 0.
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Aplicaremos de forma mais direta o método dos multiplicadores de Lagrange.
 
f(x0,y0) - λg(x0,y0) = 0
 
f(x,y) = (2x + 8y,8x + 14y)
 
g(x,y) = (2x,2y)
 
L(x,y) = x2 + y2 - ( x2 + 8xy + 7y2 – 225)=0
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Aplicando Lagrange encontramos:
2x – λ(2x + 8y) = 0
2y - λ(8x + 14y) = 0
-x2 – 8xy – 7y2 + 225 = 0
2x – λ2x - λ8y = 0
2y - λ8x - λ14y = 0
-x2 – 8xy – 7y2 + 225 = 0
Simplificando as duas primeiras equações encontraremos o seguinte sistema: 
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
(1 – λ)x – 4yλ = 0
– 4yλ + (1 – 7λ)y = 0
 
Resolvendo este sistema: 
 
Determinamos x = 0 e y = 0 como solução trivial, pois é um sistema homogêneo. Porém, esta solução não satisfaz a terceira equação (-x2 – 8xy – 7y2 + 225 = 0)
Portanto, o determinante dos coeficientes deve ser nulo.
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
Resolvendo este determinante encontramos
(1 - )(1 - 7) - 162 = 1 - 8 - 92   = -1 ou  = 1/9
Agora é necessário analisar o sistema considerando λ = -1 e λ = 1/9.
Após essa análise chegaremos a conclusão que o sistema apresentará as seguintes soluções:
Aplicando os pontos em f(x,y) = 25 veremos que a menor distância será
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
RESUMINDO
Método dos multiplicadores de lagrange
f(x0,y0) = λg(x0,y0).
Se f(x,y) possui máximo ou mínimo com a restrição g(x,y) = 0 , esse máximo ou mínimo ocorre em um dos pontos críticos da função F dada por
F(x,y, λ) = f(x,y) – λg(x,y)
Problemas envolvendo funções de duas variáveis e uma restrição e problemas envolvendo mais de uma restrição.
Método dos Multiplicadores de Lagrange – AULA 10
CÁLCULO III
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CÁLCULO III
AULA 1 – FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS
Conteúdo Programático
1. Introdução 
2. Aplicações
3. Definição
4. Operações com as funções vetoriais
5. Limite e Continuidade
6. Derivada
7. Curvas Parametrizadas
8. Reta Tangente
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
INTRODUÇÃO
Função vetorial → domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores
 
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS
funções vetoriais de uma variável
Função f(t), onde t é uma variável real
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
APLICAÇÃO
Movimento de uma partícula no Espaço
Podemos associar uma partícula no espaço como sendo um ponto no espaço.
Observe que o deslocamento
deste ponto em cada instante de tempo t descreverá uma curva. 
x = x(t), y = y(t) e z = z(t)
σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), definidos no intervalo I, I  , com valores em 3, t  I.
Exemplo:(t) = (t2 , cos t, t3) então x(t) = t2 , y(t) = cos t e z(t) = t3
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
APLICAÇÃO
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
 
DEFINIÇÃO
Função vetorial de uma variável real t é definida num intervalo I, onde para cada t  I associamos um vetor do espaço. 
Notação: 
Uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores é chamada função vetorial. 
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Se considerarmos um ponto P(x,y,z) qualquer no espaço, o vetor 
É chamado vetor posição do ponto P. 
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
1. Movimento de uma partícula sobre uma circunferência
EXEMPLOS
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
2. Função vetorial preço
Podemos considerar 3 produtos onde o primeiro tem preço t2 , o segundo tem preço t + 5 e o terceiro tem preço dado pela soma dos preços das duas primeiras. 
EXEMPLOS
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES VETORIAIS
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
 LIMITE E CONTINUIDADE
Definição: 
Ou seja, o limite de um vetor f(t) quando t se aproxima de t1 é definido por: 
Se os limites individuais existirem
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
1. Considere a função vetorial 
EXEMPLOS
Veja que o limite da função será determinado do seguinte modo: 
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
EXEMPLOS
2. Considere a função vetorial 
Vamos analisar o valor do limite da função quando t → 2.
Podemos usar a regra de L’Hospital para resolver esse limite
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Usando a regra de L’Hospital 
Outro modo de resolver esse limite
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
CONCLUSÃO
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
EXEMPLOS
3. Vamos calcular o 
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
CONTINUIDADE
Definição: 
A função vetorial é contínua em t  I se, e somente se x(t), y(t) e z(t) são contínuas em t.
Segundo o critério de continuidade de uma função, a função será contínua, caso o limite e a função no ponto em estudo existam e sejam iguais, isto é, 
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
EXEMPLOS
1. Vamos analisar a continuidade da vetorial dada, no ponto indicado.
Veja:
Portanto a função é contínua no ponto t = 0.
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
EXEMPLOS
2. Vamos analisar a continuidade da vetorial dada, no ponto t1 = 0.
Veja que o
 e 
Portanto a função dada não é contínua no ponto indicado.
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
DERIVADA
Definição: 
A derivada da função vetorial , t  I, é a função vetorial denotada por e definida por:
Para todo t, tal que o limite existe. 
Se a derivada da função existe em todos os pontos do intervalo I, então podemos dizer que a função é derivável em I.
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Considere a função vetorial 
Ela é derivável em um ponto t se, e somente se, as três funções escalares 
São deriváveis em t. 
Logo podemos escrever
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
EXEMPLOS
Vamos determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
EXEMPLOS
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Observação: 
A interpretação geométrica de derivada continua valendo para função vetorial, portanto será o vetor tangente à curva no ponto P.
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Determinar o vetor tangente da seguinte função, no ponto indicado.
EXEMPLO
Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t que satisfaz a curva.
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Agora calculamos a derivada.
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA DERIVADA
Considere uma partícula em movimento no espaço. Vamos supor que no tempo t, representa o vetor posição da partícula. A medida que t varia, a extremidade livre do vetor descreve a trajetória C da partícula.
Quando 
é derivável, a velocidade instantânea da
partícula é dada por
Quando 
é derivável, a aceleração da partícula é
partícula é dada por
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
CURVAS PARAMETRIZADAS
Foi visto anteriormente que um ponto P do vetor descreverá uma curva C em 3 quando for contínua para todo t no intervalo I. 
Portanto definimos a equação = (x(t),y(t),z(t)) como a parametrização da curva C e as componentes
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
são chamadas de equações paramétricas da curva C e t é chamado parâmetro.
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Observação:
Chamamos CURVA o conjunto de todos os pontos (x, y, z) determinados por estas equações. 
Exemplos
1. A equação vetorial 
Representa uma reta, cujas equações paramétricas são
x(t) = t
y(t) = t
z(t) = t
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
2. As equações paramétricas 
x = 2cost
y = 2sent
z = 3t
Representam uma curva no espaço chamada hélice circular. A equação vetorial é representada por
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Parametrização para a hélice circular - curva descrita por um ponto P = (x,y,z) que se move em torno do eixo z mantendo uma distância constante a > 0 desse eixo.
Simultaneamente o ponto P se move paralelamente ao eixo z de modo que sua terceira componente é proporcional ao ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b≠ 0. Consideramos o início do movimento em P = (0,0,0).
f(t) = (r cos , r sen , b) , 
onde   .
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
REPRESENTAÇÃO PARAMÉTRICA DE ALGUMAS CURVAS
Parametrização Natural
Será a parametrização do tipo f(t) = (t , f( t)).
Exemplo
A equação da reta y = 6x + 9 pode ser parametrizada considerando a parametrização natural → f(t) = (t ,6t+9).
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Podemos também determinar a equação cartesiana correspondente a equação paramétrica de uma curva.
Exemplo
Seja x = 3t – 4 e y = 6 – 2t . Vamos determinar a equação da reta.
Procedimento → isolar em uma das equações o parâmetro t e depois substituir na outra, ou isolar o parâmetro t em ambas e igualar as equações.
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Veja:
Agora vamos substituir (1) em y = 6 – 2t
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Parametrização de uma reta
Equação vetorial da reta → , onde v é o vetor direção, t o parâmetro real e P é um ponto que pertence a reta.
 = (vx, vy,vz)t + (x0, y0,z0), t 
 =(vxt + x0, vyt + y0, vzt + z0)
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
EXEMPLOS
Determinar uma representação paramétrica da reta
 que passa pelo ponto A(2,1,-1) na direção do vetor
 
Temos
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
EXEMPLOS
2. Determinar uma representação paramétrica da reta
 que passa pelo ponto A(2,0,1) e B(-1, 3,0).
O vetor v será dado por: v = (-1, 3,0) - (2,0,1) = (-3, 3, -1)
Portanto, o vetor r(t) = (2,0,1) + t(-3, 3,-1)
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
EXEMPLOS
3. Determinar o vetor direção da reta para a curva
Nesse caso verificamos que o ponto P = (0,0,0) e a direção v = (1,1,1).
A reta r será representada por r(t) = (1,1,1) t + (0, 0,0) 
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Parametrização da circunferência
Seja C a circunferência no plano xy de centro (a, b) e raio r, definimos a parametrização de C como:
Circunferência com centro na origem (0,0):
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
EXEMPLO
Vamos obter as equações paramétricas da circunferência x2 + y2 – 6x – 4y + 4 = 0 no plano z = 3.
Completando os quadrados da equação 
x2 + y2 – 6x + 9 – 4y + 4 = 9
x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 9
(x – 3)2 + (y – 2)2 = 9
x(t) = 3 + 3cost
y(t) = 2 + 3sent
z(t) = 3 0 ≤ t ≤ 2π
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Parametrização da ciclóide
curva plana descrita por um ponto P sobre uma circunferência quando esta gira ao longo de uma reta.
r (t) = (r ( – sen ), r (1 – cos )) , 
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Reta Tangente a trajetória de f(t) no ponto f(t0 )
Exemplo
Calcular a reta tangente para a curva
Identificando o valor do parâmetro t que satisfaz a curva observamos que o único valor é t = 1. 
Derivamos a função vetorial dada. 
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Esta função nos leva ao vetor diretor (vetor tangente a curva), ou seja, o vetor v = (3,2,1).
A reta tangente será:
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CÁLCULO III
RESUMINDO
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
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FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
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CÁLCULO III
Aula 2 – Aplicações ao Movimento e Comprimento 	 De Arco
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
Conteúdo Programático
Introdução 
Aplicações ao Movimento
Exemplos
Comprimento de Arco
5. Exemplos
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
INTRODUÇÃO
Interpretação física da derivada
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
 
Vamos considerar uma partícula em movimento no espaço (R2 ou em R3). 
Observe que quando t varia, a extremidade livre do vetor σ(t) descreve a trajetória C da partícula.
A função σ(t) é dita função posição do movimento. 
Suponhamos que a partícula esteja em P no tempo t e em Q no tempo t+Δt. Veja que Δσ = σ(t+Δt) - σ(t) representa o deslocamento da partícula de P para Q, no intervalo Δt.
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
A partir da função posição podemos falar dos conceitos físicos → vetor velocidade, velocidade escalar e vetor aceleração. 
DEFINIÇÃO 1
Considere a função posição σ(t). A sua derivada σ’(t) é chamada vetor velocidade. 
Notação: V(t) → vetor velocidade da partícula 
APLICAÇÕES AO MOVIMENTO
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Observação:
O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória no ponto em que a partícula se encontra. 
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DEFINIÇÃO 2
O comprimento do vetor velocidade,||σ’(t)||, é chamado de velocidade escala. 
Notação: v(t) → velocidade escalar
 
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
DEFINIÇÃO 3
O vetor aceleração da partícula é dado pela derivada do vetor velocidade → V’(t) ou σ’’(t)
Notação: a(t) → vetor aceleração da partícula 
 
Observação:
O vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. 
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
CONCLUSÃO
Quando 
é derivável, o vetor velocidade da
partícula é dado por
Quando 
é derivável, a aceleração da partícula é
dada por
A velocidade escalar v(t) é dada por ||σ’(t)|| v(t) = ||σ’(t)|| 
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
EXEMPLO 1
Determinar o vetor velocidade, vetor aceleração e a velocidade escalar de uma partícula que se move segundo a função abaixo:
Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. 
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Cálculo do vetor velocidade da partícula
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
Cálculo do vetor aceleração da partícula
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
Cálculo do vetor velocidade escalar da partícula
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CÁLCULO III
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
Veja que dois vetores são perpendiculares se o seu produto escalar é nulo.
Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. 
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
Portanto, o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
EXEMPLO 2
Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções
 e
Determine o ponto P onde as estradas se cruzam.
 
(b) Os carros colidem no ponto P? 
(c) Qual a velocidade que os carros chegam ao ponto de encontro? 
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções
Determine o ponto P onde as estradas se cruzam.
Primeiro devemos observar que σ1 = (t,t2) tem x(t) = t e y(t) = t2, portanto a equação cartesiana será y = x2. 
Com o raciocínio análogo σ2 = (t,7t - 10), x(t) = t e y(t) = 7x – 10, portanto a equação cartesiana será y = 7x – 10.
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
Encontramos o ponto onde as estradas se cruzam resolvendo o sistema formado por y= x2 e y= 7x -10. 
Igualando as duas equações x2 = 7x -10, e resolvendo a equação do segundo grau encontramos como raízes os números reais 5 e 2. 
Concluímos, então que temos dois pontos de encontro entre y(t) = t2 e y = 7x – 10 que são as coordenadas (5,25) e (5,4). 
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções
 e
(b) Os carros colidem no ponto P? 
Para saber se os
carros colidem, basta verificar em que tempo cada um deles passa no ponto de interseção (item a). 
Para σ1 = (t,t2) temos x(t) = t = 5 e para σ2 = (t,7t - 10), temos x(t) = t=5. Logo os carros colidem.
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções
 e 
(c) Qual a velocidade que os carros chegam ao ponto de encontro? 
Precisamos calcular a velocidade escalar
 
v(t) = || σ`(t)|| e v(t) = ’(t).
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
Para o carro A temos: 
Com t = 5 →
Para o carro B temos: 
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
COMPRIMENTO DE ARCO
Considere a curva definida por e , como a trajetória descrita por uma partícula que se move com velocidade escalar . 
v(t) = =|| σ`(t)||
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
Queremos encontrar o comprimento dessa curva quanto t varia de a até b.
DEFINIÇÃO
Seja C uma curva definida pela função vetorial σ(t), t variando no intervalos [a,b] de classe C1. 
O comprimento da curva C é definido por 
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
OBSERVAÇÃO
Se C é uma curva em R2 então podemos escrever L(C) da seguinte forma:
Se C é uma curva em R3 então podemos escrever L(C) da seguinte forma:
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EXEMPLO 1
, 
.
Cálculo da derivada da função dada.
Vamos calcular o comprimento da curva (hélice circular).
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EXEMPLO 2
Vamos calcular o comprimento da curva
Cálculo da derivada da função dada.
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EXEMPLO 3
Vamos calcular o comprimento da curva
Cálculo da derivada da função dada.
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Vamos chamar de u e derivar
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RESUMINDO
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AULA 3 – Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal 	 e Curvatura
Conteúdo Programático
1. Vetor tangente
2. Reta tangente
3. Vetor tangente unitário
4. Vetor Normal principal
5. Curvatura
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
VETOR TANGENTE é a derivada da função vetorial
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EXEMPLOS
1. Determinar o vetor tangente da seguinte função, no ponto indicado.
Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t que satisfaz a curva.
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Agora podemos calcular a derivada da f(t) no ponto t0 = -1.
2. Determinar o vetor tangente da seguinte função, no ponto indicado.
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Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t que satisfaz a curva.
Agora podemos calcular a derivada da g(t) no ponto t0 = 1.
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3. Determinar o vetor tangente da seguinte função, no ponto indicado.
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Agora podemos calcular a derivada da f(t) no ponto t0 = π.
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RETA TANGENTE
Vamos considerar P(x,y,z) um ponto de C e to um parâmetro. 
Conforme estudamos na aula 1 o vetor é tangente à curva no ponto P.
Seja C uma curva representada por
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O vetor σ’(to ) determina a reta tangente em cada ponto da curva. 
Considerando σ(to ) = P e σ’(to ) = o vetor tangente a
curva em P. A reta passa por um ponto P com direção 
Tem como equação r(t) = σ(to ) + t. σ’(to ) , t é um parâmetro real. 
Podemos escrever: 
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EXEMPLO 1
Determinar a reta tangente da seguinte função, no ponto indicado.
Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t que satisfaz a curva. Vamos considerar t0 = 1. 
Derivamos a função vetorial dada. 
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Esta função nos leva ao vetor diretor ou seja, o vetor v = (3,2,1).
A reta tangente será:
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OBSERVAÇÃO
P
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EXEMPLO 2
Determinar a reta tangente da seguinte função, no ponto indicado.
Para obter o valor de t0, correspondente ao ponto P, usamos as equações paramétricas da curva. 
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A equação da reta tangente será dada por
Podemos também escrever
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VETOR TANGENTE UNITÁRIO
Dada a curva C, desejamos encontrar, 
em cada ponto dessa curva, um vetor 
tangente à curva, que seja unitário.
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C é uma curva representada por 
r (t) = (x(t),y(t), z(t)) e vimos que o vetor r’(t) é tangente à curva C.
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DEFINIÇÃO
O vetor 
é chamado de vetor tangente unitário à curva C.
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Observação:
Quando uma partícula se move ao longo de uma curva C, o vetor T(t), sendo de comprimento constante, muda somente de direção, conforme pode ser visto na figura abaixo.
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EXEMPLO 1
Encontre o vetor T(t) a curva (t) = ( cos t, sen t), t ≥0
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