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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Aula 1- Funções vetoriais Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Conteúdo Programático desta aula Definição de função vetorial; Propriedade referente a função vetorial; Aplicação dos conceitos de Limite, Derivada e Integral de funções vetoriais; Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções vetoriais Definição. Uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja a imagem é um conjunto de vetores é chamada uma função vetorial. Uma função vetorial definida em um intervalo IR, com valores em R3, é denotado por (t) = (x(t), y(t), z(t)) , t I, onde x(t), y(t), z(t) são funções reais definidas em I Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções vetoriais: Curvas planas Uma curva plana é um conjunto C de pares ordenados de reais ( f(t), g(t) ), em que f e g são funções reais contínuas em um intervalo I. O ponto P é um ponto da curva C de coordenadas (x, y), sendo x = f(t) e y = g(t). Entenderemos de maneira intuitiva como curva, o gráfico do que definimos como curva. Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções vetoriais: Curvas espaciais Uma curva no espaço é um conjunto C de ternos ordenados de reais (f(t), g(t), h(t)), em que f, g e h são funções reais contínuas em um intervalo I. Um ponto P qualquer da curva C tem coordenadas (x, y, z) e depende do parâmetro t ; P = P(t) = ( f(t), g(t), h(t) ) As equações paramétricas de C são: Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções Vetoriais: Notas As equações paramétricas de uma curva C constituem uma parametrização de C. Também dizemos que C é uma curva parametrizada. Uma vez que C é uma curva parametrizada, podemos definir uma orientação para C que é a direção definida pelos valores crescente ou decrescente do parâmetro t , que indicamos por setas ao longo do gráfico da curva. DEFINIÇÃO. Seja D (domínio) um subconjunto de IR. Uma função vetorial de uma variável , r, com domínio D é uma correspondência que a cada número real t de D associa somente um vetor r(t) em IRm. Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções vetoriais O vetor r(t) = OP é o vetor posição de P Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções vetoriais: Exemplos Seja curva C dada pela função vetorial: r(t)=(3 + 2cos t, 1 + 2 sen t), t[0,2] Tem equações paramétricas: Fazendo cos t = (x – 3)/2 e sen t = (y - 1)/2 e substituindo na igualdade trigonométrica cos2 t + sen2 t = 1 temos ou (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4 Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções vetoriais: Exemplos Seja curva C dada pela função vetorial: F(t) = (2cos t, 2sen t, t/2) , t[0,3] . Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções vetoriais: Limite O limite de uma função vetorial para um determinado valor “a” é definido como: Uma vez que o limite da função depende dos limites individuais das funções de cada coordenada, este só existirá caso todos os limites existam. Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções vetoriais: Limite (Exemplo) Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções vetoriais: Continuidade A condição de continuidade da função vetorial é aplicada seguindo o mesmo princípio que utilizado na definição do limite, ou seja, a função vetorial é contínua se as suas funções das coordenadas forem contínuas Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções vetoriais: Derivada A clássica definição de derivada de uma função também se aplica a funções vetorais Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções vetoriais: Derivada (Propriedades) Considere as seguintes funções: Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções vetoriais: Vetor tangente vetor tangente vesor tangente Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções vetoriais: Derivada (Exemplo) Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções vetoriais: Integral A clássica definição de integral de uma função também se aplica a funções vetorais Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções vetoriais: Integral (Exemplo) Considere a função vetorial: .Determinar a integral no intervalo do [1,2]: Resolução: A integral da função vetorial é: Logo, Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Funções vetoriais Tema da Apresentação
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