Matemática Aplicada Unidade I

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Autora: Profa. Gisele Lopes Batista Pinto
Colaboradores: Prof. Roberto Macias 
 Profa. Elisângela Mônaco de Moraes
 Prof. Daniel Scodeler Raimundo
Matemática Aplicada
Professora conteudista: Gisele Lopes Batista Pinto
Gisele Lopes Batista Pinto é licenciada em matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade 
de São Paulo, com especialização em Automação e Informática Industrial pela Escola Politécnica da USP. 
Depois de um instigante e divertido período lecionando matemática no Ensino Médio e para cursos de magistério, 
em uma escola pública no estado de São Paulo, voltou-se para Tecnologia da Informação. Durante 11 anos, foi 
administradora de bancos de dados (DBA) no Departamento de Informática da Reitoria da USP e, há 5 anos, integra 
o grupo de projetos institucionais do mesmo departamento, atuando nas áreas de mídias sociais e inteligência 
corporativa. 
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
P659m Pinto, Gisele Lopes Batista 
Matemática aplicada / Gisele Lopes Batista Pinto. – São Paulo, 
2012.
96 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2-041/12 , ISSN 1517-9230
1. Matemática. 2. Matemática aplicada. 3. Teoria dos Conjuntos 
I. Título.
CDU 513
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Virgínia Bilatto
Sumário
Matemática Aplicada
APRESENTAçãO ......................................................................................................................................................7
INTRODUçãO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 TEORIA DOS CONJUNTOS ................................................................................................................................9
1.1 Subconjunto ............................................................................................................................................11
1.2 Igualdade ................................................................................................................................................ 12
1.3 Propriedades da inclusão .................................................................................................................. 13
1.4 Conjunto das partes de um conjunto .......................................................................................... 13
1.5 União (ou reunião) de conjuntos ................................................................................................... 14
1.6 Propriedades da união........................................................................................................................ 15
1.7 Intersecção de conjuntos .................................................................................................................. 16
1.8 Propriedades da intersecção ............................................................................................................ 17
1.9 Propriedades da união e da intersecção ..................................................................................... 17
1.10 Diferença de conjuntos ................................................................................................................... 18
1.11 Complementar de B em A ............................................................................................................... 19
1.12 Número de elementos nas operações com conjuntos ....................................................... 20
2 RELAçõES ......................................................................................................................................................... 24
2.1 Produto cartesiano .............................................................................................................................. 24
2.2 Número de elementos do produto cartesiano ......................................................................... 25
2.3 Relação binária ...................................................................................................................................... 25
2.4 Domínio e imagem de uma relação binária .............................................................................. 28
Unidade II
3 DEFINIçãO DE FUNçãO ................................................................................................................................ 32
3.1 Domínio – contradomínio – imagem de uma função .......................................................... 35
3.2 Gráfico de uma função ...................................................................................................................... 37
3.3 Função constante ................................................................................................................................. 39
3.4 Função linear .......................................................................................................................................... 40
3.5 Função linear afim ............................................................................................................................... 41
3.6 Função quadrática ............................................................................................................................... 41
3.7 Raízes da função .................................................................................................................................. 42
3.8 Vértices da parábola ............................................................................................................................ 43
4 APLICAçõES ..................................................................................................................................................... 47
4.1 Demanda e oferta de mercado ....................................................................................................... 47
4.2 Preço e quantidade de equilíbrio ................................................................................................... 50
4.3 Receita total ........................................................................................................................................... 50
4.4 Custo total .............................................................................................................................................. 51
4.5 Break even point ou ponto de nivelamento ou ponto crítico ........................................... 52
4.6 Lucro total ............................................................................................................................................... 52
4.7 Margem de contribuição ...................................................................................................................53
Unidade III
5 AJUSTE DE CURVAS ....................................................................................................................................... 57
5.1 Tipos de ajustes de curvas ................................................................................................................ 59
5.2 Regressão linear .................................................................................................................................... 60
5.3 Qualidade do ajuste na regressão .................................................................................................. 63
6 MEDIDAS DE DISPERSãO ............................................................................................................................. 63
6.1 Coeficiente de variação ..................................................................................................................... 64
6.2 Correlação entre variáveis ................................................................................................................ 65
6.3 Coeficiente de correlação linear..................................................................................................... 65
Unidade IV
7 CONCEITOS BáSICOS ..................................................................................................................................... 70
7.1 Fator de formação do juro ................................................................................................................ 73
7.2 Juros simples .......................................................................................................................................... 75
7.3 Juros compostos ................................................................................................................................... 75
7.4 Taxa de juros equivalentes ................................................................................................................ 77
7.5 Fluxo de caixa ........................................................................................................................................ 78
8 USANDO A CALCULADORA HP 12C ......................................................................................................... 83
8.1 Cálculo de FV ........................................................................................................................................ 84
8.2 Cálculo de PV ......................................................................................................................................... 85
8.3 Cálculo de n ............................................................................................................................................ 85
8.4 Cálculo de i ............................................................................................................................................. 85
8.5 Cálculo de juros simples .................................................................................................................... 86
8.6 Cálculo de porcentagens ................................................................................................................... 86
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APresentAção
A disciplina Matemática Aplicada faz parte do curso de Gestão da Tecnologia da Informação. O 
objetivo desta disciplina é capacitar os alunos nos conceitos teóricos e práticos da matemática à gestão. 
O livro-texto ajudará como um guia, no qual serão apresentados esses conceitos e suas aplicações, com 
exemplos e exercícios resolvidos e comentados. 
O conteúdo programático se divide em quatro unidades com dois tópicos em cada uma delas. Ao 
final de cada unidade, são propostos diversos exercícios resolvidos, além de indicações de material 
complementar não só para estudo, como curiosidades ou temas correlatos de interesse geral, baseados 
no tema da unidade apresentada.
Introdução
Não importa qual o curso que você decida fazer, uma das primeiras coisas que quase todo mundo 
faz é verificar se a matemática faz parte do programa.
E na sequência surgem as perguntas: para que serve a matemática? Por que eu preciso saber álgebra? 
Onde eu vou aplicar essas teorias? Até hoje, nunca precisei resolver uma equação algébrica, por que vou 
precisar agora?
Mas, se você começar a olhar ao seu redor e analisar com calma, vai perceber que usa a matemática 
o tempo todo e nem se deu conta! E mais, que faz isso de uma maneira simples e intuitiva. 
Sempre que temos que responder a uma questão, no fundo estamos em busca de um valor para o 
desconhecido, ou incógnita que representamos por um símbolo abstrato, isto é, estamos em busca do 
famoso X (“xis”) da questão.
Equacionar um problema, na realidade, é traduzir o problema da linguagem natural para a linguagem 
matemática, de tal forma que o seu significado se torne evidente. O desafio não está apenas na resolução 
de problemas, e sim na interpretação e tradução do problema para uma linguagem diferente da que 
usamos no dia-a-dia!
Por exemplo, quando uma empresa quer calcular quanto tempo deve manter um equipamento, 
que se desvaloriza num determinado valor em reais por ano, antes de trocá-lo por outro. Ou então, 
quer relacionar a venda de um produto com o número de vezes em que esse aparece anunciado, como 
propaganda, num determinado site da internet.
Além dos livros citados na bibliografia, sugiro uma visita ao Museu da Matemática, que fica em São 
Paulo, no bairro da Vila Mariana. 
Depois de todas essas recomendações, desafio você a digitar na busca do Google a palavra matemática. 
Com certeza, você encontrará coisas que nem imaginava que pudessem se relacionar com ela. 
Pense nisso! 
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MateMática aplicada
Unidade I
reLAções
Iniciaremos esta unidade fazendo uma revisão dos conceitos básicos da Teoria dos Conjuntos e 
aprofundaremos um pouco nosso conhecimento a respeito das relações, Diagrama de Venn, domínio e 
imagem.
1 teorIA dos Conjuntos
 Assim como em outros assuntos de matemática, também na Teoria dos Conjuntos certas noções 
são aceitas sem definição, que são chamadas de axiomas e servem como ponto inicial.
Na Geometria Euclidiana, costuma-se adotar sem definição, ou seja, são definidos os axiomas do 
ponto, da reta e do plano como axiomas iniciais para a demonstração dos teoremas.
Na Teoria dos Conjuntos, as noções consideradas primitivas, isto é, os axiomas iniciais, são os 
seguintes:
a) Conjunto: é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema.
— Exemplo: conjunto das vogais {a, e, i, o, u}.
b) Elemento: é cada item, ou objeto que entra na formação do conjunto.
— Exemplo: cada vogal é elemento do conjunto das vogais, isto é, pertence ao conjunto.
c) Pertinência entre elemento e conjunto: de um modo geral, para qualquer elemento que faz 
parte da formação de um determinado conjunto, dizemos que pertence ao referido conjunto.
— Exemplo: janeiro pertence ao conjunto dos meses de 30 dias, enquanto que março não pertence ao 
conjunto dos meses de 30 dias.
 Lembrete
Um conjunto pode ser um elemento de outro conjunto.
Exemplo: uma reta é um conjunto de pontos, e o conjunto de todas as retas de um plano é um 
exemplo de conjunto de conjuntos.
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Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula (A, B, C etc.); e um elemento com uma 
letra minúscula (a, b, c, x, y etc.). 
 Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto A, escrevemos x ∈ A, em 
que o símbolo ∈, devido a Peano, é uma versão da letra grega épsilon e está consagrada em toda a 
matemática para indicar pertinência. Para indicar que x não pertence ao conjunto A, escrevemosx ∉ A.
O símbolo | significa “tal que”.
O símbolo ∀ significa “qualquer”, ou, “para todo elemento de”.
Um conjunto pode ser representado das seguintes formas:
a) Por extensão: enumerando seus elementos entre chaves e separados por vírgula.
Exemplos:
A = {2, 4, 6, 8} → conjunto finito;
B = {1, 3, 5,...} → conjunto infinito.
b) Por compreensão: o conjunto é representado por meio de uma propriedade que caracteriza seus 
elementos, isto é, {x ∈ U | x tem a propriedade P}, que se lê: x pertence ao conjunto universo, 
tal que x tem a propriedade P.
 observação
Para obter o conjunto vazio, basta considerar o conjunto dos elementos x que 
têm uma propriedade P impossível no conjunto universo ao qual ele pertence.
Exemplos:
A = {x ∈ IN | x < 5} → conjunto dos números naturais menores que cinco.
Assim temos: A = {0, 1, 2, 3, 4}
B = { x ∈ IN | 2x + 1 = 7}, então B = {3} → conjunto unitário.
C = { x ∈ IN | x ≠ x }, portanto C = Ø → conjunto vazio.
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 Lembrete
Não confundir o conjunto unitário {a} com o elemento a. Não devemos 
escrever a = {a}, mas sim a ∈ {a}.
c) Geometricamente: um conjunto pode ser representado por uma linha fechada, e os elementos 
são representados por pontos internos ou externos à linha. A figura formada é denominada de 
Diagrama de Venn.
Exemplo:
a b
c
d
Figura 1
A = {a, b, c}, onde a ∈ A, b ∈ A, c ∈ A mas d ∉ A.
1.1 subconjunto
Um conjunto A é denominado de subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento 
de A pertence também a B.
A ⊂ B ⇔ ( ∀ x ) ( x ∈ A ⇒ x ∈ B)
 observação
 
A notação A ⊂ B significa que A é subconjunto de B ou também que A está 
contido em B ou, de forma mais simples, que A é parte de B.
a
b
Figura 2
Com a notação A ⊄ B, indicamos que A não está contido em B, ou seja, existe ao menos um 
elemento de A que não pertence a B.
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A AB
B
Figura 3
Exemplos:
• {11, 25} ⊂ {11, 25, 39, 48)
 
• {10, 20, 30} ⊄ {25, 35, 55, 75}
1.2 Igualdade 
Considere hipoteticamente dois conjuntos A e B. Dizemos que eles são iguais se todo elemento 
do conjunto A também é elemento do conjunto B e, reciprocamente, todo elemento do conjunto B 
também é elemento do conjunto A. 
A = B ⇔ ( ∀ x ) ( x ∈ A ⇔ x ∈ B )
Quando aplicamos a definição de subconjunto, afirmar que todo elemento do conjunto A pertence 
ao conjunto B, e vice-versa, é o mesmo que afirmar que o conjunto A está contido no conjunto B e que 
o conjunto B está contido no conjunto A.
A = B ⇔ ( A ⊂ B e B ⊂ A )
Teorema: o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto A.
Ø ⊂ A, (∀ A )
Demonstração:
Admitamos que a proposição seja falsa, isto é, ∅ ⊄ A. Nesse caso, existe um elemento x ∈ ∅ tal que 
x ∉ A, o que é um absurdo, pois ∅ não tem elemento algum.
Conclusão: ∅ ⊂ A não é falta, portanto, Ø ⊂ A, (∀ A ). 
Importante: a relação de pertinência é uma relação entre elementos e conjunto, e a relação de 
inclusão é uma relação entre conjuntos.
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Portanto, temos que:
• Um elemento b pertence ao conjunto {a, b}, e não que o elemento b está contido no conjunto 
{a,b}.
a ∈ {a, b} e não a ⊂ {a,b}
• O conjunto {a} está contido no conjunto {{a}, b}, e não que o conjunto {a} pertence ao 
conjunto {{a}, b}.
{a} ⊂ {{a}, b} e não {a} ∈ {{a}, b}
1.3 Propriedades da inclusão
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer contidos no mesmo conjunto universo, temos as seguintes 
propriedades:
• reflexiva: A ⊂ A; 
• transitiva: A ⊂ B e B ⊂ C ⇒ A ⊂ C; 
• antissimétrica: A ⊂ B e B ⊂ A ⇒ A = B.
1.4 Conjunto das partes de um conjunto
Para todo conjunto A, não vazio, existe um conjunto cujos elementos são subconjuntos de A.
P(A) = {x | x ⊂ A}
Exemplo: A = {3, 5, 7} 
Os subconjuntos de A são:
• sem elementos: Ø;
• com um elemento: {3}, {5}, {7};
• com dois elementos: {3, 5}, {3, 7}, {5, 7};
• com todos os elementos: {3, 5, 7}.
Temos então:
P(A) = {Ø, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}}
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Importante: o número de elementos do conjunto das partes de um conjunto de n elementos é dado 
por 2n.
Exemplo: determine quantos elementos tem o conjunto das partes de A, sabendo que A tem 4 
elementos.
Solução: 
Indicando por n[P(A)] o número de elementos de P(A), temos:
n[P(A)] = 2n então n[P(A)] = 24 = 16.
Exemplo: um conjunto formado por p+2 elementos possui 12 subconjuntos a mais do que um 
conjunto formado por p elementos. Determine p.
Solução:
2p+2 = 12 + 2p 
2p • 22 = 12 + 2p
4 • 2p - 2p = 12
3 • 2p = 12
2p = 4
Portanto, p = 2.
1.5 união (ou reunião) de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B o conjunto formado pelos elementos que 
pertencem a A ou a B.
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
O conjunto A ∪ B lê-se “A união B”. 
 Lembrete
O conectivo ou colocado entre as duas condições significa que pelo menos 
uma delas deve ser obedecida. 
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Exemplos:
• {1, 2} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}
• {-2, 3, 4} ∪ {-2, 3, 4} = {-2, 3, 4}
• Ø ∪ {1, 3, 7} = {1, 3, 7}
• Ø ∪ Ø = Ø
Em símbolos, temos: 
x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A e x ∉ B
ou
x ∈ A ∪ B ⇒ x ∉ A e x ∈ B
ou
x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A e x ∈ B
Utilizando Diagramas de Venn, temos:
A
A
B
B
A B
Figura 4
Importante: se A ⊂ B, então A ∪ B = B. 
1.6 Propriedades da união
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer contidos no mesmo conjunto universo, temos as seguintes 
propriedades:
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• A ∪ A = A
• A ∪ Ø = A
• A ∪ X = X ∪ A (comutativa)
• A ∪ ( X ∪ Y ) = ( A ∪ X ) ∪ Y (associativa)
Importante: devido à validade da propriedade associativa, podemos afirmar que:
A ∪ Z ∪ X ∪ E = ( A ∪ Z ) ∪ ( X ∪ E )
1.7 Intersecção de conjuntos
 Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B o conjunto formado pelos elementos 
que pertencem a A e a B, simultaneamente: 
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
O conjunto A ∩ B lê-se “A inter B”.
 Lembrete
O conectivo e colocado entre as duas condições significa que elas devem ser 
obedecidas ao mesmo tempo.
Utilizando Diagramas de Venn, temos:
A B
Figura 5
A ∩ B = Ø, os conjuntos A e B são chamados disjuntos.
A
A ∩ B
B
Figura 6
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BA
A ∩ B = B pois A ⊃ B
Figura 7
Exemplos:
• {2, 5, 7, 9} ∩ {1, 5, 9, 11} = {5, 9}
• { 5, 7} ∩ {6, 10} = Ø
• {6, 9} ∩ Ø = Ø
1.8 Propriedades da intersecção
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer contidos no mesmo conjunto universo, temos as seguintes 
propriedades:
• A ∩ A = A
• A ∩ Ø = Ø
• A ∩ B = B ∩ A (comutativa)
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativa)
Importante: devido à validade da propriedade associativa, podemos afirmar que:
A ∩ B ∩ C ∩ D = ( A ∩ B ) ∩ ( C ∩ D )
1.9 Propriedades da união e da intersecção
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer contidos no mesmo conjunto universo, temos as seguintes 
propriedades:
• A ∪ ( A ∩ B ) = A
• A ∩ ( A ∪ B ) = A
• A ∪ ( D ∩ E ) = ( A ∪ D )∩ ( A ∪ E ) 
• A ∩ ( X ∪ Z ) = ( A ∩ X ) ∪ ( A ∩ Z )
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1.10 diferença de conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos 
de A que não pertencem a B.
A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Utilizando Diagramas de Venn, temos:
A B
A – B (apenas a parte azul não hachurada) Obs: A ∩ B ≠ Ø
Figura 8
A B
A – B (apenas a parte azul não hachurada)
Observação: B ⊂ A
Figura 9
A B
A – B e nesse caso temos que A – B = A
Observação: A ∩ B = Ø
Figura 10
Importante:
• A operação diferença entre conjuntos não é comutativa: A – B ≠ B – A
• Se A = B, então A – B = Ø e B – A = Ø
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Exemplos:
• {a, b, c} – {b, c, d, e} = {a}
• {b, c, d, e} – {a, b, c} = {d, e}
• {a, b, c, d} – {d, c} = {a, b}
• {1, 2, 3} – {1, 2, 3} = Ø
• {5, 7, 8} – Ø = {5, 7, 8}
1.11 Complementar de B em A
Se B ⊂ A, a diferença A – B denomina-se complementar de B em relação a A e indica-se por CAB.
 observação
 CAB = A – B é o que falta para B ficar igual a A.
Usando o Diagrama de Venn, temos:
A
U
B
A
U
A
CAB
A = CAB = U – A
Figura 11
Se A é um subconjunto do conjunto universo, isto é A ⊂ U, então o conjunto CAB complementar de 
A em U também pode ser representado por A.
Se B ⊂ A e C ⊂ A, então CAB e CAC tem as seguintes propriedades:
• (CAB) ∩ B = Ø e (CAB) U B = A
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• CA Ø = A e CA A = Ø
• CA(CAB) = B
• CA(B ∩ C) = (CAB ) U (CAC)
• CA(B U C) = (CAB) ∩ (CAC)
Exemplos:
• Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 5} então CAB = {1, 3}
• Seja A conjunto dos números pares, B o conjunto dos números ímpares e Z o conjunto dos 
números inteiros, então CZA = B
• Se A = {2, 4, 6, 8} e B = {1, 4, 6} então CAB não é definido, pois B ⊄ A. 
1.12 número de elementos nas operações com conjuntos
Dados os conjuntos A e B não vazios e suas operações A U B e A ∩ B, vamos indicar por:
• n(A): número de elementos do conjunto A;
• n(B): número de elementos do conjunto B;
• n(A ∪ B): número de elementos do conjunto A ∪ BnB;
• n(A ∩ B): número de elementos do conjunto A ∩ B.
Vale a seguinte relação:
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
Exemplos:
1) Se um conjunto A tem 10 elementos, n(A ∩ B) = 3 e n(A U B) = 16, quantos elementos tem o 
conjunto B?
Solução:
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
16 = 10 + n(B) – 3 e então n(B) = 16 – 10 + 3 = 9 elementos.
2) Um sistema de informação tem dois módulos, um de RH e outro financeiro, com um total de 
1.400 usuários. O módulo de RH tem 600 usuários, e 400 usuários pertencem aos dois módulos.
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MateMática aplicada
Pergunta-se:
a) Quantos usuários pertencem exclusivamente ao módulo de RH?
b) Quantos usuários pertencem ao módulo financeiro?
c) Quantos usuários pertencem exclusivamente ao módulo financeiro?
Solução:
Temos: n(A U B) = 1.400 usuários e n(A) = 600 usuários.
a) Usuários exclusivos do módulo de RH:
400
x
Figura 12
n(A) = x+ 400 = 600, portanto x = 200 usuários (azul sem hachuras). 
b) Usuários do módulo financeiro:
400
200
Figura 13
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Então, temos: 1.400 = 600 + n(B) – 400
Portanto, n(B) = 1.200 usuários.
c) Usuários exclusivos do módulo financeiro:
400
Figura 14
y = 1.400 – 600 = 800 usuários (azul sem hachuras).
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3) Em uma pesquisa sobre dois produtos A e B, sabe-se que: 
• 100 pessoas compraram os dos dois produtos;
• 170 pessoas compraram o produto A;
• 100 pessoas compraram apenas um dos produtos;
• 95 pessoas não compraram nenhum dos dois produtos.
Qual o número de pessoas que participaram da pesquisa?
Solução:
U
A
170 – 100 = 70 100 – 70 = 30100
95 não compraram nenhum dos produtos
B
Figura 15
Analisando o digrama, concluímos que:
• 70 pessoas compraram apenas o produto A;
• 30 pessoas compraram apenas o produto B;
• 100 pessoas compraram os dois produtos;
• 95 não compraram nenhum produto.
Portanto, 70 + 30 + 100 + 95 = 295 pessoas participaram da pesquisa.
Importante: aplicando o mesmo raciocínio da união de A com B aos conjuntos A, 
B e C, chegaremos à expressão:
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n (B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Exemplo:
Feita uma pesquisa sobre a preferência dos leitores, essa revelou que dos 500 entrevistados:
• 235 preferem o jornal X;
• 245 preferem o jornal Y;
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MateMática aplicada
• 250 preferem o jornal Z;
• 130 preferem os jornais X e Y;
• 60 preferem os jornais X e Z;
• 120 preferem os jornais Y e Z;
• 30 não preferem nenhum desses jornais.
Pergunta-se:
a) Quantos leitores preferem os três jornais?
b) Quantos preferem exclusivamente cada um dos jornais?
Solução:
a) Esquematizando na forma de diagrama, temos:
U
X
95
80
50
70
120
45
10
Z
Y
Figura 16
Pelo diagrama, n(X ∩ Y ∩Z) = 50
Portanto, 50 leitores preferem os três jornais.
b) x = n(X) – 10 – 50 – 80= 235 – 10 – 50 – 80 = 95
Portanto, 95 leitores preferem exclusivamente o jornal X.
y = n(Y) – 80 – 50 – 70 = 245 – 80 – 50 – 70 = 45
Portanto, 45 leitores preferem exclusivamente o jornal Y
z = n(Z) – 10 – 50 – 70 = 250 – 10 – 50 – 70 = 120
Portanto, 120 leitores preferem exclusivamente o jornal Z.
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2 reLAções 
2.1 Produto cartesiano
Considere A e B dois conjuntos não vazios. O produto cartesiano do conjunto A pelo conjunto B é 
denominado conjunto A cartesiano B, e simbolizamos como AxB, cujos elementos são todos os pares 
ordenados (x, y) em que o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo elemento pertence 
ao conjunto B.
AxB = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}
Importante:
• Se A = Ø ou B = Ø, então AxB = Ø
• AxA pode ser indicado como A²
• Se A ≠ B então AxB ≠ BxA
Exemplos:
1) Se A = {10,30} e B = {20,40} temos:
AxB = {(10,20), (10,40), (30,20), (30,40)}
40
20
10 30
(10,40)
(10,20)
(30,40)
(30,20)
x
y
Figura 17
BxA = {(20,10), (20,30), (40,10), (40,30)}
30
10
20 40
(20,30)
(20,10)
(40,30)
(40,10)
x
y
Figura 18
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MateMática aplicada
2) Se A = {x ∈ |R | 1 ≤ x ≤ 5} e B = {y ∈ |R | 2 ≤ y ≤ 4}, temos que:
AxB = {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B} é representado graficamente pelo conjunto dos pontos de um retângulo.
4
2
1 5 x
y
Figura 19
2.2 número de elementos do produto cartesiano
Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente, então AxB é um conjunto 
finito com m • n elementos. 
n(AxB) = n(A) • n(B)
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A = {2, 3} e B = {0, 1, 3, 5, 7}, quantos elementos tem o conjunto AxB?
Solução:
Temos: n(A) = 2 e n(B) = 5 então n(AxB) = 2 • 5 = 10 elementos.
2) Se o conjunto A tem x+4 elementos, e o conjunto B tem 8 elementos, determine o valor de x 
para que AxB tenha 56 elementos.Solução:
n(A) • n(B) = n(AxB) → (x+4) • 8 = 56 → 8x + 32 = 56 → 8x = 24
Portanto x = 3
2.3 relação binária
Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3 ,4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. O produto cartesiano de 
A por B é o conjunto AxB = {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B} formado por n(A) • n(B) = 4 • 8 = 32 elementos 
representados na figura a seguir:
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8
7
6
5
4
3
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1 2 3 4 x
y
Figura 20
 Vamos considerar o conjunto dos pares (x,y) do conjunto do produto cartesiano AxB, tais que y é 
o dobro de x, de modo que C = {(x,y) ∈ AxB | y = 2x} = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}. 
O conjunto C é uma relação entre os elementos do conjunto A com os elementos do conjunto B, ou 
simplesmente, uma relação de A em B. 
 
O conjunto C está contido em AxB e é formado por pares (x,y) em que o elemento x ∈ A é associado 
a elemento y ∈ B mediante um certo critério de relacionamento ou correspondência. 
Podemos representar de modo mais claro essa correspondência ou associação pelo diagrama de 
flechas, conforme a figura a seguir: 
A B
1 •
• 1
• 2
• 3
• 4
• 6
• 8
• 5
• 7
2 •
3 •
4 •
Figura 21
Podemos, então, definir essa relação da seguinte forma:
• Relação binária é todo subconjunto de AxB, sendo A e B não vazios.
• C é relação binária de A em B ⇔ C ⊂ AxB.
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MateMática aplicada
 Lembrete
Se, eventualmente, os conjuntos A e B forem iguais, todo subconjunto de 
AxA é chamado relação binária em A.
Nomenclatura:
• A = conjunto de partida da relação binária.
• B = conjunto de chegada (ou contradomínio) da relação binária.
Exemplos:
1) Se A = {11, 22, 55, 77} e B = {0, 20, 40, 60}, quais são os elementos da relação binária C = {(x,y) 
| x < y} de A em B?
Solução:
Os elementos dessa relação binária são todos os pares ordenados de AxB nos quais o primeiro 
elemento é menor que o segundo, isto é, são os pares formados pela associação de cada elemento 
x ∈ A com cada elemento y ∈ B, tal que x < y.
C = {(11,20), (11,40), (11,60), (22,40), (22,60), (55,60)}
2) Sejam os conjuntos A = {2, 4, 6} e B = {0, 2, 6, 8}, e seja a relação R = {(x,y) ∈ AxB | x-y = 4}. 
a) Quais são os elementos da relação? 
b) Represente essa relação nas seguintes formas:
— diagrama de flechas;
— plano cartesiano.
Solução:
a) R = {(4,0), (6,2)}
b) Diagrama de flechas: c) Plano Cartesiano
A B • 0
• 
• 
• 2
• 6
• 8
2 •
4 •
6 •
2
0 4 6 x
y
Figura 22 Figura 23
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 saiba mais
Para treinar o raciocínio lógico com uso da Teoria dos conjuntos, 
recomendo a leitura do livro Como desenvolver o raciocínio lógico - soluções 
criativas na Teoria dos Conjuntos, dos professores Kléber Albanêz Rangel e Vera 
Syme Jacob Benzecry, pela Editora LTC.
2.4 domínio e imagem de uma relação binária
Seja R uma relação binária de A em B. Chama-se domínio de R o conjunto D de todos os primeiros 
elementos dos pares ordenados pertencentes a R. Chama-se imagem de R o conjunto Im de todos os 
segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R. 
Importante: D ⊂ A e Im ⊂ B.
Exemplo: 
1) O gráfico a seguir representa uma relação de A em B. Determine o domínio e a imagem dessa 
relação.
0
R
1-2
-2
3
x
y
Figura 24
Solução:
Observando o gráfico, temos:
D(R) = {x ∈ R | -2 ≤ x ≤ 1} e Im(R) = {y ∈R | 0 ≤ y ≤ 3}
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MateMática aplicada
 saiba mais
Para saber sobre a teoria axiomática e a teoria dos conjuntos difusa, 
recomendo o livro Teoria unificada dos conjuntos, dos autores Nelson Hein 
e Fabio Dadam, pela Editora Moderna.
 resumo
Nesta unidade, nós apresentamos os fundamentos da Teoria dos 
Conjuntos. É importante ressaltar que essa teoria foi elaborada pelo 
matemático russo de origem alemã, George Ferdinand Ludwig Philipp 
Cantor, mais conhecido como George Cantor. 
Uma das aplicações pode ser vista nas definições do modelo de dados 
relacional, que tem como base os conceitos de entidade (tabela) e relação. 
Na construção da tabela, identificam-se os dados (registros da tabela). A 
relação determina o modo como cada registro de cada tabela se associa a 
registros de outras tabelas. 
Todos os dados (registros das tabelas) são representados como relações 
matemáticas, e as operações são baseadas na lógica e na teoria dos 
conjuntos. 
 exercícios
Questão 1 (ENADE-matemática/2008-adaptada). O conjunto dos números racionais é denotado 
por Q x x
a
b
a Z b Z= = ∧ ∈ ∧ ∈{ : *} . Há uma classe de números que possui infinitas casas decimais não 
periódicas: são os chamados números irracionais cujo conjunto é simbolizado por ℜ - Q. Da união dos 
números racionais com os números irracionais obtém-se o conjunto dos números reais ℜ - Q ∪ (ℜ - Q). 
Para cada número real x, considere o conjunto Cx formado por todos os números obtidos somando-se a 
x um número racional, isto é, Cx = (x + r:r ∈ ∅}. Sob essas condições, conclui-se que:
A) O número p pertence ao conjunto C1.
B) O conjunto C4 ∩ C3 possui um único elemento.
C) O número 2 pertence ao conjunto C 3 .
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D) Os conjuntos C3 e C1/3 são iguais.
E) O número zero pertence ao conjunto Cp ∪ C-p .
Resposta correta: alternativa D.
Análise das alternativas:
Sabendo que o conjunto Cx é dado por Cx = {x + r/r ∈ Q}, podemos analisar as alternativas.
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: como “racional + racional é racional”, p não pertence ao conjunto C1 = {1 + r/r ∈ Q}.
B) Alternativa incorreta. 
Justificativa: C4 = {4 + r/r ∈ Q}, r = 1 gera 5; r = 2 gera 6.
 C5 = {5 + r/r ∈ Q}, r = 0 gera 5; r = 1 gera 6.
Veja que já temos dois elementos (5 e 6) comuns.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: C r r Q mais racional3 3 3= + ∈{ / };" " nunca resultará 2 .
D) Alternativa correta.
Justificativa: C r r Q e C r r Q3 1
3
3 13= + ∈ = + ∈{ / } { / } . Podemos fazer:
3
1
3
8
31 2 1 2
+ = + = −r r ou r r . Assim, sempre haverá racionais r1 e r2 tais que r r1 2
8
3
= − .
 E) Alternativa incorreta.
Justificativa: o número zero não pertence aos conjuntos, pois não podemos ter p - p ou -p + p, já 
que a segunda parcela tem de ser um número racional.
Questão 2 (ENEM/2011-adaptada). As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, 
podem ser compradas por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com a época 
de produção. Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$1,75 o 
quilograma. Dos gráficos a seguir, o que representa a relação entre o preço m pago em reais pela compra 
de n quilogramas desse produto é:
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m
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n
n
n
n
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1
1
1
1
a)
c)
e)
b)
d)
1,75
1,75
1,75
1,75
1,75
Resolução desta questão na plataforma.