Matemática para computação - Texto Unidade I

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Autora: Profa. Karina de Oliveira
Colaboradores: Prof. Luciano Soares de Souza
 Profa. Ana Carolina Bueno Borges
Matemática para 
Computação
Professora conteudista: Karina de Oliveira
Pós-doutorado em Química pela Universidade de São Paulo (USP), com o tema Técnicas Computacionais de Redes 
Neurais Aplicadas em Plantas. Doutorado e mestrado na área de Física de Materiais pela mesma universidade; graduada 
em Física pela Universidade de São Paulo (USP).
Professora da UNIP desde 2012, lecionando as disciplinas de Estatística, Cálculo 1, Matemática Aplicada e Biofísica.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
O48m Oliveira, Karina de.
Matemática para computação. / Karina de Oliveira. – São Paulo: 
Editora Sol, 2020.
 212 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ISSN 1517-9230.
1. Conjuntos. 2. Funções. 3. Equações lineares. I. Título.
CDU 51
U505.13 – 20
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Andréia Andrade
 Amanda Casale
Sumário
Matemática para Computação
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 CONJUNTOS ..........................................................................................................................................................9
1.1 Teoria dos Conjuntos .............................................................................................................................9
1.2 Propriedades dos conjuntos ..............................................................................................................11
1.3 Operações entre conjuntos ...............................................................................................................11
1.4 Operações fundamentais entre conjuntos ................................................................................. 12
2 RELAÇÕES E FUNÇÕES .................................................................................................................................. 16
2.1 Polinômios e produtos notáveis ..................................................................................................... 20
2.2 Fatoração ................................................................................................................................................. 23
Unidade II
3 FUNÇÕES ............................................................................................................................................................ 32
3.1 Simetrias: translação, rotação e reflexão ................................................................................... 34
3.2 Função afim ............................................................................................................................................ 36
3.3 Variação do sinal da função............................................................................................................. 41
3.4 Função quadrática ............................................................................................................................... 49
4 FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA .............................................................................................. 67
4.1 Propriedades das funções exponenciais ..................................................................................... 70
4.2 Equações exponenciais ...................................................................................................................... 72
4.3 Logaritmos .............................................................................................................................................. 80
4.4 Propriedades dos logaritmos ........................................................................................................... 82
4.5 Propriedades operacionais dos logaritmos ................................................................................ 84
4.6 Função logarítmica .............................................................................................................................. 84
4.7 Equação logarítmica ........................................................................................................................... 86
Unidade III
5 EQUAÇÕES LINEARES .................................................................................................................................... 98
5.1 Sistema de equações lineares.......................................................................................................... 98
5.2 Método da Substituição ..................................................................................................................101
5.3 Método da Adição ou do Cancelamento ..................................................................................103
6 MATRIZES E VETORES ..................................................................................................................................109
6.1 Propriedades das matrizes ...............................................................................................................111
6.2 Operações com matrizes ................................................................................................................. 112
6.3 O conceito de determinante .......................................................................................................... 119
6.4 Solução da equação matricial para sistemas ..........................................................................120
6.5 Resolução de um sistema linear ..................................................................................................121
6.6 Aplicações do determinante em sistemas lineares ...............................................................122
6.7 Sistema linear homogêneo ............................................................................................................124
6.8 Cofatores ................................................................................................................................................125
6.9 Teorema de Laplace ...........................................................................................................................126
6.10 Propriedades dos determinantes: simplificação de cálculos envolvendo 
matrizes .........................................................................................................................................................126
6.11 Vetores ..................................................................................................................................................128
6.12 Representaçãode um vetor ........................................................................................................130
6.13 Sistema cartesiano de coordenadas.........................................................................................130
6.14 Igualdade de vetores .....................................................................................................................132
6.15 Soma de vetores ...............................................................................................................................133
6.16 Multiplicação de um vetor por um escalar ...........................................................................135
Unidade IV
7 TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS .....................................................................................145
7.1 Trigonometria ......................................................................................................................................145
7.2 A circunferência trigonométrica ................................................................................................146
7.3 Medida e comprimento de arcos .................................................................................................146
7.4 Ângulos e suas unidades .................................................................................................................147
7.5 Trigonometria no triângulo retângulo .....................................................................................149
7.6 Teorema de Pitágoras e outras relações métricas .................................................................152
7.7 Extensões dos conceitos de seno e cosseno ............................................................................157
7.8 Variação dos sinais do seno e do cosseno ................................................................................158
7.9 Relação Fundamental da Trigonometria...................................................................................164
7.10 Lei dos Cossenos ...............................................................................................................................167
7.11 Lei dos Senos ......................................................................................................................................170
8 NÚMEROS COMPLEXOS ............................................................................................................................174
8.1 Formulação matemática dos números complexos ..............................................................176
8.2 Forma algébrica dos números complexos ................................................................................176
8.2.1 Igualdade entre dois números complexos ................................................................................. 177
8.2.2 Conjugado e propriedades de um número complexo .......................................................... 178
8.2.3 Representação geométrica e forma cartesiana dos números complexos .................... 182
8.2.4 Módulo de um número complexo ................................................................................................ 186
8.2.5 Argumento de um número complexo ......................................................................................... 187
8.2.6 Forma trigonométrica dos números complexos .................................................................... 190
8.2.7 Multiplicação, divisão e potenciação de dois números complexos na 
forma trigonométrica ................................................................................................................................... 194
7
APRESENTAÇÃO
O objetivo da disciplina Matemática para Computação é fazer o aluno familiarizar-se com alguns 
conceitos básicos de Matemática e com a simbologia envolvida, bem como capacitá-lo a desenvolver 
um raciocínio lógico que possibilitará ampliar seus horizontes.
Também se tem como proposta fazer o aluno, por meio de estratégias elaboradas, perceber o 
sentido e atribuir significados às ideias matemáticas que serão transmitidas, além de ser capaz de fazer 
associações, generalizações, análise, bem como de estabelecer conexões e desenvolver suas próprias 
ideias a partir do conteúdo ensinado.
Em suma, o aluno deverá desenvolver conceitos que o auxiliem no uso de tecnologias ligadas à 
Matemática, como Informática, e ao uso de materiais, como calculadoras etc., e o torne apto a interpretar 
e resolver problemas.
INTRODUÇÃO
Vivemos em um mundo globalizado e altamente tecnológico, em que todos, de alguma forma, 
estão conectados. Todas as áreas do conhecimento estão em constante evolução; o que parecia ser 
impossível resolver algum tempo atrás hoje é facilmente solucionado. Novos materiais e instrumentos 
foram criados, o que gerou uma reformulação total de ideias, conceitos e teorias; enfim, uma nova 
maneira de ver a ciência e suas aplicações nos diversos setores da sociedade.
Fundamental nesse processo é a utilização de computadores, que possibilitam novas maneiras 
de estudar e entender experiências que envolvam grande número de dados de forma precisa, com 
aplicações importantes no dia a dia das pessoas.
No ramo da Matemática, o uso intensivo de recursos computacionais é ainda mais impactante. 
Trajetórias planetárias, mapas climáticos, órbitas de satélites e aplicações em áreas como Biologia, 
Medicina, processos industriais, Astrofísica e mineração e exploração de petróleo são determinados com 
o uso da Matemática associada à Computação.
A disciplina Matemática para Computação, portanto, possibilita, por meio de suas ferramentas, 
modelos matemáticos que podem ser utilizados em várias áreas do conhecimento. Assim, 
para o entendimento dessa disciplina, conceitos como conjuntos, funções, matrizes, resolução 
de equações e números complexos devem ser conhecidos pelo aluno, para que obtenha uma 
informação sólida e significativa.
Vamos introduzir todos esses conceitos mostrando suas aplicações práticas, ou seja, sempre 
associando as ideias introduzidas a exemplos do cotidiano, para facilitar e consolidar o entendimento 
do leitor.
8
 Observação
Ciência da Computação e Matemática Computacional – apesar de as 
duas ciências apresentarem disciplinas em comum, a Ciência da Computação 
está mais associada à elaboração de algoritmos, ao desenvolvimento de 
softwares, à análise de dados etc. Já a Matemática Computacional busca 
utilizar os recursos da Matemática e da Computação para elaborar projetos 
científicos ou que exijam uma análise mais significativa de resultados.
9
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Unidade I
1 CONJUNTOS
1.1 Teoria dos Conjuntos
A Teoria dos Conjuntos representa uma parte importante da Matemática e também é útil em diversos 
ramos da ciência, como Teoria dos Números, Banco de Dados e Linguagem Formal. Para entendermos 
esse conceito, precisamos definir os três elementos básicos da Teoria dos Conjuntos: elemento, conjunto 
e pertinência. Para isso, vamos pensar em termos futebolísticos; por exemplo, a seleção brasileira é 
formada por 11 jogadores; cada um desses jogadores é um elemento do conjunto formado pelos 
jogadores da seleção e, portanto, cada um deles pertence a esse conjunto.
Para denotarmos um conjunto, utilizamos letras maiúsculas do nosso alfabeto, e as representações 
de seus elementos podem ser feitas por meio de listagens, relações de pertinência e propriedades.
Tomemos, por exemplo, uma representação feita por listagens; para tanto, vamos considerar o 
conjunto das cores da bandeira brasileira:
A = {verde, amarelo, azul, branco}.
Note que os elementos estão envolvidos por um par de chaves e separados por vírgulas.
No caso das relações de pertinência, ou seja, quando queremos afirmar que um elemento x pertence a um 
conjunto A qualquer, utilizamos o símbolo, ∈ ou seja, x ∈ A. Se o elemento não pertencer, usaremos o símbolo ∉.
Exemplo:
Consideremos o conjunto das vogais do nosso alfabeto:
A = {a, e, i, o, u}.Dizemos que a vogal a ∈ ao conjunto formado pelas vogais do alfabeto, ou seja:
a ∈ A
No caso de querermos descrever um elemento de um conjunto muito grande, ou seja, com uma 
infinidade de elementos, a forma mais adequada é utilizar a representação que descreve a propriedade 
desse conjunto. Por exemplo, um elemento x pertencente ao conjunto B dos números de 1 a 1000 pode 
ser representado por:
10
Unidade I
B = {x│| x ∈ B}
Os conjuntos também podem ser representados por meio do Diagrama de Venn, conforme o exemplo 
a seguir:
A = {1, 2, 3, 4, 5}. 
2
5
41
3
Figura 1– Representação do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}
Se possuir apenas um elemento, denominaremos esse conjunto de unitário; e, se não tiver nenhum 
elemento, conjunto vazio, representado pelo símbolo . Por exemplo, o conjunto T de todos os 
dinossauros T. rex existentes no mundo moderno é descrito como: T = {}.
Definido como os conjuntos são representados, passamos agora a descrever os principais conjuntos 
numéricos existentes. Vamos começar pelo conjunto dos números naturais, simbolizado pela letra N 
maiúscula. Esse conjunto é constituído por todos os números inteiros positivos, incluindo o zero:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}.
Outro conjunto a ser descrito é o dos números inteiros, representado pela letra maiúscula Z. 
Pertencem ao conjunto dos números inteiros os números negativos e os números naturais:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}.
Como a divisão nem sempre é possível entre os elementos pertencentes ao conjunto dos números 
inteiros, por exemplo, o quociente -1:2 não existe; dentro desse conjunto, houve a necessidade de criar 
um novo, que pudesse representar essa divisão. Este é chamado de conjunto dos números racionais e é 
representado pela letra maiúscula Q:
Q
a
b
a Zeb Z= 




| .*∫ ∫
Exemplo: o número 2,7 é racional, pois pode ser representado como a razão entre dois quocientes 
inteiros: 
27
10
.
Outro conjunto importante é aquele que representa os números decimais que possuem dízimas não 
periódicas, ou seja, que apresentam infinitas casas decimais e não periódicas. Esse conjunto é chamado 
11
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
de irracional, e é representado pela letra maiúscula I. O exemplo clássico de um número irracional é o 
representado pela letra grega π:
π = 3, 14159265358979323846264338327950...
O conjunto dos números reais representado pela letra maiúscula R engloba todos os números, 
racionais e irracionais, positivos ou negativos, finitos ou infinitos: 
R = {x|x é número racional ou irracional}.
R* = {x|x é número real diferente de zero}.
 Observação
É interessante observar que, no caso dos conjuntos, a ordem dos 
elementos que pertencem a eles não tem importância; o mesmo ocorrerá 
se os elementos se repetirem. A repetição é totalmente irrelevante; os 
números serão considerados somente uma vez.
1.2 Propriedades dos conjuntos
Igualdade de conjuntos – dois conjuntos serão iguais se todo elemento de A também ∈ a B.
Desigualdade de conjuntos – dois conjuntos serão diferentes se existir um elemento de A que não 
pertença a B ou se existir um elemento de B que não pertença a A.
Subconjuntos – o conjunto A será considerado um subconjunto de B se, e somente se, todo elemento 
de A for também um elemento de B.
Consideremos três conjuntos: A = {2, 4, 6, 8}, B = {7, 9} e C = {7, 9, 15, 20}. Podemos afirmar que 
os conjuntos B e C não estão contidos em A, que o elemento 7 não pertence a A e que o elemento 2 
pertence a A. 
1.3 Operações entre conjuntos
União – considerando que A e B são conjuntos, a união de A com B é chamada A B∪ , ou seja, o 
conjunto formado pelos elementos de A, de B ou de ambos. Na linguagem simbólica:
A B x A x B∪ = ∀ ∈ ∀ ∈,
Exemplo: seja A = {2, 4, 6, 8} e B = {1,3}; então, A B∪ = {1, 3, 2, 4, 6, 8}. 
12
Unidade I
Intersecção – a intersecção de dois conjuntos A e B é descrita por A B∩ e é formada pelos 
elementos que pertencem tanto a A quanto a B, simultaneamente, ou seja:
A B x x A ex B∩ = ∀ ∈ ∈,
Exemplo: seja A = {2, 4, 6, 8} e B = {2,4}; então, A B∩ = {2, 4}. 
Diferença entre dois conjuntos – se A e B são dois conjuntos, então a diferença A - B é o conjunto 
de elementos que estão em A, mas não em B. Por exemplo: 
A = {2, 4, 6, 8} e B = {2,4}; então, A - B = {6, 8}
1.4 Operações fundamentais entre conjuntos
Existem quatro operações fundamentais que serão descritas a seguir: adição, subtração, multiplicação 
e divisão. 
Na adição, cada número a ser adicionado é chamado de parcela, e o resultado da adição é a soma; 
por exemplo:
2+2=4
Na subtração, as regras a serem aplicadas são as mesmas da adição Os números a serem subtraídos 
são chamados de subtraendo, e o resultado é o minuendo. Portanto, basta trocar o sinal de mais por 
menos e efetuar o cálculo:
2-2=0
Na multiplicação, cada número a ser multiplicado é chamado de fator, e o resultado é denominado 
produto:
2x2=4
Na divisão, por sua vez, cada número tem uma denominação diferente; o número que está sendo 
dividido é chamado de dividendo, e o número que divide é o divisor: 
2
2
1=
13
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
 Observação
É importante lembrar que, na multiplicação e na adição, a ordem dos 
fatores não altera o resultado; porém, na subtração e na divisão, essa ordem 
é extremamente importante.
Vale lembrar aqui os conceitos de potenciação e radiciação, que são fundamentais nos cálculos 
computacionais.
No caso da potenciação, temos a seguinte definição: sendo a um número real e n um número inteiro:
a a a a a an = × × × ×…
a0 = 1
a1 = a
a
a
n
n
− = 



1
Exemplos:
−( ) −( )× −( ) × −( ) = −=2 2 2 2 83
50 = 1
2
1
2
1
8
3
3
− = 



=
As potências apresentam as seguintes propriedades:
1) a a an m m n× = +
2) 
a
a
a
m
n
m n= −
3) a an
m n m( ) = ×
4) ab a xbm m m( ) =
14
Unidade I
5) 
a
b
a
b
n n
n




=
Exemplo:
5 5 5
3 3 3 1
2 3 5
2 2 0:
x =
= =
No caso da radiciação, temos a seguinte definição: sendo a um número não negativo e n um inteiro 
positivo:
a b b an n= → =
Exemplos:
9 32 =
0 01 =
Vamos dar mais exemplos para facilitar o que acabamos de introduzir:
a) (-1)20
A base é (-1), e o expoente 20, um número par positivo; assim, qualquer base, sendo ela negativa ou 
positiva elevada a uma potência par, tem como resultado um valor sempre positivo. 
∴ −( ) =1 120
b) (0)28
Toda base de valor zero elevada a qualquer potência é sempre nula.
(0)28 = 0 
c)
 
3
5
2



−
Quando aparece um número negativo como expoente, a base deve ser invertida, o que significa 
trocar o valor do numerador pelo valor do denominador, e vice-versa, e positivar o expoente, ou seja:
5
3
25
9
2



=
15
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
d) 
2 4
4
3 2 2 3 2 6 6 3
3 2
8 3 1ab
c
a c
b
a b a c
b c
a b c








==.
Vamos resolver mais alguns exemplos:
Calcular o valor da expressão
E = + + 



−
16 8
1
32
0 5
1
3
0 2
,
,
Solução:
E pode ser escrito como:
E = ( ) + ( ) + ( )− −2 2 24 0 5 3
1
3 5
0 2, ,
Pela propriedade das potências, temos:
2 2 2 44
0 5 4 0 5 2( ) = = =, . ,
2 2 23
1
3
3
1
3( ) = =.
2 2 25
0 2 5 0 2− −( ) = =, . ,
Assim:
E = + + =4 2 2 8
2) Calcular o valor de:
A = 



− 



+ −



− − −2
3
1
2
1
4
2 1 2
Solução:
A = 



− 



+ −



− − −2
3
1
2
1
4
2 1 2
A = 



− ( ) + −( )− −32 2 4
2
1 1 2
16
Unidade I
A = − +9
4
2 16
A = − +3
2
2 16
A = + =3
2
14
31
2
3) Calcule o valor de:
E = + 



+ ( )8 1
9
16
1
3
1
2 1
4
Solução:
E = + 



+ ( )8 1
9
16
1
3
1
2 1
4
E = + + ( )2 19 23
3 2 4
1
4
E = + + = + =2 1
3
2 4
1
3
13
3
2 RELAÇÕES E FUNÇÕES
Um dos conceitos mais importantes que temos em termos matemáticos é o de função. Para 
entendê-lo melhor, devemos começar nosso estudo a partir da ideia de conjuntos. Assim, considerando 
dois conjuntos, A e B, diferentes de vazio, denominamos produto cartesiano de A e B, representado por 
A x B, o conjuntocujos elementos são os pares ordenados (x, y), tais que x ∈ A e y ∈ B. No que se refere 
à representação de conjuntos já aprendida anteriormente, temos: 
A x B= x y x A ey B,( ) ∈ ∈{ }|
Exemplo:
Sendo A = {1, 2, 3} e B = {4, 6}, temos A x B = {(1,4), (1,6), (2,4), (2,6), (3,4), (3,6)}.
Esse produto pode ser representado por um diagrama chamado Diagrama de Flechas:
17
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
A B
1
2
3
4
6
Figura 2 – Representação do produto entre os conjuntos A e B
Esse mesmo esquema de flechas pode ser representado por meio de um gráfico no plano cartesiano. 
6
4
1 2 3 x
y
Figura 3 – Representação, no plano cartesiano, do produto entre os conjuntos A e B
O esquema representado é chamado de relação, pois existe uma relação entre um elemento do 
conjunto A e um elemento do conjunto B. O conjunto formado pelos primeiros elementos de cada 
par ordenado da relação é chamado Domínio, representado por D(R), enquanto o conjunto formado 
pelos segundos elementos de cada par ordenado da relação é chamado Imagem, e é representado pela 
notação I(R). 
Então, no exemplo considerado, o D(R) da relação são os números do conjunto A = {1, 2, 3}, e a 
imagem I(R) são os números do conjunto B = {4, 6}.
A partir desses conceitos de domínio e imagem de uma relação, podemos definir o conceito de 
função. Assim, dados os conjuntos A e B, uma função f de A em B, denotada por f: A → B (lê-se: f de A 
em B), é qualquer relação que associa a todo elemento de A um único elemento de B.
É importante salientar aqui que, a todo elemento de A, temos um único elemento em B associado; 
essa propriedade caracteriza uma função. O exemplo representado no plano cartesiano não constitui 
uma função, pois se pode ver que, para o mesmo elemento de A, estão associados dois elementos em B.
18
Unidade I
No caso da função denominada função f: A → B, o domínio é o conjunto A, e o contradomínio é o 
conjunto B. A imagem de f é o subconjunto de B, cujos elementos estão associados a algum elemento 
do domínio. De forma geral, a função é escrita em termos do par (x, y), em que x ∈ A e y ∈ B. Como 
os valores de y variam de acordo com os valores de x, dizemos que y é uma função de x; portanto, y é 
considerada a variável dependente, e x, a variável independente. Assim, podemos escrever: y = f(x).
Para exemplificar, consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 4, 9, 16}. A relação entre esses 
dois conjuntos é mostrada na figura:
1
2
3
4
1
4
9
16
A B
f
Figura 4 – Relação entre os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 4, 9, 16}
Nesse exemplo, temos:
• Domínio de f D(f)= {1, 2, 3, 4}
• Contradomínio de f CD(f)= {1, 4, 9, 16} 
• Imagem de f I(f)= {1, 4, 9, 16}
• f(1)= 1 
Outro exemplo para ilustrar melhor o conceito de função:
Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 5, }, determine o domínio, o contradomínio 
e o conjunto imagem da função:
f x x y AXB y x( ) = ∈( ) ={ , }2
19
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
-2
-1
0
1
2
0
1
2
3
4
5
A B
Figura 5 – Representação, por meio do Diagrama de Flechas, da função f x x y AXB y x( ) = ∈( ) ={ , }2
Temos:
• D(f) = A = {-2, -1, 0, 1, 2}
• CD(f)= B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
• I(f)= {0, 1, 4}
A figura representa o gráfico de uma reta R cujo domínio é D(R) = {3}. Essa relação é uma função?
0
y
r
3
x
Figura 6 – Gráfico de uma reta R cujo domínio é D(R) = {3}
 Lembrete
Um dos conceitos mais importantes que temos em termos matemáticos 
é o de função. Para entendê-lo melhor, devemos começar nosso estudo a 
partir da ideia de conjuntos.
20
Unidade I
Esse gráfico não é uma função, pois observe que a abscissa x = 3, que é o domínio da função, está 
associada a vários pontos da imagem. Pela definição de função, a cada elemento x do domínio está 
associado apenas um elemento y do conjunto imagem.
No gráfico a seguir, apresentamos a relação R de A = {1, 2, 5, 6} e B = {1, 2, 3, 4}.
Esse gráfico representa uma função ou não?
A definição de função diz que, para um elemento no conjunto de partida, existe apenas um elemento 
no conjunto de chegada. Observando o gráfico, podemos ver que o ponto 4 no conjunto A está associado 
aos pontos 3 e 4, pertencentes ao conjunto B, portanto o gráfico não é uma função. 
4
3
2
1
y
x
1 2 3 4
Figura 7 – Gráfico representando a relação entre os pontos x e y por meio de um plano cartesiano
 Saiba mais
Para saber mais a respeito da história das funções e suas aplicações, 
vale a pena dar uma olhada no livro História da Matemática (BOYER, 1991), 
que mostra a evolução dos conceitos de função desde os tempos antigos 
até os dias atuais.
2.1 Polinômios e produtos notáveis
Para o entendimento deste tópico, devemos primeiramente conceituar um polinômio e, a partir 
disso, calcular os produtos notáveis. Assim, consideramos um polinômio toda função matemática 
f: R → R, definida por: 
21
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
p x a a x a x a x a xn
n( ) = + + + +…+0 1 2 2 3 3
Os termos a0, a1, a2, an são chamados coeficientes do polinômio. Existem vários tipos de polinômios, 
os quais são classificados de acordo com o grau de seus coeficientes. Se n é o maior expoente em x, 
dizemos que o polinômio é de grau n. Por exemplo, 1 + x2 é um polinômio de grau 2, pois o maior 
expoente em x está elevado à segunda potência. Os binômios e trinômios são extremamente importantes 
no desenvolvimento de cálculos algébricos. 
Entre os binômios, destacam-se os especiais, chamados produtos notáveis, que podem ser resolvidos 
por meio de técnicas matemáticas:
Vamos especificar aqui os mais importantes:
• (a+b)2 → quadrado da soma de dois termos;
• (a-b)2 → quadrado da subtração de dois termos;
• (a+b) (a-b) → produto da soma pela diferença de dois termos.
Resolvendo os produtos notáveis pelas regras, temos:
Quadrado da soma de dois termos: quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro termo 
multiplicado pelo segundo e o último termo elevado ao quadrado, ou seja:
a b a ab b+( ) = + +2 2 22
x x x+( ) = + +1 2 12 2
2 3 4 12 92 2x x x+( ) = + +
1 2 1 2 2 2
2
+( ) = + +
2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 12 4 6 2 14 4 6
2 2
+( ) = ( ) + ⋅ ⋅+ = + + = +�
Quadrado da diferença de dois termos: quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro 
termo multiplicado pelo segundo e o último termo elevado ao quadrado, ou seja:
a b a ab b−( ) = − +2 2 22
x x x−( ) = − +1 2 12 2
22
Unidade I
2 3 4 12 92 2x x x−( ) = − +
− −( ) = − +x x x3 2 3 32 2
3 2 9 12 43 2
2 6 5 4a a a a a−( ) = − +
Produto da soma pela diferença de dois termos: quadrado do primeiro termo menos o quadrado 
do segundo termo, ou seja:
a b a b a b+( ) −( ) = −2 2
x x x+( ) −( ) = −1 1 12
2 3 2 3 4 92x x x+( ) −( ) = −
3 2 3 2 9 43 2 3 2 6 4a a a a a a−( ) +( ) = −
− −( ) − +( ) = −x x x3 3 32
 Lembrete
Essas regras foram desenvolvidas para facilitar os cálculos. Porém, estes 
podem ser feitos por meio da multiplicação de fatores, ou propriedade 
distributiva, já conhecida usando a famosa regra do chuveirinho, ou seja, 
multiplicar termo a termo e somá-los.
Cubo da soma de dois termos: cubo do primeiro termo mais três vezes o primeiro termo 
elevado ao quadrado vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo 
termo elevado ao quadrado, mais o segundo termo elevado ao cubo. Exemplificando:
a b a a b ab b+( ) = + + +3 3 2 2 33 3
x x x x+( ) = + + +1 3 3 13 3 2
23
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Cubo da diferença de dois termos: cubo do primeiro termo menos três vezes o primeiro termo 
elevado ao quadrado vezes o segundo termo, menos três vezes o primeiro termo vezes o segundo 
termo elevado ao quadrado, menos o segundo termo elevado ao cubo. 
Exemplificando:
a b a a b ab b−( ) = − − −3 3 2 2 33 3
x x x x−( ) = − − −1 3 3 13 3 2
Mais alguns exemplos:
Desenvolva cada um dos produtos:
a) x x x+( ) −( ) = −4 4 162
b) 3 5 3 5 9 252x x x+( ) −( ) = −
c) 2 3 4 12 9
2 2 2x y x xy y+( ) = + +
d) 7 2 7 2 7 4 3+( ) −( ) = − =
e) 2 3 1 2 3 1 12 1 11−( ) +( ) = − =
 Observação
Nessescálculos, é extremamente importante prestar atenção no sinal 
dos termos. Um erro de sinal será fatal e comprometerá todo o resultado.
2.2 Fatoração
Na seção anterior, vimos como gerar os polinômios, a partir dos produtos notáveis; agora, nosso 
próximo passo é obter o processo inverso, ou seja, colocar um polinômio na forma de um produto de 
dois ou mais fatores. 
Podemos fatorar os polinômios, ou seja, modificar sua forma algébrica de maneira que seja criada 
outra expressão equivalente à expressão dada, escrita na forma de produtos. Na maioria dos casos, o 
resultado é um produto notável. Vamos ver alguns exemplos, começando dos casos mais simples:
24
Unidade I
Fator comum e agrupamento 
Seja a expressão:
2x-2
Primeiramente, devemos observar qual número ou caráter algébrico aparece em ambos os termos 
dessa subtração, ou seja, o fator comum. Observamos que o número 2 aparece em ambos; logo, podemos 
reescrever a expressão como:
2(x-1)
O polinômio, portanto, está fatorado. Vejamos mais alguns exemplos:
ax + ay = a(x + y)
12x2y + 4x y3 = 4xy (3x + y2)
ax + ay + bc + by = a(x+y) + b(x+y) = (x+y) (a + b)
No entanto, existem polinômios que necessitam de regras mais específicas para serem fatorados; 
assim, devemos utilizar outro critério, exposto a seguir.
Diferença de quadrados: nesse caso, devemos verificar primeiro se existe uma diferença entre dois 
monômios cujas literais apresentem expoentes pares. O procedimento para a fatoração consiste das 
seguintes etapas: 
• as raízes quadradas de cada monômio devem ser extraídas;
• os expoentes dos termos literais devem ser divididos por 2;
• o resultado é escrito como um produto da soma pela diferença dos novos monômios.
Exemplos: 
x x x2 9 3 3− = −( ) +( )
x a x a x a6 6 3 3 3 3− = −( ) +( )
4 36 2 6 2 62x x x− = −( ) +( )
25
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Trinômio quadrado perfeito: poderemos identificar um trinômio quadrado perfeito toda vez que 
este resultar do quadrado da soma ou da diferença entre dois monômios. Considere os exemplos:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2, pois o polinômio x2 + 6x + 9 pode ser escrito na forma a2 + 2ab + b2, onde 
a= x e b = 3.
Desse modo, trinômio quadrado perfeito é toda expressão que pode ser colocada na forma:
a ab b a b2 2 22± + = ±( )
Assim,
4 4 1 2 12 2x x x+ + = +( )
x x x2 22 1 1− + = −( )
Trinômio de segundo grau: vamos supor que tenhamos uma equação do tipo ax2 - bx + c e sejam 
x1 e x2 e as raízes dessa equação, ou seja, os números que, quando colocados substituindo a variável x, 
tornam o trinômio igual a zero. Podemos fatorar essa expressão da seguinte forma:
ax bx c a x x x x2 1 2− + = −( ) −( )
O cálculo das raízes dessa equação será mostrado posteriormente na Unidade II, na qual estudaremos 
as funções de segundo grau. A partir da informação fornecida, podemos fatorar os trinômios de segundo 
grau. Portanto:
x x x x2 4 3 3 1− + = −( ) −( ) , onde e a b c= = − =1 4 3, , e x ex1 23 1= =
x x x x2 2 3 3 1� � � �� � �� � , onde a b e c� � � � �1 2 3, e x ex1 23 1� � �
Soma e diferença de dois cubos: quando multiplicamos o binômio (a + b) pelo trinômio 
(a2 - ab + b2), obtemos: 
a b a ab b a a b ab a b ab b a b+( ) − +( ) = − + + − + = +2 2 3 2 2 2 2 3 3 3
Da mesma maneira, se fizermos:
a b a ab b a a b ab a b ab b a b−( ) + +( ) = + + − − − = −2 2 3 2 2 2 2 3 3 3
26
Unidade I
Simplificação de expressões fracionárias 
Todos os critérios descritos anteriormente poderão ser utilizados quando se desejar, portanto, 
simplificar expressões. Existem casos em que as expressões estão colocadas na forma de fração; nesses 
casos, devemos eliminar todos os fatores comuns e torná-la mais simples e equivalente. 
Considere a seguinte fração:
x xy
x xz
x y
x z
y
z
+
+
=
+( )
+( ) =
+( )
+( )
1
1
1
1
O x é um fator comum, aparecendo tanto no numerador quanto no denominador; assim, pode ser 
colocado em evidência e simplificado. Vamos ver outro exemplo, agora usando produto notável: 
x
x
x x
x
x
2 9
3
3 3
3
3
−
−
=
−( ) +
−( ) = +
( )
( )
Agora, usando agrupamento e fator comum:
x x xy y
x y
x x y x
x y
x x y
x y
x2 5 5
7 7
5 5
7
5
7
5
7
− + −
+
=
−( ) + −
+
=
−( ) +
+
= −
( )
( )
( )
( )
No caso de termos um trinômio quadrado perfeito:
4 4
2
2
2
2 2
2
2
2 2 2x xy y
x y
x y
x y
x y x y
x y
x y
+ +
+
=
+( )
+
=
+( ) +( )
+( ) = +( )
Mais alguns exemplos:
Fatore o polinômio 4x2 + 6x3y - 8x4y5.
Fatorar um polinômio significa transformá-lo em produto. Portanto, devemos colocar em evidência 
o menor divisor comum que o compõe, isto é, o produto dos fatores comuns com o menor expoente, 
que, no caso, é 2x2. Assim, temos:
4 6 8 2 2 3 42 3 4 5 2 2 5x x y x y x xy x y+ − = + −( )
2) Fatore o trinômio quadrado perfeito 25y2 - 10y + 1.
27
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Solução:
Esse trinômio pode ser fatorado observando-se que o primeiro e o último termo são quadrados 
perfeitos; assim, pode ser reescrito como:
25 10 1 5 12 2y y y− + = −( )
3) Fatore o polinômio dado:
y b y b2 2− − +
Agrupando os termos que são quadrados perfeitos, temos:
y b y b y b−( ) +( ) − −( )
y b y b−( ) + −( )1
4) Simplifique a expressão:
2 2 2 2bc b c a+ + −
Os primeiros três termos podem ser escritos como:
b c+( )2
Assim,
b c a+( ) −2 2
Que pode ser escrito como:
b c a b c a+ −( ) + +( )
5) Fatore:
25 1004 2a b−
28
Unidade I
Solução:
= −( )25 44 2a b
= −( ) +( )25 2 22 2a b a b
 Saiba mais
O uso de funções no esporte pode ser visto nos jogos de futebol, já 
que está presente na elaboração de tabelas de jogos, geometria do campo, 
estatísticas etc. O livro de Orlando Duarte, Futebol, regras e comentários, 
mostra alguns dados bem interessantes sobre a matemática nos esportes. 
 Resumo
Na Unidade I, introduzimos os conceitos básicos de Aritmética e 
Álgebra. Iniciamos o texto a partir da Teoria dos Conjuntos Numéricos, 
que são fundamentais em aplicações computacionais, como linguagem 
de programação, banco de dados etc. Definimos a nomenclatura básica 
dos conjuntos e os tipos de conjuntos existentes, como os conjuntos dos 
números naturais, inteiros, racionais e reais. Verificamos as principais 
propriedades dos conjuntos e as exemplificamos.
Foram abordadas também as operações fundamentais na Álgebra, 
como adição, subtração, divisão, potências etc., e os conceitos de relações 
e funções, bem como suas principais características e propriedades. Vimos 
a conexão entre a Teoria dos Conjuntos e as funções e como essas são 
importantes e fundamentais no desenvolvimento dos cálculos algébricos.
Os polinômios e os produtos notáveis também foram estudados. Iniciamos 
com a definição de um polinômio, seu grau e a nomenclatura associada a 
cada um deles, dependendo do seu número de termos. Vimos que existem 
monômios, binômios, trinômios etc. A partir disso, aprendemos a realizar 
somas e subtrações de polinômios e suas expansões. Depois, efetuamos 
cálculos envolvendo os quadrados da soma e da diferença, cálculos do 
produto da soma pela diferença e cubos da soma e da diferença.
29
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Por fim, aprendemos a simplificar expressões por meio das técnicas de 
fatoração, como fator comum, agrupamento, diferença de dois quadrados, 
trinômio quadrado perfeito, trinômio de segundo grau e soma e diferença de 
dois cubos. Vimos que a ideia é modificar uma soma algébrica e transformá-la 
num produto, e que o resultado dessa fatoração é um produto notável.
 Exercícios
Questão 1. (Enade 2008) Considerando o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual opção corresponde a 
uma partição desse conjunto?
A) {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}}
B) {{1}, {1,2}, {3,4}, {5, 6}}
C) {{ }, {1, 2, 3}, {4, 5, 6}}
D) {{1, 2, 3}, {5, 6}}
E) {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 6}}
Resposta correta: alternativa A.
Análise da questão (Prof. Carlos Augusto Prolo)
Esta é uma questão bastante simples. Dado um conjunto A, uma partição
de A é um conjunto de subconjuntos de A, tal que:
1. A união de todos os subconjuntos é igual a A.
2. Ossubconjuntos são disjuntos, isto é, não há elementos comuns a dois ou mais subconjuntos, e a 
intersecção de cada par de subconjuntos é vazia.
3. Não é permitido o subconjunto vazio.
Mais formalmente, PA = {A1, A2, ..., An}, para n>0, é uma partição de A, se:
1. A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A
2. Para todo 1 ≤ i < j ≤ n, Ai ∩ Aj = ∅
3. Para todo 1 ≤ i ≤ n, Ai ≠ ∅
30
Unidade I
Um exemplo típico é quando o professor divide os alunos (o conjunto de alunos) em grupos de 
trabalho. Um aluno não pode estar em mais de um grupo, não faz sentido um grupo sem alunos, e 
cada aluno tem que estar em um grupo (mesmo que seja apenas ele no grupo). A palavra “grupo” neste 
exemplo está sendo usada de maneira informal, mas os termos “partição” e “particionamento” são 
técnicos, com significado bastante preciso na Matemática. Quando a partição é definida por meio de uma 
relação de equivalência, os subconjuntos da partição são, então, chamados de classes de equivalência.
Análise das alternativas
A) Alternativa correta.
Justificativa: a união dos conjuntos {1}, {2}, {3}, {4}, {5} e {6} é precisamente o conjunto 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; os conjuntos {1}, {2}, {3}, {4}, {5} e {6} são disjuntos entre si, isto é, não 
há elemento repetido em mais de um conjunto, e nenhum conjunto é vazio.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: a alternativa desrespeita a restrição 2: os conjuntos não são disjuntos ({1} e {1,2} têm 
elemento em comum).
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: a alternativa desrespeita a restrição 3: o subconjunto vazio não pode estar incluso.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: a alternativa desrespeita a regra 1: falta o elemento 4.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: a alternativa está errada pelo mesmo motivo que a B: os subconjuntos não são disjuntos.
Questão 2. (Enade 2008) Para cada número real x, considere o conjunto Cx formado por todos os 
números obtidos somando-se a x um número racional, isto é,
Cx = {x + r : r ∈ Q}.
Sob essas condições, conclui-se que:
A) O número π pertence ao conjunto C1.
B) O conjunto C4 ∩ C5 possui um único elemento.
C) O número 2 pertence ao conjunto C 3 .
31
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
D) Os conjuntos C3 e C1/3 são iguais.
E) O número zero pertence ao conjunto Cπ ∪ C–π.
Resolução desta questão na plataforma.