AnaliseCombinatoria Gabarito

Prévia do material em texto

Análise Combinatória Exercícios 5 de outubro de 2016
1. Lançando-se 5 moedas distintas, qual é o número de resultados possíveis (cara ou coroa)?
Solução:
32 resultados
2. Quantos triângulos podemos construir com os vértices de um pentágono regular?
Solução:
10 triângulos
3. Dado o conjunto A = {1, 3, 5}, obtenha todos os números de dois algarismos distintos com os elemen-
tos de A.
Solução:
São 13 15 31 35 51 53
4. Lançado um dado duas vezes seguidas, quais as possibilidades de obtermos soma igual a 8?
Solução:
5 possibilidades {2 e 6} {3 e 5} {5 e 3} {6 e 2} {4 e 4}
5. Quais são as possibilidades de se combinar dois tipos de sanduiches (a,b) com três tipos de refrige-
rantes (c,d,e). Desenhe a árvore de possibilidades para solucionar este problema.
Solução:
{a,c} {a,d} {a,e} {b,c} {b,d} {b,e}
6. Dois times de futebol realizam um campeonato de confronto direto, que determina o campeão a partir
das seguintes regras:
• É campeão quem vencer três jogos consecutivos; ou
• É campeão quem vencer quatro partidas alternadas.
Quantas são as possibilidades de partidas para se determinar o campeão?
Solução:
26 possibilidades
7. Dois tenistas disputam entre si um torneio. O primeiro a ganhar duas partidas seguidas ou três alter-
nadas vence o torneio. Quais os resultados possíveis?
Exercícios 5 de outubro de 2016
Página 2 de 7 5 de outubro de 2016
Solução:
10 possibilidades
8. Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos: 1,2,3,4,5,6,7,8,9?
Solução:
729 números. = 9 X 9 X 9
9. Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 sem repe-
tição?
Solução:
504 números. 9 X 8 X 7
10. Quantas placas de automóveis podem ser formadas, usando duas letras de um alfabeto de 26 letras,
seguidas por 2 algarismos e podendo ter as cores preto ou amarela? Quantas são as placas se não
for permitida a repetição de letras nem de algarismos?
Solução:
com repetição: 135 200; sem repetição: 117 000.
11. Dez meninas apostam uma corrida. De quantos modos diferentes pode ser formado o grupo das três
primeiras colocadas?
Solução:
720 maneiras.
12. De quantas maneiras podemos organizar uma fila com 7 alunos?
Solução:
5040 maneiras.
13. Resolva as seguintes equações:
1. n! = 24
2. (n− 1)! = 120
3. (n− 2)! = 2(n− 4)!
4.
n!
2!(n− 2)! = 10
5.
(n+ 1)!
(n− 1)!
Exercícios 5 de outubro de 2016
Página 3 de 7 5 de outubro de 2016
6.
(n− 5)!
(n− 4)!
14. Quantos são os anagramas:
a) Palavra AMOR
b) Palavra ANITO, que começam com vogal?
Solução:
a) 24 anagramas b) 72 anagramas
15. Quantos são os anagramas:
1. Da palavra MATEMÁTICA
2. Do nome IDALINA
Solução:
a) 151200
b) 1260
16. De quantas maneiras 6 alunos podem ser repartidos em 2 equipes contendo 3 alunos cada uma?
Solução:
20 maneiras
17. Cristina fez um jogo na Mega-Sena, apostando os seguintes números 10,12,24,25,27 e 43. Pergunta-
se:
1. Em quantas quinas ela jogou?
2. Em quantas quadras ela jogou?
3. Em quantos ternos ela jogou?
Solução:
a) 6 quinas
b) 15 quadras
c) 20 ternos
18. Sabendo que a Lotofácil cobra 2,00 por aposta com no mínimo 15 números e que Antônio fez um jogo
com 18 números, quanto Antõnio gastou com sua aposta? Observação: a lotofácil permite jogar até 21
números em um mesmo jogo, e é considerado vencedor quem acertar os quinze números sorteados.
Exercícios 5 de outubro de 2016
Página 4 de 7 5 de outubro de 2016
Solução:
1632,00
19. Calcular:
a) C6,1
b) C7,0
c) C5,5
Solução:
a) 6
b) 1
c) 1
20. Calcule o valor da expressão: X = 3.A10,2 − 2.P4 + C10,1
Solução:
232
21. Uma urna contém 5 bolas de cores distintas (preta, branca, azul, verde, amarela). Calcular as possibi-
lidades diferentes:
a) Se retirarmos três bolas de uma só vez;
b) Se retirarmos 3 botas, uma de cada vez e recolocando na urna as sorteadas;
Solução:
a) 10
b) 125
22. Bruna tem 6 camisas amarelas, 2 vermelhas e 10 pretas. Quantas possibilidades existe para Bruna
escolher uma das camisas?
Solução:
18 possibilidades (princípio da soma).
23. Bruna possui 8 camisas verdes e 12 amarelas, sendo que cada uma delas possui estampa diferente.
Quantas são as possibilidades de Bruna escolher 2 camisetas, sabendo que a escolha é aleatória?
Solução:
190 possibilidades
Exercícios 5 de outubro de 2016
Página 5 de 7 5 de outubro de 2016
24. Sabendo que temos um grupo de 10 jogadores de basquete, de quantas maneiras podemos dividí-los
em grupos de cinco jogadores?
Solução:
126 grupos
25. Sabendo que um dado será lançado nove vezes consecutivas. De quantas formas distintas pode ser
obtida uma sequência com quatro faces iguais a 1, duas faces iguais a 3 e as demais faces iguais a 2,
5 e 6?
Solução:
7560 sequências.
26. Em uma reunião havia 50 pessoas. Cada uma cumprimentou as outras com um aperto de mão. Quan-
tas saudações foram dadas nesta reunião?
Solução:
1225 apertos de mão. C50,2
27. Sobre uma circunferência marcam-se dez pontos:
1. Qual é o número de segmentos de reta que podemos traçar com extremidades em dois desses
pontos?
Solução:
45 segmentos de reta
2. Quantos triângulos podemo construir com vértices em três desses pontos?
Solução:
120 triângulos
28. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar usando:
a) apenas os algarismos 1,2 e 3?
Solução:
6
b) apenas os algarismos ímpares?
Solução:
60
Impares não contém 0, portanto, a combinação é 5.4.3 = 60 sequências
Exercícios 5 de outubro de 2016
Página 6 de 7 5 de outubro de 2016
c) apenas os algarismos pares?
Solução:
48
4.3.1 para os pares terminados por 0
3.3.1 para os pares terminados por 2
3.3.1 para os pares terminados por 4
3.3.1 para os pares terminados por 6
3.3.1 para os pares terminados por 8
ou então: 4.4.3 = 48 possibilidades
d) algarismos pares e ímpares intercalados?
Solução:
180 possibilidades
4.5.4 = 80 possibilidades para a intercalação par, impar, par (lembrar que o primeiro valor não
pode ser 0
5.5.4 = 100 possibilidades para a intercalação impar, par, impar (lembrar que não existe a
restrição do primeiro valor
29. Dispondo dos algarismos 0,1,2,3,4,5 e 6, determine:
a) a quantidade de números pares de três algarismos que podemos formar.
Solução:
168 números
_ _0 -> 6.7.1 = 42
_ _2 -> 6.7.1 = 42
_ _4 -> 6.7.1 = 42
_ _6 -> 6.7.1 = 42 –> resultando em 168 números.
Em cada início da sequência tira-se o 0 (zero) e nos demais usa-se todos os números.
b) a quantidade de números pares de três algarismos distintos que podemos formar.
Solução:
105 números.
_ _0 -> 6.5.1 = 30
_ _2 -> 5.5.1 = 25
_ _4 -> 5.5.1 = 25
_ _6 -> 5.5.1 = 25 –> resultando em 168 números.
Exercícios 5 de outubro de 2016
Página 7 de 7 5 de outubro de 2016
Em cada início da sequência tira-se o 0 (zero) e nos demais usa-se todos os números, menos
aqueles que foram utilizados.
30. Em quantos anagramas da palavra QUEIJO as vogais não aparecem juntas?
Solução:
576 anagramas.
Se for contar os casos onde as vogais não aparecem juntas, não haverá nenhum caso.
Sempre tem um vogal ao lado de outra vogal.
As vogais apareceram juntas (todas elas) em 3 ocasiões.
Q_ _ _ _ J –> 2 X 4!
Q J _ _ _ _ –> 2 X 4!
_ _ _ _ Q J –> 2 X 4!
48 X 3 = 144 manerias de todas as vogais aparecerem juntas!!
Para saber quando elas não aparecem juntas, basta: 720 - 144 = 576 maneiras.
720 = 6! (Observação).
Exercícios 5 de outubro de 2016