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Análise Estrutural I_Método da Rigidez.pdf
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ 
FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV 
 
Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, 
CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br 
MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA 
 
Formalizando os conceitos já explicados ao longo do curso, o método da rigidez direta 
consiste no emprego da definição física do conceito de rigidez (kij): força que surge devido 
à imposição de um deslocamento unitário segundo um determinado grau de liberdade 
(GL), enquanto todos os outros deslocamentos, referentes aos demais graus de liberdade 
são nulos. Ou seja, os coeficientes das matrizes de rigidez tanto no sistema local (L) de 
coordenadas quanto no sistema global de coordenadas (G) são formulados a partir deste 
princípio físico. 
 
Quando um sistema estrutural possui os seus graus de liberdade identificados por um 
conjunto de coordenadas globais e está discretizado em elementos que possuem 
representações destes graus de liberdade no sistema local de coordenadas, torna-se 
evidente a correspondência existente entre os deslocamentos da estrutura completa 
(estrutura montada), decorrentes do equilíbrio global, e os deslocamentos impostos em 
cada um dos elementos no referencial local. 
 
O sistema estrutural passa então a se comportar como uma associação de molas em 
paralelo, onde cada mola consiste em um elemento da estrutura. Como consequência, a 
força necessária à realização de um determinado deslocamento segundo uma 
coordenada global será igual ao somatório das forças necessárias para se impor o 
mesmo deslocamento segundo cada um dos elementos que incidem sobre aquele grau 
de liberdade. 
 
Matricialmente falando, isto pode ser entendido como o coeficiente kij da matriz de rigidez 
no sistema global ([KG]) segundo os graus de liberdade “i” e “j”, sendo igual ao somatório 
dos coeficientes das matrizes de rigidez elementares de cada um dos elementos conexos 
aos graus de liberdade “i” e “j”, respeitadas todas as convenções de direção e sentido. 
Deste modo, pode-se escrever: 
 



nelm
1n
ij
L
e
G
ij ]k[]K[ 
 
Onde: 
 
[K]G : matriz de rigidez da estrutura no sistema global; 
[ke]L : matriz do enésimo elemento no sistema local; 
nelm : número de elementos que contêm os graus de liberdade “i” e “j”. 
 
Desta forma, a metodologia de montagem da matriz de rigidez global da estrutura ([K]G), 
com base no “somatório das contribuições locais” consiste no processo da rigidez direta 
(assembly process). Contudo, considerando-se uma formulação mais geral onde as 
coordenadas globais e locais não apresentam direções e sentido iguais, situação 
absolutamente corriqueira em sistemas estruturais aporticados, deve-se realizar uma 
transformação de coordenadas, com base no emprego da matriz de transformação ([T]). 
 
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
















100000
0cossen000
0sencos000
000100
0000cossen
0000sencos
]T[ e
 
 
Finalmente, ressalta-se que o “somatório das contribuições locais” dos elementos 
associados as matrizes de rigidez elementares na matriz de rigidez global envolve uma 
transformação de coordenadas prévia para o sistema de coordenadas global. Deste 
modo: 
 



n
1elemento
e
e
L
T
e
G ]T[]k[]T[]K[
 
 
Onde: 
 
[K]G : matriz de rigidez da estrutura no sistema global; 
[ke]L : matriz do enésimo elemento no sistema local; 
[T] : matriz de transformação entre os sistema local e global de coordenadas; 
n : número de elementos. 
 
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CARREGAMENTO NODAL EQUIVALENTE (CNE) OU (FNE) 
 
Na análise estrutural realizada por meio do método dos deslocamentos as equações de 
equilíbrio são definidas nas direções das coordenadas do modelo, ou seja, são equações 
de equilíbrio dos nós da estrutura. 
 
Entretanto, de forma geral, os carregamentos reais, existentes na prática corrente de 
projeto, não atuam diretamente sobre os nós dos modelos estruturais. Na realidade, estas 
cargas são divididas em dois tipos distintos: cargas nodais e cargas que atuam sobre os 
elementos estruturais (barras). 
 
Para proceder-se a análise estrutural para as cargas atuantes sobre as barras, estas 
serão substituídas por carregamentos nodais equivalentes (CNE) ou forças nodais 
equivalentes (FNE). Quando estas forças são adicionadas às cargas nodais resultam em 
cargas nodais combinadas. A estrutura é analisada para estas últimas cargas. 
 
O objetivo é garantir que a resposta da estrutura (deslocamentos e esforços) analisada 
pelas cargas combinadas seja igual, evidentemente, ao da análise estrutural para o 
carregamento real atuante sobre o sistema. Este procedimento irá conduzir a escolha das 
cargas nodais equivalentes adequadas. 
 
Com base no princípio da superposição dos efeitos (análise linear elástica), sabe-se que 
as cargas nodais equivalentes são nada mais do que as forças de engastamento perfeito 
de cada barra do modelo estrutural com o sentido inverso (sinais invertidos), conforme 
representado genericamente na figura a seguir. 
 
Elemento (barra) da 
estrutura original 
submetido à carga 
distribuída 
 
 = 
CASO I: cargas 
combinadas 
(carregamento nodal 
equivalente) 
 + 
CASO II: cargas 
atuando ao longo das 
barras e forças de 
engastamento perfeito 
 
 
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CASO I: Estrutura encontra-se submetida às forças (e momentos) nodais combinadas. 
Estes atuam sobre os nós da estrutura. Para este carregamento a estrutura será 
efetivamente analisada. 
 
CASO II: Estrutura encontra-se submetida às cargas atuando ao longo das barras e as 
correspondentes forças (reações) de engastamento perfeito atuando nas extremidades 
das barras. 
 
RESUMO: A análise será feita para a estrutura submetida às cargas nodais combinadas, 
ou seja, pelas cargas aplicadas diretamente sobre os nós (cargas externas aplicadas) 
somadas as cargas nodais equivalentes (forças de engastamento perfeito nas barras, 
com o sentido inverso e atuando diretamente sobre os nós). Assim sendo, os 
deslocamentos nodais serão obtidos pela análise das cargas nodais combinadas (CASO 
I). Os esforços nas extremidades dos elementos serão aqueles obtidos da análise das 
cargas combinadas (CASO I) somados as forças de engastamento perfeito. 
 
 
 
Assim sendo: 
 
}u{]k[}F{}F{ L )1mx(
L
)mxm()1mx(0)mxm(  
 
}F{}F{}F{ L )1mx()1mx(0)mxm(  
 
Onde: 
 
{F} : vetor dos esforços no sistema local; 
{u}L : vetor dos deslocamentos no sistema local; 
L
e]k[ : matriz de rigidez do elemento no sistema local; 
{F0} : vetor das reações de fixação no sistema local (ver tabela ilustrativa a seguir); 
}F{ : vetor dos esforços locais
que surgem pela aplicação do CNE; 
m : número de coordenadas do sistema local. 
 
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Observação: Reações de Fixação para o Cálculo do Carregamento Nodal Equivalente 
 
 
 
 
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EXEMPLO DE APLICAÇÃO I 
 
Considere-se o pórtico plano mostrado na Figura 1, com todas as suas características 
físicas, geométricas e carregamentos dados. Pede-se determinar os deslocamentos 
nodais, reações de apoio, esforços internos nas barras e os diagramas de esforços. 
 
 
Figura 1: Pórtico plano com carga concentrada e distribuída. 
 
Solução do Problema Proposto 
 
Passo 1: Numeração dos nós e dos elementos. 
 
 
Passo 2: Numeração dos graus de liberdade no sistema global de coordenadas, de 
acordo com a numeração empregada para os elementos. 
 
Sistema Global (G) 
 E = 2,1 x 108 kN/m2 
 A = 0,5 x 10-2 m2 
 I = 4 x 10-4 m4 Y 
X 
 
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Passo 3: Definição e numeração dos elementos de pórtico plano que formam a estrutura 
no sistema local de coordenadas. 
 
 
 
Passo 4: Obtenção das matrizes de transformação entre os sistemas local e global para 
cada elemento. [T]: matriz de transformação. 
 

















100000
0cossen000
0sencos000
000100
0000cossen
0000sencos
]T[ e
 
Sistema Local (L) 
 
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Elemento 1:  = 900 















100000
001000
010000
000100
000001
000010
]T[ 1e
 
 
Elemento 2:  = 00 













100000
010000
001000
000100
000010
000001
]T[ 2e
 
 
Elemento 3:  = 900. Observar que [T]e3 = [T]e1 















100000
001000
010000
000100
000001
000010
]T[ 3e
 
 
Passo 5: Obtenção das matrizes de rigidez no sistema global: e
L
e
T
e
G
e ]T[]k[]T[]K[  
G
e]K[ : matriz de rigidez no sistema global; 
L
e]k[ : matriz de rigidez no sistema local. 
 
 
 
 
 
 
 [ke]L: sistema local 
 
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Observação: Matrizes de Rigidez Elementares 
 
 
 
 
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Elemento 1: 1e
L
1e
T
1e
G
1e ]T[]k[]T[]K[  
Elemento 2: 2e
L
2e
T
2e
G
2e ]T[]k[]T[]K[  
Elemento 3: 3e
L
3e
T
3e
G
3e ]T[]k[]T[]K[  . Observar que G1eG3e ]K[]K[  
 
Assim sendo, substituindo-se os valores de E, A, I e L, e considerando-se, ainda, as 
respectivas matrizes de transformação dos elementos, chega-se a: 
 



















8400003150042000031500
0262500002625000
3150001575031500015750
4200003150084000031500
0262500002625000
3150001575031500015750
]K[ G1e 
 



















8400031500042000315000
3150015750031500157500
0026250000262500
4200031500084000315000
3150015750031500157500
0026250000262500
]K[ G2e
 
 



















8400003150042000031500
0262500002625000
3150001575031500015750
4200003150084000031500
0262500002625000
3150001575031500015750
]K[ G3e
 
 
Utilizando-se o procedimento de montagem definido anteriormente, pode-se obter a matriz 
de rigidez da estrutura em estudo a partir da matriz de rigidez de cada um dos seus 
elementos. Evidentemente, deve-se identificar em cada matriz de rigidez do elemento a 
sua respectiva contribuição nesta montagem. Por exemplo, os coeficientes I,J (linha, 
coluna) da matriz de um elemento serão adicionados na mesma localização da matriz de 
rigidez da estrutura. O pórtico plano em questão possui 12 graus de liberdade (12 GL) e, 
portanto, a matriz de rigidez global da estrutura (não restringida) terá dimensão de 12 x 
12. A matriz de rigidez do modelo contém todos os seus graus de liberdade identificados 
no vetor de localização. Inserindo-se os termos de rigidez nas linhas e colunas 
correspondentes para a montagem de [K]G, chega-se a: 
 
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


































8400003150042000031500000000
0262500002625000000000
3150001575031500015750000000
42000031500168000315003150042000315000000
0262500031500278250031500157500000
3150001575031500027825000262500000
00042000315000168400315003150042000031500
0003150015750031500278250002625000
0000026250031500027825031500015750
0000004200003150084000031500
0000000262500002625000
0000003150001575031500015750
]K[ G
 
Passo 5: Obtenção do vetor das forças externas. {F} = {FNODAIS} + {FCNE}. Observar que na 
formulação do vetor das cargas externas o carregamento nodal equivalente é somado às 
cargas nodais com sentido inverso daqueles associados às reações de fixação. 
 


























































































?F
?F
?F
3,13
20
0
3,13
20
100
?F
?F
?F
0
0
0
3,13
2
qL
20
2
qL
0
3,13
12
qL
20
2
qL
0
0
0
0
F
F
F
0
0
0
0
0
100
F
F
F
}F{}F{}F{
12
11
10
3
2
1
2
2
12
11
10
3
2
1
CNENODAIS
 
 
{F} : vetor das cargas aplicadas (12 x 1); 
{FNODAIS} : vetor das cargas nodais aplicadas (12 x 1); 
{FCNE} : vetor das cargas nodais equivalentes (12 x 1). 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10
11
12
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10
11
12
 
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Passo 6: Formulação da equação matricial que representa as equações de equilíbrio da 
estrutura. {F} = [K]G {u}G. Observar que as condições de contorno ainda não foram 
impostas sobre o sistema de equações. 
 
{F} : vetor das cargas aplicadas (12 x 1); 
[K]G : matriz de rigidez global da estrutura (12 x 12); 
{U} : vetor dos deslocamentos nodais (12 x 1). 
 



































































12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
121212111210129128127126125124123122121
111211111110119118117116115114113112111
101210111010109108107106105104103102101
912911910999897969594939291
812811810898887868584838281
712711710797877767574737271
612611610696867666564636261
512511510595857565554535251
412411410494847464544434241
312311310393837363534333231
212211210292827262524232221
112111110191817161514131211
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
 
F1,F2,F3,F10,F11,F12 : reações de apoio da estrutura; 
F4,F5,F6,F7,F8,F9 : forças aplicadas nodais e carregamento nodal equivalente; 
U1,U2,U3,U10,U11,U12 : graus de liberdade restritos (deslocamentos são nulos); 
U4,U5,U6,U7,U8,U9 : deslocamentos a calcular (incógnitas do problema). 
 
Ao impor as condições de contorno sobre o sistema de equações de equilíbrio da 
estrutura, {F} = [K]G {u}G, chega-se a: 
 









































9
8
7
6
5
4
999897969594
898887868584
797877767574
696867666564
595857565554
494847464544
9
8
7
6
5
4
U
U
U
U
U
U
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
F
F
F
F
F
F
 
Observação: programas computacionais - técnica dos zeros e um 
Parte da matriz [K] que relaciona as 
forças aplicadas e os deslocamentos 
a serem calculados (incógnitas). 
 
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FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV 
 
Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, 
CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br 
Passo 7: Cálculo dos deslocamentos globais. {u}G = [K]G-1 {F}. Observe que as condições 
de contorno precisam ser impostas sobre o sistema de equações para o cálculo de {u}G. 
 
{u}G : vetor dos deslocamentos nodais (incógnitas do problema) (6 x 1); 
[K]G-1 : inversa da matriz de rigidez com as condições de contorno impostas (6 x 6); 
{F} : vetor das cargas aplicadas (6 x 1). 

























0
0
0
00061822,0
00023670,0
00457260,0
00087991,0
000084323,0
00477280,0
0
0
0
 {F} [K]{u} 1-GG
 
 
Passo 8: Cálculo dos esforços nas barras. {u}L = [T]e {u}G e {F} = [ke]L {u}L. Observar que 
as matrizes de rigidez são referentes ao sistema local de coordenadas. 
 
Elemento 1:  = 900 
Deslocamentos no sistema local de coordenadas: {u}L = [T]e1 {u}G 















100000
001000
010000
000100
000001
000010
]T[ 1e
 

























0
0
0
00061822,0
00023670,0
00457260,0
00087991,0
000084323,0
00477280,0
0
0
0
 {u}G
 

















00087991,0
00477280,0
00008423,0
0
0
0
 {U} [T]{u} Ge1L 
Precisão Numérica: importante para que 
os valores finais de deslocamentos e 
esforços sejam confiáveis. 
 
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CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br 
Elemento 2:  = 00 
Deslocamentos no sistema local de coordenadas: {u}L = [T]e2 {u}G 













100000
010000
001000
000100
000010
000001
]T[ 2e
 
























0
0
0
00061822,0
00023670,0
00457260,0
00087991,0
000084323,0
00477280,0
0
0
0
 {u}G
 

















00061822,0
00023670,0
00457260,0
00087991,0
000084323,0
00477280,0
 {U} [T]{u} Ge2L 
 
Elemento 3:  = 900 
Deslocamentos no sistema local de coordenadas: {u}L = [T]e3 {u}G 















100000
001000
010000
000100
000001
000010
]T[ 3e
 

























0
0
0
00061822,0
00023670,0
00457260,0
00087991,0
000084323,0
00477280,0
0
0
0
 {u}G
 

















00061822,0
00457260,0
00023670,0
0
0
0
 {U} [T]{u} Ge3L 
 
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CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br 
Elemento
1:  = 900. Esforços no sistema local de coordenadas: {F}L = [ke]L {u}L 
 

















00087991,0
00477280,0
00008423,0
0
0
0
 {U} [T]{u} Ge1L 



















8400031500042000315000
3150015750031500157500
0026250000262500
4200031500084000315000
3150015750031500157500
0026250000262500
]k[ 1e 

















43,76
45,47
11,22
38,113
45,47
11,22
 {u} [K] = {F} LeL
 
 
Elemento 2:  = 00.Esforços no sistema local de coordenadas: {F}L = [ke]L {u}L 
 

















00061822,0
00023670,0
00457260,0
00087991,0
000084323,0
00477280,0
 {U} [T]{u} Ge2L 



















8400031500042000315000
3150015750031500157500
0026250000262500
4200031500084000315000
3150015750031500157500
0026250000262500
]k[ 2e 



















77,78
13,42
55,52
76,89
13,42
55,52
 {u} [K] = {F} LeL
 
 
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CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br 
Elemento 3:  = 900. Esforços no sistema local de coordenadas: {F}L = [ke]L {u}L 
 

















00061822,0
00457260,0
00023670,0
0
0
0
 {U} [T]{u} Ge3L 



















8400031500042000315000
3150015750031500157500
0026250000262500
4200031500084000315000
3150015750031500157500
0026250000262500
]k[ 3e 
















10,92
55,52
13,62
07,118
55,52
13,62
 {u} [K] = {F} LeL
 
 
Passo 9: Consideração do Carregamento Nodal Equivalente (CNE) no elemento 2. 
 
Elemento 2: carga distribuída w (kN/m) - coordenadas 2,3 (Nó i) e 5,6 (Nó j) 
 
 
MA = -MB = 
12
wL2 = 13,33 kNm 
RA = RB = 
12
wL = 20 kN 







































10,92
13,62
55,52
43,76
13,22
55,52
33,1377,78
2013,42
55,52
33,1376,89
2013,42
55,52
 }F{ L 
 
 
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Observação: Reações de Fixação para o Cálculo do Carregamento Nodal Equivalente 
 
 
 
 
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CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br 
Passo 10: Cálculo das reações de apoio. {F}G = [Te]T {F}L. 
 
Elemento 1:  = 900. Esforços no sistema global de coordenadas: {F}G = [Te]T {F}L 

















43,76
45,47
11,22
38,113
45,47
11,22
 {u} [K] = {F} LeL
 















100000
001000
010000
000100
000001
000010
]T[ 1e 

















43,76
11,22
45,47
38,113
11,22
45,47
 {F} [T] = {F} L
T
e1G
 
 
Elemento 2:  = 00. Esforços no sistema global de coordenadas: {F}G = [Te]T {F}L 



















77,78
13,42
55,52
76,89
13,42
55,52
 {u} [K] = {F} LeL
 













100000
010000
001000
000100
000010
000001
]T[ 2e 



















77,78
13,42
55,52
76,89
13,42
55,52
 {F} [T] = {F} L
T
e2G
 
 
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CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br 
Elemento 3:  = 900. Esforços no sistema global de coordenadas: {F}G = [Te]T {F}L 
 
















10,92
55,52
13,62
07,118
55,52
13,62
 {u} [K] = {F} LeL
 















100000
001000
010000
000100
000001
000010
]T[ 3e 

















10,92
13,62
55,52
07,118
13,62
55,52
 {F} [T] = {F} L
T
e3G
 
 
Passo 11: Diagramas de esforços (DMF: Momentos Fletores). Unidades: kN e m. 
 
 
 
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EXEMPLO DE APLICAÇÃO II 
 
Considere-se o pórtico plano mostrado na Figura 2, com todas as suas características 
físicas, geométricas e carregamentos dados. Pede-se determinar os deslocamentos 
nodais, reações de apoio, esforços internos nas barras e os diagramas de esforços. 
Dados: E1A1 = E2A2 = E3A3 = 300000 kN e E1I1 = E2I2 = E3I3 = 32400 kNm2. 
 
 
Figura 2: Pórtico plano com cargas nodais. 
 
 
 
Equilíbrio dos Nós A e B: 
 
 
Primeira coluna da 
matriz de rigidez [K] 
 
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Primeira coluna da matriz de rigidez [K]: 
 
 
Sistema de equações de equilíbrio {F}(6x1) = [K](6x6) {u}(6x1): 
 
 
 
Deste modo, invertendo-se a matriz de rigidez [K] e calculando o vetor de deslocamentos 
{u}, chega-se a: {u}G = [K]G-1 {F} 
 
 
 
 
 
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FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV 
 
Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, 
CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil,
E-mail: pgeciv@eng.uerj.br 
Vetor de deslocamentos {u} (resposta estrutural): {u}G = [K]G-1 {F} 
 
 
 
Cálculo dos esforços na barra 1 (atenção para a numeração dos GL): {F}L = [ke]L {u}L 
 
 
 
 
Barra 1 
 
 
 
 
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{F}L = [ke]L {u}L 
 
 
Cálculo dos esforços na barra 2 (atenção para a numeração dos GL): {F}L = [ke]L {u}L 
 
 
Barra 2 
 
 
 
 
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{F}L = [ke]L {u}L 
 
 
Cálculo dos esforços na barra 3 (atenção para a numeração dos GL): {F}L = [ke]L {u}L 
 
 
Barra 3 
 
 
 
 
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{F}L = [ke]L {u}L 
 
 
Diagramas de esforços solicitantes: momento fletor, esforço cortante e esforço normal. 
Unidades: kN e m. 
 
 
 
MNEC_01.pptx
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA
ENGENHARIA CIVIL
Eduardo Lima
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1
Capítulo 1 - Introdução
Do ponto de vista da Análise Estrutural o Eng. deve garantir que a estrutura não apresente falhas em sua operação.
Para essa garantia se faz necessário o entendimento físico do problema a ser resolvido.
Nessa direção o Engenheiro deve ser capaz de Idealizar a Estrutura para que a mesma possa ser resolvida.
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Estrutura Real
Estrutura Idealizada
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Métodos Analíticos 
x 
Métodos Aproximados
O problema proposto anteriormente é de fácil resolução. Porém, no dia-a-dia do Engenheiro os problemas são muito mais complexos.
Dessa forma fica inviável a solução analítica do problema.
Assim sendo devemos utilizar métodos menos precisos porém confiáveis que tornam a resolução desses problemas menos complexo. (MEF)
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Solução ED - Exata
Solução Exata - Impossível
Uso 
Do
Método Numérico
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Idealização de um sistema
Para idealizar um sistema é necessário conhecer bem o caso real a ser estudado. Veja o Exemplo a seguir:
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A solução analítica desse problema é complexa. A melhor estratégia então é fazer a discretização do problema, obtendo uma solução aproximada.
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O que poderia ser feito caso um dos botes gerasse um empuxo maior que os outros?
Usar uma mola com maior rigidez
Tipos de Modelos Discretizados
Uma estrutura podes ser classificada como:
Reticulada
Contínua
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Estrutura Reticulada
A interação entre os elementos ocorrem em suas juntas através de nós;
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Estrutura Contínua
Para que um corpo contínuo seja resolvido devemos dividi-lo em um número finito de elementos.
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Estrutura Contínua (cont.)
Devemos dividir a estrutura contínua em elementos e estes devem ser “ligados” através de nós de tal forma que as informações de um elemento para o outro seja transmitida através desses nós;
Ainda assim, entre nós, surgirão espaços vazios em que perderíamos as informações do elemento anterior. Para corrigir esse problema devemos fazer interpolações para que essas informações sejam “transmitidas”. Esse procedimento não será visto nesse curso.
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MNEC_02.pptx
ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS – MATRIZ DE RIGIDEZ DE UM ELEMENTO
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Estrutura Reticulada
Para uma estrutura reticulada temos:
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Devemos considerar apenas os deslocamentos dos nós para determinarmos a deformação da estrutura;
As cargas só poderão agir nos nós, mesmo que em estruturas reais elas possam agir ao longo da estrutura - Uso de Carregamento Nodal Equivalente;
Usaremos a linguagem matricial para representar as equações de equilíbrio do sistema.
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3
Rigidez
Qual força devo exercer sobre uma mola para que a mesma tenha um deslocamento x?
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Na mola há apenas a relação Força (axial) x Deslocamento em uma direção. O conceito de rigidez é mais simples
No elemento contínuo a rigidez tem diversas componentes (axial, flexão, cisalhamento e torção). Dessa forma “os diversos componentes de rigidez de um elemento estão relacionados aos diversos componentes de força e deslocamentos presentes”
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A rigidez da estrutura depende da rigidez de cada elemento
Leis Fundamentais
Uma estrutura em equilíbrio deve satisfazer 3 leis fundamentais:
Equilíbrio de Forças;
Compatibilidade de Deslocamento;
Lei de Comportamento do Material.
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Equilíbrio de Forças
Se o elemento está em equilíbrio, uma parte dele também encontra-se em equilíbrio
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Compatibilidade de Deslocamento
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Lei de Comportamento do Material
Ao transmitir os esforços ao longo da estrutura os elementos se deformam. Esses esforços são transmitidos pelos elementos através de esforços internos.
As forças internas obedecem a Lei de Hooke (Deslocamento Linear). 
Neste curso nos limitaremos a estudar o MEF para estruturas que obedecem a Lei de Hooke.
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CONCEITO DE RIGIDEZ
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Rigidez de Um Elemento
Tomemos como exemplo um único elemento submetido a uma força axial “F”.
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Elemento de Mola:
Rigidez do Elemento e Rigidez da Estrutura
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A Mola
É elemento mais simples a ser estudado
O elemento de mola só transmite esforços AXIAIS. Dessa forma só sofre deslocamentos AXIAIS.
A mola apresenta 2 Graus de Liberdade (2 componentes de força e 2 componentes de deslocamento)
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Observações
A formulação de um elemento para representar uma determinada situação física não nasceu matricial. Essa forma de escrever favorece a linguagem de programação.
Um ponto da Estrutura poder ter diversos esforços (Forças, que provocam deslocamentos lineares e Momentos que provocam deslocamentos angulares).
Dessa forma podemos dizer que uma estrutura, por mais complexa que seja, pode ser representada por um conjunto de molas.
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Matriz de Rigidez do Elemento de Mola
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SITUAÇÃO INICIAL
MANTENDO O NÓ 2
FIXO
Força em 1 devido ao deslocamento unitário em 1, mantendo 2 fixo
Força em 2 devido ao deslocamento unitário em 1, mantendo 2 fixo
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Matriz de Rigidez de um Elemento de Mola
A matriz de rigidez de um elemento “a” de mola entre dois pontos A e B é dada por:
Essa matriz faz parte de uma biblioteca de matrizes que será vista ao longo do curso
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Força x Deslocamento
A relação força x deslocamento da estrutura pode ser expressa na notação matricial por:
{F} – Matriz coluna que contém as forças Nodais
{U} – Matriz coluna que contém os deslocamentos Nodais a serem determinados
[K] – Matriz de rigidez da Estrutura
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Considerações
As forças só podem ser aplicadas nos nós. Será feita uma abordagem para situações em que a força/carregamento for aplicada na estrutura;
Para obter a matriz de rigidez da estrutura devemos primeiramente determinar a matriz de rigidez de cada elemento;
Com a inversão da matriz de rigidez da estrutura encontraremos os deslocamentos associados e com isso determinar as reações de apoio bem com os esforços internos 
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EXERCÍCIO
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Determinar a Rigidez de cada Elemento
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UA = UE = 0
Condições de Contorno
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Cálculo dos Deslocamentos
Para calcularmos os deslocamentos devemos escrever a equação na forma matricial da seguinte forma:
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A matriz inversa será então dada por:
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A equação pode ser escrita como:
 
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Calculando os deslocamentos temos:
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Para calcularmos as reações de apoio devemos voltar na equação inicial, ou seja:
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Forças Internas
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ELEMENTO DE TRELIÇA
Sistema de coordenada
Global e Local
Introdução
Treliças são estruturas compostas por barras que transmitem esforços axiais (Compressão e Tração);
Portanto só apresentam “rigidez axial”
Devemos conhecer a rigidez da estrutura através da rigidez de seus elementos (mesmo procedimento já visto)
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Matriz de Rigidez do Elemento de Barra
A barra da treliça comporta-se como uma mola de rigidez E.A/L
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Matriz de Rigidez do Elemento
Força e Deslocamento são sempre axiais
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Matriz de Rigidez no Sistema Local e Global – Matriz de Transformação
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Eq. 1
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1
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A matriz de rigidez de um elemento no sistema global é dado por:
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EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
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Determinação da matriz de rigidez de cada elemento
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Matriz de Rigidez da Estrutura
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Eq. 2
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Condições de Contorno
F5 = 2.P = 2.500 = 1000 kgf
F6 = P = 500 kgf
A.E/L = 300.21000/1000 = 6300
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Cálculo dos deslocamentos
Resolvendo o sistema de equações anterior temos:
5 = 0,33917 mm
6 = -0,05087 mm
7 = 0,27812 mm
8 = 0,08140 mm
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Reações de apoio
Com o sistema de equações 2 já visto e com os deslocamentos podemos determinar as reações de apoio.
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Determinação das Forças Internas
Para determinarmos a força interna em cada elemento devemos observá-lo no sistema LOCAL.
Como o sistema foi resolvido no sistema GLOBAL, devemos transformar esses valores para o sistema LOCAL.
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Lembrando que o deslocamento em X é dado por U e o deslocamento em Y é dado por V
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Para a barra b temos:
A tensão axial é dada por:
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Problema da Placa sujeita a Carga Axial
Calcular os deslocamentos e as tensões normais média ao longo da placa.
A placa tem espessura 1/16 in
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Esse problema pode
ser aproximado utilizando-se 4 nós e 4 elementos conforme indicado na figura abaixo:
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Determinação da rigidez de cada elemento:
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Matriz de Rigidez da Estrutura
Determinar a Matriz de Rigidez da Estrutura
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Aplicando a condição de contorno u1 = 0 e o carregamento no nó 4, P = 800 lb
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Tensões normais médias
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Observações
Note que esse problema é composto de molas em série e em paralelo. As duas molas em paralelo poderiam ter sido combinadas e representadas como uma única mola com rigidez igual a k1 + k2.
O furo também introduz importantes efeitos de concentração de tensões.
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37
Solução usando o ANSYS
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Deslocamentos
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Tensões normais
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tutorial LISA.docx
MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADO
A 
ENGENHARIA CIVIL
Tutorial do Programa LISA.
Será feita a simulação de carregamento em uma viga parede no programa LISA de acordo com a figura abaixo:
0.5 m
1.5 m
0.5 m
7.5 m
1º) Gerar os nós dos vértices do retângulo.
Mesh tools → Create → Node
2º) Gerar a figura
Mesh tools → Create → Element
3º) Gerar malha
Mesh tools → Refine → Custom
4º) Refinar
Mesh tools → Refine → x2
Repetimos o processo para criar o quadrado de 0.5 x 0.5
Criar os pontos do vértice do quadrado (apenas 2);
Gerar o elemento
Gerar a malha no quadrado selecionando os pontos envolvidos;
5º) Com o elemento de área definido já podemos criar o elemento em 3D.
1º) Selecionamos o ícone da face e toda a estrutura 
Utilizamos o comando...
Mesh tools->Extrude...
6º) Características da estrutura
Uma vez a estrutura modelada devemos inserir as características da estrutura.
7º) Apoios
	1º) Selecionar os nós que receberão os apoios usando a tecla ctrl.
Irá gerar o apoio na direção y
Fazendo para as duas direções....
8º) Cargas
Aplicação de momento....
9º) Solução
Clicar no botão 
10º) Análise Dinâmica.
Prof. Eduardo Lima – MSc
Métodos Numéricos Eng. Civil	Página 4