Caderno do Professor Matemática 2009 1ªSérie EM Volume 3

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caderno do
volume 3 – 2009
PROFESSOR
1ª- SÉRIE M
AT
EM
ÁT
IC
A
ensino médio
Governador
José Serra
Vice-Governador
Alberto Goldman
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias 
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos: 
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TÉCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas 
Pedagógicas
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
 Caderno do professor: matemática, ensino médio - 1ª- série, volume 3 / 
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos 
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José 
Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
 ISBN 978-85-7849-360-8
 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. 
II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. 
IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. 
VII. Título.
 CDU: 373.5:51
S239c
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secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* 
deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não 
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
Coordenação do Desenvolvimento dos 
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos 
Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton 
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu 
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, 
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva, 
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e 
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza 
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, 
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina 
Schrijnemaekers 
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo 
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene 
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta 
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar 
Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo 
Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares 
de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina 
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, 
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida 
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria 
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo 
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, 
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, 
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam 
Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís 
Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho 
Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, 
Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia 
Salem e Yassuko Hosoume
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, 
Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, 
Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa 
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda 
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, 
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino 
e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, 
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches 
Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira 
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, 
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet 
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, 
José Luís Marques López Landeira e João Henrique 
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos 
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore 
Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da 
Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e 
Zuleika de Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira 
Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de 
Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria 
Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo 
Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, 
Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Edições Jogo de 
Amarelinha, Conexão Editorial e Occy Design 
(projeto gráfico)
APOIO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da 
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Esdeva Indústria Gráfica
Caras professoras e caros professores,
Tenho a grata satisfação de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor.
Vocês constatarão que as excelentes críticas e sugestões recebidas dos profis-
sionais da rede estão incorporadas ao novo texto do currículo. A partir dessas 
mesmas sugestões, também organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno.
Recebemos informações constantes acerca do grande esforço que tem caracte-
rizado as ações de professoras, professores e especialistas de nossa rede para 
promover mais aprendizagem aos alunos.
A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoiá-los, mobilizando 
todos os recursos possíveis para garantir-lhes melhores condições de trabalho.
Contamos mais uma vez com a colaboração de vocês.
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
São Paulo faz escola – Uma proposta curricular para o Estado 5
Ficha do Caderno 7
Orientação geral sobre os Cadernos 8
Situações de Aprendizagem 11
Situação de Aprendizagem 1 – As potências e o crescimento/decrescimento 
exponencial: a função exponencial 11
Situação de Aprendizagem 2 – Quando o expoente é a questão, o logaritmo é a 
solução: a força da ideia de logaritmo 19
Situação de Aprendizagem 3 – As funções com variável no expoente: a exponencial 
e sua inversa, a logarítmica 36
Situação de Aprendizagem 4 – As múltiplas faces das potências e dos logaritmos: 
problemas envolvendo equações e inequações em diferentes contextos 43
Orientações para Recuperação 52
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno 
para a compreensão do tema 54
Considerações finais 55
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 56
SUMáRiO
5
SãO PAUlO FAz ESCOlA – UMA PROPOStA 
CURRiCUlAR PARA O EStAdO
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfaçãoque lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor, 
parte integrante da Proposta Curricular de 5ª- a 8ª- séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e 
do Ensino Médio do Estado de São Paulo. É sempre oportuno relembrar que esta é a nova 
versão, que traz também a sua autoria, uma vez que inclui as sugestões e críticas recebidas 
após a implantação da Proposta.
É também necessário relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma 
objetiva, na Base Curricular, referência comum a todas as escolas da rede estadual, e deram 
origem à produção dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicação de professores, pais e famí-
lias para que nossas crianças e jovens possuíssem registros acadêmicos pessoais mais organi-
zados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado.
Já temos as primeiras notícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de 
aula. Este mérito é, sem dúvida, de todos os profissionais da nossa rede, especialmente seu, 
professor!
O objetivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práticas de 
sala de aula. Podemos dizer que este objetivo está sendo alcançado, porque os professores 
da rede pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico 
com bons resultados.
Ao entregar a você estes novos volumes, reiteramos nossa confiança no seu trabalho e 
contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicação para que todas as crianças e jo-
vens da nossa rede possam ter acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior.
Maria Inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
6
7
FiChA dO CAdERnO
Expoentes e logaritmos: uma linguagem adequada para a compreensão 
do crescimento ou decrescimento exponencial
 nome da disciplina: Matemática
 área: Matemática
 Etapa da educação básica: Ensino Médio
 Série: 1a
 Volume: 3
 temas e conteúdos: As potências e o crescimento/decrescimento 
exponencial: a função exponencial 
 Quando o expoente é a questão, o logaritmo 
é a solução: a força da ideia de logaritmo 
 As funções com variável no expoente: a expo-
nencial e sua inversa, a logarítmica
 Problemas envolvendo expoentes e logaritmos 
em diferentes contextos: equações e inequações 
8
ORiEntAÇãO gERAl SObRE OS CAdERnOS
Os temas escolhidos para compor o 
conteú do disciplinar de cada bimestre não se 
afastam, de maneira geral, do que é usual-
mente ensinado nas escolas ou do que é apre-
sentado pelos livros didáticos. As inovações 
pretendidas referem-se à forma de aborda-
gem, sugerida ao longo dos Cadernos de cada 
um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se 
evidenciar os princípios norteadores do presen-
te currículo, destacando-se a contextualiza-
ção dos conteúdos, as competências pessoais 
envolvidas, especialmente as relacionadas 
com a leitura e a escrita matemática, bem 
como os elementos culturais internos e exter-
nos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos es-
tão organizados em oito unidades de exten-
são aproximadamente igual, que podem cor-
responder a oito semanas de trabalho letivo. 
De acordo com o número de aulas disponí-
veis por semana, o professor explorará cada 
assunto com mais ou menos aprofundamen-
to. A critério do professor, em cada Situação 
específica, o tema correspondente a uma das 
unidades pode ser estendido para mais de uma 
semana, enquanto o de outra unidade pode 
ser tratado de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contem-
plar as oito unidades, uma vez que, juntas, 
compõem um panorama do conteúdo do 
bimestre e, muitas vezes, uma das unidades 
contribui para a compreensão das outras. 
Insistimos, no entanto, no fato de que somente 
o professor, em sua circunstância particular 
e levando em consideração seu interesse e o 
de seus alunos pelos temas apresentados, 
pode determinar adequadamente quanto tempo 
dedicar a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, 
além de uma visão panorâmica do conteúdo 
do bimestre, quatro Situações de Aprendiza-
gem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a for-
ma de abordagem sugerida, instrumentando 
o professor para sua ação em sala de aula. As 
Situações de Aprendizagem são independen-
tes e podem ser exploradas pelo professor com 
mais ou menos intensidade, segundo seu inte-
resse e de sua classe. Naturalmente, em razão 
das limitações no espaço dos Cadernos, nem 
todas as unidades foram contempladas com 
Situações de Aprendizagem, mas a expectativa 
é que a forma de abordagem dos temas seja ex-
plicitada nas que foram oferecidas.
São apresentados também, em cada Cader-
no, sempre que possível, materiais de apoio 
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) 
em sintonia com a forma de abordagem pro-
posta, que podem ser utilizados pelo professor 
para o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas con-
siderações sobre a avaliação a ser realizada, 
bem como o conteúdo considerado indispen-
sável ao desenvolvimento das competências 
esperadas no presente bimestre em cada Situa-
ção de Aprendizagem apresentada.
9
Matemática – 1ª- série – Volume 3
Conteúdos básicos do bimestre
O conteúdo básico do 3o bimestre da 1a sé-
rie é a ideia de crescimento ou decrescimento 
exponencial, com a consolidação da lingua-
gem das potências e a introdução da ideia 
de logaritmo. 
As potências já foram apresentadas aos 
alunos no Ensino Fundamental (na 5a série, as 
primeiras noções; na 7a série, as potências com 
expoentes inteiros; na 8a série, expoentes ra-
cionais e reais). Trata-se, agora, de consolidar 
seu significado, sintetizando os fatos conheci-
dos na apresentação da função exponencial, 
com destaque para sua forma peculiar de cres-
cimento ou decrescimento.
Já os logaritmos, uma invenção genial do iní-
cio do século XVII, cuja motivação primeira era 
a simplificação dos cálculos em uma época de 
limitados instrumentos para tal, a despeito 
da abundância de recursos atuais, permanecem 
como um tema especialmente relevante, não 
em razão de tais simplificações, mas pela sua 
adequação para a descrição de fenômenos em 
que as variáveis aparecem no expoente. Apre-
sentar seu significado mais profundo, o que 
contribuiu para que sua importância se con-
servasse, juntamente com as propriedades mais 
relevantes para seu uso em diferentes contextos, 
é um dos objetivos do bimestre. De modo aná-
logo ao utilizado com a função exponencial, a 
apresentação da função logarítmica significará 
o coroamento das informações amealhadas 
sobre logaritmos.
Naturalmente, buscaremos uma articula-
ção entre as funções exponencial e logarítmi-
ca, uma vez que o que as distingue é apenas 
uma troca de posição entre as variáveis:
 se y = a f x, considerando x a variável inde-
pendente, escrevemos y = f(x) = ax, e temos 
uma função exponencial; 
 quando f y é a variável independente, escre-
vemos x = g(y) = loga y, e temos uma fun-
ção logarítmica.
Ou seja, as funções exponencial e logarít-
mica são inversas uma da outra.
Ao longo de todo o bimestre, serão apre-
sentadas diversas situações concretas envol-
vendo exponenciais e logaritmos, incluindo 
escalas logarítmicas (papéis loga rítmicos) para 
a construção de gráficos, o que possibilita a li-
nearização de gráficos de funções não lineares. 
É muito importante que o professor conheça 
as diversas contextualizações dos logaritmos 
(graus de terremotos, acidez de líquidos, inten-
sidade sonora, magnitude de estrelas, cálculo 
de juros, etc.) como possibilidades de enrique-
cimento de seu curso, e não como uma obriga-
ção de tratar todas elas em suas aulas, oque 
provavelmente não será possível, em razão do 
tempo disponível.
Para a organização dos trabalhos ao longo 
do bimestre, as atividades são distribuídas em 
oito unidades, associadas à proposta de qua-
tro Situações de Aprendizagem, conforme a 
sugestão a seguir:
10
Quadro geral de conteúdos do 3º – bimestre da 1ª– série do Ensino Médio
Unidade 1 – Consolidação da ideia de potência – significado e operações com expoentes 
inteiros, racionais e reais.
Unidade 2 – A função exponencial – crescimento, decrescimento e gráficos.
Unidade 3 – A ideia de logaritmo – uma ideia brilhante do século XVII cada vez mais im-
portante no século XXI.
Unidade 4 – Propriedades dos logaritmos – logaritmos em diferentes bases.
Unidade 5 – Logaritmos em diferentes contextos: acidez, escala Richter e decibéis.
Unidade 6 – As funções com variável no expoente: a exponencial e sua inversa, a logarítmica.
Unidade 7 – Problemas envolvendo expoentes e logaritmos em diferentes contextos – equa-
ções e inequações.
Unidade 8 – Uma aplicação importante: o uso de gráficos com escala logarítmica.
11
Matemática – 1ª- série – Volume 3
SitUAÇõES dE APREndizAgEM
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 
AS POTÊNCIAS E O CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO 
EXPONENCIAL: A FUNÇÃO EXPONENCIAL
crescimento ou decrescimento acontece a ta-
xas constantes, as funções exponenciais cons-
tituirão um novo padrão para a descrição e a 
compreensão de uma nova classe de fenôme-
nos, de natureza não linear. 
Ao estudar tais funções, os alunos estarão 
ampliando consideravelmente sua capacidade 
de expressão e de modelagem de diversos fe-
nômenos naturais, o que favorecerá uma com-
preensão mais ampla nos diversos contextos 
em que eles surgem. 
Sugere-se que o professor utilize duas se-
manas na consolidação dessa ideia de potên-
cia e apresentação da função exponencial.
A ideia de potenciação como um recurso 
para representar um produto em que os fa-
tores são iguais já é conhecida pelos alunos 
desde o Ensino Fundamental, assim como as 
extensões de tal noção para o caso em que os 
expoentes são negativos, racionais, ou mes-
mo irracionais. 
O objetivo desta Situação de Aprendi-
zagem é consolidar tais noções, na apre-
sentação da função exponencial y = ax, ou 
f(x) = ax, sendo a base a um número positi-
vo e diferente de 1. Assim como as funções 
f(x) = ax + b constituem um padrão para 
o estudo dos fenômenos lineares, em que o 
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: significado da potenciação com expoentes naturais, inteiros, racio-
nais e reais; função exponencial, com a construção de seu gráfico e o destaque para suas 
propriedades relativas ao crescimento e decrescimento; funções exponenciais em diferen-
tes contextos.
Competências e habilidades: expressar e modelar diversos fenômenos naturais envolvendo 
potências, compreendendo-os nos diversos contextos em que eles surgem; enfrentar e re-
solver situações-problema envolvendo expoentes e funções exponenciais.
Estratégias: articulação das noções sobre potências já estudadas em séries anteriores; 
destaque de alguns fatos fundamentais, considerados especialmente importantes para a 
compreen são da natureza da função exponencial; apresentação de exemplos ilustrativos 
e proposição de exercícios exemplares.
12
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 1
Antes de iniciar o estudo das funções exponen - 
ciais, é importante que o professor proponha 
uma revisão dos conhecimentos sobre potên-
cias já apresentados no Ensino Fundamental.
Nesta Situação de Aprendizagem, partin do-se 
de uma situação concreta, serão destacados 
apenas fatos fundamentais para a compreen-
são da natureza da função exponencial.
Alguns fatos fundamentais sobre potências
Suponhamos que no país X a produção de 
determinado alimento foi igual a 1 tonelada 
no final do ano 2000 e, em razão de incentivos 
econômicos, passou a triplicar anualmente a 
partir daí. Conforme ilustra a tabela a seguir:
Ano
Produção P 
(em toneladas)
Potência 
correspondente
2000 1 30
2001 3 31
2002 9 32
2003 27 33
2004 81 34
2005 243 35
2006 729 36
2007 2 187 37
2008 6 561 38
2009 19 683 39
... ... ...
2015 14 348 907 315
2000 + n 3n
A regularidade da multiplicação pelo fator 3 , 
a cada ano, conduz naturalmente à represen-
tação da produção correspondente de modo 
simplificado, por meio de uma potência de 3: 
n anos após o ano 2000, o valor da produção P 
será 3n toneladas.
Ao iniciarmos o estudo das potências, os 
valores atribuídos ao expoente n somente po-
diam ser números naturais: em an, n representa-
va o número de fatores a, presentes no cálculo 
indicado. A partir daí, propriedades como 
am . an = am + n e am ÷ an = am – n pareciam na-
turais, contando-se o número de fatores resul-
tantes ao efetuar as operações indicadas. 
Posteriormente, observou-se que, excluin-
do-se o caso em que a = 0, a notação an pode-
ria ser estendida para o expoente 0 e para os 
expoentes negativos, uma vez que:
a
a
a
n
n
0 1= = e a a a
a a
n n
n n
− −= = =0
0 1 ,
para todo n natural.
Mais adiante, ao tratar dos números ra-
cionais, as potências de expoente racional 
também foram consideradas: no caso da ta-
bela inicialmente apresentada, calcular 30,5, 
por exemplo, significaria estimar a produção 
do alimento na metade do ano de 2001, ou 
seja, 0,5 ano após o momento em que a pro-
dução começou a triplicar ano a ano. Uma 
interpretação natural para 30,5, portanto, foi 
a seguinte:
como se espera que 3 f 0,5. 30,5 seja igual a 30,5 + 0,5, 
ou seja, 31, segue daí que 30,5 é uma nova ma-
neira de escrever 3, ou seja, 3 3 30 5
1
2,
= = .
13
Matemática – 1ª- série – Volume 3
Dessa maneira, 31,5 representaria a pro-
dução no meio do ano, entre 2001 e 2002, e 
teríamos: 3 3 3 3 3 31 5
3
2 1 0 5, ,.= = = .
De forma análoga ao procedimento realiza-
do para a
1
n, sendo n natural e a > 0, resulta que:
a a a a a an n n n
n
n
1 1 1 1 1
1. . . ...
.= = , ou seja, a an n
1
=
A restrição a > 0 é necessária para nos 
resguardar dos casos em que o índice n 
da raiz é par, uma vez que, como sabemos, 
no conjunto dos números reais não exis-
tem raízes quadradas, ou quartas, ou sex-
tas, etc. de números negativos.
De modo geral, portanto, para m e n natu-
rais, sendo a potência a
m
n , temos a convenção:
a a a
m
n n
m
n
m
mn=
 
= ( ) =
1
a a a a
m
n n
m
n
m
mn=
 
= ( ) =
1
a (a > 0)
Na tabela apresentada anteriormente, por 
exemplo, para calcular o valor da produção 
em 4,25 anos (ou seja, quatro anos e três me-
ses) após o início do processo, teríamos:
P = = = ≅3 3 3 106 604 25
17
4 174, , toneladas 
(usando-se uma calculadora científica).
Para complementar esse percurso com as 
potências, registremos que é possível calcular 
os valores de 3x mesmo que x não seja um nú-
mero racional. Consideremos, por exemplo, o 
caso em que x = 2 . Como se pode interpre-
tar a potência 3 2? 
Naturalmente, qualquer número irracio-
nal, como 2, pode ser aproximado, por falta 
ou por excesso, a um número racional, sendo 
que a aproximação sempre pode ser melhora-
da, se desejarmos: 
Aproximação 
por falta
Raiz 
quadrada 
de 2
Aproximação 
por excesso
1,4 2 1,5
1,41 2 1,42
1,414 2 1,415
1,4142 2 1,4143
1,41421 2 1,41422
1,414213 2 1,414214
1,4142135 2 1,4142136
Cada um dos números nas colunas da 
esquerda ou da direita é racional, podendo 
ser escrito na forma 
m
n , com m e n inteiros. 
Logo, podemos calcular a potência 3 2 por 
meio de aproximações sucessivas em que os 
expoentessejam números racionais. O nú-
mero 3 2 representa o valor do qual as su-
cessivas aproximações 3
m
n , com expoentes 
racionais, aproximam-se, quando aproxima-
mos 2 por m
n 
.
n fatores iguais
14
Em consequência, sendo a > 0, podemos 
atribuir significado para ax, para a > 0 e para 
todo número real x. Quando a = 1, as potên-
cias são todas iguais a 1; sendo a > 0 e a ≠ 1, 
então, a cada número real x corresponde um 
outro real ax, ou seja, podemos definir a função 
y = ax, ou seja, f(x) = ax. Construímos, a seguir, 
algumas tabelas com diversos valores de x 
e os correspondentes valores de f(x), para al-
guns valores de a:
x 2x 3x
1
2
x
1
3
x
1 2 3
1
2
1
3
2 22 = 4 32 = 9
1
2
1
4
2



=
1
3
1
9
2



=
3 23 = 8 33 = 27
1
2
1
8
3



=
1
3
1
27
3



=
0 20 = 1 30 = 1
1
2
1
0



=
1
3
1
0



=
 3 2
1
2
1
8
3
3
− = = 3
1
3
1
27
3
3
− = =
1
2
2 8
3
3



−
= =
1
3
3 27
3
3



−
= =
1
2
2 2 1 41
1
2 = ≅ , 3 3 1 73
1
2 = ≅ ,
1
2
1
2
1
2
0 71
1
2⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = = ≅ ,
1
3
1
3
1
3
0 58
1
2⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = = ≅ ,
Podemos observar que:
quando f x aumenta uma unidade, a partir 
de qualquer valor, ax é multiplicado por a. 
De fato, ax + 1 = ax . a, ou seja, para cada 
unidade a mais no valor de x, o valor de ax 
crescerá ou decrescerá, dependendo apenas 
do valor de a;
sendo a > 1, quando o valor de f x aumen-
ta, o valor de ax também aumenta, ou seja, 
a função f(x) = ax é crescente;
sendo 0 < a < 1, quando o valor de f x au-
menta, o valor de ax diminui, ou seja, 
a função f(x) = ax é decrescente.
15
Matemática – 1ª- série – Volume 3
Exemplos ilustrativos
Representaremos adiante o gráfi co de 
f(x) = ax para diversos valores de a.
Os problemas e exercícios apresentados a se-
guir são exemplares, pois envolvem conceitos e 
procedimentos importantes referentes à função 
exponencial. No entanto, nem todos constam 
no Caderno do Aluno. Logo, cabe ao professor 
analisar as possibilidades de tempo e o grau de 
interesse dos seus alunos para propô-los à classe.
Exemplo 1 – Vamos esboçar os gráfi cos das 
funções exponenciais a seguir, observando o 
crescimento ou o decrescimento em cada caso:
a) y = 2x b) y
x
= 



1
2
 
y
x
= 



1
2 y = 2
x
y = 2–x y = 3–x y = 5–x y = 3xy = 5x
Exemplo 3 – Considerando a função exponen-
cial f(x) = 
1
2




x
e notando que 
1
2
2 1= − , podemos 
escrever: f(x) = 
1
2




x
= 2(–1)x = 2–x. De modo ge-
ral, sendo 0 < a < 1, então 
1
1
a
> , ou seja, toda 
função exponencial f(x) = ax decrescente pode 
ser representada na forma f(x) = 
1
a
x



−
. Obser-
vemos tal fato no gráfi co a seguir:
Exemplo 2 – Esbocemos, no mesmo siste-
ma de eixos, os gráfi cos de:
a) y = 3x b) y
x
= 



1
3
Observando o crescimento ou o decrescimen-
to em cada caso.
Exercícios exemplares
Exercício 1
Uma população n de micróbios cresce 
exponencialmente de acordo com a expressão 
N = 5 000 . 3t (t em horas).
a) Indique e calcule o valor de n para os se-
guintes valores de t:
 I) t = 2 h II) t = 0,5 h
 III) t = 
2
3



 h IV) t = 1,25 h
Calculando os valores de N, temos:
I) N = 5 000 . 32 = 5 000 . 9 =
= 45 000 micróbios;
II) N = 5 000 . 30,5 = 5 000 . 3 ≅
≅ 5 000 . 1,732 = 8 660 micróbios;
III) N = 5 000 . 3
2
3 = 5 000 . 323 ≅
≅ 5 000 . 2,080 = 10 400 micróbios;
IV) N = 5 000 . 31,25 = 5 000 . 3
5
4 ≅
≅ 5 000 . 3,948 = 19 740 micróbios.
y = 2x
y = 3xy
x
= 



1
3
x
16
Calculando a potência 1,504, obtemos: 
1,504 = 
3
2
4



 = 
34
24
= 81
16
Segue que P0 = 162 000 . 
16
81
 = 32 000.
b) Qual é a produção estimada para o ano de 
2010?
A produção estimada para o ano de 2010 é
P(10) = 32 000 . 1,5010 = 32 000 .
3
2
10
10 ≅ 
≅ 1 845 281 automóveis.
Exercício 3
É possível construir o gráfico de uma fun-
ção do tipo f(x) = 2kx de modo análogo ao de 
y = 2x, quando k é positivo, ou ao de y = 2–x, 
quando k é negativo. Nos dois casos, ocorre-
rá apenas uma mudança na escala no eixo x. 
Para compreender tal fato, construa o gráfico 
de cada par de funções abaixo no mesmo sis-
tema de coordenadas:
a) y = 2x e y = 23x
Para construir o gráfico de y = 2x e de y = 23x, 
podemos escrever y = (23)x = 8x. Os valores 
da seguinte tabela ajudam-nos a relacionar 
os dois gráficos a seguir:
x 0 1 2 3 4 –1 –2
2x 1 2 4 8 16
1
2
1
4
23x = 8x 1 8 64 512 4 096
1
8
1
64
Exercício 2
Em determinado país X, a produção de 
automóveis cresce em progressão geométri-
ca, ano após ano, a partir do início do ano 
2000, tendo aumentado 50% ao ano, desde 
então. Sabendo-se que em 2004 foram pro-
duzidos 162 000 automóveis, pergunta-se:
a) Qual foi a quantidade produzida no ano 
2000?
Chamando a quantidade produzida em 2000 
de P0 , se a cada ano a produção aumenta 
em 50%, então, a cada ano, o valor inicial 
fica multiplicado por 1,50. Após t anos, o 
valor da quantidade produzida P(t) será 
igual a:
P(t) = P0 .(1,5)
t
Sabendo-se que, em 2004, ou seja, que para 
t = 4, o valor da produção foi de 162 000 
automóveis, resulta que:
162 000 = P0 . 1,50
4, ou seja, 
P0 = 
162 000
1,504
b) Esboce o gráfico de n como função de t: 
N = f(t).
O gráfico de N = f(t) = 5 000 . 3t é como 
o gráfico de y = 3t, sendo cada ordenada y 
multiplicada por 5 000:
N = 5 000 . 3t
17
Matemática – 1ª- série – Volume 3
b) y = 3−x e y = 3−0,5x
De maneira análoga, para construir o gráfico 
de y = 3−x e y = 3−0,5x, podemos escrever:
y = 3−x = (3−1)x = 1
3




x
 e 
y = 3−0,5x = ((30,5)−1)x = 1
3




x
. 
Os gráficos dessas funções são representados 
desta forma:
d) y = 7x e y = 7– 0,1x
Finalmente, para y = 7x e y = 7– 0,1x, temos:
y = 7 = (7 ) =
1
7
– 0,1x –1
1
10
x
10
x










 , ou seja, é 
um gráfico do tipo y = ax com 0 < a < 1:
c) y = 5x e y = 51,5x
Para y = 5x e y = 51,5x, temos y = 51,5x = 
= 5 1253
1
2( )



= ( )
x
x
. Este último gráfico é 
do tipo y = ax, com a = 5 1253
1
2( )



= ( )
x
x
 ≅ 11,2. 
Observe os gráficos a seguir:
De modo geral, dada uma constante k, o 
gráfico de uma função do tipo f(x) = akx, 
com a > 0 e a ≠ 1, pode ser obtido imaginan-
do-se o gráfico de y = (ak)x. Dependendo do 
valor de k, a função poderá ser crescente ou 
decrescente. Sendo a > 1, quando k é positi - 
vo, a função é crescente; quando k é negativo, 
a função é decrescente. 
Exercício 4
A população n de determinado município 
cresce exponencialmente, desde a sua funda-
ção há 20 anos, de acordo com a expressão 
N = 3 000 .100,1t, sendo t em anos. Calcule:
5 1253
1
2( )



= ( )
x
x
y = y = 5x
y = 3–x = 
1
3




x
y = 3–0,5x = 
1
3




x
y = 7– 0,1x y = 7x
y = 23x y = 2x
18
a) O valor de n quando o município foi fun-
dado (t = 0).
Quando foi fundado, o município tinha uma 
população N0 = 3 000 . 10
0 = 3 000.
b) O valor de n dez anos após a fundação.
Dez anos após a fundação, a população era 
igual a:
N10 = 3 000 . 10
0,1.10 = 3 000 . 10 = 30 000.
c) O valor de n nos dias atuais.
O valor de N nos dias atuais (t = 20) é iguala 
N20 = 3 000 . 10
0,1.20 = 3 000 . 102 = 300 000 
de habitantes.
d) Depois de quanto tempo, após a fundação, 
a população atingirá a marca de 3 000 000 
de habitantes, se o ritmo de crescimento 
continuar assim.
Para termos N = 3 000 000, devemos ter:
3 000 000 = 3 000 . 100,1t, ou seja, 
100,1t = 1 000, de onde obtemos 0,1 t = 3, 
portanto, t = 30 anos.
e) Depois de quanto tempo, após a fundação, 
o valor de n atingirá 600 000.
Para calcular depois de quantos anos a 
população atingirá 600 000, devemos ter:
600 000 = 3 000 . 100,1t, ou seja, 100,1t = 200. 
Precisamos saber, então, qual o expoente 
da potência de 10 que seria igual a 200. 
Sabemos que 102 = 100 e que 103 = 1 000. 
Deve haver um número n, entre 2 e 3, tal que 
10 n = 200. Somente descobrindo que número 
é esse podemos completar os cálculos, pois 
igualando o expoente de 10 a esse número n, 
teremos: 0,1t = n, e então, t = 10 n. O número 
n tal que 10n = 200 é aproximadamente 
igual a 2,30 e o valor de t correspondente 
é 23 anos. Para calcular números como 
esses, estudaremos os logaritmos nas próxi - 
mas unidades. 
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem, 
a expectativa é que os alunos tenham conso-
lidado a noção e o cálculo de potências de 
expoente real, sintetizando tal conhecimento 
por meio da construção do gráfico da fun-
ção exponencial y = ax, com a > 0 e a ≠ 1, 
reconhecendo tratar-se de uma função cres-
cente quando a > 1, ou decrescente quando 
0 < a < 1. Também se espera que os alunos 
tenham certa familiaridade com os gráficos de 
funções da forma y = y0.a
kx, em que y0 e k são 
constantes, bem como com cálculos envolvendo 
potências em situações práticas, em diferentes 
contextos. Como foi explicitado inicialmente, 
as primeiras noções sobre potências foram 
apresentadas aos alunos já na 5a série do En-
sino Fundamental. O que aqui se almeja é a 
consolidação de tais noções em contextos sig-
nificativos, ao mesmo tempo que se abrem as 
portas para o tema da próxima Situação de 
Aprendizagem: os logaritmos.
19
Matemática – 1ª- série – Volume 3
Na Situação de Aprendizagem anterior, 
foram exploradas as ideias de potências e de 
expoentes em situações concretas nas quais o 
crescimento ou decrescimento nada tinha de 
linear ou uniforme. Vimos que, quando uma 
grandeza y varia exponencialmente com ou - 
tra grandeza x, ou seja, quando y = ax, o cres-
cimento ou decrescimento de y, quando x 
aumenta, ocorre de modo muito mais acentua-
do: para cada unidade a mais no expoente, o 
valor final de y é multiplicado por a. Isso signi-
fica, em outras palavras, que a cada unidade a 
mais no expoente, o resultado final das potên-
cias é multiplicado por a. Em outras palavras, 
se os expoentes constituem uma progressão 
aritmética de razão 1, as potências constituem 
uma progressão geométrica de razão igual a 
a. Atribuindo arbitrariamente valores ao ex-
poente x, podemos determinar os valores da 
potência y = ax. 
Nesta Situação, continuaremos a explorar 
tal vertente, com uma simples e fundamental 
diferença: agora, estaremos interessados em 
determinar o valor do expoente x para va-
lores arbitrariamente atribuídos à potência 
y = ax. Trata-se de um prolongamento natural 
do estudo das potências, e os expoentes a serem 
determinados serão chamados de logaritmos. 
Aprender a operar com tais expoentes quando 
eles constituem a variável dependente é o tema 
que agora se apresenta. 
Compreender e explorar as propriedades 
dos logaritmos, como veremos, não passa de 
seu reconhecimento como expoentes de po-
tências, nos cálculos já conhecidos. Sem dú-
vida, a linguagem dos logaritmos amplifica 
muito a competência leitora: trata-se da leitu-
ra e da compreensão de uma extensa classe de 
fenômenos, associados ao crescimento ou ao 
decrescimento exponencial. 
Sugere-se que o professor utilize três sema-
nas de atividades na apresentação inicial dos 
logaritmos. Posteriormente, nas Situações de 
Aprendizagem 3 e 4, os alunos terão contato 
mais específico com a temática.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 
QUANDO O EXPOENTE É A QUESTÃO, O LOGARITMO É A 
SOLUÇÃO: A FORÇA DA IDEIA DE LOGARITMO
tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: logaritmo como expoente, sua importância na representação de números 
muito grandes ou muito pequenos, bem como na realização dos cálculos inversos aos da po-
tenciação; as propriedades dos logaritmos, correspondentes às propriedades similares da poten-
ciação; noção de logaritmo em diferentes contextos.
Competências e habilidades: ler e compreender a classe de fenômenos associados ao crescimen-
to ou decrescimento exponencial; enfrentar e resolver situações-problema contextualizadas 
envolvendo logaritmos.
Estratégias: apresentação das propriedades dos logaritmos e da função logarítmica; proposi-
ção de exemplos ilustrativos e exercícios exemplares.
20
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 2
Como na atividade anterior, partiremos de 
uma situação concreta em que os logaritmos 
surgirão de modo natural. A partir daí, serão 
apresentadas paulatinamente suas proprieda-
des, que serão enfeixadas, ao final, por meio 
da função logarítmica. Exemplos ilustrativos 
e exercícios exemplares servirão de indicado-
res da natureza das atividades a serem desen-
volvidas em classe.
A ideia de logaritmo: mais viva e 
importante do que nunca
Os logaritmos foram criados no início do 
século XVII, com o objetivo de simplificar 
cálculos. Comparada com o período atual, 
aquela era uma época com poucos recursos 
tecnológicos, em que os cálculos eram realiza-
dos com instrumentos parcos e muito traba-
lhosos, sobretudo os referentes à navegação. 
Quando surgiram, essa era a principal carac-
terística e a grande vantagem dos logaritmos 
era simplificar os cálculos, de um modo facil-
mente compreensível. 
Hoje, no entanto, existem muitos instru-
mentos disponíveis para efetuar os mais intrin-
cados cálculos: das calculadoras eletrônicas 
aos computadores com preços cada vez mais 
acessíveis. Para que, então, estudar logaritmos? 
A história da Matemática, no entanto, re-
vela-nos uma especial surpresa quando o as-
sunto é logaritmo. A despeito de seu enorme 
sucesso no século XVII, hoje, em pleno sécu-
lo XXI, os logaritmos são mais importantes 
do que o foram no momento de sua criação. Já 
não precisamos mais deles para simplificar os 
cálculos, mas seu significado e a força de sua 
linguagem tornaram-se fundamentais para a 
expressão e a compreensão de fenômenos em 
diferentes contextos, alguns deles surgidos 
em pleno século XX: nas medidas da intensi-
dade sonora, da energia destruidora dos terre-
motos, do índice de acidez de um líquido, da 
rapidez com que uma substância radioativa se 
desintegra, etc. Sem dúvida, hoje, mais do que 
ontem, é fundamental aprender logaritmos.
Para iniciar nosso percurso na aprendi-
zagem dos logaritmos, retornaremos, no en-
tanto, à problemática inicial: a simplificação 
dos cálculos.
Simplificação de cálculos: uma ideia 
brilhante do século XVii
Para compreender o significado dos loga-
ritmos quando surgiram, imaginemos a se-
guinte situação: temos que calcular o valor de 
E indicado na expressão a seguir:
E = 
381,5 20,87
5
⋅( ) ⋅ ( )
( )
3 4
2
4 182
7 935,
Para realizar as operações indicadas sem 
dispor de uma calculadora, o trabalho braçal é 
imenso. Uma simplificação muito interessante 
foi elaborada por alguns matemáticos no início 
do século XVII, entre os quais o inglês Henry 
Briggs (1561-1630) e o escocês John Napier 
(1550-1617). Cada um propôs uma alternati-
va a seu modo, mas a ideia centralsubjacente 
era a seguinte:
21
Matemática – 1ª- série – Volume 3
é possível escrever qualquer número positi- f
vo n como uma potência de 10: n = 10n;
assim procedendo, o cálculo de uma multipli- f
cação se transforma no cálculo de uma adi - 
ção (dos expoentes); o cálculo de uma divisão 
se transforma no cálculo de uma subtra-
ção (dos expoentes); o cálculo de uma raiz 
se transforma no cálculo de uma divisão 
(do expoente pelo índice da raiz), e assim 
por diante.
Na expressão E apresentada anteriormen-
te, se pudermos escrever:
381,5 = 10a
20,87 = 10b
4182 = 10c
7,935 = 10d
Então, conhecendo os valores de a, b, c e d, e 
usando apenas propriedades da potenciação, po-
demos afirmar que o valor da expressão E será:
E =10
a + 3b + 4c – 2d
5
( )
A chave da questão é a representação de 
qualquer número positivo n como 10n, o que 
é fácil quando se tem n igual a 10, 100, 1 000, 
10 000, etc., mas já não parece tão simples 
para valores de n como 2, 17, 537, 30, 200 
ou 1 932,5, por exemplo.
Não é simples, mas é possível, e esse é o 
grande mérito dos matemáticos que investi-
ram nesse terreno. A possibilidade de se es-
crever n como 10n é equivalente à afirmação 
de que é possível calcular o valor da potência 
10x para qualquer número real x, e não apenas 
para os valores inteiros de x.
Pois bem, quando escrevemos N = 10n e 
nos preparamos para simplificar, daqui para 
frente, os cálculos envolvendo tal número, es-
tamos entrando na seara dos logaritmos. 
Se N = 10n, então o expoente n é chamado 
“logaritmo de N”: n = log N. 
Exemplo ilustrativo
Para uma familiarização com a linguagem, 
calculemos os logaritmos de alguns números. 
a) Sendo N = 100 = 102, 
então o logaritmo de n é 2: 
log 100 = 2.
b) Sendo N = 1 000 = 103, 
então o logaritmo de n é 3: 
log 1 000 = 3.
c) Sendo N = 10 = 101, 
então o logaritmo de n é 1: 
log 10 = 1.
d) Sendo N = 1 = 100, 
então o logaritmo de n é igual a 0: 
log 1 = 0.
e) Sendo N = 10 = 10
1
2 , 
então o logaritmo de n é 
1
2
:
 log 10 = 
1
2
.
f) Sendo N = 0,01 = 10−2, 
então o logaritmo de n é –2: 
log 0,01 = –2.
g) Sendo N = 13, como 101 < 13 < 102, 
então o logaritmo de n é um número n 
tal que 1 < n < 2: 
1 < log 13 < 2.
h) Sendo N = 751, como 102 < 751 < 103, 
então o logaritmo de n é um número n 
tal que 2 < n < 3: 
2 < log 751 < 3.
22
i) Sendo N = 3,22, como 100 < 3,22 < 101,
 então o logaritmo de n é um número n tal 
que 0 < n < 1 : 0 < log 3,22 < 1.
j) Sendo n menor ou igual a zero, então n 
não tem logaritmo, pois 10n é sempre posi-
tivo, para todo n.
tabelas de logaritmos
Para facilitar os cálculos, tal como era su-
gerido pelos criadores dos logaritmos, foram 
criadas longas tabelas contendo uma lista dos 
valores de n e do logaritmo correspondente, 
representado por log n. Tais tabelas (tábuas 
de logaritmos) eram disponibilizadas para os 
calculadores e constituíram algo que se asse-
melha aos modernos softwares de hoje.
n (n = 10n) n (n = log n)
10 000 4
6 000 3,77815
3 000 3,47712
2 000 3,30103
1 000 3
600 2,77815
300 2,47712
200 2,30103
100 2
60 1,77815
30 1,47712
20 1,30103
10 1
6 0,77815
3 0,47712
2 0,30103
1 0
Os valores apresentados foram escolhidos 
como exemplos, mas são sugestivos de cer-
tas regularidades existentes em uma tabela 
de logaritmos.
Por exemplo, como a razão 3 000
300
 é igual a 10, 
a diferença entre seus logaritmos deve ser igual 
a 1, ou seja, eles têm a mesma parte decimal, 
diferindo apenas na parte inteira. O mesmo 
acontece com os logaritmos de 300, de 30 e de 3.
Também notamos que, como 6 = 2 . 3, 
então: log 6 = log 2 + log 3 = 0,30103 + 0,47712 = 
= 0,77815.
Outras regularidades podem ser ainda ob-
servadas na tabela.
Fatos assim constituem indícios de que não 
é necessário colocar na tabela os logaritmos 
de todos os números, o que seria impossível.
Tabelando-se os logaritmos de alguns núme-
ros, como os naturais de 1 a 10 000, os demais 
podem ser calculados aproximadamente a 
partir deles.
Dispondo de uma tabela como a indicada ante-
riormente, para calcular o valor da expressão E já 
citada, o procedimento poderia ser o seguinte:
localizamos os números 381,5; 20,87; 4 182 f
e 7,935 na coluna n da tabela e determi-
namos os valores de a, b, c e d na coluna 
dos logaritmos;
efetuamos os cálculos sobre os valores de f
a, b, c e d, obtendo o valor do expoente, 
que é o logaritmo de E;
localizamos tal expoente de f E na coluna 
dos logaritmos e identificamos o número E 
que lhe corresponde na coluna n.
23
Matemática – 1ª- série – Volume 3
Observações sobre a tabela de logaritmos, 
(ou tábua de logaritmos):
1. Naturalmente, se na tabela aparecem ape-
nas os números naturais de 1 a 10 000, não 
vamos encontrar 381,5. Entretanto, sabe-
mos que seu logaritmo situa-se entre 2 e 3 
e que sua parte decimal é a mesma de 3 815, 
assim, determinamos o logaritmo de 381,5.
2. A construção de uma tabela é um proces-
so longo e trabalhoso. Os logaritmos dos 
números que não são potências inteiras da 
base são números irracionais e, na prática, 
são expressos em termos aproximados, com 
um número fixo de casas decimais. Apenas 
para se ter uma ideia inicial de como os cál-
culos poderiam ser feitos, sugerimos que o 
professor mostre aos alunos algumas estra-
tégias de cálculo aproximado, no caso dos 
logaritmos decimais. Uma delas pode ser 
a seguinte:
 o logaritmo de 1 é 0; f
 o logaritmo de 10 é 1; f
 para preencher as lacunas entre 1 e 10, po- f
demos extrair a raiz quadrada de 10;
 como f 10 = 10
1
2 , segue que log 10 = 0,5;
 extraindo a raiz quadrada da raiz quadra- f
da de 10, temos o log 104 = 0,25;
de modo geral, sendo f A e b dois núme - 
 ros cujos logaritmos conhecemos, ex-
traindo a raiz quadrada de A.b, temos: 
log AB = 1
2
 . (log A + log B);
assim, com paciência, as lacunas entre as po- f
tências inteiras podem ser preenchidas. 
Reiteramos, no entanto, que as tábuas de 
logaritmos são um instrumento de importân-
cia histórica, mas sem interesse no presente, 
uma vez que dispomos de muitos outros ins-
trumentos para calcular logaritmos.
Exercícios exemplares
A seguir, serão propostos alguns exercícios 
que podem servir de base para o professor 
explorar a ideia de logaritmo anteriormen-
te exposta, propiciando um tempo para sua 
assimilação. Ao mesmo tempo, servem de 
pretexto para que sejam apresentadas as pro-
priedades dos logaritmos, que não passam 
das propriedades das potências “vestidas em 
outra roupa”. Nesse primeiro momento, tra-
tamos apenas dos logaritmos de base 10, os 
logaritmos decimais. Mais adiante, tais noções 
serão generalizadas para qualquer base.
Exercício 1
Existem métodos de cálculo para os logarit-
mos dos números que não são potências intei-
ras de 10. Tais valores (aproximados, pois são 
números irracionais) podem ser obtidos por 
meio de calculadoras, ou encontrados em tabe-
las de logaritmos, e estão disponíveis para o uso 
de todos. Como sabemos, os números entre 1 e 
10 têm logaritmos entre 0 e 1. Em uma calcula-
dora científica, obtemos: log 2 ≅ 0,30 (ou seja, 
2 ≅ 100,30) e log 3 ≅ 0,47 (ou seja, 3 ≅ 100,47). 
Com base nesses valores aproximados, calcule:
24
a) log 6 c) log 4 e) log 72 
b) log 9 d) log 12 f) log 3 600
Os itens desse exercício constituem os 
primeiros usos da linguagem dos logaritmos 
para expressar fatos sobre potências. 
A partir dos logaritmos de alguns números, 
podemos obter os logaritmos de outros, 
efetuando cálculos com potências. Dados os 
valores dos logaritmos de 2 e de 3, podemos 
calcular os logaritmos dos númerosindicados. 
Se log 2 ≅ 0,30 (ou seja, 2 ≅ 100,30) e log 3 ≅ 0,47 
(ou seja, 3 ≅ 100,47), então:
a) log 6 = log (2 . 3) = log (100,30 . 100,47) = 
= log 100,30 + 0,47 = log 100,77 = 0,77.
 (Relembre: log N = n significa que 
N = 10n, ou seja, log 10n = n).
b) log 9 = log (3 . 3) = log (100,47.100,47) = 
= log 100,94 = 0,94.
c) log 4 = log (2 . 2) = log (100,30 . 10 0,30) = 
= log 100,60 = 0,60.
 De modo geral, repetindo procedimentos 
realizados nos itens a, b e c do exer - 
cício 1, sendo A = 10a e B = 10b, pode-
mos escrever:
 log A.B = log (10a . 10b) = log 10 a + b = 
= a + b = log A + log B;
 no caso de A = B, podemos escrever:
 log A2 = log A + log A = 2 . log A;
 analogamente, sendo n um número na-
tural qualquer, podemos concluir que
 log An = n . log A
d) log 12 = log (2 . 2 . 3) = 
= log (100,30 . 100,30 . 100,47) = log 101,07 = 1,07.
 Usando a observação do item anterior, 
poderíamos escrever:
 log 12 = log (2 . 2 . 3) = 
= log 2 + log 2 + log 3 = 0,30 + 0,30 + 
+ 0,47 = 1,07.
e) log 72 = log (2 . 2 . 2 . 3 . 3) = 3 . log 2 + 
+ 2 . log3 = 3 . 0,30 + 2 . 0,47 = 1,84.
 f) log 3 600 = log (2 . 2 . 3 . 3 . 10 . 10)= 
= 2 . log 2 + 2 . log 3 + 2 . log 10 = 
= 2 . 0,30 + 2 . 0,47 + 2 . 1 = 3,54.
 (Lembrar que 10 = 101; logo, temos log 10 = 1. 
Notar que 103 < 3 600 < 104; logo, o logaritmo 
de 3 600 na base 10 é um número entre 3 e 4).
Exercício 2
A população de certa região A cresce ex-
ponencialmente de acordo com a expressão 
NA = 6 000 . 10
0,1t (t em anos). Em outra região b, 
verifica-se que o crescimento da população 
ocorre de acordo com a fórmula NB = 600 . 10
0,2t 
(t em anos). De acordo com esses modelos de 
crescimento, responda às questões a seguir:
Nesse exercício, continuamos a praticar 
cálculos envolvendo potências e logaritmos. 
O contexto é o da análise do crescimento da 
população de duas cidades A e B, segundo os 
modelos de crescimento NA = 6 000 . 10
0,1t e 
NB = 600 . 10
0,2t (t em anos).
a) Qual é a população inicial de cada uma das 
regiões?
A população inicial de cada região é obtida 
fazendo-se t = 0: NA = 6 000 e NB = 600.
25
Matemática – 1ª- série – Volume 3
se optarmos por outra base a, diferente de 10, 
somos obrigados a registrá-la. Assim, log n re-
presenta o logaritmo de n na base 10, também 
chamado de logaritmo decimal de n; já o loga-
ritmo de n em qualquer outra base a deverá ser 
escrito: loga n. 
Potência logaritmo
8 = 23 3 = log2 8
243 = 35 5 = log3 243
625 = 54 4 = log5 625
81 = 92 2 = log9 81
9 81
1
2= 1
2
 = log81 9
3 81
1
4=
1
4
 = log81 3
11 121
1
2=
1
2 
= log121 11
1
32
=2−5 − = 



5
1
322
log
27
1
3
3




−
= − =3 271
3
log
1
32
1
2
5
= 



5
1
322
=




log 1
7 73
1
3= 1
3
77
3= log
1
5
5
1
2=
–
− =1
2
1
5
5log
N = N1 1 = logN N
1 = 170 0 = log17 1
N = a7 7 = loga N
N = 13a a = log13 N
x = 3n n = log3 x
x = yz z = logy x
b) Depois de quantos anos, a partir do ins-
tante inicial, as duas regiões terão a mes - 
ma população?
As populações de A e B serão iguais quando t for 
tal que 6 000 . 100,1t = 600 . 100,2t; daí concluímos 
que 
6 000
600
10
10
0 2
0 1
=
,
,
t
t
, ou seja, 100,1t = 10; logo, 
0,1t = 1 e t = 10 anos.
c) Qual é a população de cada uma das regiões 
15 anos após o instante inicial?
 (Dado: 10
3
2 ≅ 31,62)
15 anos após o instante inicial, teremos:
NA = 6 000 . 10
0,1.15 = 6 000 . 101,5; usando o 
valor aproximado fornecido 10 31 62
3
2 ≅





, , 
resulta que NA = 189 720
 habitantes;
NB = 600 . 10
0,2.15 = 600 . 103 = 600 000 
habitantes.
logaritmos em qualquer base: significado 
e aplicações
Já vimos que é possível escrever cada nú-
mero positivo n como uma potência de 10: se 
n = 10n, então n = log n.
Na verdade, pode-se escrever cada número 
positivo n como uma potência de uma base a 
(a > 0 e a ≠ 1) que não necessita ser igual a 10. 
De modo geral, se n = an, então dizemos 
que n é o logaritmo de n na base a, e escreve-
mos: n = loga n.
Por exemplo, como 16 = 24, dizemos que 
4 é o logaritmo de 16 na base 2, e escrevemos: 
4 = log2 16.
Quando a base escolhida para expressar 
um número n como uma potência é igual a 10, 
convenciona-se que ela pode ficar subentendida; 
26
Exemplo ilustrativo
Na tabela anterior são apresentados alguns 
logaritmos em bases diferentes da base 10. 
Observe com atenção, registrando o que muda 
quando a base não é mais 10 e o que perma-
nece invariável. 
Apenas para ilustrar: o logaritmo de 1 em 
qualquer base é igual a zero, e o logaritmo da 
base é sempre igual a 1.
Note que, quando a base é maior do que 1, 
os números maiores que a base têm logarit-
mos maiores que 1, e os menores que a base 
têm logaritmos menores que 1. Por outro 
lado, quando a base é menor que 1 (positiva, 
sempre), os números maiores que a base têm 
logaritmos menores que 1 e números menores 
que a base têm logaritmos maiores que 1.
Note ainda que, quando a base é maior que 1,
os números maiores que 1 têm logaritmos positi-
vos, e os menores que 1 têm logaritmos negativos. 
Quando a base é menor que 1, os números maio-
res que 1 têm logaritmos negativos e os me-
nores que 1 têm logaritmos positivos.
A exploração da tabela deve ser feita com 
atenção e pode levar bastante tempo. As in-
formações dela extraídas, registradas na ta-
bela da página anterior, são fundamentais 
para a construção dos gráfi cos da função lo-
garítmica, que será apresentada na Situação 
de Aprendizagem 3.
Exercícios exemplares
Potências e logaritmos misturam-se na-
turalmente em contextos práticos: afinal, 
o logaritmo nada mais é que um expoente. 
Seguem alguns exercícios que podem servir 
de base para a assimilação da linguagem 
dos logaritmos, agora em diferentes bases. 
Vamos praticar?
Exercício 3
Calcule os logaritmos indicados a seguir:
a) log2128 e) log2
1
256




 
b) log3 81 f) log3
1
243




c) log13169 g) log16913
d) log5 3 125 h) log125 25
Os diversos itens exploram apenas o signifi -
cado direto dos logaritmos em diferentes bases, 
conforme a defi nição:
N = an signifi ca que n = loga N, ou seja, 
loga a
n = n (com a > 0 e a ≠ 1).
a) log2 128 = log2 2
7 = 7; 
b) log3 81 = log3 3
4 = 4; 
c) log13 169 = log13 13
2 = 2; 
d) log5 3 125 = log5 5
5 = 5; 
e)log
1
256
= log 2 = -8
2 2
–8



 –8; 
f) log
1
243
= log 3 = –5
3 3
–5



; 
g) log 13 = log 169 =
1
2169
g 1169g 1 169
1
2 
 (Poderíamos também escrever: log169 13 = n, 
o que signifi ca que 169n = 13, ou seja, 132n = 131, 
de onde sairia n = 1
2
);
h) se log125 25 = n, então 125
n = 25, e segue 
que 53n = 52, ou seja, n = 2
3
.
Exercício 4
Se um número n situa-se entre an e an + 1, então 
loga N situa-se entre os inteiros n e n + 1. Com 
base neste fato, indique dois inteiros consecutivos 
entre os quais se situam os logaritmos a seguir:
27
Matemática – 1ª- série – Volume 3
 a) log2 52 c) log7 400 
b) log3 300 d) log5 813
Você pode indicar a resposta usando a no-
tação dos logaritmos, sem precisar calculá-los; 
indique dois inteiros consecutivos entre os 
quais o logaritmo se encontra.
A ideia de logaritmo, em qualquer base, traduz 
o fato de que se um número N situa-se entre 
an e an + 1, então loga N situa-se entre os inteiros 
n e n + 1, ou seja, é sempre possível encontrar 
dois inteiros que aproximam o logaritmo de 
qualquer número dado, um por falta, outropor 
excesso. Os exercícios apenas destacam tal fato. 
a) Como 25 < 52 < 26, então 5 < log2 52 < 6.
b) Como 35 < 300 < 36, então 5 < log3 300 < 6.
c) Como 73 < 400 < 74, então 3 < log7 400 < 4.
d) Como 54 < 813 < 55, então 4 < log5 813 < 5.
Exercício 5
Uma população n de micróbios cresce 
exponencialmente de acordo com a expressão 
N = 5 000 . 3t, t em horas. Indique o valor de t 
para o qual se tem:
 a) N = 15 000 d) N = 350 000
 b) N = 25 000 e) N = 470 000
 c) N = 250 000
Nesse exercício, a ideia é expressar as res-
postas às perguntas formuladas na forma de 
logaritmos, sem precisar calculá-los, apenas 
reforçando a ideia de que, ao resolver equações, 
os logaritmos surgem quando temos incógnitas 
nos expoentes. Se a população N de micróbios 
cresce exponencialmente de acordo com a ex-
pressão N = 5 000 . 3t (t em horas), temos:
a) Para N = 15 000, resulta 5 000 . 3t = 15 000, 
ou seja, 3t = 3; logo, t = 1 hora.
b) Para N = 25 000, resulta 5 000 . 3t = 25 000, 
ou seja, 3t = 5; logo, t = log3 5 horas.
c) Para N = 250 000, resulta 5 000 . 3t = 250 000, 
ou seja, 3t = 50; logo, t = log3 50 horas (pode-
mos dizer que 3 < t < 4).
d) Para N = 350 000, resulta 5 000 . 3t = 350 000, 
ou seja, 3t = 70; logo, t = log3 70 horas (pode-
mos dizer que 3 < t < 4).
e) Para N = 470 000, resulta 5 000 . 3t = 470 000, 
ou seja, 3t = 94; logo, t = log3 94 horas (pode-
mos dizer que 4 < t < 5).
Exercício 6
A partir de um valor inicial igual a 1 000, 
certa população P1 de bactérias dobra a cada 
meia hora, ou seja, P1 = 1 000 . 2
2t (t em horas). 
Simultaneamente, partindo de um valor inicial 
8 vezes maior, outra população P2 de bactérias 
cresce mais lentamente que P1, dobrando de 
valor a cada duas horas, ou seja, P2 = 8 000 . 2
0,5t 
(t em horas). 
Trata-se de exercício similar ao 2, já apresen-
tado, envolvendo agora o número de bacté - 
rias de duas colônias, que dobram de tamanho 
em períodos distintos. A população P1 do-
bra a cada 0,5 hora; logo, seu valor inicial 
é multiplicado por 4 a cada hora, e temos: 
P1 = 1 000 . 4
t = 1 000 . 22t.
De modo análogo, P2 dobra a cada duas 
horas, ou seja, seu valor inicial é multiplicado 
por 2 a cada 2 horas, ou seja, é multiplica - 
do por 2 a cada hora, e temos: 
P2 = 8 000 . 2( )t = 8 000 . 20,5t. 
28
Pergunta-se:
a) Em que instante t as duas populações terão 
o mesmo valor?
As populações terão o mesmo valor quando 
1 000 . 22t = 8 000 . 20,5t, ou seja, quando 
21,5t = 8 = 23; teremos, então: 1,5t = 3 e, 
portanto, t = 2 horas.
b) Em que instante t a população P1 será oito 
vezes maior que P2?
Teremos P1 oito vezes maior que P2 quando 
1 000 . 22t = 8 . 8 000 . 20,5t. Efetuando os 
cálculos, temos: 21,5t = 64 = 26; segue que 
1,5t = 6 e, portanto, t = 4 horas. 
c) Quais serão os valores de P1 e P2 quando t = 3? 
 (Use o valor aproximado 2
3
2 = 2,83.)
Quando t = 3, teremos:
P1 = 1 000 . 2
2 . 3 = 1 000 . 26 = 64 000 
bactérias.
P2 = 8 000 . 2
0,5 . 3 = 8 000 . 21,5 = 8 000 . 2,83 = 
= 22 640 bactérias
(usando a aproximação 2
3
2 ≅ 2,83.)
Exercício 7
Certa substância radioativa decompõe-se de 
tal forma que sua massa m reduz-se à metade do 
valor inicial a cada 4 horas, ou seja, m = mo . 2
–0,25t, 
sendo mo o valor inicial da massa. Partindo-se de 
60 g da substância, pergunta-se:
Nesse exercício, com cálculos análogos aos 
anteriores, há um decrescimento na massa m 
de uma substância radioativa. Se ela reduz-se 
à metade a cada 4 horas, então ela é mul-
tiplicada por 1
2
 a cada 4 horas, ou seja, é 
multiplicada por 1
2
 a cada 2 horas, ou, 
ainda, é multiplicada por 1
2
= 1
2
4 = 2–0,25 
a cada hora; daí a expressão m = mo . 2
–0,25t. Se 
a massa inicial era 60 g, então m = 60 . 2–0,25t.
a) Qual será a massa restante após 8 horas?
A massa restante após 8 horas será 
m8 = 60 . 2 
–0,25 . 8 = 60 . 2–2 = 60
4
 = 15 g.
b) Após quanto tempo a massa restante será 
igual a 12 g? (Utilize o valor aproximado 
5 ≅ 22,32.)
A massa restante será igual a 12 g quando 
tivermos 60 . 2–0,25t = 12, ou seja, 5 = 20,25.t 
Utilizando o valor aproximado 5 ≅ 22,32, temos: 
2,32 = 0,25t e, portanto, t = 9,28 horas.
(Poderíamos escrever a parte final da solução 
da seguinte maneira: 5 = 20,25t equivale a dizer 
que 0,25t = log2 5, ou seja, t = 4 . log2 5. O 
valor aproximado fornecido é justamente 
o logaritmo de 5 na base 2.) 
logaritmos: as propriedades 
fundamentais, em qualquer base
Já vimos que os logaritmos nada mais são 
que expoentes; suas propriedades mais funda-
mentais decorrem das correspondentes pro-
priedades das potências. 
Quem afirma, por exemplo, que para mul-
tiplicar potências de mesma base, mantém-se 
a base e somam-se os expoentes, ou seja, que 
am . an = am + n está simultaneamente afirmando 
que o expoente a que se deve elevar a base a 
para se obter o produto (am . an) é igual a 
29
Matemática – 1ª- série – Volume 3
(m + n), o que significa dizer que o logaritmo 
de (am . an) é igual a (m + n). Em outras pala-
vras, o logaritmo do produto é igual à soma 
dos logaritmos dos fatores.
Podemos observar a relação entre as pro-
priedades das potências e dos logaritmos 
na tabela a seguir: 
(a > 0, a ≠ 1; m, n e k naturais quaisquer)
Propriedade
Potências
M = am n = an
logaritmos
m = loga M n = loga n
Produto M . N = am + n loga (M . N) = loga M + loga N
Quociente
M
N
am n= − log log log
a a a
M
N
M N




= −
Potência Mk = amk loga (M
k) = k .loga M
Raiz M M ak
m1
k
= =
k
Tais propriedades são válidas, portanto, 
qualquer que seja a base a em que estamos 
calculando os logaritmos. As propriedades re-
lativas a potências também podem ser estendi-
das para qualquer expoente real k.
Para a determinação dos logaritmos na 
base 10, ou seja, dos logaritmos decimais, exis-
tem tabelas construídas desde o século XVII, 
por meio de aproximações sucessivas. Atual-
mente, podemos obter os logaritmos utilizan-
do calculadoras eletrônicas científicas. 
Uma vez construída uma tabela de logarit-
mos para uma determinada base, por exemplo, 
a base 10, podemos determinar o logaritmo 
de um número n em qualquer outra base por 
meio de um procedimento simples, descrito 
a seguir:
temos o logaritmo de f n na base 10, que é 
igual a n, ou seja, N = 10n; 
queremos o logaritmo de f n em outra base a, 
ou seja, queremos saber o valor de m tal que 
N = am;
como N = 10 f n = am, conhecendo o logarit-
mo da nova base a, ou seja, sabendo o va-
lor de k tal que a = 10k, podemos escrever:
N = 10n = am = (10k)m, de onde segue que 
10n = 10km, e, então, m = 
n
k
;
ou seja, em palavras: f
logaritmo de n na base 10
logaritmo de a na base 10
logaritmo de n 
na base a =
30
em notação simbólica, temos: f
log
log
log
N
N
aa
=
com um procedimento análogo, podería- f
mos obter a expressão que permite a mu-
dança de uma base conhecida a para uma 
nova base b:
logaritmo de n na base a
logaritmo de b na base a
logaritmo de n 
na base b =
log
log
logb
a
a
N
N
b
=
Exemplo ilustrativo
Dispondo-se de uma tabela de logaritmos 
decimais (base 10), para se obter uma tabela 
de logaritmos na base 7, basta encontrar na 
própria tabela o logaritmo decimal de 7 (que é 
aproximadamente 0,845) e dividir todos os va-
lores tabelados por esse valor. Por exemplo:
log
log
log ,
,7 10
10
7
1
0 845
1183= = =
log
log
log ,
,7 100
100
7
2
0 845
2 367= = =
log
log
log
log
,7 7 0 845
N
N N= =
Exercícios exemplares
Exercício 8Estabelecendo-se que log 2 = 0,30103, calcule:
a) o logaritmo de 10 na base 2;
Temos: log2 10 =
log
log ,
,
10
2
1
0 30103
3 322= = .
b) o logaritmo de 5 na base 10;
Como 5 = 10
2
, segue que log 5 = 
= log 10 – log 2 = 1 – 0,30103 = 0,69897.
c) o logaritmo de 5 na base 2;
Temos, analogamente ao item a: 
log2 5 =
log
log
,
,
,
5
2
0 69897
0 30103
2 322= =
(Observar a resposta do item a) e notar que, 
em razão de termos 10 = 5 . 2, resulta que 
log2 10 = log2 5 + log2 2, ou seja, log2 10 = 
= log2 5 + 1.)
d) o logaritmo de 64 na base 5.
Como queremos calcular log5 64, podemos 
escrever: log
log
log ,
,
5
2
2
64
64
5
6
2 322
2 584= = =
logaritmos: uma linguagem sugestiva em 
diferentes contextos
O contexto em que surgiram os logaritmos 
era o de simplificação de cálculos, no início 
do século XVII. Tal significado prático não é, 
hoje, especialmente relevante diante dos inú-
meros recursos tecnológicos disponíveis para 
isso. No entanto, a relevância dos logaritmos 
permaneceu e é possível afirmar que ela au-
mentou. Como explicar tal fato?
A força da ideia de logaritmo provém do 
fato de que os logaritmos são expoentes, que 
podem ser utilizados para simplificar cál-
culos, mas que também são especialmente 
adequados para representar de modo su-
gestivo grandezas de valores muito grandes, 
31
Matemática – 1ª- série – Volume 3
como as energias liberadas por ocasião dos 
terremotos, ou muito pequenas, como as 
quantidades de íons de hidrogênio livres 
em um líquido, que são responsáveis pela 
acidez, por exemplo. A expressão das gran-
dezas correspondentes a esses fenômenos 
por meio de potências de 10 torna os núme-
ros envolvidos menores (de 0 até por volta 
de 9 graus na escala Richter, e de 0 a 14 na 
indicação do pH). Como se sabe, a água tem 
pH igual a 7, a acidez de um líquido é tanto 
maior quanto menor é seu pH, entre 0 e 7, e 
o caráter básico, que se opõe ao ácido, signi-
ficando menos H+ por litro, aumenta quanto 
mais o pH se aproxima de 14. 
Exercícios exemplares
Nos exercícios seguintes, serão apresen-
tados os elementos fundamentais para a 
compreensão dos fatos citados, ilustrando 
a importância da ideia de logaritmo em dife-
rentes contextos.
Exercício 9
A energia liberada por ocasião de um ter-
remoto pode ser muito grande, sendo fre-
quentemente expressa por uma potência de 
10. Para medir o potencial destrutivo de um 
terremoto, utiliza-se a escala Richter, que 
leva em consideração apenas o expoente 
da potência considerada em cada caso. Esse 
expoente indica a magnitude do terremoto. 
Existem aparelhos apropriados para medir 
tal magnitude: são os sismógrafos. A tabela 
a seguir registra o local, o ano de ocorrên-
cia e a magnitude de alguns terremotos que 
ficaram famosos pelos estragos produzidos. 
local
Ano de 
ocorrência
Magnitude
Los Angeles 1994 6,6
Japão 1993 7,8
Irã 1990 7,7
São Francisco 1989 7,1
Armênia 1988 6,9
Cidade do México 1985 8,1
Grã-Bretanha 1984 5,5
Alasca 1964 8,4
Chile 1960 8,3
Ex-União Soviética 1952 8,5
São Francisco 1906 8,3
Colômbia 1906 8,6
Ilha de Krakatoa 1883 9,9
Com base nas informações anteriores, res-
ponda às seguintes questões:
A competência específica mais mobilizada 
no presente exercício é a competência leitora. 
Além da compreensão da ideia de logaritmo 
como expoente, todas as informações necessá-
rias para a solução encontram-se no texto.
a) Um terremoto de 8 graus na escala Richter 
é potencialmente quantas vezes mais des-
trutivo que um terremoto de 4 graus?
Um terremoto de 8 graus na escala Richter 
é potencialmente 10 vezes mais destrutivo 
do que um terremoto de 7 graus, uma vez 
que o grau representa o expoente de uma 
potência de 10 que é usada para expressar 
a energia liberada, que produz os estragos. 
Analogamente, um terremoto de 8 graus 
é 100 vezes mais destrutivo do que um de 
32
6 graus, 1 000 vezes mais destrutivo que um 
de 5 graus e 10 000 vezes mais destrutivo que 
um de 4 graus.
b) Um caminhão muito pesado passou pela 
rua e produziu um pequeno tremor. Um 
sismógrafo registrou 2,5 graus na escala 
Richter. Se 4 caminhões passarem juntos 
pela rua, podemos afirmar que o tremor 
correspondente será de 10 graus?
Para aumentar 1 grau na escala Richter, 
seja de 1 para 2 graus, de 2 para 3, de 2,5 
para 3,5, etc., será necessária uma energia 
destrutiva 10 vezes maior, uma vez que o 
grau é o expoen te de uma potência de 10. Se 
4 cami nhões passarem juntos pela rua, po-
demos afirmar que o tremor corresponden-
te será de pouco mais de 2,5 graus, uma vez 
que a energia correspondente será apenas 
4 vezes maior. Se fosse possível termos simul-
taneamente 10 000 caminhões passando pela 
rua, então o sismógrafo registraria 4 graus a 
mais, ou seja, 6,5 graus. É possível calcular 
que, para atingir 10 graus (nunca existiu um 
terremoto desse nível), seriam necessários 
cerca de 316 . 105 caminhões. (Para fazer 
esse cálculo, sabemos que a energia destruti-
va é diretamente proporcional a 10n, ou seja, 
En = K . 10
n. Calculando a razão 
E
E
10
2,5
 , obte-
mos 
10
10
10
2,5
 , ou seja, 316 . 105 (aproximada-
mente). Basta descobrir por quanto é neces-
sário multiplicar E2,5 para se obter E10.)
Exercício 10
Para caracterizar a acidez de um líquido, 
usa-se um indicador chamado de pH (poten-
cial hidrogeniônico). O pH dá uma ideia da 
quantidade de íons H+ que se encontram li-
vres, no líquido, indicando a concentração 
(quantidade por unidade de volume) de tais 
íons. A própria água (H2O) tem íons H
+ livres: 
são relativamente poucos, mas existem. Há, na 
água, cerca de 1 íon-grama de H+ para cada 
107 litros. Em uma limonada existem mais íons 
H+ livres: digamos, 1 íon-grama para cada 102 
li tros. Em alguns líquidos, há menos íons H+ do 
que na água: no leite de magnésia, por exemplo, 
cerca de 1 íon-grama de H+ para cada 1010 li tros. 
Dizemos que o pH da água é 7, o pH da limo-
nada é 2, e o pH do leite de magnésia é 10. A 
escala do pH varia de 0 a 14, situando a água 
bem no meio. Os líquidos com pH entre 0 e 7 
têm um caráter ácido; os que têm pH entre 7 e 
14 têm um caráter básico. Para combater a aci-
dez estomacal, por exemplo, costuma-se ingerir 
uma colher de leite de magnésia. 
A tabela a seguir representa os valores apro-
ximados do pH de alguns líquidos.
líquido ph
Ácido sulfúrico 0,1
Suco de laranja 3,0
Vinho 3,4
Suco de tomate 4,2
Café 5,0
Leite 6,9
Água 7,0
Sangue humano 7,4
Água do mar 8,2
Leite de magnésia 10,0
Amônia 13,0
Hidróxido de potássio 14,0
33
Matemática – 1ª- série – Volume 3
Com base nessas informações, responda às 
seguintes questões:
a) O que significa dizer que determinado líqui-
do tem pH igual a 6?
Dizer que determinado líquido tem pH igual 
a 6 significa dizer que existe 1 íon-grama de 
H+ para cada 106 litros.
b) Se um líquido tem 1 íon-grama de H+ para 
cada 100 litros, qual é o seu pH?
Se um líquido tem 1 íon-grama de H+ para 
cada 100 litros, seu pH é igual a 2.
c) Se um líquido tem pH igual a 8, ele tem 
mais ou menos íons de hidrogênio livres do 
que a água? Quantas vezes?
Se um líquido tem pH igual a 8, ele tem 10 vezes 
menos H+ do que a água (a razão de 1 para 108 
é 10 vezes menor do que a razão 1 para 107).
d) Qual é a diferença entre os valores do pH de 
dois líquidos, um deles com mil vezes mais 
íons H+ livres do que o outro?
A diferença entre os valores do pH de dois 
líquidos, um deles com mil vezes maisíons 
H+ livres do que o outro é igual a 3; o de 
maior pH tem mil vezes menos íons H+.
a água tem 1 íon-grama de H f + para 107 
litros, ou seja, a razão é 1
107
 e dizemos 
que seu pH é 7; 
um ácido tem mais íons-grama de H f +. Por 
exemplo, se tem 1 para 103 litros, ou seja, 
a razão é 1
103
, dizemos que seu pH é 3;
já um líquido básico, tem menos H f +. Por 
exemplo, se tem 1 para 1012 litros, ou seja, 
a razão é 1
1012
, dizemos que seu pH é 12.
A escala de pH varia de 0 a 14, situan-
do-se a água em seu ponto médio.
Exercício 11
O ouvido humano é muito versátil e percebe 
sons de uma gama de intensidades muito am-
pla. A intensidade sonora é a medida da energia 
transportada pelas ondas sonoras por segundo e 
por unidade de área (perpendicular à direção da 
propagação). Entre o som de baixa intensidade, 
quase inaudível, e o ruído que produz dor nos 
ouvidos, a intensidade varia em uma escala que 
vai de 1 a 1012. Para medir a intensidade sono-
ra, utiliza-se apenas o expoente correspondente 
a cada intensidade. Ele corresponde ao número 
de “béis” (plural de bel, unidade escolhida em 
homenagem ao físico Alexandre Graham Bell). 
Assim, se ao som fracamente audível correspon-
de 0 bel, ao som que produz dor corresponde-
rá 12 béis. Como o bel se revelou uma unidade 
muito grande para distinguir os diversos níveis 
de som, em situações práticas, costuma-se usar o 
decibel, que corresponde à décima parte do bel.
A tabela a seguir registra as intensidades 
sonoras correspondentes a algumas situa - 
ções cotidianas:
Como no exercício anterior, o que se exi-
ge aqui, além da ideia de logaritmo como ex-
poente, é a competência leitora. A escala de 
pH também é logarítmica, ou seja, os valores 
são expoentes. Porém, como se trata de nú-
meros pequenos, uma vez que a quantidade 
de íons H+ por litro é pequena, os expoentes 
encontram-se no denominador:
34
tipo de som intensidade 
(watts/m2)
números 
proporcionais
Medida 
em bel
Medida 
em decibel
Som fracamente
audível
10−12 1 0 0
Ruído das folhas 
de uma árvore
10−11 10 1 10
Sussurro humano 10−10 102 2 20
Conversa comum 10−6 106 6 60
Barulho dos 
carros no tráfego 
pesado
10−5 107 7 70
Britadeira manual 
usada na rua
10−2 1010 10 100
Som que produz 
dor e dano
1 1012 12 120
Com base nas informações anteriores, res-
ponda às seguintes questões:
a) Um som de intensidade de 90 decibéis é 
quantas vezes mais intenso que outro de 
intensidade de 80 decibéis?
Um som de 90 decibéis, ou seja, 9 béis, é 
10 vezes mais intenso do que um de 8 béis, 
ou seja, 80 decibéis, uma vez que o 
número de béis corresponde ao expoente 
de uma potência de 10 que representa a 
intensidade.
b) Quantos decibéis correspondem a uma bri-
tadeira defeituosa, que emite um som com 
intensidade 100% maior do que o normal 
(tabela)?
O som emitido por uma britadeira é de 
10 béis, que corresponde à intensidade 
1010 vezes maior do que a do som fracamente 
audível. Se a intensidade se tornar 100% 
maior, será igual a 2 . 1010 vezes maior do 
que a do som fracamente audível. Para saber 
a quantos béis tal intensidade corresponde, 
será necessário escrever tal número como 
uma potência de 10: 2 . 1010 = 10n
Logo, o valor de n será o logaritmo de 
2 . 1010 na base 10, ou seja: n = log (2 . 1010) = 
= log 2 + 10 = 10,30 (usando o valor 
aproximado log 2 ≅ 0,30).
O som terá, portanto, 10,3 béis, ou seja, 
103 decibéis.
c) Qual fórmula relaciona o número n de 
béis de um som com sua intensidade 
 sonora i?
Para calcular o número n de béis, expressa-
mos a razão entre a intensidade I e a inten-
sidade do som fracamente audível por meio 
de uma potência de 10:
35
Matemática – 1ª- série – Volume 3
I n
10
10
12− = .
Daí segue que: n
I= 


−
log
10 12
 
(n em béis).
d) Qual fórmula relaciona o número n de 
decibéis de um som com sua intensidade 
sonora I?
Segue que n
I= 


−
10
10 12
.log 
(n em decibéis).
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem, 
a expectativa é que os alunos tenham com- 
preen dido a importância da ideia de lo-
garitmo. A despeito de não se ter mais a 
simplificação dos cálculos no centro das 
atenções, a linguagem dos logaritmos é 
fundamental, como foi visto, em diferentes 
contextos em que os expoentes das grande-
zas envolvidas estão em questão. Espera-se 
que o professor tenha levado os alunos a 
perceber que a mudança do olhar da potên-
cia para o expoente, que caracteriza a ideia 
de logaritmo, é um recurso muito poderoso 
para a apreensão do significado de grandes 
números, escrevendo-os como potências de 
uma base conveniente e reduzindo-os aos 
seus expoentes. As operações com loga-
ritmos, bem como suas propriedades fun-
damentais, correspondem a propriedades 
similares já conhecidas sobre potências, 
e tal paralelismo merece destaque. Talvez 
a única relação específica a ser mencio-
nada seja a relativa à mudança de base: 
logb N
N
b
a
a
= log
log
. A plena compreensão des-
sa relação, qual seja, o fato de que conhe-
cendo os logaritmos de todos os números 
em uma base a, para termos todos os lo-
garitmos em outra base b, basta dividir os 
logaritmos conhecidos pelo logaritmo da 
nova base b, pode ser muito útil, inclusive 
na utilização de calculadoras ou softwares.
As observações de tabelas de valores de 
potên cias e logaritmos, levadas a efeito ao lon-
go da atividade, podem constituir momentos 
especialmente importantes para o professor 
recordar e praticar cálculos, ao mesmo tempo 
que prepara o terreno para o estudo das fun-
ções logarítmicas, que será realizado na Situa-
ção de Aprendizagem seguinte. Considera-se 
imprescindível que, ao concluir esta Situação 
de Aprendizagem, os alunos tenham:
incorporado a linguagem dos logaritmos f
como expoentes, aprendendo a utilizá-la 
em diferentes contextos;
aprendido as propriedades básicas dos lo- f
garitmos, associando-as às propriedades 
correspondentes das potências, sabendo 
utilizá-las para realizar cálculos envolven-
do incógnitas nos expoentes;
compreendido que é possível expressar os f
logaritmos em diferentes bases, sabendo 
efetuar os cálculos necessários para a mu-
dança de uma base para outra, quando isso 
for conveniente.
36
As ideias sobre potências, que já vinham 
sendo apresentadas desde o Ensino Funda-
mental, foram enfeixadas na Situação de 
Aprendizagem 1, na qual a função exponen-
cial foi apresentada aos alunos. Agora, ten-
do sido apresentados aos logaritmos e suas 
propriedades, aprendendo a reconhecê-los 
em diferentes contextos, vamos procurar, de 
modo análogo ao que foi feito com as potên-
cias, enfeixar tais ideias por meio da apre-
sentação da função logarítmica. Ao mesmo 
tempo, buscaremos explicitar a aproximação 
entre tais funções, uma vez que uma delas re-
mete imediatamente à outra, examinada de 
um ponto de vista invertido: se y = ax, então 
x = loga y. Tais funções serão exploradas mais 
detidamente, sobretudo na perspectiva do 
crescimento/decrescimento. 
Se, na Situação de Aprendizagem anterior, a 
compreensão leitora e a aprendizagem de uma 
escrita expressiva para descrever fenômenos 
envolvendo expoentes estavam no centro das 
atenções, agora mantemos os mesmos interes-
ses anteriores, mas voltamos as atenções mais 
especificamente para o tratamento matemático 
das funções envolvidas. Afinal, queremos o ins-
trumental dos logaritmos para utilizá-los em 
contextos práticos, mas precisamos cuidar bem 
de nosso instrumento, o que significa,