regime de juros simples

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Regime de juros simples
Conceito
No regime de juros simples os juros de cada período incidem somente 
sobre o valor do principal (capital inicialmente aplicado ou tomado em-
prestado) gerando, consequentemente, remunerações para o aplicador ou 
custos para o tomador de recursos diretamente proporcionais ao principal e 
ao prazo envolvidos na operação. Nesse regime não existe capitalização dos 
valores, pois os juros não são incorporados ao principal para se calcular os 
juros do período seguinte, ou seja, o capital cresce a uma taxa linear.
O regime de juros simples se restringe principalmente às operações pra-
ticadas a curto prazo, tais como cobrança de cheques especiais e desconto 
de títulos de curto prazo (duplicatas, cheques pré-datados e notas promissó-
rias). Uma questão fundamental é que nas fórmulas de matemática financei-
ra é necessário que, tanto o prazo da operação, como a taxa de juros, sejam 
expressos na mesma unidade de tempo. Deveremos, então, ou expressar o 
prazo na mesma unidade de tempo da taxa ou expressar a taxa na mesma 
unidade de tempo do prazo. 
Dedução do montante
Para deduzirmos a fórmula do montante, no regime de juros simples, 
temos:
M = P + J
Período Saldo inicial Juros (P . i) Saldo final
0 – – P
1 P P.i P + P . i = P . (1 + i)
2 P (1 + i) P.i P + 2 . P . i = P . (1 + 2 i)
3 P (1 + 2i) P.i P + 3 . P . i = P . (1 + 3 i)
4 P (1 + 3i) P.i P + 4 . P . i = P . (1 + 4 i)
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Regime de juros simples
ou seja,
M1 = P . (1 + i)
M2 = P . (1 + 2 i)
M3 = P . (1 + 3 i)
M4 = P . (1 + 4 i)
Generalizando, temos:
M = P . ( 1 + i n)
Onde: M = montante.
P = principal.
i = taxa de juros da operação.
n = prazo da operação.
A equação anterior reflete o cálculo do valor final de uma quantia aplica-
da ou captada através de um empréstimo no regime de juros simples. Essa 
mesma relação pode ser obtida a partir do comportamento gráfico dos juros 
simples, demonstrado a seguir.
Evolução do capital no caso do regime de juros simples.
períodos
M
P
O
= juros no período
M = P . (1 + i . n)
M1
1 2 3 ...
M2
M3
i . P
i . P
i . P
 
Pela equação da reta (Y = a + b . X), temos Y que é o montante, P é o coefi-
ciente linear (a), i x P é o coeficiente angular (b) e X é o período (n). Assim, de-
duzimos a equação fundamental do montante em regime de juros simples:
Regime de juros simples
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Y = a + b . X
Logo,
M = P + P. i . n.
Portanto:
M = P . ( 1 + i n)
Onde: M = montante
P = principal
i = taxa de juros da operação
n = prazo da operação
Exemplo:
Suponha que um investidor possua R$1.000,00 para aplicar por quatro meses 
a uma taxa de 5% ao mês. Calcule o montante do primeiro ao quarto mês.
Solução:
Período Saldo inicial Juros (P . i) Saldo final
0 – – R$1.000,00
1 R$1.000 R$50,00 R$1.050,00
2 R$1.050 R$50,00 R$1.100,00
3 R$1.100 R$50,00 R$1.150,00
4 R$1.150 R$50,00 R$1.200,00
Conforme podemos ver na tabela acima, o saldo final cresce de forma 
linear (progressão aritmética de razão P . i). No exemplo, o valor dos juros é 
igual a:
J = R$1.000,00 . 5% = R$50,00. �
A partir da fórmula de cálculo do montante para o regime de juros simples, 
e lembrando que nesse regime os juros têm um comportamento linear, pode-
mos definir uma relação matemática para a determinação do valor dos juros 
entre dois períodos quaisquer. Essa fórmula é obtida da seguinte forma:
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Regime de juros simples
capital
período
R$1.200,00
R$1.000,00
4
Em n intervalos unitários de tempo (n períodos) o total de juros Jt será:
Jt = P. i + P. i + P . i + .... + P . i 
J = P . i . n
Onde: J = juros acumulados no período.
P = principal.
i = taxa de juros da operação.
n = prazo da operação.
Ou seja, os juros totais Jt são diretamente proporcionais ao capital inicial 
P, ao número n de intervalos unitários de tempo e à taxa de juros i. Essa line-
aridade tem uma série de implicações práticas. Uma das mais importantes 
indica que:
a taxa mensal é igual à taxa diária multiplicada por 30, ou ainda, a taxa �
anual é igual à mensal multiplicada por 12 etc. 
Desse modo, podemos chegar às seguintes fórmulas para a capitalização 
simples:
M = P + J (fórmula do montante)
J = P. i . n (juros) 
M = P + (P . i . n) ou 
M = P. (1 + i . n)
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Explicitação da taxa de juros
Dado que M = P (1 + i n), podemos explicitar a taxa de juros conforme a 
seguir:
i = (M / P) – 1
n
Explicitação do principal
Dado que Mn = P . (1 + i . n), podemos explicitar o principal conforme a 
seguir:
P = M
(1 + i . n)
Explicitação do prazo
Dado que Mn = P . (1 + n . i), podemos explicitar o prazo conforme a 
seguir:
n = (M / P) – 1
i
Onde: M = montante.
P = principal.
i = taxa de juros da operação.
n = prazo da operação.
Taxas proporcionais
Duas ou mais taxas de juros são ditas proporcionais quando correspon-
dem a valores iguais numa mesma unidade de tempo. No regime de juros 
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Regime de juros simples
simples, taxas proporcionais aplicadas sobre o mesmo capital, durante o 
mesmo período, produzem o mesmo montante.
Exemplos: 
1. Qual a taxa anual proporcional a 2% a.m. em regime de juros simples?
 Solução:
 J1 = J2
 P . i1 . n1 = P . i2 . n2
 i1 . n1 = i2 . n2
 i1 = n2/n1 . i2
 ia.a. = i a.m. . n2/n1
 ia.a. = 2% . 12/1 = 24% a.a.
2. Quais são as taxas trimestrais, semestrais e anuais proporcionais a 3% 
ao mês?
 Solução:
 3% a.m. 9% a.t. 18% a.s. 36% a.a. 
3. Calcule o montante de uma aplicação de R$10.000 ao final de um ano, 
considerando o regime de juros simples a uma taxa de 2% ao mês.
 Solução: 
 M = R$10.000,00 (1 + 0,02 . 12) = R$12.400,00
 Obs.: se um capital inicial de R$10.000,00 for aplicado ao longo de um 
ano, teremos um montante de R$12.400,00, que pode ser calculado 
por diferentes formas:
 M = R$10.000,00 (1 + 0,02 .12) = R$12.400,00 (taxa mensal)
 M = R$10.000,00 (1 + 0,06 . 4) = R$12.400,00 (taxa trimestral)
 M = R$10.000,00 (1 + 0,12 . 2) = R$12.400,00 (taxa semestral)
 M = R$10.000,00 (1 + 0,24 . 1) = R$12.400,00 (taxa anual) 
Dessa forma concluímos que, no regime de juros simples, taxas equiva-
lentes também são taxas proporcionais.
Regime de juros simples
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Juros exatos e juros comerciais
É muito comum certas operações ocorrerem por um ou alguns dias 
apenas. Nesses casos é conveniente utilizarmos a taxa diária equivalente. O 
cálculo pode ser feito segundo duas convenções:
Considerando-se o ano civil, que tem 365 (ou 366) dias e cada mês com �
seu número real de dias. Nessa convenção são obtidos os juros exatos.
Considerando-se o ano comercial com 360 dias e o mês comercial com �
30 dias. Nessa convenção são obtidos os juros comerciais.
Em geral, a convenção adotada é a de juros comerciais.
Exemplo:
 Um capital de R$22.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 30% 
a.a. pelo prazo de 77 dias. Obtenha os juros exatos e comerciais para 
essa aplicação.
 Solução:
 Juros exatos: J = P . i . n, J = R$22.000,00 . 30% / 365 . 77 = R$1.392,33
 Juros comerciais: J = P . i . n, J = R$22.000,00 . 30% / 360 . 77 = R$1.411,67
Uso da HP-12C no regime de juros simples
Para trabalharmos no regime de juros simples com a calculadora HP-12C 
temos que seguir os seguintes passos:
Apagar os registros na memória (f REG).1. 
Introduzir o período em dias (n).2. 
Introduzir a taxa de juros anual (i).3. 
Introduzir o valor do principal com sinal negativo (CHS PV).4. 
Pressionar (f INT) para mostrar os juros na base anual com 360 dias.5. 
Pressionar (6. +) para obter o montante.
Obs.: a calculadora financeira HP-12C permite também calcular os juros e 
o montante com base no ano civil (365 dias), a partir dos seguintes passos:50
Regime de juros simples
Apagar os registros na memória (f REG).1. 
Introduzir o período em dias (n).2. 
Introduzir a taxa de juros anual (i).3. 
Introduzir o valor do principal com sinal negativo (CHS PV).4. 
Pressionar (f INT) para mostrar os juros na base anual com 360 dias.5. 
R6. mostra o principal no visor.
x 7. y mostra o valor dos juros. 
Pressionar (+) para obter o montante.8. 
Exemplos:
1. Qual é o montante de uma aplicação de R$1.000,00 a uma taxa de ju-
ros linear de 3% a.m. aplicados durante cinco meses?
 Solução:
 M = P (1 + i. n)
 M = R$1.000,00. (1 + 0,03 . 5)
 M = R$1.150,00
Pela HP-12C
f REG1. 
150 n (na HP-12C o prazo tem que ser digitado em dias).2. 
36 i (na HP-12C a taxa tem que ser digitada em bases anuais).3. 
1.000 CHS PV4. 
f INT 5. 150
+ 6. 1.150,00
2. Qual é o montante de uma aplicação de R$3.000,00 a uma taxa de ju-
ros linear de 4% a.m. durante 96 dias?
 Solução:
 M = R$3.000,00 (1 + 0,04 . (96/30))
 M = R$3.384,00 
Regime de juros simples
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3. Calcule o valor dos juros incidentes sobre os saldos devedores em 
conta-corrente do cliente de um banco que cobra uma taxa de 15% ao 
mês, com base nos lançamentos a seguir.
 Solução:
Data
Lançamento
débito/crédito
Saldo (P)
N.º de
dias (n)
N.º de dias x
saldo devedor
02 – R$1.000,00C – –
06 R$5.000,00 D R$4.000,00 D 6 R$24.000,00
12 R$20.000,00 D R$24.000,00 D 8 R$192.000,00
20 R$10.000,00 C R$14.000,00 D 5 R$70.000,00
25 R$2.000,00 C R$12.000,00 D 5 R$60.000,00
30 R$30.000,00 C R$18.000,00 C – –
Total R$346.000,00
 J = R$346.000,00 . (0,15/30)
 J = R$1.730,00 (juros a serem pagos pelo correntista).
4. Calcular a taxa de juros simples para 18 dias de aplicação, equivalente 
à taxa de 5% ao mês?
 Solução:
 i18 dias = [0,05/30] .18 = 0,03 = 3,0% em 18 dias.
5. Determinar o rendimento de R$18.000,00 aplicado durante seis meses 
e 20 dias à taxa de juros simples de 20% ao ano. 
 Solução:
 J = R$18.000,00 . (0,2 / 360) . 200 = R$2.000,00
6. Durante oito meses, R$22.000,00 renderam R$4.300,00 de juros. Qual 
é a taxa anual de juros simples?
Solução:
 R$4.300,00 = R$22.000,00 . (ia/12) . 8
 ia = 29,32% a.a. 
7. Qual a taxa anual proporcional a 6% ao trimestre?
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Regime de juros simples
 Solução: 
 ia = 4 . 6% = 24% a.a.
8. Qual a taxa mensal (ia.m.) proporcional à taxa de 6% aos 32 dias (i32d)?
 Solução: 
 i32 = 6% / 32 . 30 = 5,63% a.m.
9. Quais as taxas diária, mensal, semestral e anual que são equivalentes a 
juros simples à taxa de 22,0% ao trimestre?
 Solução: 
 id = 22% / 90 = 0,24% a.d. 
 im = 22% / 3 = 7,33% a.m. 
 is = 22% . 2 = 44,0% a.s.
 ia = 22% . 4 = 88,0% a.a.
10. Qual é o capital inicial necessário para se ter um montante de 
R$12.000,00 daqui a três semestres, a uma taxa de 14% a.s. no regime 
de juros simples?
 Solução: 
 im = 14% / 6 = 2,33% a.m.
 M = P (1 + im . n); 
 R$12.000,00 = P (1+ 0,0233 . 18) 
 P = R$8.450,70
11. Qual é a taxa mensal de juros simples que faz um principal de R$1.000,00 
se transformar num montante de R$1.800,00 depois de 12 meses?
 Solução: 
 M = P (1 + im . n) 
 R$1.800,00 = R$1.000,00 (1 + im . 12) 
 im = 6,67% a.m.
Regime de juros simples
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12. Qual é o montante acumulado em 36 meses, a uma taxa de 1,2% 
a.m., no regime de juros simples, a partir de um capital inicial de 
R$30.000,00?
 Solução: 
 M = P (1 + im . n) 
 M = R$30.000,00 (1 + 0,012 . 36)
 M = R$42.960,00
13. Qual deve ser o principal de uma aplicação que resulte num montante 
de R$11.880,00 daqui a quatro meses a uma taxa de juros simples de 
2% a.m.?
 Solução: 
 M = P (1 + im . n) 
 R$11.880,00 = P (1 + 0,02 . 4)
 P = R$11.000,00
14. Um título aplicado à taxa de 1,5% a.m. foi resgatado por R$20.600,00. 
Qual o juro auferido na operação, sabendo-se que ela foi realizada por 
dois meses?
 Solução: 
 M = P (1 + im . n) 
 R$20.600,00 = P (1 + 0,015 . 2)
 P = R$20.000,00
 J = R$20.600,00 – R$20.000,00 
 J = R$600,00
15. Por quanto tempo devemos manter aplicado um capital de R$25.000,00 
à taxa de 1,8% a.m. para gerar um montante de R$27.250,00?
 Solução: 
 M = P (1 + im . n)
 R$27.250,00 = R$25.000,00 (1 + 0,018 . n)
 n = 5 meses
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Regime de juros simples
16. Qual a taxa de juros efetiva que devemos aplicar a um principal no va-
lor de R$50.00,00 para gerar um montante de R$97.500,00 no período 
de 50 meses?
 Solução: 
 M = P (1 + im . n)
 R$97.500,00 = R$50.000,00 ( 1 + i . 50)
 i = 1,9% a.m.
17. Uma pessoa aplica R$8.000,00 a uma taxa de juros linear de 2% a.m. 
pelo período de quatro meses. Qual é o montante?
 Solução: 
 M = P (1 + im . n)
 M = R$8.000,00 (1 + 0,02 . 4)
 M = R$8.640,00
18. Quais são os valores dos juros e o montante a ser pago corresponden-
tes a um empréstimo de R$2.000,00, sendo a taxa de 1,5% a.m. e o 
período de 93 dias?
 Solução: 
 M = P (1 + im . n)
 M = R$2.000,00 (1 + 0,015/30 . 93)
 M = R$2.093,00
 J = M – P = R$2.093,00 – R$2.000,00
 J = R$93,00 
19. Foram aplicados R$18.000,00 por 120 dias que renderam R$3.045,60. 
Quais são as taxas de juros mensal e anual?
 Solução: 
 M = R$18.000,00 + R$3.045,60 = R$21.045,60
 M = P (1 + im . n)
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 R$21.045,60 = R$18.000,00 (1 + im /30 . 120)
 im = 4,23% a.m. e ia = 4,23% . 12 = 50,76% a.a.
20. Em que prazo uma aplicação de R$30.000,00 gera um montante de 
R$55.200,00 considerando-se uma taxa de 3% a.m.?
 Solução: 
 M = P (1 + im . n)
 R$55.200,00 = R$30.000,00 (1 + 0,03 . n)
 n = 28 meses.
Desconto simples
Um título de crédito é um documento usado para formalizar uma dívida 
que não pode ser paga de imediato, mas que deverá ser saldada numa data 
futura. Ou seja, o devedor fornece ao credor um documento através do qual 
o mutuante pode comprovar ser credor daquela quantia. Há quatro tipos de 
títulos mais usados: 
nota promissória; �
duplicata; �
letra de câmbio; �
cheques pré-datados. �
Nota promissória
Quando uma pessoa deve a outra uma determinada quantia e não pode 
pagar no momento, esta pessoa (devedora) dá a outra (credora), em garantia, 
uma nota promissória. A nota promissória é um título de crédito que contém 
uma promessa direta de pagamento de certa soma de dinheiro em determi-
nada data futura. É muito usada entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas 
e jurídicas, normalmente uma instituição financeira. 
O seu emitente (sacador) se obriga a pagar, na data do vencimento, o 
valor declarado no título (valor nominal). Muitas vezes os portadores de pro-
missórias negociam esse título com instituições financeiras em troca de um 
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Regime de juros simples
valor inferior ao nominal, chamado de valor descontado (o valor nominal 
menos o desconto). O valor descontado também recebe o nome de valor 
líquido da nota promissória.
Na nota promissória devem estar especificados os seguintes dados: 
quantia a ser paga (dívida inicial mais a parcela de juros); �
data em que deve ser paga (vencimento do título); �
nome e assinatura do devedor (emitente do título); �
nome do credor (pessoa que receberá a quantia paga). �
Duplicata
É um título de crédito formal, emitido por uma pessoa jurídica contra o 
cliente (pessoa física ou jurídica) para a qual vendeu mercadorias ou prestou 
serviços a prazo para serem pagos no futuro, segundo entendimento entre 
as partes. A emissão da duplicata só é legal se for feita tendo por base a nota 
fiscal proveniente do serviço prestado ou da mercadoria vendida. 
Frequentemente, os portadores das duplicatas, necessitando de capital 
de giro para o financiamento de seus negócios, podem transferir a posse 
desse título a um banco, recebendo em troca o valor descontado (valorno-
minal menos o desconto).
Na duplicata os seguintes elementos são especificados: 
quanto deve ser pago; �
quando deve ser pago; �
por quem deve ser pago; �
a quem deve ser pago. �
Letra de câmbio
É uma ordem de pagamento emitida pelas Sociedades de Crédito, Finan-
ciamento e Investimento, chamadas de financeiras, com o intuito de captar 
fundos por meio da sua colocação ao público e, dessa maneira, obter recur-
sos de terceiros para fazer empréstimo aos clientes tomadores em operações 
de Crédito Direto ao Consumidor (CDC) ou Crédito Pessoal (CP). 
Regime de juros simples
57
Seu portador pode retirar na data do vencimento a quantia especificada 
no título (valor nominal). Muitas vezes o portador, necessitando de dinhei-
ro, negocia com uma instituição financeira o resgate numa data anterior ao 
vencimento. O valor recebido (valor descontado) é a diferença entre o valor 
nominal e o desconto. As financeiras funcionam como o intermediário que 
capta recursos no mercado para aplicar no próprio mercado, através de em-
préstimos concedidos a pessoas físicas ou jurídicas para a compra de bens ou 
para crédito pessoal. Alguns contratos que implicam em pagamento a prazo, 
permitem ao credor, emitir em nome do devedor, uma letra de câmbio e 
descontá-la em um banco antes de seu vencimento.
Com o advento dos bancos múltiplos, a maioria das Sociedades de Cré-
dito, Financiamento e Investimento passou a ser estruturada como uma 
carteira desse tipo de instituição financeira, ficando bastante limitado o 
volume de captação de recursos para o funding das operações através desse 
instrumento.
Cheque pré-datado
É uma operação de crédito não regulamentada por lei e que viabiliza a 
venda parcelada de um produto ou serviço, permitindo ao comprador o 
pagamento de forma parcelada do bem que será adquirido. O comprador 
emite uma quantidade de cheques que totaliza o valor do produto e/ou ser-
viço adquirido com ou sem juros embutidos, identificando em cada folha de 
cheque emitida a data para pagamento da parcela.
Operação de desconto
A operação de desconto de títulos de crédito consiste na negociação de 
um título numa data anterior a de seu vencimento. As empresas que buscam 
recursos através de operações de desconto têm por objetivo financiar déficits 
gerados no seu fluxo de caixa ou o giro de seus negócios. Ou seja, quando 
os recebimentos gerados pela empresa não são suficientes para cobrir seus 
diversos compromissos (tais como custos com matéria-prima, mão de obra, 
serviços de terceiros, pagamento de juros da dívida atual, pagamento do 
principal, novas imobilizações, pagamento de impostos, pagamento de di-
videndos etc.) a empresa capta esses recursos muitas vezes através da ope-
ração de desconto. 
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Regime de juros simples
Numa operação de desconto a empresa financia seu déficit de caixa via 
recebimento antecipado do valor de resgate de um título de crédito (che-
ques pré-datados, duplicatas, notas promissórias etc.), cedendo os direitos 
sobre este a um credor, normalmente uma instituição financeira. 
A partir da conceituação de uma operação de desconto, analisaremos o 
problema sob o ponto de vista das empresas que necessitam realizar esse 
tipo de operação, e não da instituição financeira com quem estará sendo 
feita a operação. 
Entende-se por valor nominal (de face ou de resgate) o valor definido 
para um desses títulos em sua data de vencimento. A operação de se liquidar 
um título (privado) de crédito, com um dado valor de resgate, antes de seu 
vencimento, consiste então em receber, no caso do titular do mesmo e em 
pagar, no caso do comprador do referido, o valor atual (presente) desse título 
na data da negociação. Ao valor monetário resultante da diferença entre o 
valor nominal do título e o seu valor atual descontado n períodos antes de 
seu vencimento denomina-se habitualmente de desconto. Portanto:
desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal �
(valor de resgate) de um título e o seu valor atual (valor descontado), 
ou seja, é o abatimento que o devedor faz jus quando antecipa o pa-
gamento de um título.
Isto é, a expressão do desconto, ou seja, da recompensa (“juro”) cobrada 
pelo adiantamento do valor de resgate, é fornecida pela seguinte equação:
Desconto (D) = Valor Nominal (N) – Valor Descontado (P)
Logo,
Valor Descontado (P) = Valor Nominal (N) – Desconto (D)
Onde: M = montante.
N = valor nominal ou de face.
P = valor descontado ou valor presente.
Habitualmente se utiliza o regime de juros simples em operações de curto 
prazo com títulos privados de crédito. Nesse regime de juros são identifica-
dos dois tipos de desconto: 
Regime de juros simples
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desconto por dentro (ou racional) e; a) 
desconto por fora (comercial ou bancário). b) 
Na prática, a grande maioria das operações é feita segundo o critério 
do desconto comercial. A operação de desconto pode ser realizada tanto 
no regime de juros simples como no regime de juros compostos. O descon-
to simples é quase sempre utilizado em operações de curto prazo e o des - 
conto composto é utilizado apenas em operações de longo prazo.
Desconto simples por dentro 
ou desconto racional
Também chamado de desconto “por dentro”, é obtido multiplicando-se o 
valor atual ou valor descontado do título pela taxa de desconto e pelo prazo 
a decorrer até o vencimento do título.
Dr = P . i . n
Onde: Dr = desconto racional simples.
i = taxa de desconto.
Pr = valor atual ou valor descontado.
n = número de períodos até o vencimento do título.
O desconto racional pode também ser definido como a diferença entre 
o valor nominal e o valor descontado de um título (ou compromisso) que é 
saldado “n” períodos antes de seu vencimento, podendo ser calculado da 
seguinte forma:
Dr = (N. i . n) /(1 + i .n)
Onde: N = valor nominal do título, ou seja, o seu valor na data do venci-
mento.
P = valor descontado ou valor presente.
Dr = Valor Nominal – Valor Descontado.
Dr = N – P
Dr = N – N / (1 + i . n)
60
Regime de juros simples
Exemplo:
 Seja um título de R$4.000,00 vencível em um ano, que está sendo li-
quidado três meses antes do seu vencimento. Sendo 42% ao ano a 
taxa nominal de juros corrente, pede-se para calcular o desconto e o 
valor descontado dessa operação, com base no desconto racional.
 Solução:
 Dr = R$4.000,00 – [R$4.000,00 / (1+(0,42 / 12) 3)]
 Dr = R$4.000,00 – [R$4.000,00/1,105]
 Dr = R$380,09
 Pr = R$4.000 – R$380,09 = R$3.619,91
Desconto comercial simples
O desconto comercial simples, também chamado desconto “por fora” ou 
desconto bancário, é obtido multiplicando-se o valor de resgate ou valor no-
minal pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o vencimento. Logo, 
a fórmula do desconto comercial simples é a seguinte: 
Dc = N . i . n
Onde: Dc = desconto comercial.
N = valor do resgate do título (valor nominal).
i = taxa de desconto.
n = número de períodos até o vencimento do título.
Como podemos observar, o desconto comercial simples nada mais é do 
que o juro simples cobrado sobre o valor nominal ou de resgate de um título 
ou compromisso saldado “n“ períodos antes do vencimento. No desconto 
comercial simples, o valor descontado pode ser calculado usando a seguinte 
expressão: 
Dc = N – Pc
Dc = N . i . n N . i . n = N – Pc logo,
Regime de juros simples
61
Pc = N . ( 1 – i . n )
Onde: Pc = valor descontado no desconto comercial.
N = valor do resgate do título (valor nominal).
i = taxa de desconto.
n = número de períodos até o vencimento do título.
Obs.: por incidir sobre o valor nominal (valor de resgate), o desconto co-
mercial gera um valor maior de juros nas operações. Por isso, essa modalida-
de de desconto é amplamente adotada pelo mercado.
Exemplo:
 Uma pessoa salda uma duplicatade R$6.000,00 quatro meses antes 
de seu vencimento. Se a taxa simples de desconto do título for de 40% 
a.a., qual será o desconto racional e comercial simples e qual o valor 
descontado da duplicata?
 Solução:
 Dc = N . i . n
 Dc = R$6.000,00 . 40% . 4/12 = R$800,00
 Pc = N – Dc
 Pc = R$6.000,00 – R$800,00 = R$5.200,00
 Dr = (N. i n)/(1 + i .n) =
 (R$6.000,00 . (0,4/12) . 4)/(1 + 0,4/12 . 4) 
 Dr = R$705,88
 Pr = N – Dr
 Pr = R$6.000,00 – R$705,88 = R$5.294,12
 A pessoa recebe pelo desconto comercial o valor descontado da du-
plicata:
 Pc = R$5.200,00 < Pr = R$5.294,12
62
Regime de juros simples
Equivalência de capitais a juros simples
Podemos afirmar que dois capitais são equivalentes quando têm o mesmo 
valor, a uma dada taxa de juros, numa determinada data (data de compara-
ção ou data focal). 
Exemplos:
1. Um indivíduo deve R$4.000,00 daqui a seis meses e R$5.000,00 daqui a 
16 meses. Ele pretende trocar essas dívidas por dois pagamentos iguais, 
o primeiro daqui a dez meses e o segundo daqui a 16 meses. Quais são 
os valores desses pagamentos considerando uma taxa de juros simples 
de 8% ao mês (defina data zero como data focal).
 Solução:
6
R$4.000,00 R$5.000,00
X X
meses10
 M = P ( 1 + i . n) logo,
 P = 
M
(1 + i . n)
 R$4.000,00/(1 + 0,08 . 6) + R$5.000,00/(1 + 0,08 . 16) = X/(1 + 0,08 . 10) 
+ X/(1 + 0,08 . 16)
 R$4.895,69 = X [0,5556 + 0,4386]
 X = R$4.924,27
2. Uma determinada pessoa tem os seguintes compromissos: R$3.000,00 
daqui a dois meses e R$5.000,00 daqui a cinco meses. Qual é o valor 
de um único pagamento que deverá ser feito daqui a quatro meses, 
necessário para liquidar a dívida, no regime de juros simples, com taxa 
de 3% ao mês (considere data focal o quarto mês).
Regime de juros simples
63
 Solução:
2 4 5
R$3.000,00 R$5.000,00
meses
 M = P ( 1 + i . n)
 R$3.000,00 . (1 + 0,03 . 2) + R$5.000,00/(1 + 0,03 . 1) = X
 X = R$8.034,37
Ampliando seus conhecimentos
Quando você vê em uma propaganda: “Compre uma televisão à vista por 
R$1.000,00 ou a prazo por cinco parcelas de R$260,00”, você, claro, pensa: “A 
prazo, pois prefiro pagar parcelado, em poucas vezes por mês e, em apenas cinco 
meses, eu acabo de pagar.” São em situações como essas que você percebe como 
a Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternati-
vas de investimento ou financiamento de bens de consumo. Ela consiste em em-
pregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira.
Juro, do ponto de vista econômico, é a taxa cobrada a partir de todo capital 
emprestado por um certo período de tempo. Esse capital consiste de bens, 
como dinheiro, ações, bens de consumo, propriedades ou mesmo indústrias. 
O juro é calculado sobre o valor destes bens, da mesma maneira que sobre o 
dinheiro.
O juro pode ser compreendido como uma espécie de “aluguel sobre o di-
nheiro”. A taxa seria uma compensação feita a quem emprestou o dinheiro, 
64
Regime de juros simples
pelos investimentos úteis que poderiam ter sido feitos com o dinheiro em-
prestado; em vez de o credor usar os bens diretamente, estes passam para 
o mutuário, que goza desses bens sem o esforço necessário para obtê-los, 
enquanto o credor goza do lucro da taxa paga pelo mutuário pelo privilé-
gio. A quantia emprestada, ou o valor dos bens emprestados, é chamada de 
principal. A porcentagem do principal que é paga como taxa (o juro), por um 
determinado período de tempo, é chamada de taxa de juros.
Existem duas formas básicas para a determinação dos juros:
juros simples; �
juros compostos. �
Os juros são sempre calculados sobre o valor inicial da transação, não im-
portando o montante final e o período.
A fórmula para juros simples é:
J = P . i . n
Exemplo: um homem tem uma dívida de R$1.000,00 que deve ser paga 
com juros de 8% a.m. (ao mês) pelo regime de juros simples e devemos pagá-
-la em dois meses. Os juros que o homem pagará serão:
J = 1.000 . 0.08 . 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante (M), de 1.160,00 
no caso.
(Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_financeira#Juros_
simples>.)
Atividades de aplicação
1. Calcule os juros incidentes sobre os saldos devedores de uma conta- 
-corrente do cliente de um banco que cobra 9% ao mês, com base nos 
seguintes lançamentos:
Regime de juros simples
65
Dia Lançamento Saldo
01 R$2.000,00 (C)
12 R$3.100,00 (D)
19 R$5.300,00 (D)
28 R$3.000,00 (C)
30 R$4.000,00 (C)
2. Um título de R$32.000,00 vai ser resgatado três meses antes do venci-
mento. Sabendo-se que a taxa de juros é de 4% ao mês, pede-se:
a) o desconto racional;
b) valor descontado racional.
3. Um título é descontado seis meses antes do seu vencimento. A taxa 
de juros cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês. Se o valor nominal é 
R$32.000 e sabendo-se que o banco trabalha com o sistema de des-
conto “por fora”, pede-se calcular o valor do desconto cobrado pelo 
banco e o valor descontado do título liberado ao cliente.
4. Um indivíduo que deve R$4.000,00 daqui a dois meses e R$6.000,00 
daqui a seis meses, propõe ao gerente financeiro trocar esses compro-
missos por outros dois de mesmo valor, a vencer daqui a dez e 15 me-
ses, respectivamente. Qual será o valor desses pagamentos se a taxa 
de juros linear efetiva cobrada for de 4% a.m. (data focal 0)? 
5. Uma pessoa física deve R$3.000,00 com vencimento para daqui a qua-
tro meses e R$4.000,00 com vencimento para daqui a seis meses. Qual 
é o valor de um único pagamento que deverá ser feito daqui a seis 
meses, necessário para liquidar a dívida, no regime de juros simples, 
com taxa de 3% ao mês (considere data focal o sexto mês).
6. Uma pessoa física deve quatro prestações bimestrais de R$2.000,00 
com vencimento da primeira em 60 dias. Qual é o valor de um único 
pagamento que deverá ser feito daqui a oito meses, necessário para 
liquidar a dívida, no regime de juros simples, com taxa de 2% ao mês 
(considere data focal o oitavo mês).
66
Regime de juros simples
Gabarito
1.
J = P . i . n
Dia Lançamento Saldo Juros
01 R$2.000,00 (C) -
12 R$3.100,00 (D) R$1.100,00 (D) -
19 R$5.300,00 (D) R$6.400,00 (D) R$1.100,00 . (0,09 / 30) . 7 = R$23,10
28 R$3.000,00 (C) R$3.400,00 (D) R$6.400,00 . (0,09 / 30) . 9 = R$172,80
30 R$4.000,00 (C) R$600,00 (C) R$3.400,00 . (0,09 / 30) . 2 = R$20,40
Total = R$216,30
2.
a) Dr = N – N / (1 + i . n) 
 Dr = R$32.000,00 – [R$32.000,00 / (1+(0,04 . 3) = R$3.428,57
b) Pr = R$32.000,00 – R$3.428,57 = R$28.571,43
3.
 Dr = N.i.n
 Dr = R$32.000,00 . 0,032 . 6
 Dr = R$6.144,00
 Pc = N – N . i . n
 Pc = N.(1– i.n)
 Pc = R$32.000,00.(1 – 0,032 . 6)
 Pc = R$25.856,00
4.
20 6 10 15
XXX
R$6.000,00R$4.000,00
meses
 P = 
M
(1 + i . n)
Regime de juros simples
67
 R$4.000,00 / (1+ 0,04 . 2) + R$6.000,00/(1 + 0,04 . 6) = X / (1 + 0,04 . 10) 
+ X / (1 + 0,04 . 15) 
 R$8.542,41 = X [0,7143 + 0,6250]
 X = R$6.378,27
5.
40 6
meses
R$3.000,00 R$4.000,00
X
 M = P ( 1 + i . n)
 M6 = R$3.000 (1 + 0,03 × 2) + R$4.000,00 = R$7.180,00
6.
 
2 40 6 8
meses
R$2.000,00R$2.000,00R$2.000,00R$2.000,00
X
 M = P ( 1 + i . n)
 M8 = R$2.000 (1 + 0,02 . 6) + R$2.000 (1 + 0,02 . 4) R$2.000 (1 + 0,02 . 2) 
+ R$2.000 = M8 = R$8.480,00