ApresCap03A_2013

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03 – SISTEMAS DE FORMA 
ATIVA
03.01 - Conceitos
Definição
• Sistemas estruturais lineares:
– Tração (cabos)
– Compressão (arcos).
• Mecanismo resistente: forma.
• Conclusão: A forma não é arbitrária.
• São as estruturas mais leves.
– Cabos são ainda mais leves que os arcos.
Trajetória natural das forças
• Arco:
– Funicular de compressão
• Cabo:
– Funicular de tração
O custo da leveza
• Esforços horizontais nos apoios.
• Instabilidade geométrica nos cabos.
– Cabos, geralmente, são estruturas hipostáticas.
03.03 – Equação do cabo
• Hipótese:
– Ausência de flexão. Flexibilidade total. Momento fletor em
qualquer ponto é nulo.
• Semelhança com o diagrama de momentos fletores
em uma viga reta.
– A flecha no cabo é máxima onde o momento fletor na viga é
máximo.
• Esforço de tração ao longo do cabo.
– Reação vertical independe da flecha.
– O esforço normal é máximo onde a tangente é máxima: no
apoio
Equação do cabo
f
qlH
f
M
xy
xMH
H
xMxy
vv
v
8
)(
)(
)()(
2
max,



03.04. Formas geométricas
• Cabo com uma carga concentrada.
• Cabo com duas cargas concentradas.
• Cabo com carga uniformemente distribuída:
– Formato parabólico
• Cabo sujeito ao peso próprio:
– Formato da catenária
Cabo com carga uniforme
L
fy
L
x
L
fxy
L
x
L
xf
L
x
L
xfxy
L
fxLx
f
qL
qxqLx
xy
4)0(
)21(4)(
)1(4)(4)(
8)
22
(
8
22)(
'
'
2
2
2
2
2
2






Cabo submetido ao peso 
próprio
Equação da catenária
X
Y kCx
C
xf
Cx
C
xy
H
gC



)cosh(1)(
)cosh(1)(
Arco Poligonal
100KN 100KN
100KN
20.00
4
.
0
0
3
.
0
0
30X50
Arco
Com peso próprio e deformação 
axial
Mmax = 11,20 KNm
Nmax = 357,0 KN
Sem peso próprio e deformação 
axial
Nmax = 291,6 KN
Mmax = 0,00 KNm
Arco circular
30X50
20.00
4
.
0
0
100KN
100KN 100KN Arco circular
Sem peso próprio e deformação 
axial
Mmax = 68,76 KNm
Nmax = 273,1 KN
Tensões nos bordos da seção


 


 


h
e
bh
N
h
e
bh
N
bhh
Ne
bh
N
bh
M
bh
N
W
M
A
Nh
I
M
A
N
N
Me
61
61
66
2
2
1
21



:teAnalogamen
:eequivalent dadeExcentrici
Tensões nos bordos
2
2
KN/cm
KN/cm
733,0
50
2,2561
5030
1,27361
368,0
50
2,2561
5030
1,27361
2,25252,0
1,273
76,68
2
1


 

 


 

 

h
e
bh
N
h
e
bh
N
cmm
N
Me


273,1KN
68,76KNm
0,368KN/cm2
0,733KN/cm2
5
0
Afastando as massas
3
2
2
3
2
2
2
3
3
1
2
1
7,167.79
75
5,6225302
12
25302
500.125302
500.12
50
2
12
5030
500.15030
cmW
W
cmA
cmW
cmA






30
5
0
2
5
1
0
0
2
5
30
1
2a
2b
Tensões na situação 2
2
2
KN/cm
KN/cm
269,0
7,167.79
10076,68
5030
1,273
095,0
7,167.79
10076,68
500.1
1,273
2
2
2
1


W
M
A
N
W
M
A
N


Tensões na situação 2
30
5
0
2
5
1
0
0
2
5
30
1
2a
2b
68,76KNm
273,1KN
0,095KN/cm2
0,269KN/cm2
0,733KN/cm2
0,368KN/cm2
68,76KNm
273,1KN
03.05. Influência da flecha
• A reação vertical é constante. Independe da
flecha.
• A reação horizontal é inversamente
proporcional à flecha.
• Relação entre H e f/l para um cabo com
carga uniforme.
• Relação entre a inclinação no
03.07. Sistemas de ancoragem 
de extremidade
Com cabo de retenção
• A estrutura de apoio forma um sistema de
vetor ativo.
– Compressão no pilar
– Tração no cabo de retenção
• Esforços no pilar e cabo de retenção em
função da inclinação no pilar
Cabo de retenção
Mastro inclinado
Com contraforte (gigante)
• A estrutura de ancoragem forma um sistema
de massa ativa, trabalhando por flexão.
• O contraforte inclinado minimiza a flexão
devida à força horizontal.
Ancoragem em pórticos
• Também funciona como sistema de massa
ativa, porém mais eficientes que os
contrafortes isolados.
• As áreas laterais formadas pelos pórticos
podem ser ocupadas com construções
anexas ao complexo.
Pilar em balanço X Pórtico
Contraforte escorado
Pilar em balanço X Pilar escorado
Cabos apoiados em vigas 
inclinadas
• A inclinação deve ser igual à tangente do
cabo no apoio.
• Podem se apoiar também em arcos.
Cabos contínuos
Cabos e arcos contínuos
Cabos dispostos em planta 
circular
• Os esforços horizontais ficam auto-
equilibrados.
• As paredes ficam submetidas somente à
compressão.
Ancoragem em círculo
Anel de 
compressão
Anel de tração
Puente Alamillo (Calatrava)
Hangar Frankfurth – Hangar 05
Cabos e arcos contínuos
Arcos
• Sistemas de ancoragem:
• Valem as mesmas conclusões relativas a
força horizontal.
• Os arcos não apresentam problemas de
instabilidade da forma
Força horizontal em cabos e 
arcos
Sem a força 
horizontal o sistema 
se comporta como 
uma viga curva
Tirante X Escora
Em cabos é impossível manter o 
equilíbrio dos apoios com escoras.
O comprimento se torna muito 
grande e o peso seria muito alto!
Já em arcos....
Arcos
É um arco?
Rodoviária de Londrina (Artigas)
Arco atirantado
Arco de fundação
03.06. Deformações críticas 
nos cabos
Não existe instabilidade em 
arcos
A forma do arco é rígida, mas a do cabo não!
Causas da instabilidade
• Efeitos de sucção do vento
– A ação do vento gera cargas ascendentes .
– Esse carregamento geraria compressão no cabo.
– Com isso ele perde a estabilidade.
• Efeitos de cargas assimétricas
– Cargas fora do funicular gerariam flexão no cabo.
– Como ele não tem rigidez à flexão a forma se
altera.
Técnicas de estabilização de 
cabos
• Aumento do peso da cobertura.
• Construção de arco invertido, ou casca, aumentando
a rigidez à compressão:
– Como foi feito no Ginásio de Esportes de Rolândia.
• Combinação de cabos de curvaturas opostas:
– Cabos de suspensão com cabos de estabilização.
• Colocação de cabos transversais ancorados ao solo.
Técnicas de estabilização de 
cabos
03.08. Sistemas com 
estabilização pelo peso
• Estrutura com pilar central (estaida):
– Semelhantes às pontes estaiadas.
• Cobertura suspensa por cabos:
– Semelhantes às pontes suspensas.
03.08. Sistemas com 
estabilização pelo peso
03.09. Estabilização com cabos 
de curvaturas opostas
• Cabo de suspensão e
cabo de estabilização
em uma mesma
direção:
– Os dois em um mesmo
plano
– Os dois em planos
diferentes
– Os dois em círculo.
Posicionamentos relativos
• Cabo de estabilização acima do cabo de
suspensão.
• Cabo de estabilização abaixo do cabo de
suspensão.
• Posicionamento misto.
Cabo de estabilização e cabo 
de suspensão
• Cabo de estabilização resiste à sucção do vento.
• O cabo de estabilização pode ser protendido,
conferindo rigidez ao cabo de suspensão.
Malhas de cabos
• Superfície espacial:
– Parabolóide hiperbólico
Estabilização com vigas
• Vigas ancoradas ao solo através de tirantes
protendidos.
Exemplos de malhas Hypar
Com arco na extremidade
Redes de cabos de planta 
quadrada
Redes de cabos de planta 
triangular
Exemplos de obras
Torres de transmissão
Raleigh Arena -
Nowicki
Dorton Arena – Raleigh (NC)
Estádio da Paz e da Liberdade -
Atenas
Estádio da Paz e da Liberdade -
Atenas
Estádio Olímpico Atenas
Cardiff Stadium
Cardiff Stadium
Fábrica de Papel em Burgo (IT)
Fábrica de Papel em Burgo (IT)
Ginásio de Esportes Rolândia
Ginásio de Esportes Rolândia
Ginásio de Esportes Rolândia
Pavilhão Olímpico - Munique
Renault - Inglaterra
Estádio Saitama
Estádio Saitama
Estádio Saitama
Pavilhão Córdoba
Pavilhão Córdoba
Pavilhão Córdoba
Gerald Ratner Athletics Center -
Chicago
Gerald Ratner Athletics Center -
Chicago
Esquemas estruturais
Modelo 3D
Fundações
AlamoDome (Texas)
Sidney Arena
Yale University
Yale University – The Whale
Yale University – The Whale