Concreto_Protendido_-_Projeto_e_Dimensionamento_-_01

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1 
Emil de Souza Sánchez filho 
D. Sc. 
ALVENARIA ESTRUTURAL CONCRETO PROTENDIDO 
Estrutura do curso 
2 
Concreto Protendido 
48 horas Aulas teóricas Notas de aulas = + 
Objetivos 
3 
Treinamento 
técnico 
Novas 
técnicas 
Aplicações 
práticas 
Atualização 
de conceitos 
Materiais 
Sistemas de 
protensão 
Dimensionamento 
4 
Concreto Protendido 
5 
Concreto Protendido 
A técnica de compensar uma baixa 
resistência à tração por meio de forças 
de compressão foi maneira encontrada 
pelos antigos construtores ao construir 
as catedrais de alvenaria. 
Nessas estruturas essa era a maneira de 
transmitir as forças verticais e 
horizontais dos arcos. 
As forças horizontais originavam 
momentos de flexão nas colunas, que 
necessitam de pesos adicionais para 
gerar tensões de compressão de modo a 
reduzir ou anular as tensões de tração 
na alvenaria. 
6 
Concreto Protendido 
A fabricação de barris de madeira usa essa técnica de 
restringir as trações por meio de tensões de 
compressão impostas. 
Os aros metálicos são aquecidos e daí se dilatam, e 
após envolverem as peças de madeira adequadamente 
dispostas formando o barril se contraem, equilibrando 
as trações provenientes do armazenamento do líquido. 
Aros metálico de um barril=introdução de uma pré-tensão. 
Aros de roda de 
bicicleta 
7 
Concreto Protendido 
Estacas pré-moldadas. 
Aplicações do Concreto Protendido 
Lajes pré-moldadas alveolares. 
Dormentes pré-moldados. 
8 
Concreto Protendido 
Aplicações do Concreto Protendido 
Pontes com vigas pré-
moldadas. 
Grandes reservatórios 
cilíndricos. 
9 
Concreto Protendido 
Aduelas pré-moldadas de 
pontes com conretagem 
parcial da parte inferior e 
laterais. 
Aduelas pré-moldadas de 
pontes com conretagem total 
da seção. 
10 
Concreto Protendido 
Vantagens do Concreto Protendido 
São inúmeras as vantagens do Concreto Protendido 
quando comparado com o Concreto Armado: 
1) a protensão completa mantém o elemento 
estrutural comprimido durante sua vida útil, o que é 
benéfico para a sua durabilidade reduzindo a 
corrosão das armaduras; 
2) aumenta o momento de inércia da seção; 
3) diminui as deformações do elemento estrutural no 
Estado Limite de Serviço; 
11 
Concreto Protendido 
Vantagens do Concreto Protendido 
4) aumenta a resistência à força cortante; 
5) é adequado para aplicação em reservatórios (diminui ou 
anula a fissuração); 
6) aumenta a resistência às forças dinâmicas; 
7) aumenta a esbelteza dos elementos estruturais; 
8) tem melhor aspecto estético devido à menor esbelteza; 
9) leva a seções com menor peso próprio; 
10) é adequado para peças pré-moldadas. 
12 
Concreto Protendido 
13 
 
 
 
 
Execução de tirante externo numa viga. 
A ideia da protensão 
Concreto Protendido 
No início do concreto protendido a utilização de aço de 
baixa resistência, com tensão de escoamento da ordem de 
124 MPa, levavam à uma perda quase total da protensão ao 
longo do tempo. 
 
Esse foi o grande óbice inicial que inibia o uso da protensão 
em peças de concreto. 
14 
Concreto Protendido 
A ideia da protensão 
Peça original com comprimento L. 
L 
δLs 
δLc=δLcs+δLcc 
Tração no aço. 
Perdas devidas às deformações do concreto 
15 
Concreto Protendido 
Quando do uso de aço de baixa resistência à tração o 
alongamento da armadura de protensão δLs que 
permitiria a introdução da protensão na peça, pois o 
aço tenderia a se encurtar, era praticamente “perdida” 
pelas deformações no concreto. 
δLs ≈ δLc=δLcs+δLcc 
A ideia da protensão 
Retração (shrinkage) do concreto : δLcs 
Fluência (creep) do concreto : δLcc 
16 
Concreto Protendido 
Para um aço comum tem-se a tensão de serviço 
aproximadamente σs=124 MPa e Es=200 GPa; com a lei de 
Hooke σs =EsƐs tem-se 
 Ɛs =124/(200 X 10
-3)=0,062% 
As perdas devidas à fluência e retração do concreto são 
da mesma ordem de grandeza, então Ɛs ≈Ɛc . 
Isso mostra que ao longo do tempo não há vantagem na 
protensão com aços comuns (σR ≈ 600 MPa). 
 
Eugène Freyssinet, engenheiro francês, em 1928, foi 
quem primeiro explicou racionalmente essas perdas, 
concluindo pela necessidade de utilizar-se aços de alta 
resistência. 
A ideia da protensão 
17 
Concreto Protendido 
Para um aço de alta resistência com tensão de serviço 
aproximadamente σs=1000 MPa e Es=200 GPa; com a lei de 
Hooke σs =EsƐs tem-se 
 Ɛs =1000/(200 X 10
-3)=0,50% 
As perdas do concreto são, por exemplo, 
Ɛc = Ɛcs +Ɛcc = 0,08% 
assim 
δƐ = Ɛs-Ɛc = 0,50-0,08=0,42% 
δσs = Es.δƐ = 200X10
3 X0,42%=840 MPa 
A tensão δσs é responsável pela protensão que permanece 
após a consideração das perdas no concreto (retração e 
fluência). 
 
A ideia da protensão 
18 
Concreto Protendido 
A ideia da protensão 
A partir de 1939, após o desenvolvimento dos sistemas de 
ancoragem em cunhas macho-fêmea de argamassa 
cintada de alta resistência, desenvolvidos por Freyssinet, 
foi que o concreto protendido com protensão posterior 
tornou-se viável técnica e economicamente. 
 
A reconstrução da Europa após a II Guerra Mundial 
proporcionou um grande desenvolvimento do concreto 
protendido, especialmente na França, Alemanha e Bélgica. 
 
A primeira obra oficialmente executada com concreto 
protendido foi a ponte sobre o rio Marne em Lucany , 
iniciada em 1941 e concluída em 1945. 
19 
Concreto Protendido 
A primeira obra no Brasil foi a Ponte do Galeão no Rio 
de Janeiro, calculada por Freyssinet, e executada em 
1948, com 380 m de extensão, sendo a mais extensa 
do mundo naquela época. 
A ideia da protensão 
Ancoragem em cunhas 
macho-fêmea de argamassa 
cintada de alta resistência. 
20 
Concreto Protendido 
A vantagem da protensão 
Uma viga retangular de concreto armado submetida a 
um momento de flexão, com a tensão na borda 
comprimida em regime elástico linear em estado de 
serviço resiste a um momento: 
 21580880360
2
1
bd,d,d,bM cc  
b
zM
d,880
d,360
c
cF
sF
d
G
21 
Concreto Protendido 
Comportamento estrutural à flexão 
Uma viga retangular de concreto protendido com as 
mesmas características da viga anterior, submetida a um 
momento de flexão, com a tensão na borda comprimida 
em regime elástico linear em estado de serviço resiste a 
um momento: 
 
2350670
2
1
bd,d,hM cc  
b
zM
d,670
c
cF
sF
d
G
22 
Concreto Protendido 
Nas duas vigas anteriores assumiu-se que a tensão na 
borda mais comprimida foi a mesma, concluindo-se que: 
1) a viga de concreto protendido resistido pela seção é 
o dobro do momento da viga de concreto armado; 
2) se for adotado um concreto do o dobro da resistência 
para a viga de concreto protendido a sua resistência 
será quatro vezes superior à da viga de concreto 
armado; 
3) os diagramas de tensão no concreto mostram que 
toda a seção da viga protendida fica comprimida, o que 
não ocorre com a viga de concreto armado; 
4) a protensão inibe a formação de fissuras na viga. 
 
Comportamento estrutural à flexão 
23 
Concreto Protendido 
Comportamento estrutural à flexão 
No ensaio de viga com de altura h=1,00 m, com cabos de 
protensão não aderidos, submetida à flexão verificou-se que 
surgem fissuras espaçadas de 1,2h a 1,6h. 
Essas fissuras tinham grande abertura e se propagavam em 
direção à zona comprimida onde se bifurcavam. 
A armadura passiva de flexão 5Ø10, que ao atingir de modo 
imediato a tensão de escoamento, não foi capaz de inibir a 
abertura dessas fissuras. 
Leonhard 
24 
Concreto Protendido 
Comportamento estrutural à flexão 
No ensaio de viga com de altura h=1,00 m, com cabos de 
protensão aderidos, submetida à flexão verificou-se que a 
capacidade resistente da viga aumenta. 
Foram observadas 16 fissuras entre as forças aplicadas, 
espaçadas de cerca de 37 cm (espaçamento médio). 
A aderência dos cabos por meio de injeção de calda de 
cimento protege as armaduras contra a corrosão, aumentaa 
resistência da viga e lhe dá maior ductilidade. 
Leonhard 
25 
Concreto Protendido 
As vantagens da protensão 
1) As seções são mais esbeltas, daí menor peso próprio 
permitindo vão maiores e alívio nas cargas das fundações; 
2) permite o controle da deformação elástica limitando-a a 
valores menores do que os das peças de concreto armado; 
3) a durabilidade da peça tende a aumentar, pois a 
protensão anula ou diminui as tensões de tração daí se tem 
um melhor controle da fissuração; 
4) assimila eventuais sobrecargas, que após a sua remoção 
as eventuais fissuras tendem a se fechar; 
5) as peças têm maior resistência à fadiga (a variação de 
tensões no aço é menor); 
6) a protensão é uma prova de carga. 
26 
Concreto Protendido 
As vantagens da protensão 
 Alguns autores relatam como desvantagem a exigência 
de um concreto de maior resistência (que exige maior 
controle de qualidade), assim como o aço de protensão 
requerer maiores cuidados contra a corrosão, que os 
cabos devem ser posicionados corretamente de modo a 
não gerarem solicitações não previstas no projeto e que 
a protensão exige pessoal especializado. 
 
 Na verdade todos esses requisitos são atualmente 
básicos para o controle de qualidade de uma obra, 
portanto, não são desvantagens. 
 
27 
Concreto Protendido 
As vantagens da protensão 
 A componente vertical da força de protensão alivia as 
tensões tangenciais devidas à força cortante. 
 Componente vertical da força de protensão: 
Pv =P sen α 
 Com a força cortante V (obtida no cálculo estático ) tem-se a 
resultante vertical: 
RV=V- Pv 
 As tensões principais ficam: 
 
 
2
2
1
22


 






pp 2
2
2
22


 






pp
Tração Compressão 
A tensão de protensão σp é negativa assim a tensão 
de tração σ1 fica menor 
28 
 
 
 
 
 
 Diagramas das solicitações provenientes da força de 
protensão e do momento de flexão devido ao 
carregamento q. 
A protensão como força externa 
Concreto Protendido 
29 
Tensões normais atuantes nas seções da viga devidas 
ao carregamento são 
tensão normal 
 
tensão de compressão uniformemente 
distribuída 
Princípio da Superposição dos Efeitos 
I
My
F 
A
P
pc ,
I
My
A
P
pcFx  ,
Concreto Protendido 
A protensão como força externa 
30 
O somatório dessas tensões leva a uma das seguintes 
condições: 
a) tem-se tração na fibra extrema inferior e compressão na 
fibra extrema superior, com um diagrama bitriangular 
de tensões; neste caso a linha neutra corta a seção 
transversal 
b) a fibra extrema inferior não está tensionada e a fibra 
extrema superior está comprimida, com um diagrama 
triangular de tensões; neste caso a linha neutra 
tangencia a seção transversal 
c) as duas fibras extremas são comprimidas, com um 
diagrama trapezoidal de tensões; neste caso a linha 
neutra situa-se fora da seção transversal 
0,0  si 
0,0  si 
0 is 
Concreto Protendido 
A protensão como força externa 
31 
 
 
 
 
 
 
Diagramas das 
tensões normais 
provenientes da 
força de protensão 
centrada e do 
momento de flexão 
devido ao 
carregamento q. 
A
P
I
My











LN
LN
I
My
A
P
s 
I
My
A
P
i 
s
s
0i
i
Concreto Protendido 
A protensão como força externa 
32 
 
 
 
 
 
 Diagramas das solicitações 
provenientes da força de 
protensão, do momento de flexão 
devido ao carregamento q e ao 
momento de protensão devido à 
excentricidade e constante ao 
longo da viga. 
Com isso acrescenta-se um 
momento negativo que origina 
tensões normais a serem 
somadas com as demais. 
Concreto Protendido 
A protensão como força externa 
CG
Z
Y
P P

PP
O
X
Pe Pe
8
2q
33 
 
 
 
 
 
 
Diagramas de tensões normais para a força de protensão 
aplicada com excentricidade e constante ao longo da viga 
A
P
I
My












LN
LN
s
s
0i
i
I
Pe
I
My
I
yPe
A
P
s 


I
My
I
yPe
A
P
i 


Concreto Protendido 
A protensão como força externa 
34 
 
 
 
 
 
 
Concreto Protendido 
Exemplo 1 
A viga biapoiada é protendida com a força indicada. 
Calcular as tensões nas fibras extremas da seção 
devidas ao momento de flexão máximo. 
2310375750500 mmA 
Área da seção 
Momento resistente da seção 
33
22
1087546
6
750500
6
mm
bh
W 


CG
Z
Y
P P
e= m0,145
q= kN/m45
0,50 m
7,30 m
0,75 m
PP= kN1 620
O
Pe Pe
8
2q
35 
 
 
 
 
 
 
Concreto Protendido 
Exemplo 1 
Tensões normais: 
Momento de flexão: kNm,
,q
M 76299
8
30745
8
22




MPa,
,
W
M
F 406
1087546
1076299
3
6



 Momento solicitante. 
MPa,
A
P
N 324
10375
106201
3
3



 Força de protensão. 
MPa,
W
Pe
F 015
1087546
145106201
3
3
 


 Momento de protensão 






MPa,
MPa,
,,,x
932
715
015324406 
Superposição dos 
Efeitos 
36 
 
 
 
 
 
 
Configurações dos cabos de protensão: 
a) poligonais; b) curvos. 
a)
b)
Concreto Protendido 
A protensão como força externa 
37 
Concreto Protendido 
Solicitações devidas à força normal, momento de flexão 
gerado pelo carregamento e o momento devido à força de 
protensão aplicada com excentricidade variável ao longo 
da viga. 
A protensão como força externa 
38 
Tensões normais provenientes da força de protensão, 
aplicando-se o Princípio da Superposição dos Efeitos 
é dada por: 
ou 
raio de giração da seção transversal 
I
yPe
A
P
pcFx

 ,







2
1
r
ey
A
P
x
A
I
r 
Concreto Protendido 
A protensão como força externa 
39 
Na verificação de tensões na seção se utiliza também 
o módulo resistente da seção (módulo de Winkler): 
com 
para a fibra extrema superior, onde ys é a distância dessa 
fibra ao centro de gravidade da seção, e de modo análogo 
para fibra extrema inferior 
i
i
y
I
W 
s
s
y
I
W 
W
Pe
x 
Concreto Protendido 
A protensão como força externa 
40 
 
 
 
 
 
 
Tensões normais para uma força de protensão excêntrica 
que gera o momento de protensão 
LN
CGZ
Y
pA
sy
iy
M







2
1
r
ey
A
P s
s







2
1
r
ey
A
P i
i
PeM 
Concreto Protendido 
A protensão como força externa 
41 
 
 
 
 
 
 
A mesma viga do Exemplo 1, mas com um cabo curvo. 
Concreto Protendido 
Exemplo 2 
P P

Pe
PP
O
X
8
2q
Os cálculos são os mesmos, e a 
mudança do formato do cabo não 
altera os valores da força de 
protensão e do momento devido à 
essa força no meio de vão. 






MPa,
MPa,
,,,x
932
715
015324406 
42 
 
 
 
 
 
 
Calcular as tensões normais nas fibras extremas inferior e 
superior, na seção S0 do apoio e na seção S1 situada no 
meio do vão, sendo a excentricidade do cabo e=30 cm, 
admitindo-se os carregamentos de peso próprio e o devido 
às cargas permanentes g=6,5 kN/m atuem inicialmente, e 
que o carregamento devido às sobrecargas q=17,0 kN/m 
atue numa segunda etapa. 
Exemplo 3 
CG
Y
Z
PP

Dados: 2613.2 cmA  , 3901.68 cmWW is  , m00,18 , kNP 500.1 
Concreto Protendido 
43 
Concreto Protendido 
mkNg /5,6
Para o carregamento inicial 
s
g
gi
W
M
,
s
g
gs
W
M
,
A
P
pc ,
i
Pei
W
eP 
,
s
Pes
W
eP 
,
tem-se as tensões nas fibras inferior e superior da seção 
Com a força de protensão resultam para as tensões 
nessas fibras: 
Os resultados desses cálculos estão no Quadro 1. 
Exemplo 3 
44 
Concreto Protendido 
Quadro 1 
As tensões resultantes são obtidas por superposição de 
efeitos. 
Exemplo 3 
45 
Concreto Protendido 
Os carregamentos g+q atuando concomitantemente 
com a força de protensão geram as tensões normais 
qpgi , qpgs ,
pg Do Quadro 1 tem-se as tensões 
Essas tensões são calculadas de modo análogo às 
tensões geradas pelo carregamento mkNg /5,6
Quadro 2 
Exemplo 346 
Concreto Protendido 
A força de protensão aplicada sem uma 
excentricidade na seção do apoio a mantém com a 
mesma tensão de compressão durante as duas fases de 
carregamento. 
Essa tensão pode ser diminuída ancorando-se o cabo 
acima do centro de gravidade dessa seção. 
As tensões são obtidas para cada seção transversal, 
bastando ter o traçado do cabo para se determinar as 
diversas excentricidades ao longo de seu comprimento. 
Neste exemplo a inclinação do cabo é de 1,91o . 
A componente horizontal da força de protensão 
aplicada é 
PP cos
Exemplo 3 
47 
Concreto Protendido 
Na década de 1960 T. Y. Lin concebeu o conceito de 
carregamento equivalente introduzido pelo cabo de 
protensão. 
 
Esse enfoque está fundamentado no estudo da teoria dos 
cabos suspensos, sendo muito útil na análise de 
deformações dos elementos protendidos. 
 
Um comprimento elementar de um cabo curvo, 
tracionado por uma força em cada extremo, admitida 
constante ao longo de seu comprimento (despreza-se a 
força de atrito), transmite ao concreto um carregamento 
uniformemente distribuído. 
A protensão como carregamento 
equivalente do cabo 
48 
 
 
 
 
A protensão mobiliza uma carga uniformemente 
distribuída ao longo do cabo. 
Concreto Protendido 
A protensão como carregamento 
equivalente do cabo 
 
88
22  .qqq
M e*




Com a protensão surge um carregamento interno 
transmitido pelo cabo que resistirá ao carregamento 
externo. 
49 
Concreto Protendido 
Para cabo poligonal surge uma força concentrada no 
ponto de inflexão do cabo. 
A protensão como carregamento 
equivalente do cabo 
Diagrama de 
corpo livre. 
Sendo pequeno o ângulo θ tem-se: 
 sen
L
e
L
e
tgsen
2
2

50 
Concreto Protendido 
A protensão como carregamento 
equivalente do cabo 
PcosPcos   1
cosP
Psen
P
 
P P
F
Momento 
 sen
L
PPecosP
2

L
Pe
F
L
e
PPsenF
4
2
22  
51 
 
 
 
 
Cabo curvo: 
 a) carregamento 
uniformemente distribuído; 
b) polígono de forças. 
q
P
P
P
P
ds
a)
b)
2
d
dV
Concreto Protendido 
A protensão como carregamento 
equivalente do cabo 
52 
Para ângulos pequenos 
onde 
222
 dd
sen
d



Pd
d
PdV 
2
2
ds
d
P
ds
dV
q


Concreto Protendido 
A protensão como carregamento 
equivalente do cabo 
Equação de equilíbrio: 
53 
Raio de curvatura 
Curvatura 
então 


d
ds

1
  3
2
21 y
y



  3
2
21 y
yPP
q




Concreto Protendido 
A protensão como carregamento 
equivalente do cabo 
54 
Para grandes raios de curvaturas tem-se 
assim 
y 


1
02 y
yPq 
Concreto Protendido 
A protensão como carregamento 
equivalente do cabo 
55 
Viga de concreto protendido biapoiada, admitindo-se um 
cabo parabólico simétrico cuja equação é dada por: 
condições de contorno 
assim 
Derivando-se essa expressão: 
CBxAxy  2





00
00
By
Cx
2Axy 
Ay 2
Concreto Protendido 
A protensão como carregamento 
equivalente do cabo 
56 
No meio do vão do cabo tem-se a flecha máxima 
Força de tração no cabo 
Força uniformemente distribuída no cabo 
2
2
4
2 
 f
AAf 






f
q
P
8
2

2
8

Pf
q 
Concreto Protendido 
A protensão como carregamento 
equivalente do cabo 
57 
 
 
 
 
Para a viga biapoiada calcular as tensões normais nas 
fibras extremas inferior e superior, na seção S0 do apoio e 
na seção S1 situada em 0,25L, onde o cabo tem 
excentricidade e=24 cm. Para o carregamento de peso 
próprio e devido às cargas permanentes g=6,5 kN/m 
atue inicialmente. O carregamento devido às sobrecargas 
q=17,0 kN/m atuará numa segunda etapa. 
CG
Y
Z
PP

Dados: 2613.2 cmA  , 3901.68 cmWW is  , m00,18 , kNP 500.1 
Concreto Protendido 
Exemplo 4 
58 
 
 
 
 
Calcular para a viga biapoiada, a carga equivalente 
transmitida pela força de protensão por meio de um cabo 
parabólico de 2o grau, com excentricidades e0 no meio do 
vão e eA no apoio. 
PP
S
x
Y
X
2

2

AeAe
0e
Ptg
Ptg
Concreto Protendido 
Exemplo 5 
59 
A equação do cabo é dada por: 
Derivando-se duas vezes essa expressão tem-se 
Para o carregamento equivalente resulta: 
 
 
0
2
2
04 ex
ee
xy A 



 
2
08

ee
y A


 
2
08

eeP
yPq Ae


Concreto Protendido 
Exemplo 5 
60 
Essa formulação é uma generalização das expressões 
deduzidas para cabo parabólico do 2O grau sem 
excentricidade na seção do apoio. 
Força vertical atuando junto à ancoragem 
donde 
Momento devido à força de protensão 
   
 








 0
2
2
04 ex
ee
PxPexM A

 
2
8
2
0 

eeP
PtgV A

 
 

04 eePV A


Concreto Protendido 
Exemplo 5 
61 
Concreto Protendido 
Concreto armado: mecanismo interno resistente à flexão. 
A protensão como força interna 
CT
TzCzM qg

Equações de 
equilíbrio 
Por analogia admite-se que o 
cabo de protensão atue como 
uma armadura, similar à 
atuação de uma barra de aço 
no concreto armado. 
OBS.: esse conceito só é válido para estruturas isostáticas. 
62 
 
 
 
 Concreto Protendido 
Exemplo 6 
 
 
Calcula as tensões nas fibras extremas da seção 
transversal da viga mostrada no Exemplo 1 considerando 
a protensão como força interna. 
Equilíbrio interno: 
C=Z= 1620 kN 
 
kNP 6201
z 
C 
Z 
P=1620 
e=0,145 0,75 
kNm,M 76229
Excentricidade da força 
de protensão. 
 
63 
 
 
 
 
 
 
Concreto Protendido 
Exemplo 6 













MPa,
MPa,
,,
W
e.C
A
P c
x
942
705
381324
1046875
40101620
10375
101620
3
3
3
3

Ponto de aplicação da força de compressão C: 
ec=(230+195)-375=40 mm 
0,750 
mm
,
Z
M
zz.ZM 185
6201
1076299 3



C 
Z 
z=0,185 m 
0,230 
0,335 
0,04 
0,375 
64 
Concreto Protendido 
Flexão com tração 
Mz = Vx = (P.sen)x 
z 
y 
GX 
P- Força inclinada de  
em relação a GX 
l 
y 
x 
P 
 
P 
x 
y 
V 
N G 
+ 
N = P.cos 
DMF 
DFN 
N = P.cos 
V = P.sen 
- 
 
65 
Flexão composta 
66 
A
N
σN 
z
z
F
I
yM
Flexão: Força normal: 
Princípio da superposição dos efeitos: 
 + 
- 
 + 
tF 
cF 
tN 
z
z
FNx
I
yM
A
N
 
+ 
Flexão composta 
67 
0
z
z
MÁX x, I
yM
A
N

1) 
Bitriangular 
- 
+ 
+ 
+ Triangular Trapezoidal 
2) 3) 
< 0 ( 1 ) 
= 0 ( 2 ) 
> 0 ( 3 ) 
Diagramas de tensões 
Como N>0 tem-se sempre tensão de 
tração na fibra superior: 
A tensão na fibra inferior 
dependerá dos valores somados: 
z
z
MÍN x, I
yM
A
N

67 
Flexão composta 
68 
Compressão Excêntrica 
e ─ excentricidade num eixo principal de inércia. 
P z 
y 
x e 
B 
G 
> 0 
= 0 
< 0 
0NPsendo
A
N-
N 
W
Pe
A
P
MÍN x,



FNx  
0
w
Pe
A
P-
MÁX x,

W
Pe
W
M
F  y
J
W Z
Flexão composta 
Caso geral de flexo-compressão 
z 
y 
x 
n 
m 
e 
P 
C 
D 
B 
A (P) 
My 
 
GX 
Mz n 
m 
B(y; z) 
O ponto A situa-se fora dos semieixos GY e GZ. 
Mz = + Pn 
My = + Pm 
P < 0, m < 0, n < 0. 
A 
69 
Flexão composta 
70 
   
y
y
F
z
Z
FN
J
zM
J
yM
A
P 


 
yz
FFNx
J
Pmz
J
Pny
A
P
 
y
F
z
F
J
Pmz
J
Pny
 
 TENSÃO NO PONTO B: 
 compressão 0









yz
x
J
mz
J
ny
A
1
P
Flexão composta 
71 
0









yz
x
J
mz
J
ny
A
1
P
 TENSÃO NO PONTO C: 
Por hipótese situado do outro 
lado da L.N. POSIÇÃO DA LN: 
LN  X = 0 Lugar geométrico das tensões 
normais nulas. 
A
1
J
mz
J
ny
J
mz
J
ny
A
1
P
yzyz
x 
















 0
Flexão composta 
72 
01 
2
Y
2
z i
mz
i
ny
01 













A
J
mz
A
J
ny
yz Jz = Aiz
2 Jy = Aiy
2 
Equação da Linha Neutra 
Para z = 0  1 + nyo/ iz
2 = 0 .: yo = - iz
2 / nPara y = 0  1 + mzo/ iy
2 = 0 .: zo = - iy
2 / m 
(yo; zo)  Pontos da L.N. sobre GY e GZ 
01 









yz J
Amz
J
Any
Flexão composta 
A (P) 
LN 
GX 
n 
m 
zo 
y 
z 
+ _ 
e 
r 
─ se n < 0  yo > 0 
─ se m < 0  zo > 0 
O ponto A e a L.N estão em lados 
opostos com relação a origem G. 
─ se n cresce  yo diminui 
─ se m cresce  zo diminui 
e a L.N. se aproxima de G, r 
e a L.N. se afasta de G, r 
yo 
e2=m2+n2 
r= distância da L.N ao centro de 
gravidade 
A= ponto de aplicação da força normal 
 de compressão 
73 
Flexão composta 
Núcleo central de inércia (N.C.I) 
P < 0; e > 0 
yo = - iz
2 / n 
 n = e 
|yo |e = - iz
2 = Jz / A 
 
─ Quando |yo | = |ys |: 
e = Ki 
Ki = Jz / Ays = Ws / A 
 
─ Quando |yo | = |yi |: 
Ks = Wi / A 
Ws, Wi  Módulos de 
resistência 
(módulo de Winkler). 
z 
y 
GX 
LN 
s 
A 
e 
yo 
ys 
yi - 
+ 
LN 
s 
i 
P/A 
i 
74 
Flexão composta 
1) Ponto “A” (centro de pressão) no interior do N.C.I: 
flexão composta com pequena excentricidade. 
2) Ponto “A” fora do N.C.I: flexão composta com 
grande excentricidade. 
3) Ponto “A” no contorno do N.C.I: caso limite entre 
as duas excentricidades anteriores. 
z 
y 
GX 
s 
A 
LN 
4) Quando AG: a L.N está no infinito. 
5) Quando a L.N passa por G: o ponto “A” está no 
infinito (flexão pura). 
P 
A 
e 
y 
 (compressão) 
ys 
yi 
75 
Flexão composta 
y 
z G 
h/6 
B (P) 
LN 
- i = máx 
i = o 
y 
z G 
h/6 
A (P) 
LN 
- i = máx 
i = o 
b/6 
G 
h/6 
z 
y 
h/6 
h/2 
h/2 
b/2 b/2 
b/6 
A1 
B1 
 Seção retangular 
1) Força P < 0 aplicada sobre GY: 
yA1 = - h /2, Jz = (bh
3) /12 
|Ws|= |Wi| = (bh
2) / 6 
Ki,y = [(bh
2)/6]/(bh) = h / 6 
Ki,y = Ks,y (simetria) 
 
2) Força P<0 aplicada sobre GZ: 
Ks,z = Ki,z = b / 6 (simetria) 
76 
Flexão composta 
Resumindo 
Compressão 
centrada 
P
A 
P 
G 
x 
- 
Força P no 
interior do 
N.C.I 
P 
P
A 
G 
x 
- 
e 
b/6 
Força P no 
contorno do 
N.C.I 
P
A 
P 
G 
x 
- 
e =b/6 
2P
A 
Força P 
fora do 
N.C.I 
P
A 
P 
G 
x 
e>b/6 
- b 
+ 
77 
Flexão composta 
- - 
78 
Concreto Protendido 
79 
 
 
 
 
P
Bloco rígid o Bloco rígid o
Ap oio
Concreto Protendido 
 A protensão é uma força aplicada à peça de concreto 
com a finalidade de anular ou reduzir as tensões de 
tração, melhorando assim o seu comportamento 
estrutural. 
 
 Entre vários processos de aplicação da protensão o 
mais comum é por meio de cabos de aço, esticados e 
ancorados no concreto. 
80 
Concreto Protendido 
Aplicação da protensão com cabos de aço 
 
Protensão mecânica 
 A protensão mecânica é aplicada por meio de 
macacos hidráulicos, e pode ser executada com a 
armadura pré-tracionada ou pós-tracionada. 
 
A protensão mecânica em fios, barras, cabos ou 
cordoalhas de aço tem se revelado como a mais viável 
técnica e economicamente. 
 
81 
Concreto Protendido 
Classificação 
 
a) Concreto protendido com aderência inicial (armadura 
de protensão pré-tracionada). 
 
Executa-se o estiramento da armadura de protensão 
utilizando-se apoios independentes do elemento 
estrutural, antes do lançamento do concreto, sendo a 
ligação da armadura de protensão com os referidos 
apoios desfeita após o endurecimento do concreto. 
 
A ancoragem realiza-se apenas por aderência entre a 
armadura e o concreto. 
 
82 
Concreto Protendido 
b) Concreto protendido com aderência posterior 
(armadura de protensão pós-tracionada). 
 
Executa-se o estiramento da armadura de protensão 
após o endurecimento do concreto utilizando-se como 
apoios partes do próprio elemento estrutural, criando-
se posteriormente aderência com o concreto de modo 
permanente por meio de injeção das bainhas com nata 
de cimento. 
 
c) Concreto protendido sem aderência (armadura de 
protensão pós-tracionada). 
 
Executa-se de modo idêntico ao descrito no item (b), 
porém, sem a criação de aderência com o concreto 
após o estiramento. 
83 
 
 
 
 
P
Blo co rígid o
Blo co rígid o
Ca bo
An co ra gem
Concreto Protendido 
Aplicação de uma força de protensão numa viga por 
meio de pré-tensão. 
Os fios são ancorados em apoios rígidos e esticados; a 
peça é concretada e após a idade estabelecida para a 
protensão os fios são cortados com maçarico. 
A força de compressão é transmitida por aderência 
entre os fios e o concreto. 
protensão com armadura pré-tracionada 
84 
 
 
 
 
Leito de protensão para armadura pré-tracionada 
P
Bloco rígid o
Bloco rígid oCa bo
An co ra gem
D esv iado res
Concreto Protendido 
85 
 
 
 
 
 
 
Ancoragem pela ação de aderência 
Sistemas de protensão com armadura pré-tracionada 
Concreto Protendido 
A força de protensão ancorada é da ordem de três a quatro vezes 
maior que a força ancorada em barras nervuradas de aço CA, 
com a mesma seção transversal. 
A aderência mecânica é aumentada pelas nervuras das 
armaduras ou de um perfilado que leve a ocorrência de 
“consoles” ente a armadura de protensão e o concreto. 
Em cordoalhas de sete fios o deslizamento é impedido por efeito 
de saca rolhas. 
Para fios tem-se o efeito Hoyer, que 
é o encunhamento por meio da 
variação da seção transversal . 
86 
 
 
 
 
P
Ca bo
Concreto Protendido 
Protensão com armadura pós-tracionada 
A protensão pode ser executada com cabos internos 
ou externos. 
 
No primeiro caso os cabos são colocados no interior 
da peça envolvidos por bainhas metálicas. 
 
Após a protensão, aplicada depois do endurecimento 
do concreto, a bainha é preenchida com argamassa de 
cimento. 
 
Os cabos colocados e normalmente são envolvidos 
por bainhas de polietileno (ou metálica) a fim de 
protegê-los contra a corrosão. 
 
87 
 
 
 
 Concreto Protendido 
Protensão com armadura pós-tracionada 
É o tipo de protensão mais utilizado. 
 
Os sistemas de protensão são patenteados: 
Freyssinet; Rudloff; VSL; Tensaiai; Dywidag, etc. 
 
Permite a protensão em etapas, sendo essa uma 
vantagem para que seja adotado em reforços de 
estruturas. 
 
Os cabos podem ser internos ou externos em relação à 
peça, e a as bainhas podem ou não serem injetadas com 
calda de cimento. 
 
 
 
88 
 
 
 
 
Rosca
Barra de aço
Material
termoplástico
Concreto Protendido 
Protensão por meio de aquecimento da armadura 
A barra de aço é envolvida por um material termoplástico 
(enxofre, ligas de baixo ponto de fusão), a peça é concretada 
com a barra no seu interior, após o endurecimento do 
concreto a armadura é aquecida por meio de uma corrente 
elétrica; com o aquecimento o material termoplástico se 
funde permitindo assim o alongamento da armadura. 
A barra, ainda aquecida, é ancorada com porcas nas 
extremidades com roscas. 
Com o resfriamento a protensão se desenvolve e a aderência é 
restaurada com a solidificação do material termoplástico. 
 
89 
 
 
 
 
Flange tracionado
Aço de alta
resistênciaConcreto
Concreto Protendido 
Protensão pelo método PERFLEX 
É empregada em vigas compostas de concreto e um perfil 
estrutural de aço de alta resistência. 
O perfil de aço é carregado e o flange tracionado é então 
revestido com concreto de alta resistência; após o 
endurecimento do concreto a carga é removida, a tração no 
flange de aço é aliviada e o concreto passa a ser comprimido. 
Em seguida a viga é montada na estrutura e o restante da viga 
é concretado. 
A viga de aço deve ser construída com contraflecha. 
 
90 
 
 
 
 
Categorias de cabos e ancoragens 
Sistemas de protensão com armadura pós-tracionada 
Bloco fixo Bloco móvel
Cabo concentrado com
ancoragens concentradas
Cabos isolados com
ancoragens isoladas
Cabos concentrados com
ancoragens isoladas
Cabos isolados com
ancoragens concentradas
Concreto Protendido 
91 
Concreto Protendido 
Principais formas de ancoragens ativas de fios, barras e 
cordoalhas: 
a) pelaação de cunha; 
b) por pressão direta de placas aparafusadas ou 
rebitadas; 
c) por aderência ou por meio de alças. 
Ancoragens 
Tipos de ancoragens: 
1) ativas, onde são aplicadas as forças de protensão; 
2) passivas, onde se tem apenas a ancoragem da força 
aplicada em outro extremo do cabo de protensão. 
92 
 
 
 
 
Protensão com ancoragem móvel 
Macaco
Ancoragem móvel
Cabo
Concreto Protendido 
A aplicação da força de protensão é realizada esticando-se 
uma cordoalha ou fio de cada vez com macacos de pequena 
capacidade, ou empurrando-se a ancoragem móvel com um 
conjunto de macacos. 
Esse sistema é ideal para fábricas de peças pré-moldadas 
protendidas. 
As ancoragens empregadas são reaproveitadas, e são 
geralmente do tipo barrilete /cunha. 
Barrilete
Cunha
Fio ou cordoalha
93 
 
 
 
 
 
 
Ancoragem com placas aparafusadas 
Barra Dywidag
Placa de
ancoragem
Porca
Concreto Protendido 
Sistemas de protensão com armadura pós-tracionada. 
94 
 
 
 
 
 
 
Ancoragem com placas rebitadas 
(Sistema PRESCON-BBRV) 
Placas de aço
Fios
Concreto Protendido 
Sistemas de protensão com armadura pós-tracionada 
Os rebites nos extremos dos fios ancoram-se numa 
placa que se fixa diretamente sobre um bloco metálico. 
95 
 
 
 
 
 
 Ancoragem passiva: 
 a) por meio de alças; b) por laço. 
Fio
Fio ou cordoalha
Chapa de aço
Concreto Protendido 
Sistemas de protensão com armadura pós-tracionada. 
a) b) 
96 
Concreto Protendido 
Ancoragens passivas por aderência 
Catálogo da Rudloff: Tipo U 
97 
Concreto Protendido 
Ancoragens passivas por aderência 
Catálogo da Rudloff: Tipo H 
Faz-se o desdobramento das pontas das cordoalhas 
que funcionam como comprimento de ancoragem. 
98 
 
 
 
 
 
 
Ancoragem pela ação de cunha 
Sistemas de protensão com armadura pós-tracionada 
Bloco de ancoragem
Cone
Cordoalha ou fio
Concreto Protendido 
99 
 
 
 
 
 
 
Ancoragem pela ação de cunha 
Sistemas de protensão com armadura pós-tracionada 
Concreto Protendido 
Ancoragem de emenda da STUP 
100 
Concreto Protendido 
 
 
Monocordoalha engraxada 
101 
Concreto Protendido 
Sistema Dywidag 
102 
Concreto Protendido 
103 
Concreto Protendido 
Protensão dos cabos 
Faz-se uso de macacos hidráulicos adaptados a cada 
modelo de unidade de protensão, sendo acionados por 
bomba elétrica de alta pressão. 
Antes da protensão deve-se verificar se: 
1) o aspecto geral do concreto nas zonas de 
ancoragem é bom; 
2) a resistência especificada para o concreto já foi 
atingida; 
3) as condições dos equipamentos que serão 
utilizados. 
104 
Concreto Protendido 
Protensão dos cabos 
A protensão deve seguir ao plano definido no projeto 
estrutural. 
A equipe que realiza a protensão deve ser 
especializada nesse tipo de serviço. 
Em geral se emite um relatório após a execução da 
protensão. 
Após a protensão e DE ACORDO da fiscalização 
procede-se o corte dos das extremidades das 
cordoalhas e faz-se o preenchimento dos nichos das 
ancoragens. 
105 
Concreto Protendido 
Protensão dos cabos 
Após fixar os cabos ao macaco de protensão uma 
bomba hidráulica de alta pressão injeta no cilindro um 
óleo diluído pressurizado. 
A conexão macaco-bomba é realizada por meio de 
mangueiras flexíveis; no caso de altas pressões são 
utilizados tubos de aço ou de cobre sem costura, e 
com válvulas de alta pressão. 
A pressão causa um deslocamento relativo entre o 
pistão e o cilindro, alongando os cabos de protensão 
fixados ao macaco. 
Uma válvula de segurança não permite que o pistão se 
desloque indefinidamente e saia do cilindro. 
106 
Concreto Protendido 
Protensão dos cabos 
O controle da força de protensão é realizado por meio 
de leituras num manômetro. 
 
O alongamento dos cabos é verificado por medidas 
obtidas numa escala milimétrica tendo-se como 
referência uma marcação inicial anotada nesses cabos. 
 
Esse alongamento é comparado com o alongamento 
fornecido pelo calculista. 
 
Alguns sistemas de protensão têm macacos dotados de 
dispositivos cilíndricos que ao aplicaram as forças de 
protensão em seguida cravam as cunhas de ancoragem. 
107 
Concreto Protendido 
Protensão dos cabos 
1) Colocação do macaco: 
a) bloco de com as cunhas; 
b) anéis de cravação; 
c) aranha; 
d) macaco; 
e) bloco traseiro com as cunhas especiais. 
108 
Concreto Protendido 
Protensão dos cabos 
2) Preparação para a operação de protensão 
Fixação das cordoalhas no bloco traseiro por meio 
das cunhas especiais. 
109 
Concreto Protendido 
Protensão dos cabos 
3) Operação de protensão 
Aplicar a pressão no pistão do macaco de acordo com 
o previsto em projeto; os anéis garantem uma cravação 
uniforme das cunhas e limitam o seu retorno. 
deslocamento 
110 
Concreto Protendido 
Protensão dos cabos 
4) Retorno e retirada do macaco e acessórios 
Retorno do pistão devido à expulsão do óleo da câmara 
de tensão; retirada do macaco e acessórios. 
111 
Concreto Protendido 
Protensão dos cabos 
Colocação das bainhas e armaduras passivas. 
112 
Concreto Protendido 
Protensão dos cabos 
Após a concretagem da viga os cabos são colocados 
no interior das bainhas. 
113 
Concreto Protendido 
Protensão dos cabos 
Protensão e ancoragem dos cabos numa viga pré-
moldada.