01Material de Apoio - Funcoes

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1 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
APLICADA 
 
IMPORTANTE: 
Este é um material complementar da disciplina de Fundamentos de Matemática 
Aplicada É importante ressaltar que o conteúdo por completo deverá ser estudado a 
partir do livro texto adotado na nossa disciplina (Cálculo vol. 1 e 2, James Stewart). 
 
 
FUNÇÕES 
 
 
 LINEARES, QUADRÁTICAS, POTÊNCIAS, RACIONAIS 
TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS, ENFOCANDO 
TRANSLAÇÕES E REFLEXÕES 
 
“Aquilo que eu escuto, eu esqueço. 
Aquilo que vejo, eu lembro. 
Aquilo que eu faço, eu aprendo.” 
Confúcio 
 
 
PROBLEMATIZAÇÃO: 
 
A- Um móvel desloca-se a uma velocidade v (em m/s) variável em relação ao 
tempo t , dada por: 4020)( += ttv . Complete a tabela abaixo e responda: 
 
 
Tempo (em segundos) Velocidade (em m/s) 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
a) Qual a velocidade inicial? 
b) Qual a velocidade no tempo de 3s? 
c) Quanto tempo é necessário para atingir a velocidade de 240m/s? 
d) Observem na tabela os valores das velocidades. Existe algum padrão de 
comportamento? 
 
2 
 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES 
 
A forma como utilizamos o cálculo para resolver certos problemas é através de 
funções. Nesse curso vamos observar os principais tipos de funções e utilizá-las como 
modelos matemáticos de fenômenos do mundo real. 
O que é uma função? 
As funções surgem quando relacionamos uma quantidade com outra. Por exemplo: 
 
a) A área de um círculo relacionada com a medida do raio do mesmo 
b) A população mundial com relação ao tempo. 
 
 Nos exemplos citados, acima, a área de um círculo e a população mundial, são 
chamadas de variáveis dependentes. A medida do raio e o tempo são chamadas de 
variáveis independentes. 
O domínio de uma função é o conjunto de possíveis valores da variável independente e 
a imagem é o conjunto correspondente de valores da variável dependente. 
 
DEFINIÇÃO: 
 Uma função f é uma lei a qual para cada elemento x pertencente ao domínio 
(����) corresponde exatamente um elemento chamado f(x) da imagem (Im(f)). 
 
 
 
- Os valores de x�� ����, que anulam a função f, são chamados de raízes ou zeros da 
função. 
 
O que é um gráfico? 
 
O gráfico é um conjunto de pontos onde relacionamos para cada valor do domínio a sua 
imagem, ou seja, 
 
 
Para que uma curva seja o gráfico de uma função um valor do domínio só pode ter uma 
imagem. 
 
dominio 
Variação
x 
y 
3 
 
TIPOS DE FUNÇÕES 
 
1- FUNÇÃO LINEAR 
 
 Uma função linear é uma função da forma 	 
 ���� 
 � � 
 ��onde m
 
 é chamado de coeficiente angular e indica a inclinação, ou a taxa de variação de y em 
relação a x. 
 O valor de b é chamado de coeficiente linear e indica onde o eixo y é interceptado, ou 
seja, quando x é zero. O gráfico da função linear é uma reta. 
 
 
Para compreendermos melhor, vamos a um exemplo prático. 
 
a) Um móvel desloca-se a uma velocidade constante, quando é obrigado a reduzir 
sua velocidade, o que faz com que a função que representa a sua velocidade em 
relação ao tempo seja dada por 602)( +−= ttv . Complete a tabela abaixo e 
responda: 
Tempo (em segundos) Velocidade (em m/s) 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
a) Qual a velocidade inicial? 
b) Qual a velocidade no tempo de 4s? 
c) Quanto tempo irá demorar para o móvel parar? 
d) Observem na tabela os valores das velocidades. Existe algum padrão de 
comportamento? 
 
 
 Traçar os gráficos das seguintes funções: 
 
4020)( += ttv 602)( +−= ttv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
a) Qual a principal diferença entre os dois gráficos? 
 
 
 
 
 
Conclusões: Numa função linear ( bmxxfy +== )( ), podemos afirmar que: 
 
• Se o coeficiente angular m é positivo, então................................................................ 
 
• Se o coeficiente angular m é negativo, então............................................................... 
 
Exercícios: 
 
1- Esboce o gráfico das seguintes funções lineares: 
a) 63)( += xxf b) 42)( +−= ttf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) xy = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
2- À medida que o ar seco move-se para cima, ele se expande e esfria. Se a 
temperatura do solo for de ��� e a temperatura a uma altura de 1 km for de 10�: 
a) Expresse a temperatura T (em�.) como uma função da altura h (em km), 
supondo que o modelo linear seja apropriado. 
 
 
 
 
 
b) Faça o gráfico desta função. O que representa a inclinação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Qual é a temperatura a 2,5 km de altura? 
 
 
 
 
 
Inclinação da reta 
 
A equação reduzida de uma reta é da forma bmxy += e sabemos que m é a 
inclinação da reta e representa a variação de y com relação à x. Por exemplo, a função 
10002 +x dólares representa o custo para produzir x unidades, a inclinação dois representa 
o custo necessário para produzir cada unidade adicional. 
 Se conhecermos dois pontos ),( 00 yx e ),( 11 yx , podemos obter a inclinação da reta 
através de: 
01
01
xx
yy
m
−
−
=
 
 
 
E com isso conseguimos encontrar a função através da fórmula: 
 
)( 00 xxmyy −=− . 
 
 
6 
 
Exemplo: Dado o gráfico abaixo, determine a inclinação da reta e a lei que representa a 
função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
 
Uma função do tipo cbxaxxfy ++== 2)( , com oa ≠ , é chamada função quadrática. Os 
números a, b e c são chamados de coeficientes e x é a variável. Determinamos suas raízes 
através da fórmula: 
a
acbb
x
2
42 −±−
= . 
A quantidade de raízes depende do sinal da expressão acb 42 −=∆ . Se for positiva, a 
função possui duas raízes reais. Se for nula possui apenas uma raiz real. Se for negativa não 
possui raízes reais. 
O seu vértice é determinado por: �
�
�
�
�
� ∆−−
=
aa
bV
4
,
2
. Um exemplo de aplicação das 
funções quadráticas é na representação da trajetória de objetos em queda livre. 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
1- Esboce o gráfico das seguintes funções: 
 
a) 2xy = (função mãe) 
x
 
y 
-2 
-1 
0 
1 
2 
 
 
 
 
 
b) 12 += xy 
x
 
y 
-2 
-1 
0 
1 
2 
 
 
c) Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 2)( 2 += xxf . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 3)( 2 −= xxf . 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
e) 2xy −= 
x
 
y 
-2 
-1 
0 
1 
2 
 
 
 
 
 
 
f) Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 12 +−= xy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 32 −−= xy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 2)1( += xy 
x
 
y 
-2 
-1 
0 
1 
2 
9 
 
 
i) Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função ( )22−= xy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função ( ) 32 2 +−= xy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k) Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função ( ) 53 2 ++−= xy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
CONCLUSÕES: 
 
• Quando somamos um número a uma função estamos fazendo uma 
translação vertical, isto é, o gráfico desloca-se no sentido vertical uma 
quantidade de vezes equivalente ao número somado (ou subtraído).• Quando somamos ou subtraímos um número ao argumento da função, 
deslocamos o gráfico para a direita ou esquerda (horizontal) uma quantidade 
equivalente ao número somado ou subtraído, porém no sentido contrário à 
operação. Esta é uma translação horizontal. 
 
 
• Quando multiplicamos o gráfico por 1− estamos fazendo uma reflexão, em 
relação ao eixo x . 
 
 
 
Obs.: Estes são apenas alguns tipos de translações e reflexões. Listamos apenas aqueles 
que consideramos mais importantes. Porém, estas idéias não se aplicam apenas à função 
quadrática, mas sim a qualquer tipo de função! 
 
 
 
3- FUNÇÕES POLINOMIAIS 
 
Uma função P é denominada polinomial se: 
 
01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP nnnn +++++= −− 
 
onde n é um inteiro não negativo e os números naaaa ,...,,, 210 são constantes chamadas de 
coeficientes. O domínio de qualquer polinômio sempre é o conjunto de todos os números 
reais, ou seja, o intervalo ),( ∞−∞ . Determinamos o grau de um polinômio, como sendo o 
maior expoente cujo coeficiente é não nulo. Por exemplo: 
3
3
23)( 35 +−+= xxxxP 
é um polinômio de grau 5. 
 
 
Obs.: A função linear é uma função polinomial de grau 1 e a função quadrática é uma 
função polinomial de grau 2. Como conseqüência, temos que o domínio destas funções é o 
conjunto dos números reais. 
 
 
 
 
11 
 
 
Veja agora alguns exemplos de funções cúbicas, de grau quarto e de quinto grau. 
 
 
4- Funções de Potência 
 
Uma função da forma akxxf =)( , onde k e a são constantes, é chamada de função 
potência. Podemos considerar três casos: 
 
Primeiro caso: na = é um número inteiro positivo 
 
Neste caso observemos o que acontece com as funções: 
 
xy = 2xy = 3xy = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4xy = 5xy = 6xy = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
A forma geral do gráfico de nxxf =)( depende de n ser par ou ímpar. Se n for par, o 
gráfico se assemelha a uma parábola, se for ímpar, é similar ao gráfico da função cúbica 
3)( xxf = . 
 
Observe que à medida que a potência cresce, o gráfico torna-se mais achatado próximo de 
zero e mais inclinado para valores maiores que 1 e menores que -1. 
 
 
Segundo caso: na /1= , onde n é um inteiro positivo. 
 
A função nn xxxf ==
1
)( é uma função raiz. 
 
Exemplos: 
 
xy = 3 xy = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio Domínio 
 
 
 
 
13 
 
Exercício: 
1- Usando as regras de translações e reflexões, esboce o gráfico das seguintes funções: 
a) xy −= b) 2+= xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) xy −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que as regras acima funcionam para qualquer função raiz de índice par e que nas 
funções de índice ímpar não nos preocupamos com a análise do domínio, pois existem 
raízes de índice ímpar de números negativos. 
 
Terceiro caso: 1−=a 
A função 
x
xxf 1)( 1 == − , dada por 
x
y 1= ou 1. =xy é uma hipérbole cujos eixos 
coordenados são suas assíntotas. 
Veja como se comporta seu gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
xf 1)( = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio: 
14 
 
5- FUNÇÕES RACIONAIS 
 
Uma função racional f é uma razão entre dois polinômios: )(
)()(
xQ
xP
xf = , onde P e Q são 
polinômios. O domínio consiste em todos os valores reais de x , tais que 0)( ≠xQ . 
 
Exemplos: 
 
a) 23
2
3
532)(
xx
xx
xf
−
+−
= é uma função racional, cujo domínio é { }3;0| ≠≠= xxxD 
b) 
x
xf 1)( = é também uma função racional, cujo domínio é { }0| ≠= xxD 
c) 
1
2)(
2
−
−+
=
x
xx
xf , { }1| ≠= xxD 
 
 
Obs.: Note que 
1
)1)(2(
1
2)(
2
−
−+
=
−
−+
=
x
xx
x
xx
xf . Podemos simplificar esta última 
expressão, uma vez que possui o fator )1( −x em ambos os termos da fração? 
 
 
 
6 - Função Valor Absoluto 
 
É uma função definida por partes, sendo dada por: 
 
�
�
	
<−
≥
==
0 
0 )(
xsex
xsex
xxf 
 
 
Note que esta função é não negativa e representa o valor absoluto de um número real, ou 
seja, a distância deste número à origem. 
 
Exemplos: 
 
55)5( ==f , 33)3( =−=−f e 00)0( ==f . 
 
 
 
 
 
 
15 
 
Gráfico 
 
 
 
a) D(f) = 
 
b) Im(f) = 
 
 
7- FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Inicialmente relembraremos um pouco de trigonometria básica. 
No primeiro círculo trigonométrico, enfocaremos os quadrantes, o raio do círculo, 
os ângulos e a transformação de graus em radianos, enfatizando esta importância, uma vez 
que ângulo não é um número real. 
 No segundo analisaremos seno, cosseno e tangente numa visão geométrica. 
Também faremos associação dos eixos verticais e horizontais com estas funções, bem como 
análise de sinais nos diferentes quadrantes. 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
A- Construção dos gráficos das funções (mães) seno e cosseno. 
 
O gráfico da função senxxf =)( é obtido plotando-se os pontos para pi20 ≤≤ x e 
então usando a periodicidade da função para completar o gráfico. Idem para a função 
xxf cos)( = . 
 
Vamos construir o gráfico destas duas funções. 
 
senxxf =)( xxf cos)( = 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio: Domínio: 
Imagem: Imagem: 
 
 
Usando as idéias de translação e reflexão aprendidas nas últimas aulas, esboce o 
gráfico das seguintes funções. Analise sempre o domínio, a imagem destas funções. 
 
a) senxxf += 2)( b) xxf cos)( −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
c) senxxf −−= 1)( d) �
�
�
�
�
�
+=
2
)( pixsenxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e) senxxf 2)( = f) ( )xsenxf 2)( = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo visto, acima, concluímos que a fórmula para o período das funções seno e cosseno é 
igual a .............................. 
 
 
18 
 
Obs. A função tangente relaciona-se com as funções seno e cosseno pela fórmula 
 ���� 
����
����
 
 
 
Exercício: 
 
 Faça uma pesquisa sobre as funções trigonométricas xxf sec)( = , xxf seccos)( = e 
gxxf cot)( = , bem como das funções inversas das funções trigonométricas (apêndice do 
livro texto). Enfocando seus gráficos e suas relações com as funções seno e cosseno, 
 
 
 
 
 
 
8 - FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 
São as funções da forma xaxf =)( , onde a base a é uma constante positiva. 
 
Vamos à construção de alguns gráficos, para depois generalizarmos. 
 
 
 
 
 
 
 
xxf 2)( = x
xf �
�
�
�
�
�
=
2
1)( 
x y 
-2 
-1 
0 
1 
2 
 
 
 
 
 
 
x y 
-2 
-1 
0 
1 
2 
 
Domínio: Domínio: 
Imagem: Imagem: 
19 
 
 
 
CONCLUSÕES SOBRE A FUNÇÃO EXPONENCIAL: 
 
• A função será crescente quando: 
 
• A função será decrescente quando: 
 
• O gráfico da função irá interceptar o eixo y no ponto: 
 
• Onde a função possui um comportamento assintótico? 
 
 
 
IMPORTANTE: Uma função extremamenteimportante e que possui incontáveis 
aplicações em vários ramos da modelagem matemática, das engenharias, da computação, da 
física, da química é a função cuja base é dada pelo número de Euler. Este número é 
representado pela letra e , é um número irracional e seu valor aproximado é dado por 
...718281828,2=e Uma das maneiras de se obter este número é usando a fórmula 
x
x x
e �
�
�
�
�
�
+=
∞→
11lim . 
 
Exercício: 
1- Esboce o gráfico das seguintes funções, usando as idéias de translação e reflexão 
vistas anteriormente. Analise sempre o domínio e a imagem. 
a) xey = b) xxf 32)( += 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c)
x
xf �
�
�
�
�
�
−−=
5
41)( d) 15 += xy 
 
 
 
 
 
20 
 
2- Sejam ba, � �� �� �� � � e ba > . Faça um esboço dos gráficos: 
a) 
x
b
a
xf �
�
�
�
�
�
=)( b) 
x
a
b
xf �
�
�
�
�
�
=)( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9- Função Logarítmica 
 
Chamamos de função logarítmica de base a função da forma 
yxa =log , com 0,1,0 >≠> xaa . 
 
OBS: A função logarítmica é a função inversa da função exponencial e é tal que: 
0,1,0,log >≠>=⇔= xaaxayx ya 
 
Vamos à construção de alguns gráficos, para depois generalizarmos. 
 
 
 
 
 
xxf 2log)( = xxf
2
1log)( = 
x y 
0 
1 
2 
3 
4 
 
 
 
 
 
 
x y 
0 
1 
2 
3 
4 
 
Domínio: 
 
Domínio: 
Imagem: 
 
Imagem: 
21 
 
CONCLUSÕES SOBRE A FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 
 
• A função será crescente quando: 
 
• A função será decrescente quando: 
 
• O gráfico da função irá interceptar o eixo x no ponto: 
 
• Onde a função possui um comportamento assintótico? 
 
 
 
 
Exercícios: 
Esboce o gráfico das seguintes funções, usando as idéias de translação e reflexão. Analise 
sempre domínio e a imagem. 
a) xy 3log−= b) xxf
5
3log1)( += 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) ( )3log3 −= xy d) ( )2log2 5 ++−= xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
Abaixo, vemos alguns exemplos de funções logarítmicas em várias bases. Observe que este 
tipo de função cresce lentamente quando 1>x . 
 
 
 
Propriedades dos logaritmos: 
 
a) ��� �	 
 ��� � 
 ��� 	 
b) ��� �! 
 ��� � " ��� 	 
c) ��� �� 
 #��� �� # � � 
d) ��� $� 
 "��� � 
e) ��� �� 
 � 
 
 
� Estas propriedades também são válidas para o logaritmo de base e, cujo símbolo é 
���� � 
 �%�& Este logaritmo é chamado de logaritmo natural. 
� ��� � 
 '#� 
 �. 
� �%( 
 �& 
� ���$)� 
 ���� 
 
 
Mudança de base 
 
Para mudarmos o logaritmo de base a para base b, procedemos da seguinte forma: 
 
��� � 
���* �
���* �
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
Exercícios; 
1- Esboce o gráfico das seguintes funções, usando as idéias de translação e reflexão. 
Analise o domínio e a imagem. 
a) ���� 
 ���+ � b) ���� 
 � 
 ���,
-
� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c)����� 
 ���+ ��� " .� d) ���� 
 "���+ � 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
2- As indicações 1R e 2R , na escala Richter, de dois terremotos estão relacionados 
pela fórmula ��
�
�
��
�
�
=−
2
1
21 log M
M
RR , onde 1M e 2M medem a energia liberada pelos 
terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois 
terremotos um correspondente a 81 =R e outro correspondente a 62 =R . Qual a 
razão 
2
1
M
M
 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- A altura percebida β de um som em decibéis (dB) está relacionada com sua 
intensidade I em watts/metro quadrado (W/m2 ) pela equação ��
�
�
��
�
�
=
0
log10
I
Iβ , onde 
212
0 /10 mWI
−
= . Os danos ao ouvido médio ocorrem a partir de 90 dB. Determine 
o nível de decibéis de uma TV (volume a partir de 3 metros de distância), cuja 
intensidade é 25 /102,3 mWI −×= e estabeleça se causará dano à audição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 APÊNDICE: APLICAÇÕES 
 
Aplicação da Função trigonométrica 
 
A figura abaixo mostra vários números de horas de luz solar como uma função da época em 
várias latitudes a partir do dia 1º se março. Dado que a Filadélfia está localizada a 
aproximadamente 40º N latitude (representada na curva em verde), encontre uma função 
que modele a duração da luz solar durante os dias na Filadélfia. 
 
 
 
 
Observe que cada curva assemelha-se a função seno deslocada e esticada. Como o 
gráfico refere-se a luz solar, devemos observar qual o dia de maior número e menor 
número de horas, isso ocorre nos solstícios: 21 de junho (14,8 horas) e 21 de dezembro (9,2 
horas). Assim, a curva deve ser esticada verticalmente em 8,2
2
2,98,14
=
−
 (a amplitude). 
Devemos determinar agora, o quanto a curva seno é esticada horizontalmente, se a medida 
do tempo t for em dias: Como temos cerca de 365 dias em um ano, o período de nosso 
modelo deve ser de 365 dias. Assim o fator de esticamento horizontal é 
365
2pi
. Note que o 
gráfico começa no 80º dia do ano então devemos deslocar a curva 80 unidades para a 
direita. Também no dia 1º de março o número de horas de luz solar foi 12 horas, devemos 
deslocar 12 unidades para cima. Assim sendo, modelamos o comprimento dos dias na 
Filadélfia em função dos dias por ( )
�
�
�
�
−+= 80
365
28,212)( tsentL pi . Assim, conseguimos 
saber uma previsão do número de horas com a luz do sol em qualquer dia. 
 
26 
 
 
 
Aplicação da Função exponencial 
 
A vida média do estrôncio-90 é de 25 anos. Isso significa que a metade de qualquer 
quantidade irá se desintegrar em 25 anos. 
a) Se uma amostra de estrôncio-90 tiver uma massa de 24 mg, encontre uma expressão para 
a massa m(t) que sobrará após t anos. 
b) Encontre a massa remanescente após 40 anos. 
 
Solução: 
a) A massa inicial de 24mg é dividida ao meio a cada período de 25 anos, assim 
( )
( )
)24(
2
1)24(
2
1
2
1)100(
)24(
2
124
2
1
2
1
2
1)75(
)24(
2
124
2
1
2
1)50(
24
2
1)25(
24)0(
43
3
2
==
==
==
=
=
m
m
m
m
m
 
 
Desse padrão tiramos que a massa remanescente após t anos é 
25
25
2.24)24(
2
1)(
t
t
tm
−
== 
 
b) A massa remanescente após 40 anos é 
mgm 9,72.24)40( 25
40
≈=
−