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05 – SISTEMAS DE VETOR 
ATIVO
05.01. Definição
• Sistemas estruturais formados por barras de 
pequena seção, comparadas ao 
comprimento, que não resistem a esforços de 
flexão, somente tração e compressão. 
• As forças são reorientadas por 
decomposição vetorial.
05.02. Características 
• Montagem triangular das barras: 
– Resultam em uma estrutura estável.
• A decomposição das forças não precisa se dar 
unicamente em um plano:
– Curvas planas: Arcos e Pórticos Treliçados.
– Supefícies espaciais: Cascas Treliçadas (Richard B. Fuller)
– Direções tri-dimensionais: Treliças Espaciais, Grelhas 
treliçadas.
• Apresentam a vantagem com relação às estruturas 
de cabos e arcos de serem estruturas bastante 
rígidas que resistem favoravelmente a cargas 
assimétricas e a inversão de esforços.
Características
• O mecanismo de redirecionamento das forças pode 
ser aplicado a outros tipos de estruturas. Casos em 
que o peso se torna muito grande inviabilizando a 
execução.
– Arcos e Pórticos Treliçados.
– Cascas Treliçadas (Richard B. Fuller).
– Grelhas treliçadas.
• Podem ser adotados em sistemas verticais (edifícios 
altos) proporcionando uma estrutura com 
desempenho razoável quando solicitada tanto por 
cargas verticais quanto por cargas laterais (vento).
Exemplos
Exemplos
Características
• A forma esquelética desse tipo de estrutura 
expressa o domínio do homem sobre as 
forças, reorientando-as.
• O tratamento que se dá aos sistemas de 
vetor ativo é, via de regra, puramente 
técnico, esquecendo-se do estético. O 
potencial estético deste tipo de estrutura 
geralmente não é explorado.
Aeroporto de Natal
Cristo Redentor
Cristo Redentor
3
0
 
m
e
t
r
o
s
Museu Guggenheim – Bilbao
Frank Gery
Museu Guggenheim
05.03. Tipologia de treliças 
planas
• Treliças de banzos paralelos:
– Substituta natural da viga.
– Viga de alma cheia X viga treliçada
• Treliças usuais para telhados:
– Treliça tipo Howe: Indicada para estruturas de 
madeira.
– Treliça tipo Pratt: Indicada para estruturas de aço.
– Treliça tipo Fink: Indicada para cobertura de 
grandes vãos.
– Arco Treliçado.
Exemplos
05.04. Analogia de Ritter
• Em vigas de banzos paralelos:
– O momento fletor na viga é resistido pelos 
esforços de compressão e tração nos banzos da 
treliça.
– O esforço cortante na viga é resistido pelos 
esforços de compressão e tração nas diagonais e 
montantes.
Treliça de banzos paralelos
Treliça de banzos paralelos
Treliça de banzos paralelos
NBS
NBI
ND
NM
NBI
NBS
V
M
M
V
Alternando as diagonais
NBI
ND
NBS
NBS
NM=0
NBI
M
VN D
V
M
Treliça Plana BP01
20,0 metros
2
,
0
 
m
Apoio Fixo Apoio Móvel
Perfis tubulares em aço. E=2,1X108 kN/m2
φext = 100 mm; esp = 3,0 mm
Deformada em mm
Esforços Normais em kN
Momentos Fletores, em kNm
Efeito do peso próprio.
Efeito das ligações rígidas.
Sem pp, sem ligações rígidas
Sem pp, sem ligações rígidas
Com dois apoios fixos
Com dois apoios fixos
Com diagonais invertidas
Com quadro aberto
Quadro com ligações rígidas à
flexão.
Momentos Fletores
Pórticos Treliçados
Incluir efeito do Esforço Normal
M
V
N
Efeito do Esforço Normal
H N D
NBS
NBI
N
V
M
2
2
N
H
MN
N
H
MN
BI
BS
−+=
−−=
Arcos treliçados
• Arcos treliçados com eixo coincidente com a linha de 
pressão do carregamento:
Arcos treliçados
• Não existe esforço cortante no arco de alma cheia 
conjugado.
• As diagonais do arco treliçado não são solicitadas 
axialmente.
• As diagonais são úteis apenas para 
contraventamento dos banzos, reduzindo 
comprimentos de flambagem.
• Dois banzos paralelos resultam em uma inércia 
maior do que a obtida com um único banzo de seção 
equivalente.
Pórticos e arcos treliçados
Treliça Bowstring
TiranteArco
00
Treliça Bowstring
• O banzo inferior funciona como um tirante.
• Não existem esforços nas diagonais e 
montantes.
• Estes servem apenas para impedir a 
flambagem do banzo superior
Treliças Bowstring
• Para otimizar a treliça, mantendo a 
solicitação constante ao longo dos banzos, 
pode-se fazer a altura acompanhar o 
diagrama de momentos fletores.
05.05. Formas estruturais para 
treliças planas 
Variação da altura com a 
solicitação
Variação da altura com a 
solicitação
05.06. Treliças usuais para 
telhados
• Treliças tipo Howe: Indicadas para estruturas 
de madeira:
– Barras tracionadas e barras comprimidas.
• Treliças tipo Pratt: Indicadas para estruturas 
de aço:
– Barras tracionadas e barras comprimidas.
Treliça Tipo Howe
Treliça Tipo Pratt
Treliça Tipo Howe
d 1
N B S
NBI
ND
d2
d
3
M1 M2
M3
3
3
2
2
1
1 ;;
d
MN
d
MN
d
MN BIBSD −=−=−=
Esforço no montante
M1
NM
NBI
N B S
d 1
TTH X TBP
NBI
ND
N B S
M1,P
M1,R
O que deve acontecer para que os esforços 
nas diagonais e montantes sejam nulos?
Treliça Tipo Bowstring
Treliça Tipo Howe
20,0 metros
2
,
5
 
m
Deformada
Esforços
Invertendo diagonais
Altura inicial diferente de zero
20,0 metros
2
,
5
 
m
0
,
5
 
m
Deformada
Esforços Normais
Diagonais tracionadas
Diagonais comprimidas
Treliça tipo Fink
Telhado em Shed
• Vantagem:
– Iluminação e 
ventilação 
naturais.
• Desvantagem:
– Calhas 
internas
Fiat – Sete Lagoas (MG)
Face Norte
Colégio Marista
Colégio Marista
Quadra de esportes - UEL
Estabilização lateral dos banzos
• Normalmente, para cargas no sentido de 
gravidade, o banzo superior trabalha 
comprimido e o banzo inferior tracionado.
• Quando há inversão de cargas ocorre o 
contrário.
• O banzo comprimido, seja superior ou 
inferior, precisa ser estabilizado lateralmente.
Balanço de cargas
• Peso próprio da estrutura: g1 = 20 Kgf/m2.
• Peso próprio de telhas: g2 = 10 Kgf/m2.
• Sobrecarga: q1 = 30 Kgf/m2.
• Vento: q2 = -80 Kgf/m2.
• Máxima carga descendente:
– (g+q)max = 20+10+30 = 60 Kgf/m2.
• Máxima carga ascendente:
– (g+q)min = 20+10-80 = -50 Kgf/m2.
Contraventamento dos banzos
• Superior
– Diagonais formando treliças no plano superior do 
telhado.
• Inferior
– Diagonais formando treliças no plano do banzo 
inferior.
– Mãos francesas nas terças
Flexão lateral de terças
• Carga de vento: Paralela ao eixo de maior 
inércia da terça.
• Peso próprio: Direção da gravidade.
• Terças de cobertura com eixo vertical não 
coincidente com o eixo z:
– Flexão lateral devido à componente de pp na 
direção de menor inércia da terça.
• Terças de fechamento lateral.
– Todo o peso próprio cai na direção de menor 
inércia.
Estabilização lateral de terças
• Correntes flexíveis:
– Barras redondas.
– Só absorvem esforços de tração.
• Correntes rígidas:
– Barras com inércia: cantoneiras.
– Absorvem tração e compressão.
Exemplo Galpão Industrial
05.07. Pórticos e vigas 
treliçados
• Redução de peso.
• Em estruturas de pequeno porte o custo da 
fabricação pode não compensar a economia 
de material.
• Exemplos:
– Viga de alma cheia...viga treliçada.
– Pórtico de alma cheia...pórtico treliçado.
– Laje maciça...estrutura espacial.
Exemplos
05.08. Ligações em treliças 
planas
• Ligações diretas
– Todas as barras se conectam entre si no nó.
• Ligações indiretas
– As barras se conectam a um elemento de ligação 
(nó).
Ligações indiretasX diretas
Forma de execução da ligação
• Treliças de madeira
– Ligações de entalhe (compressão).
– Ligações pregadas (tração).
– Ligações com elementos metálicos
• Treliças metálicas
– Ligações soldadas.
– Ligações parafusadas.
– Ligações com chapas (Gusset): eliminam as 
dificuldades de ligação com elementos de 
geometrias diferentes.
Ligações em treliças de 
madeira
Ligações em estruturas 
metálicas
Ligações em estruturas 
metálicas
Corte Boca de Lobo
Ligações em estruturas 
metálicas
05.09. Treliças espaciais-
Conceitos:
• Treliças planas: Reorientação vetorial de forças no 
plano.
• Treliças espaciais: Reorientação vetorial de forças no 
espaço.
• Qualquer sistema de superfícies ativa (cascas) ou de 
massa ativa (placas, grelhas), de comportamento 
espacial, pode ser transformado em um sistema de 
vetor ativo > Redução do peso.
– Viga e pórticos de alma cheia...viga e pórticos treliçados.
– Placa (laje) ou grelha de alma cheia...Placa (laje) ou grelha 
treliçadas.
– Cascas...Superfícies treliçadas.
Tipologia
• Superfícies treliçadas
• Placas treliçadas
• Vigas espaciais. Vigas Delta. Viga Toblerone.
05.10. Superfícies espaciais 
(Cascas) Treliçadas
• Os esforços distribuídos por toda a superfície 
em um sistema contínuo são canalizados 
pelas barras das treliças no sistema treliçado.
• Tipologia.
– Superfícies de curvatura simples (desenvolvidas): 
Abóbodas cilíndricas.
– Superfícies de dupla curvatura:
• Duas curvaturas de mesmo sentido (sinclásticas): 
Cúpulas.
• Duas curvaturas de sentidos opostos (anticlásticas): 
parabolóide hiperbólico.
Exemplos
(Cascas) Treliçadas
• Cúpula Geodésica.
– Técnicas de modulação para barras de 
comprimentos constantes.
– Richard Buckminster Füller:
• Projeto para a Ford em 1953: Cúpula em concreto 
armado com 160 toneladas foi substituída por uma 
geodésica de 8,5 toneladas.
• Sistema patenteado em 1.954
• Projetou domo para a feira de Montreal no Canadá em 
1968.
Geodésicas
Richard 
Buckminster
Fuller
05.11. Placas treliçadas
• Treliças espaciais de banzos paralelos.
• Analogia entre uma viga de alma cheia e uma viga 
treliçada = Analogia entre uma placa contínua (laje) e 
uma treliça espacial de banzos paralelos.
• A treliça espacial de banzos paralelos apresenta a 
vantagem adicional de permitir a distribuição bi-
direcional de esforços:
– Direções mais curtas, na placa e na treliça espacial, 
apresentam maiores esforços.
– Denominando de V1 a viga mais curta, de V2 a viga mais 
longa, de L1 o vão da viga V1 e de L2 o vão da viga V2:
2
1
2
2
21 L
L
MM VV =
Exemplos
Exemplos
05.12. Distribuição de esforços
• Analogia de Ritter:
– Os banzos equilibram os momentos fletores da placa.
– Os banzos são mais solicitados na treliça onde os esforços 
de flexão na placa são maiores.
– As diagonais equilibram os esforços cortantes na placa.
– As diagonais mais solicitadas estão junto aos apoios.
• Para cargas gravitacionais:
– Onde o momento fletor é positivo na placa: comprime o 
banzo superior da treliça e traciona o banzo inferior.
– Onde o momento fletor é negativo na placa: traciona o 
banzo superior da treliça e comprime o banzo inferior.
– As diagonais descendentes no sentido do apoio são 
comprimidas. As ascendentes são tracionadas. 
05.13. Modulação
• Vantagens:
– Facilidade de execução.
– Simplificação de projeto.
– Aspecto arquitetônico.
– Simplificam ligações.
• Desvantagem:
– O “engessamento” a uma modulação pode tornar 
a estrutura mais pesada.
Tipos de modulação:
• Tipo grelha: Série de vigas paralelas, de banzos 
paralelos.
• Módulos piramidais:
– Pirâmides de base quadrada: são as mais usadas.
– Pirâmides de base triangular:
• São mais rígidas.
• Se adaptam melhor a contornos irregulares.
• Possuem mais barras: mais pesadas.
• Ligações mais complexas.
– Pirâmides de base hexagonal:
Comprimentos das barras
• Solução ideal: Todas as barras de mesmo 
comprimento.
– Em pirâmides de base quadrada:
2
2aH =
aH 816,0=– Em pirâmides de base triangular:
05.14. Parâmetros de projeto
• Vãos de 20~30 metros a 100 metros.
• Altura da treliça: 
30
~
40
LLH =
• Modulação:
– Módulo igual nas duas direções:
– Quanto maior o módulo mais leve a estrutura.
• Barras comprimidas muito longas > Menor carga crítica.
• Altura muito grande > Diagonais muito inclinadas.
– Tamanho ideal do módulo: 2 ~ 4 metros.
– Comprimento de barras encontradas no mercado = Número 
inteiro de módulos.
– Módulo igual ao vão da telha, ou igual a dois vãos de telhas, 
apoiando nos nós inferiores.
Tipos de apoio
• Apoios contínuos: 
– Todos os nós de um bordo apóiam-se sobre viga.
– Resultam em menores esforços.
• Apoio pontual:
– Apoios discretos em pilares.
– Maiores esforços nas diagonais junto aos apoios.
– Esforços nas diagonais caem rapidamente 
quando se afasta dos apoios.
Suavização das reações
• Pirâmide de transição inferior.
• Estrutura estaiada.
05.15. Materiais utilizados
• Alumínio: Comparativo com o aço:
– Mais leve, cerca de 3 vezes.
– Mesma resistência à tração.
– Menor módulo de elasticidade.
• Maiores deslocamentos.
• Menor carga crítica de compressão:
2
2
L
EIPcr
π=
– Maior resistência à corrosão atmosférica.
– Custo superior ao do aço 
05.15. Materiais utilizados
• Aço.
– As desvantagens em relação ao alumínio foram 
reduzidas com:
• Desenvolvimento de aços com maior resistência 
mecânica.
• Desenvolvimento de aços com maior resistência à
corrosão.
• Melhoria das técnicas e dos produtos de pintura.
– O custo inferior, aliado à redução das 
desvantagens técnicas, torna-o o material mais 
utilizado. 
05.16. Tipos de perfis
• Tubulares
– Tubos redondos: Constituem-se na melhor 
solução pois:
• Não apresentam direção com raio de giração mínimo 
(maximizam o raio de giração mínimo).
• Permitem melhor acabamento estético.
• Ligações mais simples.
– Tubos quadrados:
• Apresentam direção com raio de giração mínimo.
• Pouca disponibilidade no mercado.
• Ligações mais complexas.
05.16. Tipos de perfis
05.16. Tipos de perfis
• Cantoneiras simples ou associadas:
– Apresentam direções de raio de giração mínima 
que reduzem a carga crítica de compressão.
– Geram estruturas mais pesadas.
– Quando associadas entre si tendem a minimizar o 
problema da assimetria de inércia.
– Podem apresentar soluções simples de ligações 
com chapas.
– Processo de fabricação automatizado pode 
compensar o peso adicional de aço.
05.17. Ligações em treliças 
espaciais – Tubos redondos
• Ligações soldadas:
– Dificuldade de corte das extremidades.
– Mão de obra onerosa.
• Ligações parafusadas:
– Nó com pontas amassadas e dobradas (diagonais):
– Utilizam um parafuso único, por nó.
– Redução da inércia nas pontas das barras, reduzindo a 
carga crítica.
– Excentricidade entre o eixo da barra com o nó nas 
diagonais, gerando flexão na extremidade amassada.
Nó “Tabajara”
Nó metálico
Fabricação
Pavilhão Anhembi
05.17. Ligações em treliças 
espaciais – Tubos redondos
• Nó de aço:
– Utilização de chapa de base com duas chapas em 
diagonal soldadas de topo.
– Eliminam o problema da excentricidade. 
– Continua o problema da redução da inércia na 
extremidade. Isso pode ser quantificado.
– Possibilitam melhor acabamento.
– Utilizam grande quantidade de parafusos. No 
mínimo um por barra.
– Sistema Mero (Manessmann).
Exemplos
05.17. Ligações em treliças 
espaciais – Perfis cantoneira
• Nó de aço.
• Como nos perfis tubulares circulares. É a 
solução mais simples. Exemplo: Moringão.
• Outros sistemasProjeto
• Monte um modelo de uma treliça espacial de 
malha dupla, tipo placa treliçada, que se 
adapte à seguinte condição de contorno:
– Área coberta = 80 X 120 m, aproximadamente.
– 6 apoios.
– Diagonais com mesmo comprimento dos banzos.
– Comprimento da barra = 12,00/N (N inteiro).
Exemplos
Terminal Rodoviário de Londrina
Terminal Rodoviário de Londrina
Associação Brasileira Metalurgia
Edifício em São Carlos
Posto de Gasolina
PW Brasil
Tesoura para galpão
Como é resultado do problema 
do contraventamento do banzo 
superior que fica comprimido 
sob cargas ascendentes?
Vila Bela (MT)
Vila Bela (MT)
Observar detalhes das emendas
Ginásio Cuiabá
Aeroporto Uberlândia
Detalhe do nó!
Big Eye
Big Eye
Aeroporto Ezeiza
Ginásio de Esportes Moringão
• Dimensões em planta: 76,0X76,0 m.
• 20 módulos de 3,80X3,80 no plano superior.
• 19 módulos de 3,80X3,80 no plano inferior.
• Altura de 2,68 m.
Esforços no plano inferior
Faixas mais solicitadas.
Faixas de apoio.
Esforços no plano superior
Esforços nas diagonais
Vigas espaciais