mat1161 152 ExercicioParaEntregar10 gaba

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MAT1161 – Ca´lculo de uma Varia´vel - 2015.2 PUC-Rio
Lista de Exerc´ıcios para Entregar 10 Gabarito Resumido
(a) Vamos usar L’Hoˆpital duas vezes:
lim
x→∞
f(x) = lim
x→∞
2 ln(x)/x
1
= lim
x→∞
2 ln(x)
x
= lim
x→∞
2 (1/x)
1
= lim
x→∞
2
x
= 0
(b) Primeiro observamos que Dom(f) = (0,∞). Ja´ sabemos, pelo item anterior, que a reta
de equac¸a˜o y = 0 e´ ass´ıntota horizontal e que f na˜o tem ass´ıntotas obl´ıquas. Enta˜o
precisamos determinar agora
lim
x→0
f(x) = lim
x→0+
1
x
(ln(x))2 = lim
x→0+
1
x
lim
x→0+
(ln(x))2 =∞
pois lim
x→0+
1
x
= ∞ e lim
x→0+
(ln(x))2 = ∞. Portanto a reta de equac¸a˜o x = 0 e´ a ass´ıntota
vertical de f .
(c) Primeiro encontramos a integral indefinida fazendo substituic¸a˜o:
u = ln(x) ⇒ du = dx
x
e
∫
f(x)dx =
∫
u2du =
u3
3
+K =
(ln(x))3
3
+K.
Com isso, vamos finalmente encontrar a integral impro´pria∫ 1
0
f(x)dx = lim
a→0+
∫ 1
a
f(x)dx = lim
a→0+
(
(ln(1))3
3
− (ln(a))
3
3
)
= − lim
a→0+
(ln(a))3
3
=∞