mat1161 152 ExercicioParaEntregar12 gaba

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MAT1161 – Ca´lculo de uma Varia´vel - 2015.2 PUC-Rio
Lista de Exerc´ıcios para Entregar 12 Gabarito Resumido
Sejam V (t), r(t) e h(t) as func¸o˜es que fornecem, em func¸a˜o do tempo, o volume de a´gua no
cone, o raio do cone com a´gua e a profundidade da a´gua respectivamente. Temos
∀t V (t) = pi
3
(r(t))2 h(t) ,
Ale´m disso, por semelhanc¸a de triaˆngulo,
2
4
=
r(t)
h(t)
∀t ,
ou seja,
r(t) =
h(t)
2
∀t .
Da´ı
V (t) =
pi(h(t))3
12
e
V ′(t) =
pi
4
(h(t))2 h′(t) ∀t .
Em particular, no instante, digamos t¯, em que h(t¯) = 3, vale que
2 =
pi
4
9h′(t¯)
portanto
h′(t¯) =
8
9pi
.
Resposta: O n´ıvel da a´gua esta´ aumentando
8
9pi
m/min no instante em que a a´gua esta´ a 3
m de profundidade.