Raciocinio logico UN02

Prévia do material em texto

Raciocínio 
U2
lógicológico
Raciocínio 
lógico
Raciocínio 
lógico
Objetivo do estudo
Esperamos que, ao final desta unidade você seja capaz de resolver problemas de raciocínio 
lógico fazendo comparações entre desenhos e figuras utilizando critérios de similaridade e 
identificando diferenças entre os desenhos apresentados; resolver problemas de raciocínio 
lógico envolvendo sequências numéricas e de letras; aplicar alguns métodos que permitam a 
contagem do número de elementos de um conjunto, sendo estes elementos agrupados sob 
certas condições; reconhecer que razão entre duas grandezas de uma mesma espécie é a 
razão dos números que exprimem suas medidas e comparar grandezas.
MATEMÁTICA 
DIDÁTICA: A LÓGICA 
DAS SEQUENCIAS, 
RAZÃO E PROPORÇÃO
2
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM 
2 T1 A LÓGICA NA ORGANIZAÇÃO DE SEQUÊNCIAS DE FIGURAS E DESENHOS Neste tópico iremos abordar a utilização do raciocínio lógico na organização de sequências 
envolvendo figuras e desenhos.
Um tipo muito comum de exercício consiste em completar uma sequência de desenhos, 
escolhendo uma dentre algumas alternativas fornecidas.
Para começar, veja o exemplo a seguir:
Qual das imagens abaixo completa melhor a sequência superior? 
E então? Quer fazer uma tentativa?
Como proceder para resolver um problema deste tipo? 
A primeira coisa a fazer é observar as figuras e tentar estabelecer um padrão de 
sequenciamento entre elas. 
Parece difícil, não é? Mas você verá que as aparências enganam!
Comece fazendo a si mesmo as seguintes perguntas:
1. O que todas as figuras têm em comum?
2. O que se altera da primeira para a segunda figura?
3. O que se altera da segunda para a terceira figura?
4. O que se altera da terceira para a quarta figura?
Ao responder a estas perguntas, você terá descoberto o critério ou o modo como as figuras 
são geradas. Dessa forma, você poderá saber qual a figura seguinte.
Agora, vamos resolver o problema utilizando estas perguntas?
Observe que em todas as figuras existe um triângulo e um círculo. Essas figuras aparecem 
em posições alternadas: ora o triângulo acima do círculo, ora ao contrário. Dessa observação 
podemos ter certeza de que, na figura que falta, o círculo deve estar acima do triângulo.
Como todos os triângulos têm o mesmo tamanho e os círculos aumentam progressivamente 
de uma figura para a outra, podemos concluir que a resposta correta é a D.
Vamos ver agora outro exemplo!
A B C D
3
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM
Veja que, neste exemplo, as fi guras têm mais detalhes do que no exemplo anterior. No 
entanto, para resolvê-lo devemos proceder de forma sistemática, assim como fi zemos no 
primeiro exemplo.
Primeiro, observe o que todas as fi guras têm em comum. As fi guras apresentadas são 
retângulos divididos em duas partes, com um desenho diferente em cada parte do retângulo.
Agora vejamos as diferenças: a divisão dos retângulos aparece de três formas distintas: 
vertical, diagonal da esquerda para a direita e diagonal da direita para a esquerda. Observando 
como essas divisões acontecem em cada linha, percebemos que na terceira linha está 
faltando um retângulo dividido diagonalmente da esquerda para a direita. Isto já nos permite 
eliminar a opção b.
Existem seis desenhos diferentes dentro dos retângulos. Se contarmos a quantidade de 
vezes que cada desenho aparece, verifi camos que os dois desenhos que aparecem menos 
vezes (duas vezes) são o ponto e a cruz envolvida por um círculo. Todos os outros desenhos 
aparecem três vezes. 
Portanto, podemos concluir que a resposta correta é a E.
Usando as perguntas para identifi car semelhanças e diferenças não é tão difícil, correto?
Uma boa dica neste tipo de situação problema!
Sempre que o desenho tiver vários detalhes, procure analisar cada um deles separadamente. 
Foi o que fi zemos na última questão. Observamos primeiro o tipo de divisão dos retângulos 
e somente depois os desenhos dentro dos retângulos. Isto ajudará a resolver o problema de 
forma sistemática e efi ciente.
Outra possibilidade de exercício é aquela em que você terá que fazer comparações entre 
desenhos e estabelecer uma relação do tipo: o desenho A está para o desenho B assim 
como o desenho C está para...
a
d
b
e
c
?
Escolha a fi gura correta, dentre as cinco alternativas colocadas a seguir, para preencher o 
espaço do ponto de interrogação: 
4
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM 
Nesse tipo de exercício, você deverá verifi car qual foi a modifi cação ou a ação realizada 
do desenho A para o desenho B. Ao realizar a mesma modifi cação sobre o desenho C, você 
terá chegado à resposta.
Veja três exemplos de situações deste tipo!
1ª - Qual dos cinco desenhos faz a melhor comparação?
Vamos à solução!
É fácil notar que o primeiro desenho é um círculo e o segundo desenho é um círculo dividido 
em duas partes. Logo, o quadrado deve ser comparado a um quadrado que seja também 
dividido em duas partes. 
Portanto, a resposta correta é a C.
2ª - Qual das imagens abaixo completa melhor a sequência superior?
Solução do problema
O primeiro desenho é formado por quatro círculos divididos por um segmento vertical e outro 
segmento horizontal, ao passo que o segundo desenho é formado pelos mesmos quatro 
círculos agora divididos por um segmento vertical.
O que mudou do primeiro para o segundo desenho? Desapareceu a divisão horizontal dos 
círculos! Então devemos seguir o mesmo raciocínio e fazer a mesma alteração no terceiro 
desenho. Retirando o segmento horizontal desse desenho, verifi camos que a resposta 
correta será a C.
(A)
se compara a se compara a:, então
(B) (C) (D) (E)
(A) (B) (C) (D)
5
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM
3ª Qual dos cinco desenhos faz a melhor comparação?
Já sabe qual é a resposta?
Solução do problema 
Vamos olhar atentamente como o segundo desenho se modifi ca em relação ao primeiro. Em 
cada um deles aparece um quadrado, um triângulo e uma cruz. O triângulo que estava acima 
do quadrado passou para baixo do quadrado e a cruz que estava para fora da fi gura passou 
para dentro da fi gura. Portanto, ocorreram duas inversões de orientação.
Agora preste atenção ao terceiro desenho. Neste desenho temos um retângulo, um círculo 
e uma seta. Aplicando o raciocínio anterior do quadrado em relação ao retângulo, notamos 
que o círculo que está do lado direito deverá ser invertido, passando para o lado esquerdo 
do retângulo; a seta que está para dentro do desenho deverá ser invertida, passando para 
fora do desenho. Portanto, a resposta correta será a D.
Tudo entendido até aqui?
Existem também exercícios em que será pedido que você examine cinco desenhos ou fi guras 
e aponte qual delas não possui uma semelhança comum às outras quatro fi guras.
Nesse caso, você deve procurar uma semelhança, um elemento comum, enfi m, algo que 
somente quatro fi guras possuem em comum e que a quinta fi gura não possui.
Vamos observar os dois exemplos a seguir?
Qual dos cinco desenhos não possui uma semelhança em comum?
Solução do problema
Mas antes, tente buscar a resposta.
Observe que o triângulo, o quadrado, a cruz e o xis são todos construídos através de linhas 
retas. É isso que esses quatro desenhos têm em comum. Já o círculo é uma linha curva, não 
podendo ser construído através de linhas retas.
Portanto, a resposta correta é a D. 
Agora, vamos ver se você acerta o exercício a seguir.
(A)
se compara a se compara a:, então
(B) (C) (D) (E)
(A) (B) (C) (D) (E)
6
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM 
Qualdos cinco desenhos não possui uma semelhança em comum?
Já sabe qual é o desenho, não é?
Vamos conferir?
Observe que todos os desenhos são fi guras geométricas e estão divididos em partes. O 
número de divisões da fi gura coincide com o número de lados e com o número de vértices 
em todos os casos, exceto no quarto desenho.
A: Triângulo (fi gura geométrica de três lados e três vértices), dividido em três partes.
B: Quadrado (fi gura geométrica de quatro lados e quatro vértices), dividido em quatro partes.
C: Pentágono (fi gura geométrica de cinco lados e cinco vértices), dividido em cinco partes.
E: Hexágono (fi gura geométrica de seis lados e seis vértices), dividido em seis partes.
Portanto, a resposta correta é a D.
Espero que você esteja gostando de estudar sequências lógicas.
Se você gostou de resolver esse tipo de exercícios 
envolvendo sequências de desenhos e fi guras, 
acesse o endereço eletrônico 
http://br.syvum.com/qi/ e resolva mais alguns Testes 
de QI e Raciocínio Lógico ali apresentados.
saiba mais
T2 A LÓGICA NA ORGANIZAÇÃO DE SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS E DE LETRAS
Neste tópico daremos continuidade ao assunto de sequências. No entanto, agora iremos 
trabalhar somente com sequências de números e de letras.
Vamos iniciar com as sequências formadas por letras e palavras. 
Preste bastante atenção! Podemos começar?
(A) (B) (C) (D) (E)
7
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM
1 - Observe a sucessão de letras a seguir e determine a letra que deve substituir o ponto de 
interrogação (considere o alfabeto da língua portuguesa).
B - D - G - K - P - ?
Para resolver essa questão, devemos considerar a ordem alfabética das letras em
nosso alfabeto. Veja:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Note que, na sequência de letras apresentada, temos a segunda, a quarta, a sétima, a décima 
primeira e a décima sexta letras de nosso alfabeto. Ou seja, o intervalo entre as letras da 
sequência está aumentando: 1 – 2 – 3 – 4. Portanto, a próxima letra deverá ser escolhida com 
intervalo de 5 letras da última. Então, passando pelas letras Q, R, S, T, U podemos concluir 
que a resposta correta é a LETRA V.
2 - Complete o espaço vazio com a letra que está faltando:
A D G
E H ?
I L O
Vamos saber qual a solução?
Observe que as letras da primeira linha estão seguindo o seguinte critério: de uma letra para 
a outra são puladas duas letras dentro da ordem alfabética.
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
O mesmo critério acontece também com as letras da terceira linha da tabela:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Logo, esse mesmo raciocínio permite encontrar a letra que falta na segunda linha:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Portanto, a letra que está faltando é o K
Podemos continuar?
8
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM 
Outro tipo de exercício é aquele em que aparece uma sequência de palavras e você deve 
acrescentar a essa sequência uma palavra, sempre de acordo com a lógica apresentada.
Para resolver esses exercícios você não deve se preocupar com o signifi cado das palavras, 
mas sim procurar encontrar um padrão entre as letras existentes nas palavras. 
Veja a um exemplo desse tipo de situação:
Uma propriedade lógica defi ne a sucessão: segurança, terrena, quase, quintuplicou, 
sexagenário, sábio, X. Determine X, sabendo-se que X é uma palavra entre as cinco 
alternativas abaixo:
japonês (b) chinês (c) italiano (d) dominicano (e) brasileiro
Observe que as palavras apresentadas têm as mesmas três letras iniciais dos dias da semana: 
segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado.
E então, já sabe qual é a alternativa correta? Vamos à solução!
Naturalmente falta apenas o domingo e você deve procurar uma palavra com as mesmas 
três letras iniciais de domingo.
Uma boa dica para visualizar melhor este tipo de padrão de letras é escrever sempre as 
palavras uma abaixo da outra.
Observe:
SEGURANÇA
TERRENA
QUASE
QUINTUPLICOU
SEXAGENÁRIO
SÁBIO
DOMINICANO
Portanto, a resposta correta é a D.
Agora que você já viu vários exemplos, deve ter percebido 
que, ao se deparar com um exercício desse tipo, você 
deve fi car atento às vogais e consoantes das palavras, 
ao número de letras das palavras e, principalmente, 
deve escrever uma palavra acima da outra para tentar 
identifi car sequências entre as letras de uma determinada 
posição das palavras.
ao ao 
deve deve 
identifi car sequênciasidentifi car sequências
posição das palavras.posição das palavras.
Se você gostou de resolver esse tipo de exercícios 
envolvendo sequências de desenhos, fi guras, letras 
ou palavras, acesse o endereço eletrônico http://
br.syvum.com/qi/ e resolva mais.
saiba mais
exemplo
9
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM
Agora vamos estudar as sequências formadas por números:
O modelo mais comum de exercício envolvendo sequências e números é aquele em que 
são apresentados alguns valores numéricos e você deve completar a sequência com 
o próximo número. 
Para fazer isso, é necessário que você descubra qual critério ou relação liga os números 
na sequência apresentada. Este critério geralmente é estabelecido através de uma ou mais 
operações aritméticas.
Mas não adianta muito fi carmos só falando sobre as sequências; vamos entrar em ação e 
resolver alguns deles?
1 - Qual o próximo número na seguinte sequência numérica: 
5, 20, 80, X 
(a) 100 (b) 160 (c) 320 (d) 400 (e) 480
Primeiramente é necessário que você descubra porque o número 20 sucede ao número 5 e é 
sucedido pelo número 80 nesta sequência. Em outras palavras, o critério (relação matemática) 
que transforma o 5 em 20 deve ser o mesmo que transforma o 20 em 80.
Podemos ver claramente que 5 x 4 = 20 e 20 x 4 = 80 . Portanto, na sequencia apresentada, 
cada número é obtido multiplicando-se o anterior por 4.
Assim, o próximo número será 80 x 4 = 320. Portanto, a resposta correta é a C.
2 - Continuando a sequência numérica 47, 42, 37, 33, 29, 26,... teremos: 
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
Vamos primeiro estabelecer as relações numéricas entre os valores apresentados na 
sequência:
47 - 42 = 5
42 - 37 = 5
37 - 33 = 4
33 - 29 = 4
29 - 26 = 3
Veja a Solução!
Depois que entendemos qual a ligação entre os números da sequência fi ca sempre mais fácil 
determinar qual será o próximo número. Precisamos completar a sequência com um número 
cuja diferença para 26 seja 3, ou seja: 26 - 3 = 23
Logo, a resposta correta é a C.
10
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM 
Vamos analisar agora mais dois exemplos. Preste atenção! 
O próximo número da sequência numérica 10, 4, 18, 5, 28, 6,... será: 
(a) 37 (b) 38 (c) 39 (d) 40 (e) 41
Podemos notar que esta sequência está dividida em duas subsequências alternadas:
10 – 4 – 18 – 5 – 28 – 6
A subsequência 4,5,6, ... irá naturalmente ser continuada por 7.
Com relação à outra subsequência, 10,18,28, ... , vamos analisar as diferenças entre os 
seus valores: 
28 - 18 = 10 e 10 = 2 x 5
18 - 10 = 8 e 8 = 2 x 4 
Portanto, observe que a diferença entre os números 10 e 18 é de 8 unidades, que é justamente 
o dobro de 4 (número que está entre o 10 e o 18).
Da mesma forma, a diferença entre os números 18 e 28 é de 10 unidades, que é justamente 
o dobro de 5 (número que está entre o 18 e o 28).
Seguindo o mesmo raciocínio devemos utilizar o dobro de 6 para passar de 28 para o próximo 
número da sequência: 28 + (2 x 6) = 28 + 12 = 40
A sequência irá ficar assim:
10 – 4 – 18 – 5 – 28 – 6 – 40– 7
Portanto, a resposta correta é a D.
Os próximos dois números na sequência numérica 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... são: 
(a) 34, 55 (b) 43, 55 (c) 47, 62 (d) 35, 54 (e) 34, 54 
Nesta sequência podemos observar que cada número é formado exatamente pela soma 
dos valores dos dois números que o antecedem. Observe como, partindo apenas dos dois 
primeiros valores, 1 e 2, teremos: 
1 + 2 = 3 → 3 
2 + 3 = 5 → 5 
3 + 5 = 8 → 3 
5 + 8 = 13 → 13
8 + 13 = 21 → 21
11
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM
Seguindo a mesma linha de raciocínio:
13 + 21 = 34 → 34 
21 + 34 = 55 → 55
Portanto a sequência numérica será: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
A resposta correta é a A.
Tudo entendido até aqui?
Vamos estudar agora algumas questões em que os números aparecem em tabelas ou 
diagramas formados por fi guras geométricas.
Não se confunda! Apesar de a aparência ser um pouco diferente, o tipo de raciocínio é o 
mesmo. Você deve se preocupar apenas em encontrar qual operação aritmética faz a 
ligação entre os números apresentados. Quando você tiver descoberto isso, o problema 
estará resolvido.
Podemos começar?
Na tabela seguinte, fazendo uma operação aritmética, dois dos números de cada linha ou 
coluna têm como resultado o terceiro número. Qual é o número que falta?
10 6 4
6 ? 2
4 2 2
2 6 12
5 4 20
10 24 ?
Vamos verifi car o que acontece na primeira linha: 10 = 6 + 4 . O mesmo ocorre na última 
linha: 4 = 2 + 2 Logo, teremos: 6 = ? + 2. Daí concluímos que: ? = 4
Podemos também verifi car esse resultado fazendo as operações pelas colunas: 10 = 6 + 4, 
e 6 = 4 + 2 e 4 = 2 + 2.
Portanto, o número que falta é o 4. 
Acertou?
Na tabela seguinte, fazendo uma operação aritmética, dois dos números de cada linha ou 
coluna têm como resultado o terceiro número. Qual é o número que falta?
12
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM 
Inicialmente, vamos pensar nas operações realizadas nas linhas. Na primeira linha temos 2 x
6 = 12 e na segunda linha 5 x 4 = 20. Logo, teremos: 10 x 24 = ?. Daí, concluímos que: ? = 240 .
Podemos também verifi car este resultado fazendo as operações pelas colunas: 2 x 5 = 10, 
6 x 4 = 24 e 12 x 20 = 240 .
Portanto, o número que falta é o 240.
Vamos treinar um pouco?
Sabendo que a mesma regra é utilizada na formação dos três triângulos, descubra qual é o 
número que está faltando:
3 2 4
35 66 ?
2 4 37 11 6
(a) 48 (b) 42 (c) 52 (d) 38 (e) 44 
 
E então, conseguiu resolver o problema?
Solução 
No primeiro triângulo temos: (2 + 3) x 7 = 5 x 7 = 35 .
No segundo triângulo temos: (4 + 2) x 11 = 6 x 11 = 66 .
Utilizando o mesmo raciocínio no terceiro triângulo, chegaremos ao seguinte resultado (3 + 
4) x 6 = 7 x 6 = 42 .
Portanto, a resposta correta é a B.
Preencha o espaço em branco com os números que seguem a lógica do problema:
4 6 9 13 ...
5 8 11 14 ...
a) 16 b) 18 c) 18 d) 15 e) 17 
19 17 19 18 18 
13
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM
Solução
Neste problema, devemos analisar as duas sequências separadamente.
Os números que fazem os numeradores formam a seguinte sequência: 4 – 6 – 9 – 13 – ...
4 + 2 = 6
6 + 3 = 9
9 + 4 = 13
Logo, devemos completar com: 13 + 5 = 18 → 18.
Os números que são os denominadores formam a seguinte sequência: 5 – 8 – 11 – 14 – ...
5 + 3 = 8
8 + 3 = 11
11 + 3 = 14
Logo, devemos completar com: 14 + 3 = 17 → 17 .
Portanto, a resposta correta é a B.
Outro modelo bastante comum de exercício envolvendo sequencias numéricas é aquele em 
que, ao invés de acrescentar um novo número a uma sequência estabelecida, você deverá 
descobrir qual dos números apresentados não pertence à sequência, pois não obedece ao 
mesmo critério lógico dos demais números.
Vamos fazer três exemplos desse tipo de problema:
Exemplo 1:
Qual desses números não pertence à seguinte série numérica?
1 - 3 - 5 - 7 - 9 - 10 - 11 - 13
exemploS
Neste caso é imediato observar que todos os números que aparecem na sequência são 
ímpares, exceto o número 10. Ou ainda, que de um número para o seguinte são acrescentadas 
2 unidades, exceto de 9 para 10, onde a diferença é de 1 unidade.
Logo, o número que não pertence a esta série numérica é o 10.
Exemplo 2:
Qual desses números não pertence à seguinte série numérica?
9 - 7 - 8 - 6 - 7 - 5 - 6 - 3
14
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM 
Neste caso, podemos notar que do primeiro para o segundo número ocorre uma diminuição 
de duas unidades, depois um aumento de uma unidade, depois uma diminuição de duas 
unidades e assim sucessivamente. Observe:
9 (- 2 =) 7 (+1=) 8 (-2=) 6 (+1=) 7 (-2=) 5 
(+1=) 6 (-2=) 4
Portanto, no lugar do número 3 no fi nal da sequência deveria haver um número 4.
Logo, o número que não pertence a esta série numérica é o 3.
Exemplo 3:
Qual dos números não pertence à seguinte série numérica?
2 - 3 - 6 - 7 - 8 - 14 - 15 - 30
Neste exemplo, verifi camos que a sequência é formada pelo acréscimo de 1 unidade, seguido 
da multiplicação por 2, depois novo acréscimo de 1 unidade e assim sucessivamente. Observe:
2 (+1=) 3 (x2=) 6 (+1=) 7 (x2=) 14 (+1=) 
15 (x2=) 30
Logo, o número que não pertence a esta série numérica é o 8.
De modo geral, situações que exigem raciocínio 
lógico envolvendo sequências de números podem 
aparecer das mais variadas formas. 
Até mesmo em situações de jogos, como você pode 
ver no seguinte endereço eletrônico:
Sudoku online
http://sudoku.hex.com.br/
saiba mais
15
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM
Análise 
Combinatória 
é desenvolver 
técnicas que 
permitam
a contagem
do número
de elementos
de um conjunto
T3 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Neste tópico iremos abordar o estudo de critérios para a representação da quantidade 
de possibilidade de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-lo. 
Bem, vamos começar esta aula falando um pouco de Análise Combinatória.
http://clubes.obmep.org.br/blog/
wp-content/uploads/2014/04/
Diagrama-Azulejo.png
O objetivo principal da Análise Combinatória é desenvolver 
técnicas que permitam a contagem do número de elementos 
de um conjunto.
À primeira vista, você pode estar pensando que isso é 
desnecessário; de fato, você tem até certa razão. Se o 
número de elementos que queremos contar é pequeno, a 
contagem pode ser feita de forma direta. Entretanto, se o 
número de elementos a serem contados for grande, esse 
trabalho torna-se quase impossível sem o uso de métodos 
específi cos de contagem.
Por exemplo: imagine que queremos determinar quantos 
números de três algarismos distintos podem ser formados 
a partir dos dígitos 1, 2 e 3. Nesse caso, por simples 
enumeração (listagem dos números), podemos ver que os 
números que satisfazem às condições impostas são: 123, 
132, 213, 231, 312, 321. Portanto, podem ser formados 6 
números.
Agora, imagine que se queira determinar quantos números 
de quatro algarismos distintos podem ser formados a partir 
dos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8.
16
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM 
Você percebeu que, neste caso, é muito mais trabalhoso obter todas as respostas para essa 
situação? Podemos fazer a enumeração: 1234, 1235, 1236, 1237, ... , 8763, 8764, 8765. 
Mas a pergunta inicial ainda fi cou sem resposta: quantos números existem nessa listagem?
Acompanhe também os seguintes problemas:
• De quantos modos distintos podemos arrumar quinze pessoas em fi la indiana?
•De quantas formas diferentes podem ser sorteados os números da Mega-Sena?
• Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 20 questões de múltipla escolha, 
com 5 alternativas por questão?
Tais problemas podem ser resolvidos quase sempre por meio de um raciocínio simples e 
sem exigir o uso de fórmulas complicadas. 
É isto que procuramos mostrar nos exemplos a seguir:
Exemplo 1:
Uma bandeira, com o formato do desenho abaixo, deve ser pintada utilizando duas 
dentre as três cores disponíveis: branco, cinza e preto. De quantas maneiras diferentes 
isso pode ser feito?
exemplo
Para resolver o problema vamos inicialmente listar todas as bandeiras que podem ser 
formadas utilizando as três cores indicadas.
É importante seguir um procedimento sistemático para listar todas as possíveis bandeiras. 
Assim, poderemos ter certeza de não ter esquecido nenhuma possibilidade e não ter repetido 
alguma bandeira.
Para tal, devemos identifi car as diferentes decisões a serem tomadas e examinar todas as 
possibilidades para cada uma dessas decisões. No caso desse problema, uma forma natural 
para planejar o preenchimento da bandeira é a seguinte:
17
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM
1. Escolher a cor a ser utilizada para a parte externa da bandeira.
2. A seguir, escolher a cor a ser utilizada na estrela, que é a parte interna da bandeira.
A primeira decisão pode ser feita de 3 modos diferentes, já que a cor externa pode ser qualquer 
uma das três cores disponíveis: branco, cinza ou preto. No entanto, observe que, uma vez 
tomada essa decisão, a cor que foi escolhida não poderá mais ser utilizada na estrela interna.
Por exemplo, se a cor preta foi a cor escolhida para parte externa, a cor interna só poderá 
ser cinza ou branca.
Agora, podemos listar todas as possíveis bandeiras, que serão 6:
Com a cor externa branca:
Com a cor externa cinza:
Com a cor externa preta:
18
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM 
Poderíamos ter empregado o seguinte raciocínio para contar o número de possíveis bandeiras, 
sem precisar listá-las:
A cor externa pode ser escolhida de três modos diferentes. Qualquer que seja esta escolha, 
a cor escolhida não poderá mais ser utilizada e restarão ainda duas outras cores. Portanto, 
a cor da estrela poderá ser escolhida apenas de dois modos.
Logo, o número total de possibilidades é: 3 x 2 = 6.
A resposta ao nosso problema é que existem seis maneiras diferentes para pintar essa bandeira.
O exemplo resolvido ilustra o procedimento do PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM.
Mas em que consiste este princípio?
Considere uma ação que é constituída de duas etapas sucessivas, em que a 1ª etapa pode 
ser realizada de n maneiras distintas e, para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa 
pode ser realizada de mn× maneiras distintas. Nessas condições, o número de possibilidades 
de se efetuar a ação completa é dada por mn× . 
Naturalmente este princípio pode ser generalizado para ações constituídas por mais do que 
duas etapas sucessivas. No entanto, devemos observar que, se a ação é constituída de três 
etapas sucessivas, a 2ª etapa só poderá ser realizada depois que a 1ª etapa já tenha sido 
realizada e a 3ª etapa só poderá ser realizada depois que a 2ª etapa tenha sido realizada.
Exemplo 2:
Considere a mesma bandeira do exemplo 1. Essa bandeira deve ser pintada utilizando duas 
dentre quatro cores disponíveis. De quantas maneiras diferentes isto pode ser feito?
Observe que o problema continua sendo composto por duas ações distintas: pintar a parte 
externa da bandeira e pintar a parte interna da bandeira. Mas agora o número de cores 
disponíveis é maior.
Número de possibilidades para a cor na parte externa: 4
Número de possibilidade para a cor na parte interna: 3
Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem, temos: 4 x 3 = 12. 
Portanto, agora existem 12 maneiras diferentes de pintar a bandeira.
Exemplo 3:
De quantas maneiras diferentes podemos pintar a bandeira a seguir utilizando 3 cores 
diferentes dentre 4 cores disponíveis?
exemplo
Observe que, neste caso, o problema é constituído por 3 etapas distintas: pintar a parte 
externa da bandeira, pintar a estrela e pintar o círculo.
19
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM
Número de possibilidades para a cor na parte externa: 4
Número de possibilidades para a cor da estrela: 3
Número de possibilidades para a cor do círculo: 2
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 4 x 3 x 2 = 24 .
Portanto, existem 24 maneiras diferentes de pintar a bandeira com as quatro cores disponíveis.
Veja agora mais alguns exemplos de problemas de contagem que podem ser facilmente 
resolvidos sem a necessidade de fórmula, apenas utilizando o Princípio Fundamental da 
Contagem:
Exemplo 4:
Um grupo de oito atletas participa de uma importante corrida. De quantas maneiras diferentes 
podem ser distribuídos os prêmios de primeiro, segundo e terceiro lugares nesta corrida?
Observe que o problema é constituído por 3 etapas distintas. Devemos escolher o vencedor da 
prova, depois devemos escolher o segundo colocado e posteriormente escolher o terceiro colocado.
Como o total de atletas é igual a 8, existem 8 possibilidades para a escolha do vencedor. 
Uma vez feita esta escolha, restam 7 atletas competindo e portanto são 7 escolhas possíveis 
para o segundo colocado. Uma vez feita também esta escolha, restam 6 atletas competindo, 
e temos 6 escolhas possíveis para o terceiro colocado. Resumindo esse raciocínio:
Número de possibilidades para o vencedor: 8
Número de possibilidades para o segundo colocado: 7
Número de possibilidades para o terceiro colocado: 6
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 8 x 7 x 6 = 336 .
Portanto, existem 336 maneiras diferentes de distribuir os prêmios de primeiro, segundo e 
terceiro lugares nessa corrida.
Exemplo 5:
Quantas palavras contendo três letras distintas podem ser formadas com um alfabeto de 
26 letras?
O problema é constituído por três etapas distintas: escolher a primeira letra, escolher a 
segunda letra e escolher a terceira letra.
Número de possibilidades para a primeira letra: 26
Número de possibilidades para a segunda letra: 25
Número de possibilidades para a terceira letra: 24
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 26 x 25 x 24 = 15.600 .
Portanto, podem ser formadas 15.600 palavras diferentes com 3 letras distintas.
Exemplo 6:
Usando as 23 letras do nosso alfabeto, quantas palavras com cinco letras distintas podem 
ser formadas sabendo-se que a primeira letra deve ser sempre uma vogal?
Neste caso, o problema é composto por 5 etapas distintas. Observe também que existe uma 
restrição adicional na escolha da primeira letra: ela só poderá ser uma vogal (a, e, i, o, u).
exemplo
exemplo
exemplo
20
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM 
Número de possibilidades para a primeira letra: 5 (a primeira letra tem que ser uma vogal)
Número de possibilidades para a segunda letra: 22 
Número de possibilidades para a terceira letra: 21 
Número de possibilidades para a quarta letra: 20
Número de possibilidades para a quinta letra: 19
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 5 x 22 x 21 x 20 x 19 = 877.800 .
Portanto, podem ser formadas 877.800 palavras diferentes com 5 letras distintas e começando 
por uma vogal.
Exemplo 7:
Quantos são os gabaritos possíveis para um teste de 10 questões de múltipla escolha com 
cinco alternativas por questão?
Observe que este problema consiste de 10 etapas distintas e independentes. Devemos 
determinar de quantas maneiras é possível fazer a escolha da resposta em cada uma das 10 
questões de múltipla escolha. Note que o aluno poderepetir a mesma resposta em mais de 
uma questão, ou seja, a escolha da letra (a) na primeira questão não elimina a possibilidade 
de escolha dessa opção nas demais questões.
Logo, para cada questão de múltipla escolha existem 5 possibilidades de resposta.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos:
5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 510 = 9.765.625
.
Portanto, existem 510 = 9.765.625 gabaritos diferentes para um teste de 10 questões de 
múltipla escolha com cinco alternativas por questão.
O Princípio Fundamental da Contagem é utilizado também para resolver problemas que 
envolvem a permutação simples de elementos dentro de um conjunto. Veja como é simples.
Permutar signifi ca trocar, alterar de posição. Portanto, neste tipo de problema estamos 
interessados em descobrir de quantas formas diferentes um grupo de elementos pode ser 
alterado apenas trocando-se a ordem em que esses elementos aparecem.
Permutar signifi ca trocar, alterar de posição. Portanto, neste tipo de problema estamos 
interessados em descobrir de quantas formas diferentes um grupo de elementos pode ser 
alterado apenas trocando-se a ordem em que esses elementos aparecem.
Repare bem que os elementos são sempre os mesmos, o que muda em uma permutação é 
apenas a ordem em que eles irão aparecer.
Vamos ver alguns exemplos desse tipo?
Exemplo 8:
De quantas maneiras diferentes podemos arrumar 4 pessoas, Ana, Bruno, Carla e Daniel, 
em uma fi la indiana?
Representando cada pessoa pela letra inicial de seu nome e fazendo todas as possibilidades, 
temos como solução deste problema as seguintes ordenações:
exemplo
exemplo
21
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM
Como você pode notar, podemos formar 24 fi las distintas com estas quatro pessoas.
No entanto, queremos chegar a esse resultado sem a necessidade de enumerar todas as 
possibilidades. Você já pensou se fossem 2.400 possibilidades? Como fazer?
Basta recorrer ao Princípio Fundamental da Contagem. 
A fi la pode ser representada por meio de quatro posições numeradas. Observe que existem 
4 possibilidades de pessoas para ocupar o 1º lugar da fi la, 3 possibilidades de pessoas para 
ocupar o 2º lugar da fi la, 2 possibilidades de pessoas para ocupar o 2º lugar da fi la e o último 
lugar na fi la será ocupado pela única pessoa que restou. Ou seja,
1º 2º 3º 4º 4 x 3 x 2 x 1 = 244 3 2 1
Logo, existem 24 maneiras diferentes de arrumar quatro pessoas em fi la indiana.
Exemplo 9:
Quantos são os anagramas da palavra PRATICO?
Inicialmente, cabe explicar aqui o que é um anagrama. 
Um anagrama consiste em uma palavra obtida pela transposição das letras de outra palavra. 
Por exemplo, a palavra perda é um anagrama da palavra padre. A palavra maca é um 
anagrama da palavra cama. 
Entendido?
Então, assim como no problema anterior o nosso interesse era trocar de ordem as pessoas 
(Ana, Bruno, Carla e Daniel), neste problema temos que trocar de ordem as letras da palavra 
PRATICO. Por exemplo, pracito e tocapri são anagramas da palavra pratico. De quantas 
maneiras essa troca de ordem das letras poderá ser feita?
Número de possibilidades para a escolha da primeira letra: 7
Número de possibilidades para a escolha da segunda letra: 6
Número de possibilidades para a escolha da terceira letra: 5
Número de possibilidades para a escolha da quarta letra: 4
Número de possibilidades para a escolha da quinta letra: 3
Número de possibilidades para a escolha da sexta letra: 2
Número de possibilidades para a escolha da sétima letra: 1
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5.040 .
Portanto, existem 5.040 diferentes anagramas da palavra PRATICO.
Infelizmente nossa aula já chegou ao fi m. Até o próximo tópico!
exemplo
ABCD BACD CABD DABC
ABDC BADC CADB DACB
ACBD BCAD CBAD DBAC
ACDB BCDA CBDA DBCA
ADBC BDAC CDAB DCAB
ADCB BDCA CDBA DCBA
22
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM 
exemplo
exemplo
T4 RAZÕES ENTRE DUAS GRANDEZAS
Neste tópico iremos abordar a razão entre duas grandezas consideradas na mesma unidade, 
usando unidades de medida de comprimento e estabelecendo comparações entre elas.
Podemos começar, então?
RAZÕES
A palavra razão vem do latim ratio que signifi ca divisão ou quociente entre dois números A 
e B, sendo B diferente de zero.
Podemos representar uma razão como: 
a : b ou 
b
a )0b( ≠
O número representado pela letra a é chamado de antecedente e o b, consequente.
Esse conceito de razão nos permite fazer comparações de grandezas entre dois números. 
Veja os exemplos:
Exemplo 1: 
Quantas vezes o número 15 é maior do que 3? Ou seja, qual a razão entre 15 e 3?
Temos como antecedente o 15 e como consequente o número 3, logo . 15 = 5
Portanto, o número 15 é 5 vezes maior que o número 3.
Exemplo 2:
Em um jogo de dardos, Vitor Hugo, lançando dardos 15 vezes acertou 5 vezes no alvo. 
Podemos avaliar o aproveitamento de Vitor dividindo o número de acertos pelo número total de 
lançamentos, o que signifi ca que o jovem acertou 1 para cada 3 lançamentos. Veja o cálculo:
3
5 : 5 = 1
15 : 5 = 3
Para cada 3 lançamentos, um acerto.
A razão entre duas ou mais grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que 
expressam as suas medidas, consideradas em uma mesma unidade.
Então vamos falar um pouco de unidades de medidas?
Operando com o metro e seus derivados, consegue-se uma compreensão melhor das formas 
e do espaço que as contém. Aumenta-se a perspectiva do mundo plano e espacial, bem 
como, aumenta o raciocínio lógico-matemático.
O METRO, SEUS MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS
O metro é utilizado cotidianamente em várias atividades humanas. Dele, deriva outras 
unidades das quais convencionou-se chamar de múltiplos (resultados de uma multiplicação 
decimal a partir do metro) e de submúltiplos (resultados de uma divisão decimal).
METRO (m)
MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOS
Unidade Sigla Relação Unidade Sigla Relação
Decâmetro dam m x 10 Decímetro dm m/10
Hectômetro hm m x 100 Centímetro cm m/100
Quilômetro km m x 1000 Milímetro mm m/1000
23
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM
Outro mecanismo prático para fazer a conversão das unidades de medidas segue abaixo:
Para solucionar problemas contendo as unidades de medidas expostas nas tabelas acima, 
deve-se fazer a observação do posicionamento da unidade em conversão em relação à 
unidade fi xa. Observe o exemplo a seguir:
Exemplo: 
Converter a medida em metro (m): 2,5 km
1º Passo:
Observa-se a distância (número de casas decimais) da unidade km à unidade m, que nesse 
caso são 3 casas.
2º Passo:
Como m está à direita de km, escrevemos 2,5 x 1000 (resultado da multiplicação de 10 x 10 
x 10, ou seja, a distância entre km e m).
3º Passo:
Em 2,5 “deslocamos a vírgula” três vezes para a direita (número de zeros de mil) e os espaços 
em branco preenchemos com zeros.
25/ 0 / 0, 0 = 2500,0 m, ou seja, 2,5 km = 2500 m
ESCALA
Agora vamos estudar a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida 
real. A esse tipo de razão chamamos de Escala.
exemplo
X10 X10 X10 X10 X10 X10
km hm dam m dm cm mm
10: 10: 10: 10: 10: 10:
24
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM 
exemplo
Em um mapa, a distância entre duas cidades, em linha reta é de 2cm e a distância real entre 
essas duas cidades é de 200Km.
Vamos calcular a razão entre a distância que está no mapa e a distância real entre essas 
duas cidades.
Transformando 200 km em centímetros, temos: 200 km = 20 000 000 cm
Portanto: 
A razão 1: 10 000 000 signifi ca que para cada centímetro do mapa corresponde a 10 
000 000 centímetros reais, isto é, cada centímetrocorresponde a 100km.
Podemos defi nir que:
Escala é a razão entre um comprimento (seja ele ampliado ou reduzido) e o comprimento 
real, expressos em uma mesma unidade.
 2 = 1 1: 10 000 000
20 000 000 10 000 000
 
Escala = 
realocomprimentoressaexpquenúmero
desenhoumdeocomprimentoressaexpquenúmero 
Agora vamos estudar a razão entre o número de habitantes e a área ocupada em certa 
região. A esse tipo de razão chamamos de densidade demográfi ca.
 
Densidade demográfica = 
regiãopelaocupadaárea
testanhabidenúmero 
 
²
40
²000300
00000012
km
hab
km
hab
≅ 
Exemplo:
Um estado brasileiro ocupa a área de 300 000 km². De acordo com o censo realizado em 
2006, esse estado tem população aproximada de 12 000 000 de habitantes.
Dividindo-se o número de habitantes por essa área, vamos obter o número de habitantes 
por quilômetro quadrado. (hab./km²). Ou seja:
(lê-se 40 habitantes por quilômetro quadrado)
T5 PROPORÇÃO
A palavra proporção vem do latim proportione e signifi ca uma relação entre as partes de 
uma grandeza, ou seja:
Podemos representar uma proporção com termos a, b, c e d diferentes de zero, das seguintes formas:
d
c
b
a
= ou a : b = c : d (lê-se: a está para b, assim como c está para d)
Os termos a e d são chamados de extremos
Os termos b e c são chamados de meios
Proporção é 
uma igualdade 
entre duas 
razões
25
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM
 








=
=
3
2
6:18
6:12
3
2
2:6
2:4
 
Vamos ver um exemplo para entender melhor?
Exemplo: 
Vamos verifi car se os números 4, 6, 12 e 18 formam, nessa ordem, uma proporção.
 
 as razões são iguais, logo 3
2
18
12
6
4
== , portanto,
 os números 4, 6 , 12 e 18 
 formam, nessa ordem uma proporção.
Observe que o produto dos extremos (4 . 18) é igual a 72 e o produto dos meios (6 . 12) 
também é 72!
Vejamos outras proporções:
 
21
6
7
2
= , temos que: O produto dos extremos (2 . 21) é igual a 42 
 O produto dos meios (7 . 6) é igual a 42 
 
4
5,1
8,0
3,0
= , temos que: O produto dos extremos (0,3 . 4) é igual a 1,2 
 O produto dos meios (0,8 . 1,5) é igual a 1,2 
Observou que em todos os exemplos o produto dos extremos e dos meios são sempre os 
mesmos valores? Então agora podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:
Em toda 
proporção,
o produto dos 
extremos
é igual
ao produto
dos meios.
Assim, determine o valor de x na proporção:
 
Solução
5. x = 8. 15 (aplicando a propriedade fundamental)
 
5. x = 120
x = 24
Logo, o valor de x é 24.
exemplo
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios.
26
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM 
Quarta proporcional
Considere três números a, b e c, diferentes de zero. Chamamos de quarta proporcional 
desses números um número x, tal que:
exemplo
x
c
b
a
= 
Proporção contínua 
É toda proporção que apresenta meios iguais
Observe a seguinte proporção
Observe que os meios são iguais, sendo por isso, chamada de proporção contínua. 
50
10
10
2
= 
Exemplo:
Determine a quarta proporcional dos números 2, 6 e 10.
Solução
Chamamos de x a quarta proporcional e armamos a proporção:
 , pela propriedade fundamental das proporções, temos:
2. x = 6. 10
2x = 60
x = 
x = 30
Logo, a quarta proporcional é 30.
Ou seja, 30 é o quarto número que junto aos números 2, 6 e 10 formam a proporção
 
x
10
6
2
= 
 
2
60
 
 
30
10
6
2
= 
Terceira proporcional
Dados dois números racionais a e b, diferentes de zero, chamamos de terceira proporcional 
desses números um número x tal que:
x
b
b
a
=
Em uma proporção onde os meios são iguais, um dos extremos é a terceira proporcional 
do outro extremo.
27
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM
Exemplo:
Determine a terceira proporcional dos números 20 e 40
Solução
Chamamos de x a terceira proporcional e armamos a proporção.
 pela propriedade fundamental das proporções, temos:
20. x = 40. 40
20x = 1600
x = 
x = 80
Logo, a terceira proporcional é 80.
 
x
40
40
20
=
 
 
20
1600
 
 
d
c
b
a
= ⇒ 
d
dc
b
ba +
=
+ ou 
a
dc
a
ba +
=
+
 
d
c
b
a
= ⇒ 
d
dc
b
ba +
=
+ ou 
a
dc
a
ba +
=
+
 
Conheça agora algumas propriedades das proporções:
1ª propriedade
Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o segundo (ou primeiro) 
termo, assim como a soma dos dois últimos está para o quarto (ou terceiro) termo.
exemplo
exemplo
 
 
30
10
15
5
= ⇒ 
30
3010
15
155 +
=
+ ⇒ 
30
40
15
20
= , pela propriedade 
fundamental, temos: 
20. 30 = 15. 40 
 600 = 600 SENTENÇA VERDADEIRA 
 
Ou 
 
30
10
15
5
= ⇒ 
10
3010
5
155 +
=
+ ⇒ 
10
40
5
20
= , pela propriedade 
fundamental, temos: 
 
20. 10 = 5. 40 
 200 = 200 SENTENÇA VERDADEIRA 
Exemplo:
28
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM 
 
d
c
b
a
= ⇒ 
d
dc
b
ba −
=
− ou 
a
dc
a
ba −
=
− 
d
c
b
a
= ⇒ 
d
dc
b
ba +
=
+ ou 
a
dc
a
ba +
=
+
 
exemplo
exemplo
Exemplo:
Exemplo:
2ª propriedade
Em uma proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o segundo (ou primeiro) 
termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o quarto (ou terceiro) termo.
 
 
10
30
5
15
= ⇒ 
10
1030
5
515 −
=
− ⇒ 
10
20
5
10
= , pela propriedade 
fundamental, temos: 
10. 10 = 5. 20 
 100 = 100 SENTENÇA VERDADEIRA 
 
Ou 
 
10
30
5
15
= ⇒ 
30
1030
15
515 −
=
− ⇒ 
30
20
15
10
= , pela propriedade fundamental, 
temos: 
 
10. 30 = 15. 20 
 300 = 300 SENTENÇA VERDADEIRA 
 
3ª propriedade
Em uma proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim 
como cada antecedente está para o seu consequente.
 
db
ca
d
c
b
a
+
+
== 
 
 
21
6
7
2
= ⇒ 
7
2
28
8
217
62
==
+
+ 
4ª propriedade
Em uma proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, 
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
 
db
ca
d
c
b
a
−
−
== 
29
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM
 
6
4
3
2
= ⇒ 
3.6
2.4
²3
²2
3
2
.
6
4
3
2
.
3
2
=⇒= ⇒ 
18
8
9
4
= , pela 
propriedade fundamental das proporções, temos: 
4 . 18 = 9 . 8 
 72 = 72, SENTENÇA VERDADEIRA 
 
Chegamos ao fi nal da Unidade 2. Espero que tenham gostado! Até a próxima Unidade!
5ª propriedade
Em uma proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, 
assim como o quadrado de cada antecedente está para o quadrado do seu consequente.
 
d.b
c.a
²b
²a
b
a
.
d
c
b
a
.
b
a
=⇒= 
 
7
2
21
6
= ⇒ 
7
2
14
4
721
26
==
−
− 
Exemplo:
Exemplo:
exemplo
exemplo
30
Matemática didática: a lógica das sequencias, razão e proporção Raciocínio Lógico | UNISUAM