Aula Capítulo 05 Estatística, Beer e Johnston - Mecânica Vetorial para Engenheiros

Cen tro F ederal de Educa¸ c\u02dc ao T ecnol´ ogica Celso Suc k o w da F onseca \u2013 CEFET/RJ Disciplina: Estat ´ \u0131stica Prof. Anna Regina Corb o CAP ´ ITULO 5: T eoria da Amostragem ´ E o estudo das rela¸ c\u02dc oes existen tes en tre uma p opula¸ c\u02dc ao e as amostras dela extra ´ \u0131das. ´ E ´ util na an´ alise de grandezas desconhecidas da popula¸ c\u02dc ao (como a m´ edia, a v ari\u02c6 ancia e etc) denominadas de par\u02c6 ametros , atrav ´ es das corresp onden tes grandezas amostrais, deno- minadas estat ´ \u0131sticas amostrais . Medidas P opula¸ c \u02dc ao Amostra T amanho N n T otal T t M ´ edia µ ¯ x V ari\u02c6 ancia \u03c3 2 s 2 Desvio-padr\u02dc ao \u03c3 s Prop or¸ c\u02dc ao \u03a0 p Tip ologia: 1. Amostragem Probabil ´ \u0131stica 2. Amostragem N\u02dc ao-Probabil ´ \u0131stica 1 Tip os de Amostragem Probabil ´ \u0131stica 1.1 Amostragem Aleat´ oria Simples Amostragem de f´ acil implemen ta¸ c\u02dc ao e utiliza¸ c\u02dc ao, cujo pro cedimen to ´ e descrito abaixo: a) En umera¸ c\u02dc ao da p opula¸ c\u02dc ao b) Execu¸ c\u02dc ao de sucessiv os sorteios, com rep osi¸ c\u02dc ao, at´ e completar o tamanho da amos- tra. 1.2 Amostragem Sistem´ atica T ´ ecnica utilizada quando a p opula¸ c\u02dc ao est´ a naturalmente ordenada. Pro cedimen tos: a) Sejam N o tamanho da p opula¸ c\u02dc ao e n o tamanho da amostra. b) Calcula-se a = N n , onde a ´ e considerado como o comprimento do in terv alo de amostragem. c) Sorteia-se um v alor inicial x en tre 1 e a , formando a amostra x , x + a , x + 2 a , · · · , x + ( n \u2212 1) a . 1 Exemplo 1 Sejam N = 500 e n = 50 a = 500 50 \u21d2 a = 10 \u21d2 x \u2208 [1 , 10] . Seja x = 3 Amostra: \uf8f1 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f2 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f3 x = 3 x + a = 3 + 10 = 13 x + 2 a = 3 + 20 = 23 . . . x + ( n \u2212 1) a = 3 + 49 · 10 = 493 1.3 Amostragem Estrati\ufb01cada T ´ ecnica empregada quando a p opula¸ c\u02dc ao ´ e heterog\u02c6 enea e p o de-se iden ti\ufb01car subp opula¸ c\u02dc oes homog \u02c6 eneas, c hamadas de estratos . Estrati\ufb01car uma p opula¸ c\u02dc ao ´ e dividi-la em L subp opula¸ c\u02dc oes (estratos) tais que N = N 1 + N 2 + · · · + N L e N 1 \u2229 N 2 \u2229 · · · \u2229 N L = \u2205 Exemplo 2 a) Ra¸ ca (estratos: branca, negra, amarela) b) P opula¸ c\u02dc ao de 50.000 op er´ arios de uma ind ´ ustria, selecionar uma amostra de 5% de op er´ arios e estimar seu sal´ ario m ´ edio. Estrato \u201ccargo\u201d e considere amostras de 5% de cada estrato, c hegamos a seguin te amos- tragem: CAR GO POPULAC ¸ \u02dc AO 5% AMOSTRA Chefe 5.000 250 250 Op. esp ecializados 15.000 750 750 Op. n\u02dc ao-esp ecializados 30.000 1500 1500 2 2 Tip os de Amostragem N\u02dc ao-Probabil ´ \u0131stica Utilizadas p or impossibilidade de se obter amostras probabil ´ \u0131sticas, como seria desej´ av el. 2.1 Amostragem a esmo Retirada sem ordena¸ c\u02dc ao visando a simpli\ufb01ca¸ c\u02dc ao do pro cesso. Exemplo 3 Retirar 100 parafusos em uma caixa com 10.000. 2.2 Amostragem p or v olunt ´ arios Ocorre, p or exemplo, no caso de aplica¸ c\u02dc ao exp erimen tal de uma nov a droga em pacientes. 3 C´ alculo do n ´ umero de amostras p oss ´ \u0131v eis da p opula¸ c\u02dc ao 1. Extra¸ c\u02dc ao com rep osi¸ c \u02dc ao: todos os elementos da popula¸ c\u02dc ao participam de to dos os sorteios da amostras. # Amostras p oss ´ \u0131v eis de tamanho n = N n 2. Extra¸ c\u02dc ao sem rep osi¸ c \u02dc ao: cada elemen to sorteado ´ e retirado da p opula¸ c\u02dc ao nos sor- teios seguin tes. # Amostras p oss ´ \u0131v eis de tamanho n = C n N 4 Distribui¸ c\u02dc ao amostral Considerem-se to das as amostras p oss ´ \u0131v eis de tamanho n que p o dem ser retiradas de uma p opula¸ c\u02dc ao de tamanho N (com ou sem reposi¸ c\u02dc ao). P ara cada amostra p ode-se calcular uma grandeza estat ´ \u0131stica, como a m´ edia, o desvio padr\u02dc ao etc., que v aria de amostra para amostra. Com os v alores obtidos para determinada grandeza, po demos construir uma distribui¸ c\u02dc ao de probabilidades, que ser´ a denominada de distribui¸ c\u02dc ao amostral. P ara cada distribui¸ c\u02dc ao amostral ´ e p oss ´ \u0131v el calcular seu v alor esp erado, o seu desvio padr\u02dc ao, etc. 5 Distribui¸ c\u02dc ao amostral das m ´ edias Seja X uma p opula¸ c\u02dc ao com m ´ edia µ e v ari\u02c6 ancia \u03c3 2 . Seja X i uma amostra aleat´ oria de X com n elemen tos e seja X a m ´ edia amostral, isto ´ e, a m´ edia de to dos os X i . (i) Sup ondo n ´ e muito grande ou que cada amostra X i ´ e retirada com rep osi¸ c\u02dc ao, como X i ´ e aleat´ oria, cada elemen tos x j tem a mesma probabilidade de ser sorteado, logo cada uma das amostras X i tem a mesma distribui¸ c\u02dc ao da p opula¸ c\u02dc ao de onde foi retirada. Ou seja, E \ue002 X \ue003 = E \ue014 P X i n \ue015 = P E [ X i ] n = P µ n = n · µ n = µ 3 Isto ´ e, E \ue002 X \ue003 = µ . E quan to a v ari\u02c6 ancia esp erada para X ? Note que para uma amostra com elemen tos w i , temos a m ´ edia ¯ w = P w i n e a v ari\u02c6 ancia s 2 = P ( w i \u2212 ¯ w ) 2 n \u2212 1 . Se tomarmos a \u2208 R e uma no v a amostra com elemen tos a · w i , teremos a m ´ edia ¯ w = a · P w i n e a v ari\u02c6 ancia s 2 = a 2 · P ( w i \u2212 ¯ w ) 2 n \u2212 1 . Deste mo do, temos: V \ue002 X \ue003 = V \ue014 P X i n \ue015 = X 1 n 2 V [ X i ] = P V [ X i ] n 2 = P \u03c3 2 n 2 = n · \u03c3 2 n 2 = \u03c3 2 n Isto ´ e, V \ue002 X \ue003 = \u03c3 2 n . (ii) Se os v alores da m ´ edia e do desvio padr\u02dc ao de uma p opula¸ c\u02dc ao, de tamanho N , forem resp ectiv amente µ e \u03c3 2 , e desta p opula¸ c\u02dc ao s\u02dc ao retiradas to das as p oss ´ \u0131v eis amostras X i de tamanho n , sem rep osi¸ c\u02dc ao, os v alores do v alor esp erado e da v ari\u02c6 ancia da distribui¸ c\u02dc ao amostral das m ´ edias corresp onden te ser\u02dc ao: E \ue002 X \ue003 = µ e V \ue002 X \ue003 = \u03c3 2 n · N \u2212 n N \u2212 1 Exemplo 4 Se X \u223c N (5 , 4) \u21d2 X \u223c N (5 , 4 n ). De mo do geral, se X \u223c N ( µ, \u03c3 2 ) ( X p opula¸ c\u02dc ao), en t\u02dc ao X \u223c N ( µ, \u03c3 2 n ) ( X m ´ edia amos- tral). No caso da v ari´ av el aleat´ oria normal padr\u02dc ao Z , temos: Z \u223c N (0 , 1) \u21d2 \uf8f1 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f2 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f3 z = X \u2212 µ \u03c3 (p opula¸ c\u02dc ao) z i = X i \u2212 µ \u03c3 / \u221a n (amostra) 4 6 T eorema Cen tral do Limite Quan to maior o tamanho da amostra, a distribui¸ c\u02dc ao amostral da m´ edia mais se aproxima da distribui¸ c\u02dc ao normal, qualquer que seja a distribui¸ c\u02dc ao original da p opula¸ c\u02dc ao. Na pr´ atica, a distribui¸ c\u02dc ao amostral da m ´ edia p ode ser considerada como normal sempre que n > 30. Exemplo 5 Lan¸ camen to de dados: m ´ edia de resultados p oss ´ \u0131veis. 7 C´ alculo do tamanho da amostra Um passo imp ortan te antes de iniciar o c´ alculo do tamanho da amostra ´ e de\ufb01nir qual ser´ a o erro amostral toler´ av el para o estudo que ser´ a realizado. P ara tal utilizaremos as seguin tes equa¸ c\u02dc oes: n 0 = 1 \u03b5 2 0 onde n 0 ´ e a primeira estimativ a do tamanho da amostra e \u03b5 0 ´ e o erro amostral toler´ av el. n = N · n 0 N + n 0 onde N ´ e o tamanho da p opula¸ c\u02dc ao e n ´ e o tamanho da amostra. Se o n ´ umero de elementos da popula¸ c\u02dc ao ( N ) ´ e muito grande, a primeira apro xima¸ c\u02dc ao ser´ a su\ufb01cien te. 5 Exemplo 6 1) Em uma empresa com 2 . 000 colab oradores, deseja-se fazer uma p esquisa de sa- tisfa¸ c\u02dc ao. Quan tos colab oradores dev em ser entrevistados para tal estudo? a) Com erro toler´ av el de 2%? n 0 = 1 0 , 02 2 \u2248 2500 n = 2000 · 2500 2000 + 2500 = 1111 colab oradores X b) Com erro toler´ av el de 4%? (exerc ´ \u0131cio) 2) P esquisa eleitoral nacional com erro amostral toler´ av el de 3%. Qual o tamanho da amostra? 6

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