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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
1
Taxa de juros
1
AULA 05 – Medidas de Dispersão
AULA 05 
Medidas de Dispersão
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Taxa de juros
AULA 05 – Medidas de Dispersão
Média Geométrica
 
A média geométrica é a raiz enésima dos produtos dos valores encontrados em um conjunto numérico.
 
Para o conjunto X = {x1, x2,..., xn}, onde cada xi é um número real não negativo, a média geométrica (MG) será:
 MG =
Exemplo:
Seja o conjunto X = {3, 5, 7, 16}. Então a média geométrica dos valores de X é igual a
 
3
= = 6,402
Taxa de juros
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 Considerações sobre a Média Geométrica
Como a média geométrica é sempre menor ou igual à média aritmética, muitos a utilizam como uma forma de medida mais conservadora de análise central para um conjunto de dados.
 
Sua grande aplicabilidade está em estimar a média de razões de crescimentos de dados populacionais e financeiros.
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Taxa de juros
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Exemplo:
A tabela reflete as vendas e a razão de crescimento anual de uma empresa:
A razão média de crescimento nas vendas ao longo desses anos é medida com base na média geométrica entre as razões anuais:
 MG = = 1,2854
Ano
Vendas
Razão
2005
100000
2006
140000
1,4
2007
210000
1,5
2008
273000
1,3
2009
273000
1
=
Taxa de juros
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Exercício:
Suponha que nos últimos 4 anos a inflação tenha sido respectivamente de i1= 15%; i2= 20%; i3= 25% e i4= 50%. Qual a inflação média anual?
Sugestão: 
 MG = (1 + iMG) =
(1 + iMG) = = 1,2683
Logo a inflação média anual = 26,83%
Taxa de juros
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Medidas de Posição Relativa
 
Além da média, moda e mediana que são consideradas medidas de posições centrais existem outras medidas de posições denominadas de relativas. Dentre elas destacamos os: QUARTIS, DECIS e PERCENTIS.
 
Todas essas medidas são destinadas a indicar a posição que um determinado dado ocupa em relação à amostra como um todo.
 
Já sabemos que a MEDIANA divide um conjunto de dados em duas partes iguais.
Taxa de juros
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QUARTIS
 
Os QUARTIS são os valores que dividem a série de dados em quatro partes iguais.
Após a ordenação dos dados:
 
O primeiro quartil (Q1) é o valor que deixa a quarta parte ou 25% das observações dos dados abaixo dele. 
 
O segundo quartil (Q2) coincide com a mediana (Md) do conjunto.
 
O terceiro quartil (Q3) é o valor que deixa três quartos (3/4) ou 75% das observações dos dados abaixo dele.
Taxa de juros
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Taxa de juros
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Determinação dos Quartis
 
Caso1: Dados NÃO agrupados
 
Para determinar os quartis para um conjunto com 
n elementos devemos ordenar o conjunto.
Q1 será o valor que ocupar a posição (n/4)
Q2 o que ocupar (2n/4)
Q3 o que ocupar a posição (3n/4).
Taxa de juros
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Determinação dos Quartis
 
- Se a divisão indicada no item anterior for um número fracionário, arredonde-o para cima e o valor do quartil será o dado encontrado nesta posição.
 
- Se a divisão for um número inteiro, o quartil será a média aritmética do valor que ocupar a posição encontrada na divisão com o valor que ocupar a posição seguinte.
Taxa de juros
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Exemplo: Suponha uma análise sobre o tempo para se aprontar para o trabalho de modo a minimizar atrasos excessivos ou chegar com muita antecedência. Para tal foram coletados, durante dez dias, os tempos uma pessoa levou desde do levantar da cama até sair de casa.
Dia
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
minutos
31
35
52
44
44
40
29
39
39
43
Tempo
(min.)
29
31
35
39
39
40
43
44
44
52
Para calcular os quartis vamos ordenar.
Taxa de juros
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Posição de Q1 
 Observe que  Como 2,5 é um número fracionário devemos arredondar para 3. Pelas regras, a posição do quartil Q1 será definida pelo 3°elemento, i.e, tempo de 35 minutos.
Para se aprontar a pessoa em 25% dos dias um tempo ≤ 35 min e em 75% dos dias um tempo ≥ 35 min.
Tempo
(min.)
29
31
35
39
39
40
43
44
44
52
Taxa de juros
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Observe que  Como 5 é um número inteiro, o quartil 2 ou Mediana será dado pela média aritmética dos tempos situados nas posições cinco e seis da série ordenada.
Q2 = Md = (39 + 40)/2 = 39, 5
Podemos concluir que para a metade dos dias a pessoa levou um tempo ≤ 39, 5 minutos para ficar pronto e para a outra metade dos dias um tempo ≥ 39, 5 minutos.
Tempo
(min.)
29
31
35
39
39
40
43
44
44
52
Para calcular o quartil Q2
Taxa de juros
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Observe que  Como 7,5 é um número fracionário devemos arredondar para 8. 
Então Q3 será definida pelo 8°elemento: 44 minutos.
Conclusão: em 75% dos dias a pessoa levou um tempo ≤ 44 minutos para ficar pronto e em 25% dos dias levou um tempo ≥ 44 minutos.
Tempo
(min.)
29
31
35
39
39
40
43
44
44
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Para calcular o quartil Q3
Taxa de juros
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Caso 2: Dados Agrupados
Determinação QUARTIL Q1:
Acrescentar a coluna frequências acumuladas (Fi).
Calcular .
Encontrar a classe que corresponde à frequência acumulada imediatamente superior a . 
(cont ...) 
Taxa de juros
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d) Aplicar a fórmula:
 Onde:
 l* é o limite inferior
 f* é a frequência simples 
 h* é a amplitude da classe encontrada no item (c); 
 F(ant) é a frequência acumulada da classe anterior encontrada em “c”.
Taxa de juros
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QUARTIL Q2 é a MEDIANA do conjunto de dados.
QUARTIL Q3 é calculado de forma parecida a do quartil Q1 e poderá ser obtido pela fórmula: 
Taxa de juros
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Exemplo: Cálculo do Quartil Q1 da distribuição de frequências das estaturas dos 40 alunos da faculdade A.
 
1) Encontrar o valor de: 
2) Marcar a classe que possui frequência acumulada imediatamente superior a 10 (é a 13).
Taxa de juros
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i
Estaturas
(cm)
fi
freq. simples
Fi
freq. acumulada
1
150|154
4
4
2
154|158
9
13
3
158|162
11
24
4
162|166
8
32
5
166|170
5
37
6
170|174
3
40
fi= 40
l* = 154
h* = 4
f* = 9
F(ant) = 4 
Q1 = 154 + (10 - 4) 
Q1 = 156, 66 cm
Cálculo do Quartil Q1 
Taxa de juros
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Cálculo do Quartil Q3
Onde:
l* = 162
h* = 4
f* = 8
F(ant) = 24
Q3 = 162 + (30 - 24) = 165 cm
i
Estaturas
(cm)
fi
freq. simples
Fi
freq. acumulada
1
150|154
4
4
2
154|158
9
13
3
158|162
11
24
4
162|166
8
32
5
166|170
5
37
6
170|174
3
40
fi= 40
Taxa de juros
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PERCENTIL
Os PERCENTIS são os valores que separam uma série de dados em 100 (cem) partes iguais.
Determinação dos PERCENTIS
 Caso1: Dados não agrupados
 Para determinaros percentis para um conjunto com n dados devemos adotar os seguintes passos:
Taxa de juros
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Passos para determinação dos PERCENTIS
1) Ordenar o conjunto.
 2) O percentil Pk é o valor que ocupar a posição (k.n)/100
 
 - Se essa divisão der um número fracionário, arredonde-o para cima; o valor do quartil será o dado nesta posição.
 - Se a divisão for um número inteiro, o quartil será a média aritmética do valor que ocupar a posição encontrada na divisão com o valor que ocupar a posição seguinte.
Taxa de
juros
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Passos para determinação dos PERCENTIS
 Vamos calcular o percentil P30 na série ordenada dos tempos gastos para se aprontar para o trabalho.
(k. n)/100 = 	
Como 3 é inteiro, a posição do percentil P30 será definida pela média aritmética dos terceiro e quarto.
P30 = 
minutos
29
31
35
39
39
40
43
44
44
52
Taxa de juros
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Caso 2: Dados Agrupados
Como os quartis, os PERCENTIS podem ser calculados para dados agrupados em classes, pela fórmula:
 
Pk = l* + - F(ant)]
 
onde k é a ordem do percentil que se deseja encontrar.
 
Assim no exemplo das estaturas dos 40 alunos:
Taxa de juros
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No exemplo das estaturas vamos calcular o percentil P20
i
(cm)
fi
Fi
1
150|154
4
4
2
154|158
9
13
3
158|162
11
24
4
162|166
8
32
5
166|170
5
37
6
170|174
3
40
fi= 40
Pk = l* + - F(ant)]
Onde:
l* = 154 h* = 4 f* = 9 F(ant) = 4
Imediatamente acima = 13
Taxa de juros
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Medidas de dispersão
Medem o grau de variabilidade, ou a dispersão dos valores observados em torno da média aritmética. 
Deseja-se comparar o desempenho de dois funcionários com base na produção diária de uma peça, durante cinco dias:
Empregado A : 70, 71, 69, 70, 70  = 70
Empregado B : 60, 80, 70, 62, 83  = 71
A performance média da A é de 70 peças (varia de 69 a 71)
A performance média de B é de 71 peças (varia de 60 a 83). 
A performance de A é bem mais uniforme do que de B.
Qual o melhor empregado?
Taxa de juros
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Amplitude total (AT) 
É a diferença entre o maior e o menor valor observado. 
 
AT = xmax − xmin 
 
Empregado A = 71 − 69 = 2 
Empregado B = 83 − 60 = 23 
Qual o melhor empregado?
Taxa de juros
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Desvio médio (DM): Analisa todos os desvios em relação à média.
Cálculo dos desvios (di)
Empregado A
d1= 70 – 70 =0
d2= 71 – 70 =+1
d3= 69 – 70 =-1
d4= 70 – 70 =0
d5= 70 – 70 =0
di = 0
Empregado B
d1= 60 – 71 =-11
d2= 80 – 71 =+9
d3= 70 – 71 =-1
d4= 62 – 71 =-9
d5= 83 – 71 =+12
di = 0
Empregado A : 70, 71, 69, 70, 70  = 70
Empregado B : 60, 80, 70, 62, 83  = 71
Taxa de juros
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Desvio Médio: DM = =
Para eliminar a soma zerodesvios em módulo
Empregado A
d1=0= 0
d2=+1= 1
d3=-1= 1
d4=0= 0
d5=0= 0
di= 2
Empregado B
d1=- 11= 11
d2=+9= 9
d3=- 1= 1
d4=- 9= 9
d5=+12= 12
di= 42
A  DM = = 0,4
B  DM = = 8,4
Taxa de juros
Variância 
31
Variância de uma variável aleatória é uma medida da sua dispersão estatística, indicando quão longe os seus valores se encontram do valor esperado.
Denotada por (s2) ou (2 ), é a medida de dispersão que mede a variação média dos dados de uma amostra em relação a sua média aritmética. 
Fórmula: 
= 
Taxa de juros
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Variância (2)
 
Para eliminar a soma zero, eleva-se os desvios ao quadrado:
Empregado A
d1= (0)2= 0
d2= (+1)2= 1
d3= (1)2= 1
d4= (0)2= 0
d5= (0)2= 0
(di)2= 2
Empregado B
d1= (–11)2= 121
d2= (+9)2= 81
d3= (1)2= 1
d4= (–9)2= 81
d5= (+12)2= 144
 (di)2= 428
2 = 
= 
2 A = = 0,4 
 2 B = = 85,6
Taxa de juros
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Desvio-padrão
 O desvio padrão (raiz quadrada da variância) é uma medida de dispersão.
Ele dá uma idéia de como os valores de uma amostra (ou de uma variável aleatória) estão dispersos em relação à média.
Quanto maior o desvio padrão, maior é a dispersão dos valores em relação à média. 
Um desvio padrão igual a zero indica que todos os valores são iguais à média.
 
Taxa de juros
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Desvio-padrão
É a raiz quadrada da variância: 
 
Desvio Padrão do funcionário A: = = 0,63
Desvio Padrão do funcionário B: = = 9,25
Taxa de juros
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Desvio-padrão
Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição: 
 
xi
5
7
8
9
11
fi
2
3
5
4
2
Taxa de juros
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Solução:
1°) Cálculo da Média
 M = 129/16 = 8,06 
xi
fi
xi .fi
|di|
|di|2
|di|fi
5
2
10
7
3
21
8
5
40
9
4
36
11
2
22
∑
16
129
xi
5
7
8
9
11
fi
2
3
5
4
2
Para cálculo da 
Variância
Para cálculo 
do Desvio médio
Taxa de juros
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Solução:
2°) Cálculo do desvio médio: 
DM = ou
xi
fi
xi .fi
|di|
|di|2
|di|fi
5
2
10
| 5 - 8,06| = - 3,06
9,36
6,12
7
3
21
| 7 - 8,06| = - 1,06
1,12
3,18
8
5
40
| 8 - 8,06 |= - 0,06
0,00
0,00
9
4
36
| 9 - 8,06 |= 0,94
0,88
3,76
11
2
22
| 11 - 8,06 |= 2,94
8,64
5,88
∑
16
129
20,00
18,94
xi
5
7
8
9
11
fi
2
3
5
4
2
DM = 1,18 = 
Taxa de juros
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3°) Cálculo da variância:
2 = = = 1,25
4°) Desvio Padrão:
  = = = 1,12
Taxa de juros
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Taxa de juros
AULA 05 – Medidas de Dispersão
40
xi
fi
fixi
|di|
|di|
|di|fi
0
6
0
2,34
5,47
14,04
1
16
16
13,66
186,60
218,56
2
9
18
6,66
44,36
59,94
3
8
24
5.66
30,91
45,28
4
3
12
0,66
0,44
1,98
5
3
15
0,66
0,44
1,98
6
3
18
0,66
0,44
1,98
7
2
14
0.34
0,46
0,68
∑
50
117
269,12
344,44
DM = 344,44 / 50 = 6,89
2 = 269,12 / 50 = 5,38
 = = 2,32
2
Taxa de juros