04 razão, proporção e regra de três

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MATEMÁTICA 
 
Editora Exato 12 
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E 
PORCENTAGEM 
1. RAZÃO 
Sejam dados dois números a e b ( )b 0≠ , cha-
mamos de razão entre estes dois números ao quocien-
te indicado entre eles. 
A razão a
b
 também pode ser escrita a:b (que se 
lê a está para b. Os números a e b, que são os ter-
mos da razão, são denominados respectivamente de 
antecedente e conseqüente. 
Como exemplos, vamos indicar a razão entre 
os números abaixo: 
a) 3 e 7 por 3
7
 ou 3:7; 
b) 9 e 5 por 9
5
 ou 9:5. 
2. PROPORÇÃO 
Proporção é uma igualdade entre duas razões. 
Dizemos que os números a,b,c,d com b 0≠ e 
d 0≠ estão em proporção, na ordem dada, se, e se-
mente, a razão entre a e b for igual à razão entre c e 
d. Indicamos esta proporção por: 
a c
b d
= ou a:b::c:d que se lê: 
a está para b, assim como c está para d. 
Propriedade fundamental das propor-
ções 
Em toda proporção, o produto dos extremos é 
igual ao produto dos meios. 
a c
a d b c
b d
= ⇒ ⋅ = ⋅ 
Aplicando esta propriedade, podemos determi-
nar o valor de uma incógnita na proporção. 
3. REGRA DE RÊS 
Grandezas Diretamente proporcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais 
quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na 
mesma razão da primeira. 
Exemplo: 
Um veículo que percorre: 
� 80km em 1 hora. 
� 160km em 2 horas. 
� 240km em 3 horas. 
 
Enquanto o tempo aumenta, a distância percor-
rida também aumenta. Dizemos então, que o tempo e 
a distância são grandezas diretamente proporcionais. 
Grandezas inversamente proprocionais 
Duas grandezas são inversamente proporcio-
nais quando, aumentando uma delas, a outra diminui 
na mesma razão da primeira. 
Exemplo: 
Um veículo faz um percurso em: 
� 1 hora com velocidade de 120km/h. 
� 2 horas com velocidade de 60km/h. 
� 3 horas com velocidade de 40km/h. 
Enquanto o tempo aumenta, a velocidade di-
minui. Dizemos, então, que o tempo e a velocidade 
são grandezas inversamente proporcionais. 
4. REGRA DE TRÊS SIMPLES 
É uma regra prática, que facilita o cálculo de 
problemas que envolvem duas grandezas diretamente 
ou inversamente proporcionais. 
Regra de três direta 
Apresenta grandezas diretamente proporcio-
nais. 
Exemplos: 
a) um pacote contém 35 chocolates. Qual é o 
total de chocolates contidos em 4 pacotes? 
Dispositivo prático: 
pacotes
1
4
chocolates
35
x
 
As grandezas são diretamente proporcionais, 
pois aumentando-se a quantidade de pacotes o núme-
ro de chocolates também aumenta. 
Quando as grandezas são diretamente propor-
cionais, as flechas têm o mesmo sentido. Montando a 
proporção, temos: 
1 35
4 x
x 4 35
x 140
=
= ⋅
=
 propriedade fundamental das pro-
porções 
Resposta: o total é 140 chocolates. 
 
b) Certa máquina produz 90 peças, trabalhando 
durante 50 minutos. Quantas peças produzirá em 
1h20min? 
Dispositivo prático: 
 
Editora Exato 13 
produção
90 peças
x
tempo
50 min
80mi - 1h20min = 80min
 
 
As grandezas são diretamente proporcionais, 
pois aumentando o tempo a produção também au-
menta. 
Montando a proporção, temos: 
90 50
x 80
50 x 90 80
50x 7.200
7.200
x
50
x 144
=
⋅ = ⋅
=
=
=
 
Resposta: em 1h20min a máquina produzirá 
144 peças. 
Regra de três inversa 
Apresenta grandezas inversamente proporcio-
nais. 
5. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
A regra de três composta é um processo práti-
co para resolver problemas que envolvem mais de 
duas grandezas diretamente ou inversamente propor-
cionais. 
6. PORCENTAGEM 
Uma razão de conseqüente 100 é denominada 
taxa de porcentagem, ou taxa porcentual, ou ainda 
“tantos por cento”. 
x
100
antecedente
conseqüente
 
Assim, 20
100
 (vinte centésimos) lê-se “20 por 
cento” e representa-se pelo símbolo 20%. 
Significado da taxa de porcentagem 
Vamos interpretar determinadas frases que ou-
vimos ou lemos, quase que diariamente: 
a) “Para sermos aprovados pelo Vestibular de 
uma grande faculdade, devemos acertar no mínimo 
50% das questões”. 
Significa que sobre cada 100 questões, deve-
mos acertar no mínimo 50. 
b) “Liquidação com desconto de 40%”. 
Significa que sobre cada R$ 100,00 do preço 
de uma determinada mercadoria, há um desconto de 
R$ 40,00. 
c) “Certo candidato está com 30% da preferên-
cia popular”. 
Significa que sobre cada 100 pessoas, 30 gos-
tam do candidato. 
Cálculo da porcentagem 
Exemplo: achar 16% de 300. 
Resolução: 
16% é o valor que eu tenho que achar (x) 
300 é 100% 
montando uma regra de três. 
16 100 300 16
x x 48
x 300 100
−  ⋅
= ⇒ =
− 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1 (PUC-SP) Um motorista de táxi, trabalhando 6 
horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026.00. 
Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas 
por dia? 
Resolução: 
Horas
6
4
Valor R$
1.026,00
X
 
6. 4.1026,00
4.1026
684
6
x
x
=
= =
 
R$ 684,00 em dez dias, conforme enunciado. 
Gasto mensal: 
Gasto em dez (10) dias x 3 (30 dias) = 2052 
R$ 2.052,00. 
 
2 Calcular o termo desconhecido na proporção: 
7 21
13 x
= 
Resolução: 
Usando a propriedade fundamental, temos: 
21 137x 21 13 x x 39
7
⋅
= ⋅ ⇒ = ⇒ = . 
 
3 Um carro percorreu uma estrada em 5 horas, à 
velocidade média de 100km/h. Com qual veloci-
dade o carro faria o mesmo percurso em 4 horas? 
Resolução: 
Dispositivo prático: 
velocidade
100
x
tempo
5
4
 
As grandezas são inversamente proporcionais, 
pois, à medida que diminui o tempo da viagem, é ne-
cessário que a velocidade do carro aumente, para que 
o carro percorra o mesmo percurso. 
 
Quando as grandezas são inversamente pro-
porcionais, as flechas têm sentidos contrários. 
Montando a proporção, temos: 
 
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x 5
uma das grandezas se inverte
100 4
4 x 100 5
4x 500
500
x
4
x 125
= ⇒
⋅ = ⋅
=
=
=
 
125 km/h. 
 
4 Vinte homens fazem um certo trabalho em 6 dias, 
trabalhando 8 horas por dia. Para fazer o mesmo 
trabalho, quantos dias levarão 12 homens, traba-
lhando 5 horas por dia? 
Resolução: 
homens
20
12
dias
6
x
horas/dias
8
5
 
Então: 
6 12 5 6 60
x 20 8 x 160
6 3 3 x 6 8
x 8
483 x 48 x x 16
3
= ⋅ ⇒ = ⇒
= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒
⋅ = ⇒ = ⇒ =
 
 
EXERCÍCIOS 
1 (MACK-SP) Uma engrenagem de 36 dentes 
movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá 
a maior, enquanto a menor dá 100 voltas? 
a) 133. 
b) 86. 
c) 75. 
d) 65. 
 
2 (SANTA CASA-SP) Sabe-se que 4 máquinas 
operando 4 horas por dia, durante 4 dias, 
produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas 
toneladas do mesmo produto seriam produzidas 
por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas 
por dia, durante 6 dias? 
a) 8. 
b) 15. 
c) 10,5. 
d) 13,5. 
 
 
 
 
 
 
3 (FUCC-SP) Quanto é 32% de R$25.000,00? 
a) R$5.500,00. 
b) R$7.500,00. 
c) R$8.000,00. 
d) R$10.000,00. 
 
4 (PUC-SP) 15000 candidatos inscreveram-se na 
PUC e foram aprovados 9600. Qual a 
porcentagem de reprovação? 
a) 24. 
b) 30. 
c) 32. 
d) 36. 
e) Nenhuma. 
 
5 (CEF) Num grupo de 400 pessoas, 70% são do 
sexo masculino. Se nesse grupo 10% dos homens 
são casados e 20% das mulheres são casadas. 
Então, o número de pessoas casadas é: 
a) 50. 
b) 46. 
c) 52. 
d) 48. 
e) 54. 
 
6 Se 2
5
de um trabalho foram feitos em 10 dias por 
24 operários que trabalhavam em 7 horas por dia; 
então, quantos dias serão necessários para 
terminar o trabalho, sabendo que 4 operários 
foram dispensados e que o restante agora trabalha 
6 horas por dia? 
a) 18. 
b) 19. 
c) 20. 
d) 21. 
e) 22. 
 
GABARITO 
1 C 
2 D 
3 C 
4 D 
5 C 
6 D