Exercicios de Demonstracao MAT 131 2017 II

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Universidade Federal de Vic¸osa
Departamento de Matema´tica
II LISTA DE MAT 131 - INTRODUC¸A˜O A` A´LGEBRA
Provar as seguintes proposic¸o˜es, usando algum dos seguintes me´todos: direto, indireto, con-
tradic¸a˜o ou induc¸a˜o matema´tica.
Importante: Justificar cada afirmac¸a˜o feita ou usada nas demonstrac¸o˜es.
1. Existem dois mu´ltiplos simultaˆneos de 2 e de 3 entre os nu´meros de 9 a 19, inclu´ıdo estes
nu´meros.
2. A soma de dois nu´meros racionais e´ um nu´mero racional.
3. Sejam x, y ∈ R. Se xy = 0, enta˜o x = 0 ou y = 0.
4. Para todos os nu´meros reais vale a desigualdade
xy ≤ x
2 + y2
2
.
5. Existem infinitos nu´meros primos.
6. Na˜o existe um programa de computador que sempre ganha no xadrez.
7. Um nu´mero inteiro a e´ divis´ıvel por 5 se, e somente se, a termina em 0 ou 5 (ou seja, o u´ltimo
algarismo de a e´ 0 ou 5). Dica: Escreva a = ±anan−1 . . . a2a1a0 = an · 10n + an−1 · 10n−1 +
· · ·+ a2 · 102 + a1 · 101 + a0 · 100, a expansa˜o decimal do nu´mero a, com cada 0 ≤ ai ≤ 9,∀i.
8. Um nu´mero inteiro a e´ divis´ıvel por 3 se, e somente se, a soma dos algarismos da representac¸a˜o
decimal de a tambe´m e´ divis´ıvel por 3.
9. No Brasil existem pelo menos duas pessoas que nasceram no mesmo dia do meˆs, na mesma
hora e no mesmo segundo.
10. Em qualquer festinha, existem pelo menos duas pessoas com o mesmo nu´mero de amigos na
festa.
11. Se n ∈ N e n > 0, enta˜o 1 + . . . + n = n(n + 1)
2
.
12. Se n ∈ N e n > 0, enta˜o n3 − n e´ mu´ltiplo de 3.
13. Para todo n ∈ N com n > 0, verifica-se 1 + 3 + · · ·+ (2n− 1) = n2.
14. Para todo n ∈ N com n > 0, temos 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n(n + 1)(2n + 1)
6
.
15. Para todo n ∈ N com n > 2, temos 2n < n2.
16. Para todo n ∈ N com n > 0, vale 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n · (n + 1) = n(n + 1)(n + 2)
3
.
1