Conjuntos Numéricos: N, Z, Q, Q' e R

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1. NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS 
 
1.1. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N) 
 
No dia-a-dia, utilizamo-nos de conceitos matemáticos sem mesmo 
perceber. Sempre que podemos contar as unidades de um conjunto de 
coisas, por exemplo, quando contamos o dinheiro que temos na 
carteira, ou o número de gols que o centroavante de nosso time marcou 
no último campeonato, ou ainda o número de votos que o Presidente 
Lula recebeu nas últimas eleições, obtemos como resposta um resultado 
que denomina-se número natural. 
 
Portanto, qualquer número que seja resultado ou conseqüência de uma 
contagem de unidades é denominado de número natural e é 
representado por N. 
 
 
 
 
 
Um subconjunto importante de N é o conjunto N*: 
 
 
 
 
 
Como podemos ver, o zero foi excluído do conjunto N. 
 
 
Podemos visualizar o conjunto dos números naturais ordenados sobre 
uma reta, como mostrado abaixo: 
 
Dentro do conjunto dos números naturais podemos afirmar que todas 
as operações envolvendo adição (+) e multiplicação (x) SEMPRE 
dará como resultado outro número natural. 
 
Já não podemos dizer o mesmo quanto às operações inversas da adição 
– a subtração ( — ), e da multiplicação – a divisão ( ÷ ), pois nem 
sempre podemos representar a diferença entre dois números naturais 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} 
N* = {1, 2, 3, 4, 5,...} 
por outro número natural, o mesmo acontecendo com a divisão. Por 
exemplo, a diferença 5 – 8 ou a divisão 7 ÷ 5. 
 
Por este motivo, foi criado um novo conjunto numérico, chamado de 
números inteiros e indicado por Z, para se expressar o resultado de 
algumas subtrações. 
 
 
 
 
 
 
1.2. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z) 
 
No nosso exemplo anterior vimos que dentro do conjunto dos números 
naturais a diferença 5 – 8 não podia ser representada por um número 
natural. Já no conjunto dos números inteiros esta diferença pode ser 
expressada, pois o resultado ( -3 ) é um número inteiro. 
 
 
 
 
 
 
 
O conjunto N é subconjunto de Z, ou seja, está contido em Z. 
 
Outros subconjuntos de Z: 
 
Z* = Z - {0} 
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...} 
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...} 
 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2,...} 3,...} 
Observe que Z+= N. 
 
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, 
conforme mostra o gráfico abaixo: 
 
 
 
Da mesma maneira que foi criado o conjunto dos números inteiros 
para que pudéssemos expressar o resultado de algumas subtrações ou 
diferenças numéricas, o mesmo ocorreu quanto à impossibilidade de 
expressar o resultado de uma divisão de dois números inteiros. Assim, 
foi criado o conjunto dos números racionais, que é indicado por Q. 
 
 
 
 
 
 
 
1.3. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
 
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na 
forma de fração (com o numerador e denominador pertencentes ao 
conjunto dos números inteiros). Ou seja, o conjunto dos números 
racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações 
positivas e negativas. 
 
 
 
b
a
 
 
Demonstrando: 
 
 
a) os números inteiros -6; 0; -9; 4 são números racionais, pois podem 
ser escritos como: 
 
 3
12
;
2
18
;
4
0
;
1
6 
 
 
 
 
b) uma decimal exata finita como 0,6 ou 4,8 também é considerada 
uma número racional, pois pode ser escrita em forma de fração: 
 
 menterespectivae 5
24
5
3
 
 
 
Assim, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde podemos ler: 
 
“O conjunto dos números racionais ( Q ) é composto por todo e 
qualquer número (x) tal que (|) este número (x) seja resultado de uma 
divisão de um número inteiro (a Є Z), numerador (a), por outro número 
inteiro (a Є Z), denominador (b), desde que o denominador (b) seja 
diferente de zero.” 
 
É interessante considerar a representação decimal de um número 
racional , que se obtém dividindo a por b. 
racionais. números são exemplo,por ,
9
2
 ,4 ,
5
3
 ,9 ,
7
3
6 :Então , -
}0 e , com , |{  bZbZa
b
a
xxQ
 
 
Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas: 
 
 
Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas: 
 
 
 
Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de 
número racional. 
 
 
1.4. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (Q’) 
 
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, 
os números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de 
dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz 
quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3: 
 
Um número irracional bastante conhecido é o número 
=3,1415926535... (Pi) 
 
 
 
1.5. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R) 
 
Chama-se número real todo número racional ou irracional e representa-
se por R 
 
 
 
75,3
20
75
 25,1
4
5
 5,0
2
1

...1666,1
6
7
 ...428571428571,0
7
6
 ...333,0
3
1

...7320508,13
...4142135,12


R = Q  {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional} 
 
 
ATENÇÃO  
 
 
 
 
 
 
As relações entre os conjuntos numéricos apresentados podem ser 
resumidas pelo diagrama a seguir: 
 
 
 
 
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são 
todos números REAIS. Como subconjuntos importantes de R temos: 
 
 R* = IR - {0} 
 
 R+ = conjunto dos números reais não negativos 
 
R_ = conjunto dos números reais não positivos 
 
 
 
Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por 
exemplo: 
 
 Entre os números 0 e 1 existem infinitos números reais: 
0,01 ; 0,003 ; 0,0009 ; 0,12 ; 0,35 ; 0,81 ; 0,99 ; 0,999 ; 0,9999 
... 
 
 
 Entre os números 8 e 9 existem infinitos números reais: 
8,01 ; 8,02 ; 8,05 ; 8,1 ; 8,2 ; 8,5 ; 8,99 ; 8,999 ; 8,9999 ... 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
Conceitos de conjuntos 
 
Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { 
} ou . 
 
Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro 
conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja A B. Observações: 
 Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ; 
 O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja 
 
 
União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao 
conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou 
seja: 
 
 
Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos 
conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos 
pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: 
 
 
Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B 
(nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes 
a A, mas que não pertencem a B, ou seja 
 
 
Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se peoduto cartesiano A com B, ao 
conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é 
elemento de B, ou seja 
Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então 
existirão 2n subconjuntos de A. 
Símbolos 
: pertence : existe 
: não pertence : não existe 
: está contido : para todo (ou qualquer que seja) 
: não está contido : conjunto vazio 
: contém N: conjunto dos números naturais 
: não contém Z : conjunto dos números inteiros 
/ : tal que Q: conjunto dos números racionais 
: implica que Q'= I: conjunto dos números irracionais 
: se, e somente se R: conjunto dos números reais 
Exercícios resolvidos: 
1) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que: 
a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; 
b) quando chove de manhã não chove à tarde; 
c) houve 5 tardes sem chuva; 
d) houve 6 manhãs sem chuva. 
Podemos afirmar então que n é igual a: 
a)7 
b)8 
*c)9 
d)10 
e)11 
Solução: 
 
SejaM, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o conjunto 
dos dias que choveu à tarde. Chamando de M' e T' os conjuntos 
complementares de M e T respectivamente, temos: 
 
n(T') = 5 (cinco tardes sem chuva) 
n(M') = 6 (seis manhãs sem chuva) 
n(M  T) = 0 (pois quando chove pela manhã, não chove à tarde) 
 
Daí: 
n(M  T) = n(M) + n(T) – n(M  T) 
7 = n(M) + n(T) – 0 
Podemos escrever também: 
n(M') + n(T') = 5 + 6 = 11 
 
Temos então o seguinte sistema: 
n(M') + n(T') = 11 
n(M) + N(T) = 7 
Somando membro a membro as duas igualdades, vem: 
n(M) + n(M') + n(T) + n(T') = 11 + 7 = 18 
 
Observe que n(M) + n(M') = total dos dias de férias = n 
Analogamente, n(T) + n(T') = total dos dias de férias = n 
 
Portanto, substituindo vem: 
n + n = 18 
2n = 18 
n = 9 
Resposta: Foram nove dias de férias ou seja n = 9 dias. 
 
2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre 
outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B 
era: 
I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B; 
II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A; 
III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem 
de B. 
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos 
dois produtos é igual a: 
*a)48 
b)35 
c)36 
d)47 
e)37 
 
SOLUÇÃO: 
Considere a figura abaixo, onde estão representados os conjuntos A 
e B, e a quantidade de elementos x, y, z e w. 
 
Pelo enunciado do problema, poderemos escrever: 
x+y+z+w = 52 
y+z = 4y 
y+z = 2(x+y) 
y+z = w/2 
Desenvolvendo e simplificando, vem: 
x+y+z+w = 52 (eq.1) 
z = 3y (eq. 2) 
z = 2x + y (eq. 3) 
w = 2y + 2z (eq. 4) 
Substituindo o valor de z da eq. 2 na eq. 3, vem: x = y 
Podemos também escrever: w = 2y + 2(3y) = 8y 
Expressando a eq. 1 em função de y, vem: 
y + y + 3y + 8y = 52 e, daí vem: 13y = 52, de onde vem y = 4. 
Temos então por simples substituição: 
z = 3y = 12 
x = y = 4 
w = 8y = 32 
A partir daí, é que vem a sutileza do problema. Vejamos: 
O problema pede para determinar o número de pessoas que não 
gostam dos produtos A e B. O conectivo e indica que devemos 
excluir os elementos da interseção A B. Portanto, a resposta 
procurada será igual a: 
w + x + z = 32 + 4 + 12 = 48 pessoas. 
A resposta seria 32 (como muitos acham como resultado), se a 
pergunta fosse: 
Quantas pessoas não gostam do produto A ou do produto B? 
Perceberam a sutileza da pergunta: quantas pessoas não 
gostavam dos dois produtos, ou seja, não gostavam de A e B? 
Resp: 48 pessoas 
 
3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram 
Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 
visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São 
Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo 
foi: 
*a) 29 
b) 24 
c) 11 
d) 8 
e) 5 
SOLUÇÃO: 
Observe o diagrama de VENN abaixo: 
 
Podemos escrever: 
x + y + 5 = 16 ; logo, x + y = 11..................................................Eq. 1 
x + w + z + 3 = 16; logo, x + w + z = 13.....................................Eq. 2 
t + w + 5 = 11; logo, t + w = 6.....................................................Eq. 3 
x + y + z + w + t + 2 + 3 = 35; logo, x + y + z + w + t = 30........Eq. 4 
Substituindo as Eq. 1 e 3, na Eq. 4, vem: 
11 + z + 6 = 30; logo, z = 13.......................................................Eq. 5 
Substituindo o valor de z na Eq. 2, vem: 
x + w + 13 = 13; logo, x + w = 0, de onde se conclui que x = 0 e w = 
0, já que x e w são inteiros positivos ou nulos. 
Substituindo o valor de x encontrado acima na Eq. 1, vem: 0 + y = 
11; logo, y = 11. 
Observando que o número de elementos de M U SP é igual a x + y 
+ z + w + 2 + 3, vem imediatamente, substituindo os valores: n(M U 
SP) = 0 + 11 + 13 + 0 + 2 + 3 = 29 
Observe que n(M U SP) representa o conjunto dos estudantes que 
visitaram Manaus OU São Paulo, conforme foi solicitado no 
problema. 
Portanto, a alternativa correta é a letra A. 
4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma 
única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um 
famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas: 
a)século XIX 
b)século XX 
c)antes de 1860 
d)depois de 1830 
e)nenhuma das anteriores 
Pode-se garantir que a resposta correta é: 
a)a 
b)b 
c)c 
d)d 
e)e 
SOLUÇÃO: 
As alternativas (A) e (B): não há elementos para se concluir por uma 
delas, inicialmente. 
A alternativa (E) não pode ser verdadeira, pois implicaria - pelo 
enunciado - que o escritor nem teria nascido! 
Para visualizar isto, veja a figura abaixo. 
A alternativa (D) não pode ser verdadeira, pois implicaria concluir-se 
pelos séculos XIX ou XX e, pelo enunciado, só existe uma 
alternativa verdadeira. 
POR EXCLUSÃO, a alternativa verdadeira só pode ser a C. 
Veja o esquema abaixo, para ajudar no seu entendimento dos 
argumentos acima. 
 
 
 
 
( UFRN ) Se A, B e C são conjuntos tais que 
n(A - (B C)) = 15, 
n(B - (A C)) = 20, 
n(C - (A B)) = 35 e 
n(A B C) = 120, então, n((A B) (A C ) (B C)) é 
igual a: 
(A) 40 
(B) 50 
(C) 60 
(D) 70 
(E) 80 
A simbologia n(A) = 10 nos diz que o conjunto "A" possui 10 elementos. 
Este exercício fica barbadinha quando fazemos os diagramas Venn-Euler de tais 
conjuntos. Como temos três conjuntos, e existe a intersecção entre eles, o desenho 
que iremos trabalhar será o seguinte: 
 
Vamos ver a primeira informação do exercício, n(A - (B C)) = 15. O 
conjunto "A" já sabemos qual é, agora, o conjunto B C, como seria? 
 
 
Portanto, ao subtrairmos de dentro do conjunto "A" todo este verde que está acima, 
teremos o seguinte conjunto: 
 
Como diz a informação, n(A - (B C)) = 15, neste espaço rosa, temos 15 
elementos. 
A segunda informação: n(B - (A C)) = 20 
 
Até o momento, temos a seguinte configuração: 
 
Note que a soma destes elementos é 15 + 20 + 35 = 70. 
A quarta informação: n(A B C) = 120. 
 
Esta informação nos diz que a soma de TODOS elementos presentes no desenho vale 
120. 
Como na informação anterior, tínhamos 70 elementos presentes nas "bordas" do 
diagrama, e no total temos 120 elementos, concluímos que o centro deste diagrama, 
terá 50 elementos. 
 
O que o exercício pede é n((A B) (A C ) (B C)), que é justamente a 
união das três intersecções: 
 
Portanto, como já vimos antes, a resposta é 50. 
01) (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as 
únicas matérias dadas são matemática e português, 
240 alunos estudam matemática e 180 alunos estudam 
português. O número de alunos que estudam 
matemática e português é: 
a) 120 b) 60 c) 90 
d) 180 e) N.d.a. 
02) (PUC-CAMPINAS) Numa indústria, 120 operários 
trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 
trabalham à noite; 60 trabalham de manhã e à 
tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40 
trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos 
três períodos. 
Assim: 
a) 150 operários trabalham em 2 períodos; 
b) há 500 operários na indústria; 
c) 300 operários não trabalham à tarde; 
d) há 30 operários que trabalham só de manhã; 
e) N.d.a. 
03) (UNIV. FED. PARÁ) Num colégio foi realizada 
uma pesquisa para saber quais os esportes 
praticados pelos alunos. Sabe-se que A={alunos que 
jogam basquete}, B={alunos que jogam futebol} e 
C={alunos que jogam voley}, e o resultado está 
resumido na tabela abaixo. 
n(A) n(B) n(C) n(AB) n(AC) n(CB) n(ABC)
n()-
n(ABC) 
150 180 100 30 40 25 20 245 
O número total de alunos da escola é: 
a) 790 b) 600 c) 675 
d) 570 e) 335 
04) (NUNO LISBOA) Um subconjunto X de números 
naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 
6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número 
de elementos de X é: 
a) 22 b) 27 c) 24 
d) 32 e) 20 
05) (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos 
dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem 
o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo 
aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o 
percentual de alunos que lêem ambos é: 
a) 48% b) 60% c) 40% 
d) 140% e) 80% 
06) (GV) Emuma pesquisa de mercado foram 
entrevistadas várias pessoas acerca de suas 
preferências em relação a três produtos A, B e C. 
Os resultados da pesquisa indicaram que: 
210 compram o produto A. 
210 compram o produto B. 
250 compram o produto C. 
20 compram os três produtos. 
100 não compram nenhum dos três produtos. 
60 compram os produtos A e B. 
70 compram os produtos A e C. 
50 compram os produtos B e C. 
Quantas pessoas foram entrevistadas? 
07) (UF-BH) Um colégio ofereceu cursos de inglês e 
francês, devendo os alunos se matricularem em pelo 
menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 
resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em 
francês, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos 
se matricularam em inglês? 
08) (FAAP) Os sócios dos clubes A e B formam um 
total de 2200 pessoas. Qual é o número de sócios 
do clube B se A tem 1600 e existem 600 que 
pertencem aos dois clubes? 
09) (MED. RIO PRETO) Num almoço, foram servidos, 
entre outros pratos, frangos e leitões. Sabendo-se 
que, das 94 pessoas presente, 56 comeram frango, 
41 comeram leitão e 21 comeram dos dois, o número 
de pessoas que não comeram nem frango nem leitão 
é: 
a) 10 b) 12 c) 15 
d) 17 e) 18 
10) (UNIV. FED. PARÁ) Uma escola tem 20 
professores, dos quais 10 ensinam Matemática, 9 
ensinam Física, 7 Química e 4 ensinam Matemática e 
Física. Nenhum deles ensina Matemática e Química. 
Quantos professores ensinam Química e Física e 
quantos ensinam somente Física? 
a) 3 e 2. b) 2 e 5. c) 2 e 3. 
d) 5 e 2. e) 3 e 4. 
01 - B 06 - 610 pessoas 
02 - D 07 - 36 alunos 
03 - B 08 - 1200 sócios 
04 - A 09 - E 
05 - C 10 - C 
 
 
1.6. NÚMEROS FRACIONÁRIOS 
O símbolo b
a
 significa a ÷ b, sendo a e b números naturais 
e b diferente de zero. 
Chamamos: 
 b
a
 de fração; 
 a de numerador; 
 b de denominador. 
Se a é múltiplo de b, então b
a
 é um número natural. 
Veja um exemplo: 
A fração 
3
6
 é igual a 6 ÷ 3. Neste caso, 6 é o numerador 
e 3 é o denominador. Efetuando a divisão de 6 por 3, 
obtemos o quociente 2. Assim, 
3
6
 é um número natural e 6 
é múltiplo de 3. 
Durante muito tempo, os números naturais foram os 
únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois 
começaram a surgir questões que não poderiam ser 
resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito 
de número fracionário. 
O significado de uma fração 
Por vezes, a expressão ou fração b
a
 é um número 
natural. Outras vezes, isso não acontece. Então, qual é o 
significado de b
a
 ? 
Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em 
partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou 
algumas, conforme nosso interesse. 
Exemplo: 
Gabriel adora pizza. Por telefone, pediu uma pizza de 
mussarela. Conseguiu, sozinho, comer 3/4 da pizza. 
Como sabemos, geralmente a pizza é dividida em 8 
pedaços. Se Gabriel comeu 3/4 da pizza, então ele comeu 
6 pedaços. 
 
Na figura acima, as partes pintadas de amarelo seriam as 
partes comidas por Gabriel, e as partes verde são as partes 
que sobraram da pizza. 
 
Leitura de uma Fração 
As frações recebem nomes especiais quando os 
denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando 
os denominadores são 10, 100, 1000, ... 
 
 
Frações equivalentes 
Frações equivalentes são frações que representam a 
mesma parte do todo. 
Exemplo: são equivalentes 
Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar 
o numerador e o denominador por um mesmo número 
natural, diferente de zero. 
 
Simplificação de frações 
Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A 
fração foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 
 pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma 
fração simplificada de . 
A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de 
fração irredutível. A fração não pode ser simplificada 
porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum. 
 
Números fracionários 
Seria possível substituir a letra X por um número natural 
que torne a sentença abaixo verdadeira? 
3 * X = 1 
Substituindo X, temos: 
 X por 0 temos: 3 * 0 = 0 
 X por 1 temos: 3 * 1 = 3. 
Portanto, substituindo X por qualquer número natural 
jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse 
problema temos que criar novos números. Assim, surgem 
os números fracionários. 
 
 “Toda fração equivalente representa o mesmo 
número fracionário.” 
Portanto, uma fração b
a
 (b diferente de zero) e todas 
frações equivalentes a ela representam o mesmo número 
fracionário b
a
. 
Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = 3
1
, pois 
3 * 3
1
= 1. 
 
2. Dízimas periódicas 
 Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo: 
 
 Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se 
o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. 
 Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o 
período dessa dízima. 
 As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. 
Exemplos: 
 
 (período: 5) (período: 3) (período: 12) 
São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula. 
 (Período: 2) (Período: 4) 
 
 
(Período: 23) 
Parte não periódica: 0 Período não periódica: 15 Parte não periódica: 1 
 
São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não 
periódica. 
Observações: 
Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. 
Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro. 
Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras: 
 
 
Geratriz de uma dízima periódica 
 É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. 
Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. 
 Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima: 
 Dízima simples 
 A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para 
denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 Dízima Composta: 
 A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde 
n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. 
d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros 
quantos forem os algarismos da parte não periódica. 
Exemplos: 
 
 
 
 
3. RAZÕES E PROPORÇÕES 
 
3.1. RAZÃO ENTRE DUAS GRANDEZAS 
Para entendermos o significado da razão entre dois 
números ou grandezas, analisaremos algumas situações do 
dia-a-dia. 
1º caso: Marlene receberá visitas para uma festa no 
final de semana e resolveu preparar um batida de 
frutas. A receita diz que devem ser colocadas 9 
frutas em cada receita, sendo 6 laranjas e 3 
maças. Comparemos os números envolvidos 
nesta situação. 
 
Sabemos que: 
 9, 6 e 3 são os números envolvidos nesta hipotética 
situação; 
 para cada 6 laranjas, devemos colocar 3 maças. 
 
Escrevemos assim: 
 
3
6
 ou 6 : 3  
3
6
 é a razão entre os números 6 e 3, 
nesta ordem. 
 
Como 6 é o dobro de 3, para fazer o mesmo tipo de batida 
de frutas, a quantidade de laranjas deve ser sempre igual 
ao dobro da quantidade de maças. 
 
“Se a e b são dois números e b é diferente de zero, 
dizemos que 
b
a
 ou a : b é a razão entre a e b, nessa 
ordem” 
 
2º caso: Para ir à escola, Lucas gasta 30 minutos indo à 
pé. Já, Matheus utiliza-se de sua moto e faz o 
mesmo percurso em 10 minutos. Qual a razão 
entre os tempos gastos por Matheus e Lucas para 
chegarem até a escola, sabendo-se que o espaço 
percorrido é o mesmo ? 
tempo gasto por Matheus .................. 10 minutos 
tempo gasto por Lucas ...................... 30 minutos 
30
10
 = 
3
1
 ou 1 : 3 a razão entre os tempos gastos por 
Lucas e Matheus é 
3
1
  significa que para cada 
minuto gasto por Matheus, Lucas gasta três vezes 
mais tempo para percorrer o mesmo percurso. 
 
“A razão entre grandezas de mesma natureza é a 
razão entre os números que expressam as 
medidas destas grandezas.” 
 
Atenção: Quando comparamos grandezas de mesma 
natureza, as medidas devem estar expressas 
na mesma unidade. 
 
Observações: 
 
1) A razão entre dois números racionais pode ser 
apresentada de três formas. Exemplo: 
Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25. 
 
2) A razão entre dois números racionais pode ser 
expressa com sinal negativo, desde que seus termos 
tenham sinais contrários. 
Exemplo: 
A razão entre –1 e 8 é . 
 
 
Termos de uma razão 
Observe a razão: 
 (lê-se "a está para b" ou "a para 
b"). 
Na razão a:b ou , o número a é denominado 
antecedente e o número b é denominado conseqüente. 
Veja o exemplo: 
 3 : 5 = 
 
Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5. 
 
 
Razões inversas 
Considere as razões. 
 
Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou 
seja, 
Nesse caso, podemos afirmar que são razões 
inversas. 
 
 
Duas razões são inversas entre si quando o produto 
delas é igual a 1. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 são razões inversas, pois . 
 
Podemos verificar que nas razões inversas o antecedente 
de uma é o conseqüente da outra, e vice-versa. 
 
 
Observações: 
1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa. 
 
2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, 
devemos permutar (trocar) os seus termos. 
Exemplo: O inverso de . 
 
Razões equivalentes 
Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão 
equivalente da seguinte maneira: 
Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão 
por um mesmo número racional (diferente de zero), 
obtemos uma razão equivalente. 
 Exemplos: 
 são razões equivalentes. 
 são razões equivalentes. 
 
Razão entre grandezas da mesma espécie 
O conceito é o seguinte: 
Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o 
quociente entre os números que expressam as medidas dessas 
grandezas numa mesma unidade. 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular a razão entre a altura de dois vasos de flores, 
sabendo que o primeiro possui uma altura h1= 1,20m e o 
segundo possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as 
alturas h1 e h2 é dada por: 
 
 
2) Num certo intervalo de tempo, um carro percorre 2 km 
enquanto Alexandre caminha 50 metros. Qual é a razão 
entre os espaços percorridos pelo carro e por Alexandre, 
durante este intervalo de tempo? 
Quando temos unidades de medida diferentes, devemos 
transforma-las para a mesma base. Neste caso, 
transformaremos a distância percorrida pelo carro em 
metros. ( 2 km = 2.000 m ) 
1
40
50
2000
  significa que o carro percorre 40 m enquanto 
Alexandre percorre 1 m. 
 
Razões entre grandezas de espécies diferentes 
O conceito é o seguinte: 
Para determinar a razão entre duas grandezas de 
espécies diferentes, determina-se o quociente entre 
as medidas dessas grandezas. 
 
Exemplos: 
1) Consumo médio: 
 Marlene foi de Rio Preto a Uberlândia (298 Km) no seu 
carro, realizar uma visita à sua mãe. Foram gastos 
nesse percurso 26 litros de combustível. Qual a razão 
entre a distância e o combustível consumido? O que 
significa essa razão? 
 
Solução: 
Razão = lkm /46,11
26
298
 
 
Razão = lkm /46,11 (lê-se "11,46 quilômetros por litro"). 
 
Essa razão significa que a cada litro consumido foram 
percorridos em média 11,46 km. 
 
 
 
 
2) Velocidade média: 
 
 Na mesma viagem Rio Preto/Uberlândia, Marlene fez o 
percurso (298 Km) em 4 horas. Qual a razão entre a 
medida dessas grandezas? O que significa essa razão? 
 
Solução: 
Razão = hkm /5,74
4
298
 
 
Razão = 74,5 km/h (lê-se "74,5 quilômetros por hora"). 
 
Essa razão significa que a cada hora foram percorridos 
em média 74,5 km. 
 
 
3) Densidade demográfica: 
 
 A cidade de São José do Rio Preto no último censo teve 
uma população avaliada em 367.512 habitantes. Sua 
área é de 434,10 km2. Determine a razão entre o 
número de habitantes e a área da cidade. O que 
significa essa razão? 
 
Solução: 
 
Razão = 
2/846
10,434
512.367
kmhab 
 
Razão = 846 hab/km2 (lê-se "846 habitantes por 
quilômetro quadrado") 
 
Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado 
existem em média 846 habitantes. 
 
 
4) Densidade absoluta ou massa específica: 
 
 Um cubo de concreto de 10 cm de aresta tem massa 
igual a 17,8 kg. Determine a razão entre a massa e o 
volume desse corpo. O que significa essa razão? 
 
Solução: 
 
Volume = 10 cm . 10 cm . 10 cm = 1.000cm3 
 
Massa = 17,8 kg  17.800 g 
 
Razão = 
3/8,17
1000
17800
cmg 
 
Razão = 17,8 g/cm3 (lê-se "17,8 gramas por centímetro 
cúbico"). 
 
Essa razão significa que 1000 cm3 de concreto pesa 17,8g. 
 
3.2. CONCEITO DE PROPORÇÃO 
1º Caso: Uma escola tem 800 alunos e freqüentemente 
realiza pesquisas com o intuito de saber o índice 
de satisfação de seus alunos. A última pesquisa 
realizada teve por objetivo saber qual o esporte 
preferido de seus alunos. Os números levantados 
foram os seguintes: 
 
De posse dos dados, podemos analisa-los utilizando alguns 
quocientes: 
1. total de alunos que praticam natação ...................
 160 
 total de alunos da escola ....................................
 800 
 
5
1
800
160
 
 
Constatamos, portanto, que de cada 5 alunos matriculados 
na escola, 1 pratica natação. 
 
 
2. total de alunos que praticam Basquete .................
 40 
 total de alunos que jogam futebol de salão ............
 240 
 
6
1
240
40
 
 
O número de alunos que pratica futebol de salão é 6 vezes 
maior que o número de alunos que pratica basquete. 
 
 
2º Caso: Gabriel e Inês resolvem pintar a parede da sala de 
sua casa. Eles sabem que para conseguir uma 
tonalidade rosa, devem misturar 2 litros de 
vermelho e 3 de branco. Mas esta receita só dá 
certo para pequenas dimensões a serem pintadas. 
Como a parede é muito grande, Inês está em 
dúvida se pode misturar 10 litros de vermelho 
com 15 litros de branco. E aí ? O que fazer para 
resolver este problema ? 
 
E você o que acha ? Basta misturar as tintas para ver o 
que acontece ? 
 
O problema é que se der errado o prejuízo será dobrado: o 
tempo gasto e o custo da tinta. 
Para resolver esta questão vamos usar razões para ter uma 
maior probabilidade de acerto. 
 
A receita diz  2 vermelhos com 3 brancos  a mistura 
é de 
3
2 
 
Inês quer ... 10 vermelhos com 15 brancos  a mistura é 
de 
15
10 
 
As razões 
3
2 e 
15
10 são iguais  fatorando 
15
10  chegamos 
a 
3
2 
 
A igualdade 
3
2 = 
15
10 é uma proporção entre os números 2, 
3, 10 e 15, nessa ordem. 
 
Lê-se: 2 está para 3 assim como 10 está para 15 
 
 
 
Assim: 
 
Proporção é uma igualdade entre duas razões. 
Uma Proporção envolve quatro números no mínimo: 
a, b, c e d. Nesta ordem, temos a proporção  a : 
b = c : d, sendo b e d ≠ zero 
 
 
Elementos de uma proporção 
 
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, 
nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção 
quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º 
para o 4º. Assim: 
 
 ou a :b = c :d 
 
(lê-se "a está para b assim como c está para d") 
 
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: 
 
 b e c os meios da proporção. 
 
 a e d os extremos da proporção. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 Dada a proporção , temos: 
 
 Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. 
 
 Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36 
 
 
Propriedade fundamental das proporções 
 
Observe as seguintes proporções: 
 
 
 
De modo geral, temos que: 
 
cbda
d
c
b
a
..  
 
Nasce daí a propriedadefundamental das proporções: 
 
Em toda proporção, o produto dos meios 
é igual ao produto dos extremos. 
 
 
Aplicações da propriedade fundamental 
 
 Determinação do termo desconhecido de uma 
proporção 
 
Exemplos: 
 
 Determine o valor de x na proporção: 
 9
21
3

x
 
 
Solução: Fazendo uso da Propriedade Fundamental das 
Proporções, temos que: 
 
 9 . x = 3 . 21 (aplicando a propriedade 
fundamental) 
 9 . x = 63 
 
 9
63
x 
 
 x = 7 
 
Logo, o valor de x é 7. 
 
 
 
 Determine o valor de x na proporção: 
 
 5
7
23
1



x
x
 
 
 
Solução: 
 
 5 . (x-1) = 7 . (3x+2) (aplicando a propriedade 
fundamental) 
 5x - 5 = 21x + 14 
 5x - 21x = 14 + 5 
 -16x = 19 
 16
19
x 
 
 
 
 
Quarta proporcional 
 
Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, 
denomina-se quarta proporcional desses números um 
número x tal que: 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 Determine a quarta proporcional dos números 7, 3 e 21. 
 
Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a 
proporção: 
 
 x
21
3
7

 (aplicando a propriedade fundamental) 
 
 7 . x = 3 . 21 
 7 . x = 63 
 
 7
63
x 
 
 x = 9 
 
Logo, a quarta proporcional é 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. REGRA DE TRÊS 
 
4.1. REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas 
que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. 
Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já 
conhecidos. 
 
A Regra de três simples é utilizada para resolver problemas que 
envolvem proporcionalidade entre duas grandezas. 
 
 
Passos utilizados numa regra de três simples 
 
 Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie 
em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies 
diferentes em correspondência. 
 Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente 
proporcionais. 
 Montar a proporção e resolver a equação. 
 
Exemplos: 
 
1. Em 3 minutos uma torneira despeja 6 litros de água numa caixa 
d´água. Se a caixa ficou cheia em 6 horas, qual será a capacidade 
desta caixa d´água ? 
 
 
Tempo Capacidade da Caixa 
3 minutos 6 litros 
6 h = 6 * 60 minutos  
360 minutos 
X litros 
 
 
Resolvendo, temos: 
 
 3 . x = 6 . 360 
 3 x = 2160 litros 
 
 x = 2.160/3  x = 720 litros 
 
 
 
b) Um motociclista viaja de S.J.do Rio Preto até Mirassol, à 
velocidade de 80km/h, fazendo o percurso em 10 minutos. Se a 
velocidade da moto fosse de 100km/h, em quantos minutos seria feito 
o mesmo percurso? 
 
Velocidade 
(Km/h) 
Tempo (minutos) 
80 10 min 
100 X min 
Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando 
a velocidade o tempo diminui na razão inversa. 
 
Resolução: 
 
X/10 = 80/100  x = 10*80/100  x = 800/100  x = 8 minutos 
 
 
Observe que o exercício foi montado respeitando os sentidos das setas. 
 
 
4.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
Algumas situações envolvem mais de duas grandezas. A análise e a 
resolução de problemas desta natureza podem envolver uma regra de 
três composta. 
 
Exemplo: 
 
a) 20 pintores trabalhando 6 horas por dia, pintam um edifício em 4 
dias. Quantos dias serão necessários para que 6 pintores, trabalhando 
8 horas por dia, pintem o mesmo edifício? 
 
1. Para facilitar a resolução, vamos separar as grandezas e números 
envolvidos: 
 
Quantidade de pintores: 20, 6 
Horas por dia : 6, 8 
Número de dias: 4 , x 
 
 
2. supondo que o número de horas por dia não varie: 
 
Pintores Horas p/ dia Nº de dias 
20 6 4 
6 8 x 
 
 
 
 
 Grandezas inversamente proporcionais 
 
 menos pintores, mais dias para pintar 
 
 
3. supondo que a quantidade de pintores não varie: 
 
Pintores Horas p/ dia Nº de dias 
20 6 4 
6 8 x 
 
 
 
 Grandezas inversamente proporcionais 
 
Nesta situação, o tempo (dias) é inversamente proporcional à 
quantidade de pintores e ao tempo de trabalho por dia, portanto o 
produto 20 . 6 . 4 é igual ao produto 6 . 8 . x 
 
20 . 6 . 4 = 6 . 8 . x  480 = 48 . x  x = 
480 / 48 
 
x = 10  Serão necessários 10 dias para pintar o 
edifício. 
 
 
Como foi visto, existe um método prático para se montar o 
esquema e resolver o problema. O Método Prático consiste em: 
 
 escrever em uma coluna as variáveis do mesmo tipo, ou seja, 
aquelas expressas na mesma unidade de medida. 
 Identificar aquelas que variam num mesmo sentido (grandezas 
diretamente proporcionais) e aquelas que variam em sentidos 
opostos (grandezas inversamente proporcionais), marcando-as 
com setas no mesmo sentido ou sentidos opostos, conforme o 
caso. 
 A incógnita x será obtida da forma sugerida no esquema abaixo, 
dada como exemplo de caráter geral. 
 
Imaginemos as grandezas A, B, C e D, que assumem os valores literais 
mostrados a seguir. Suponhamos, por exemplo, que a grandeza A seja 
diretamente proporcional à grandeza B, inversamente proporcional à 
grandeza C e inversamente proporcional à grandeza D. Após termos 
executado este procedimento, montamos o esquema mostrado abaixo: 
 
Neste caso, o valor da incógnita x será dado por: 
srb
dcpa
s
d
r
c
b
p
ax
..
...
... 
 
 
Observem que para as grandezas diretamente proporcionais, multiplicamos x pelos valores invertidos e 
para as grandezas inversamente proporcionais, multiplicamos pelos valores como aparecem no 
esquema. 
 
 
Exemplo: 
STA CASA – SP – Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, 
durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas 
toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas 
daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias? 
 
a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5 
 
Solução: 
Observe que a produção em toneladas é diretamente proporcional ao 
número de máquinas, ao número de dias e ao número de horas/dia. 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
Portanto, seriam produzidas 13,5 toneladas do produto, sendo D a 
alternativa correta. 
 
 
Exercícios resolvidos e propostos 
 
1. Vinte e cinco costureiras, trabalhando oito horas por dia, durante 10 
dias, fizeram 800 calças. Vinte costureiras trabalhando nove horas por 
dia durante dezoito dias, produzirão quantas calças iguais às já 
produzidas? 
 
SOLUÇÃO: 
 
Nº Costureiras dias Horas/dia calças 
25 10 8 800 
20 18 9 x 
 
Observe que o número de calças é diretamente proporcional ao número 
de costureiras, ao número de dias e ao número de horas/dia. 
 
Portanto: 
296.1
25
20
.
10
18
.
8
9
.800 x 
 
Resposta: 1296 calças 
 
 
2. Em uma escola, vinte e cinco estudantes resolvem 150 exercícios 
de matemática em doze dias, estudando 10 horas por dia. 
Quantas horas por dia, deverão estudar 30 estudantes, para resolverem 
180 exercícios em 15 dias? 
 
Solução: 
 
 
 
Estudantes dias Horas/dia Exercícios 
25 12 10 150 
30 15 x 180 
 
 
Observe que: 
Aumentando o número de horas/dia, aumenta o número de exercícios, 
diminui o número de dias necessários e diminui o número de 
estudantes necessárias. 
 
Portanto: 
 
 
 X = 10 * 180 * 12 * 25 / 150 * 15 * 30  x = 
540000/67500 
 
 
 
Resposta: 8 h 
 
 
 
3. Certo trabalho é executado por 15 operários, em 12 dias de 10 
horas. Se três operários forem demitidos do serviço, quantos dias de 8 
horas deverão trabalhar os demais, para realizar o dobro do trabalho 
anterior? 
 
Solução: 
 
Aumentando o número de dias, diminui o número de horas/dia 
necessários e diminui o número de operários necessários. Podemos 
também dizer que para realizar o dobro do trabalho, o número dedias 
deve.aumentar. 
 
Portanto, podemos montar o seguinte esquema: 
 
 
 
Operários dias Horas/dia Trabalho 
15 12 10 T 
12 x 8 2 T 
 
 
Logo, 
 
5,37
2
.
8
10
.
12
15
.12 
T
T
x 
 
 
Resposta: 37,5 dias 
 
 
Agora resolva estes dois: 
 
1 - Em uma residência, no mês de fevereiro de um ano não bissexto, 
ficaram acesas, em média, 16 lâmpadas elétricas durante 5 horas por 
dia e houve uma despesa de R$ 14,00. Qual foi a despesa em março, 
quando 20 lâmpadas iguais às anteriores ficaram acesas durante 4 
horas por dia, supondo-se que a tarifa de energia não teve aumento? 
 
Resposta : R$15,50 
 
 
 
 
2 - Um livro está impresso em 285 páginas de 34 linhas cada uma com 
56 letras em cada linha. Quantas páginas seriam necessárias para 
reimprimir esse livro com 38 linhas por página, cada uma com 60 
letras? 
 
Resposta: 238 páginas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. PORCENTAGENS 
 
Toda fração de denominador 100, representa uma 
porcentagem, como diz o próprio nome, por cem. 
 
Exemplo: 
 
 %36100
36
%,5
100
5
%,12
100
12
 
 
 
Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima 
significa por cento. 
 
Se repararmos em nossa volta, vamos perceber que este 
símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, 
revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc. 
 
 
Exemplos: 
 
 A cesta básica teve um reajuste de 6,2 % no último 
bimestre; 
 
 Os rendimentos da caderneta de poupança que 
vencem hoje, são de 3,1 %; 
 
 A taxa de desemprego no Brasil cresceu 19% neste 
ano. 
 
 Desconto de 25% nas compras à vista. 
 
 
Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser 
representada na forma de números decimais. Vejam os 
exemplos: 
 
 
 
008,0
100
8
%8,081,0
100
81
%8112,0
100
12
%12 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalhando com Porcentagem 
 
Vamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens. 
 
Exemplos: 
 
1. Uma geladeira custa 800 reais. Pagando à vista você 
ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar 
esta geladeira à vista? 
 
100
10
%10  
 
(primeiro representamos na forma de fração 
decimal) 
 
10% de 100  10% x 100  80100
8000
800
100
10
x 
 
800 – 80 = 720 
 
Logo, pagarei 720 reais. 
 
 
2. Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. 
Determine quantos metros de mangueira Pedro usou. 
 
32% =
100
32
 
 
32
100
3200
100
100
32
100%32  xde 
 
Logo, Pedro gastou 32 m de mangueira. 
 
 
3. Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto 
devo vende-la, se quero obter um lucro de 25% sobre o 
preço de custo. 
 
25% =
100
25
 
 
 
500
100
50000
2000
100
25
2000%25  xde 
 
O preço de venda é o preço de custo somado com o lucro. 
 
Então, 2000 + 500 = 2500 reais. 
 
Logo, devo vender a mercadoria por 2500 reais. 
 
 
 
 
4. Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 
000 reais. Quantos por cento eu obtive de lucro? 
 
Lucro: 25 000 – 20 000 = 5 000 ( preço de venda menos 
o preço de custo) 
 
 
%25
100
25
25,0
4
1
20000
5000
 
 
 
 (resultado da divisão do lucro pelo preço de custo) 
 
 
5. O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, 
passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preço 
desta casa antes deste aumento? 
 
Porcentagem Preço 
120 35 000 
100 x 
 
67,29166
120
3500000
350000012035000100120  xxxxx
 
 
Logo, o preço anterior era R$ 29.166,67 
 
6. Máximo divisor comum e Mínimo múltiplo comum 
 
 
Atualmente a definição de Máximo Divisor Comum (MDC) pode ser assim 
formalizada: 
Sejam a, b e c números inteiros não nulos, dizemos que c é um divisor comum de 
a e b se c divide a (escrevemos c|a) e c divide b (c|b). Chamaremos D(a,b) o 
conjunto de todos os divisores comum de a e b. 
Chama-se Máximo Divisor Comum de a e b o maior de seus divisores comuns, 
isto é, mdc(a,b) = max {m : m pertença ao conjunto D(a,b)}. 
Como exemplo, vamos calcular o MDC dos números 12 e 18. 
Incialmente decomporemos estes números em seus fatores primos (para 
encontrar os divisores): 
 
 
Agora podemos exibir o conjunto dos divisores D(12,18) ={2,3,6}, pois 2|12 e 2|18, 
3|12 e 
 
 
3|18, 6|12 e 6|18. 
Logo pela definição, temos que 
mdc(12,18) = max{i: i pertença à D(12,18)} = max{2,3,6} = 6. 
 
De modo análogo podemos formalizar o conceito de Mínimo Múltiplo Comum 
(MMC): 
Sejam a, b e c números inteiros não nulos. Dizemos que c é um múltiplo comum 
de a e b se a divide c (a|c) e b divide c (b|c). Chamaremos M(a,b) o conjunto de 
todos os múltiplos comuns positivos de a e b. 
Chama-se Mínimo Múltiplo Comum de a e b, o menor de seus múltiplos positivos 
comuns, isto é, mmc(a, b) = mim {m : m pertença ao conjunto M(a,b)}. 
Como exemplo, vamos calcular o MMC dos números 12 e 18. 
Incialmente decomporemos estes números em seus fatores primos (para 
encontrar os divisores): 
 
 
Agora podemos exibir o conjunto M(12, 18) ={36}, pois 12 |36 e 18 |36. 
Logo pela definição, temos que 
mmc(12, 18) = mim {i: i pertença à M(12, 18)} = min{12, 18} = 36. 
 
Ensino Fundamental: Exercícios Resolvidos de MDC, MMC e Divisores 
 
R[n] = raiz quadrada de z (z>0) e R³[z] = raiz cúbica de z. 
 
1. Um conjunto possui 18 elementos. Quais as possibilidades existentes 
para se dividir esse conjunto em grupos com quantidades iguais de 
elementos? 
Resposta: As possibilidades estão apresentadas na tabela abaixo: 
1 grupo com 18 elementos 
2 grupos com 9 elementos em cada 
grupo 
3 grupos com 6 elementos em cada 
grupo 
6 grupos com 3 elementos em cada 
grupo 
9 grupos com 2 elementos em cada 
grupo 
18 grupos com 1 elemento em cada 
grupo 
O conjunto dos divisores de 18 é D(18)={1,2,3,6,9,18}. 
 
2. De que forma explícita podemos escrever o conjunto de 
todos os múltiplos de um número natural n? 
Resposta: O conjunto dos números naturais é 
N={0,1,2,3,4,5,...}. Se n é um número para o qual queremos 
obter os múltiplos, então a multiplicação de n por cada 
elemento de N será: M(n)={0,n,2n,3n,4n,...}. 
 
3. Quantos elementos possui e como é escrito o conjunto dos 
múltiplos do elemento 0? 
Resposta: O conjunto de múltiplos de 0 possui apenas um 
elemento e é denotado por M(0)={0}, pois 
M(0)={0x0,0x1,0x2,0x3,0x4,0x5,...}. 
 
4. Maria possui 3 tias. No aniversário de Maria, ela recebeu 2 
presentes de cada tia. Quantos presentes Maria ganhou no 
total? 
Resposta: No total, Maria ganhou 6 presentes. 
 
5. Para obter os divisores de um número natural a, basta 
saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm 
por resultado o número a. Com base nessa afirmação, 
obtenha o conjunto de divisores de cada um dos números: 
13, 18. 25, 32 e 60. 
Resposta: D(13)={1,13}, D(18)={1,2,3,6,9,18}, 
D(25)={1,5,25}, D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} e 
D(32)={1,2,4,8,16,32}. Obtivemos apenas alguns números 
naturais que, multiplicados entre si, têm por resultado 32: 
1×32=32; 2×16=32; 4×8=32, 8×4=32, 16×2=32, 32×1=32. 
 
6. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é 
divisor de todos os números? 
Resposta: O número 1, pois se dividirmos um número 
natural n por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 
maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 
estudante, etc... 
 
7. João tinha 20 bolinhas de gude e queria distribuí-las entre 
ele e 3 amigos de modo que cada um ficasse com um 
número par de bolinhas e nenhum deles ficasse com o 
mesmo número que o outro. Com quantas bolinhas ficou 
cada menino? 
Resposta: Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, 
sobrarão 18 bolinhas para os outros 3 meninos. Se o 
segundo receber 4, sobrarão 14 bolinhas para os outros 
dois meninos. O terceiro menino receberá 6 bolinhas e o 
quarto receberá 8 bolinhas. 
 
8. Quando possível, complete o espaço entre parênteses com 
números naturais. 
9. 5×( ) = 20 
10. ()×3 = 18 
11. 4×( ) = 10 
12. ( )÷2 = 8 
13. 3÷( ) = 4 
14. ( )÷3 = 4 
Resposta: Não existe número natural que multiplicado por 4 
produza 10 e não existe número natural que divide o 
número 3 e tem por resultado o número 4. 
 
15. O número 5 é divisor do número 16? Justifique a sua 
resposta. 
Resposta: Não, porque não existe qualquer número natural 
que multiplicado por 5 seja igual a 16. 
 
16. Na Páscoa, um comerciante de Ovos de Páscoa fez a 
seguinte promoção: 
17. 1 ovo = R$ 6,00 
18. 2 ovos = R$ 11,00 
19. 3 ovos = R$ 15,00 
20. 4 ovos = R$ 18,00 
Um cliente realizou uma compra sob certas circunstâncias. 
Quantos ele pagou pela compra de 11 ovos? 
Quantos ele pagaria se comprasse 177 ovos? 
Sem promoção, quanto ele pagaria 
 a mais pela compra dos 177 ovos? 
Resposta: Para comprar 11 ovos ele dividiu 11 por 4 para 
obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão 
será 3, assim ele usou a decomposição: 11=4+4+3. 
Custo=R$18,00+R$18,00+R$15,00=R$51,00. 
Para comprar 177 ovos, ele deve dividir 177 por 4 para 
obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão 
será 1, assim: 177=4×44+1 
Custo=44×R$18,00+R$6,00=R$798,00. 
 
21. Conhecendo um método para identificar os números 
primos, verifique quais dos seguintes números são primos: 
22. (a) 49 
23. (b) 37 
24. (c) 12 
25. (d) 11 
Resposta: 37 e 11 são primos porque seus únicos divisores 
são o número 1 e eles mesmos. 49 não é primo porque é 
múltiplo de 7. 12 não é primo porque é múltiplo de 2, 3, 4 e 
6. 
 
26. Qual é o menor número primo com dois algarismos? 
Resposta: O número 11. 
 
27. Qual é o menor número primo com dois algarismos 
diferentes? 
Resposta: O número 13. 
 
28. Qual é o menor número primo com três algarismos 
diferentes? 
Resposta: O número 103. 
 
29. Qual é o valor do número natural b, tal que 64=b×b×b? 
Resposta: R³[64]=4, pois 64=b×b×b, ou seja, 64=b³. Esta é 
uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente 
é 3. O número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 
é o número b=4. 
 
30. Tente obter justificativas para garantir que valem as 
igualdades com potências e radicais. 
R[9]=3 2³=8 R³[8]=2 R[16]=4 5²=25 
31. Exiba todos os números primos existentes entre 10 e 20? 
Resposta: 11, 13, 17 e 19. 
 
32. Escreva três números diferentes cujos únicos fatores 
primos são os números 2 e 3. 
Resposta: 18, 12, ... A resposta pode ser muito variada. 
Alguns exemplos estão na justificativa abaixo. Para 
obtermos números que possuem apenas os números 2 e 3 
como fatores, não precisamos escolher um número e 
fatorá-lo. O meio mais rápido de encontrar um número que 
possui por únicos fatores os números 2 e 3 é "criá-lo" 
multiplicando 2 e 3 quantas vezes desejarmos. Por 
exemplo: 2×2×3=12, 3×3×2=18, 2×2×3×3×3=108. 
 
33. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. 
Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no quadrado? 
 
 
 
34. Resposta: 9 quadradinhos. 
35. 
36. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3². 
Resposta: 3²=9. 
 
37. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um 
centímetro cúbico, precisaremos para construir um cubo 
com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura? 
 
Resposta: 27 cubinhos. 
 
38. Qual o valor de 33 (3 elevado ao cubo)? 
Resposta: 3³=27. 
7. Média aritmética e média ponderada 
Média aritmética: Seja uma coleção formada por n números 
racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média aritmética entre esses n números 
é a soma dos mesmos dividida por n, isto é: 
A= 
x1 + x2 + x3 +...+ xn 
 
n 
 
 
Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades: 
12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33 
então a idade média do grupo pode ser calculada pela média 
aritmética: 
A= 
12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33 
 
9 
= 
352 
 
9 
= 39,11 
 
o que significa que a idade média está próxima de 39 anos. 
Média aritmética ponderada: Consideremos uma coleção formada 
por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn, de forma que cada um 
esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, 
..., pn. A média aritmética ponderada desses n números é a soma 
dos produtos de cada um por seu peso, dividida por n, isto é: 
P= 
x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 +...+ xn pn 
 
p1 + p2 + p3 +...+ pn 
 
 
Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha (com salário por 
dia), em uma empresa é formado por sub-grupos com as seguintes 
características: 
12 ganham R$ 50,00 
10 ganham R$ 60,00 
20 ganham R$ 25,00 
15 ganham R$ 90,00 
 7 ganham R$ 120,00 
Para calcular a média salarial (por dia) de todo o grupo devemos 
usar a média aritmética ponderada: 
P= 
50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7 
 
12 + 10 + 20 + 15 + 7 
= 
3890 
 
64 
=60,78 
 
 
 
 
8. EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU 
 
 COM UMA INCÓGNITA (VARIÁVEL) 
 
Introdução 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que 
demonstra uma relação de igualdade. É do tipo ax + b = 
0, com (a; b  R e a ≠ 0). 
 
Exemplos: 
 
2x + 8 = 0 5x - 4 = 6x + 8 
 3a - b - c = 0 
 
Não são equações: 
 
3 + 9 = 5 + 8 (Não é uma sentença aberta, tampouco 
uma igualdade) 
x - 1 < 4 (Não é igualdade) 
3 ≠ -6 (não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
 
A equação geral do primeiro grau: ax+b = 0 
 
onde a e b são números conhecidos e a > 0, resolve-se de 
maneira simples: 
 
subtraindo b dos dois lados, obtemos: 
 
ax = -b 
 
dividindo agora por a (dos dois lados), temos: 
 
a
b
x  
 
 
Para exemplificação, tomemos a equação 5x – 3 = 2x – 6 
 
A letra x (neste caso) é a incógnita da equação. 
Incógnita tem o significado de "desconhecida", “o que se 
quer achar”. 
 
Tudo o que precede o sinal da igualdade ( = ) denomina-se 
1º membro, e o que sucede, 2º membro. 
 

MembroMembro
xx
º2º1
6235 
 
 
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da 
equação. 
 
5x -3 2x -6  termos da equação 
 
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser 
escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a 
diferente de zero. 
 
 
Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma 
Equação 
 
Considere o conjunto C = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x 
+ 2 = 5. 
 
Observe que o número 3 do conjunto C é denominado 
conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o 
conjunto verdade dessa mesma equação. 
 
Outro exemplo: 
 
Encontre os números inteiros que solucionem a equação x² 
= 49 
 
O conjunto dos números inteiros é o conjunto universo 
da equação. 
 
Os números -7 e 7, que satisfazem a equação, formam o 
conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-7, 
7}. 
 
 
Concluímos então que: 
 
 
Conjunto Universo  é o conjunto que engloba todos os 
valores que a variável pode 
assumir. É indicado por U. 
 
Conjunto verdade  é o conjunto dos valores de U, que 
tornam verdadeira a equação . 
Indica-se por V. 
 
Observações: 
 
 O conjunto verdade (V) é subconjunto do conjunto universo 
(U). 
 
V ⊂ U 
 
 Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar 
como conjunto universo o conjunto dos números racionais. 
 
 
 
 
 
 
Raízes de uma equação 
 
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são 
chamados raízes da equação. 
 
 
 
Como forma de verificação da exatidão da solução de uma 
equação, devemos respeitar a seguinte ordem: 
 
 Substituir a incógnita por esse número. 
 Determinar o valor de cada membro da equação. 
 Verificar a igualdade  sendo uma sentença 
verdadeira, o número considerado é raiz da equação. 
 
Exemplo: 
 
Verifique quais dos elementos do conjunto universo são 
raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o 
conjunto verdade. 
 
 Resolva a equação x - 4 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3, 
4, 5, 6}. 
 
Para x = 0 na equação x - 4 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 
= 0. (F) 
Para x = 1 na equação x - 4 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 
= 0. (F) 
Para x = 2 na equação x - 4 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 
0. (V) 
Para x = 3 na equação x - 4 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 
0.(F) 
Para x = 4 na equação x - 4 = 0 temos: 4 - 2 = 0 => 2 = 
0. (F) 
Para x = 5 na equação x - 4 = 0 temos: 5 - 2 = 0 => 3 = 
0. (F) 
Para x = 6 na equação x - 4 = 0 temos: 6 - 2 = 0 => 4 = 
0. (F) 
 
Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = 
{2}. 
 
 
Resolvendo uma equação 
 
A solução de uma equação consiste em realizar uma série 
de operações que nos conduza a equações equivalentes 
cada vez mais simples e que nos permitam, finalmente, 
determinar os elementos do conjunto verdade ou as 
raízes da equação. 
 
Resumindo:  Resolver uma equação é determinar o 
seu conjunto verdade, dentro do conjunto 
universo considerado. 
 
Propriedades 
 
1ª. Propriedade aditiva 
 
Adicionando ou subtraindo aos dois membros de uma 
equação um mesmo número, obteremos uma nova 
equação, equivalente à equação dada. 
 
X – 1 = 3 
 
Adicionando 2 a cada um dos membros: 
X – 1 + 2 = 3 + 2  x + 1 = 5  x = 5 – 1 
  x = 4  V = {4} 
 
Subtraindo 1 de cada um dos seus membros: 
X – 1 - 1 = 3 - 1  x - 2 = 2  x = 2 + 2  x 
= 4  V = {4} 
 
 
 
2ª. Propriedade Multiplicativa 
 
Multiplicando ou dividindo os dois membros de uma 
equação por um mesmo número, diferente de zero, 
obteremos uma nova equação, equivalente à equação dada. 
 
X – 1 = 2 
 
Multiplicando os dois membros por 2: 
(X – 1) . 2 = 2 . 2  2x - 2 = 4  2x = 4 + 2 
  x = 6/2  
x = 3  V = {3} 
 
Dividindo os dois membros por 2: 
(X – 1) ÷ 2 = 2 ÷ 2  x - 1 = 1 . 2  x = 2 + 1 
  x = 3  
V = {3} 
 
 
Tipos de Equação do 1º grau 
 
Uma equação do 1º grau pode ser: 
 
 possível e determinada: 
 
se a ≠ 0 e b ≠ 0  admite uma raiz diferente de 
zero 
 
se a ≠ 0 e b = 0  admite uma raiz sempre igual 
a zero 
 
Exemplo: 
Determinar o valor de S para que a equação (S – 1).x 
= 2 tenha uma solução. 
 
X = 2 / (S – 1)  impondo a condição S – 1 ≠ 
0, temos  S ≠ 1 
 
Isto significa que qualquer valor de S, exceto 1, será 
válido como solução da equação. 
 
 
 possível e indeterminada: 
 
se a = 0 e b = 0  a equação admite infinitos 
valores como solução. V = R 
 
Exemplo: 
Determinar s e t para que a equação 2 s ( x – 1) = 
t + 2 seja indeterminada. 
 
Uma equação do 1º grau é possível e indeterminada se 
a = 0 e b = 0. Portanto, fazendo as devidas 
substituições, temos: 
 
2s ( x – 1) = t + 2  2sx – 2 s = t + 2 
 2sx = t + 2 + 2s 
 
Lembremo-nos da forma básica da equação: a x + b 
= 0 
Então: a = 2s e b = (- t – 2 – 2s) 
 
Para solução da questão, temos que fazer a = 0 e b = 
0 
2s = 0  s = 0 e 
 
t + 2 + 2s = 0 ( multiplicando por – 1)  t = 0 – 
2 – 2s  para s = 0, 
 
t = -2. Portanto, a resposta é: V = {0;-2} 
 
 
 impossível: 
 
se a = 0 e b ≠ 0  o conjunto solução será vazio.
 S = { } 
 
Exemplo: 
Determine os valores de m e n para que a equação mx 
= n seja impossível. 
 
Uma equação do 1º grau é impossível se a = 0 e b 
≠ 0 
 
mx = n  m = 0  n ≠ 0 
 
Ou seja, não importa o valor de b, sendo o valor de a 
igual a zero, nesta questão, a equação será impossível, 
pois não há como dividir um número por zero. ( x = n 
/ 0 ?????) 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. O triplo de um número somado a 8 é igual a 20. Qual o 
número ? 
Solução: 
Número a ser encontrado  x 
Triplo do número  3x 
Somado a 8  3x + 8 
É igual a 20  3x + 8 = 20  Pronto, temos 
a equação! 
 
Basta, agora, resolve-la: 3x + 8 = 20  3x = 
20 – 8 
 3x = 12  x = 12 / 3 
 x = 4 
R.: o número procurado é 4. 
 
 
2. A soma de dois números consecutivos é 25. Quais são 
esses números ? 
Solução: 
Menor número  x 
Número consecutivo  x + 1 
A soma dos 2 números  x + (x + 1) 
É igual a 25  x + (x + 1) = 25  Eis a 
equação! 
 
Resolvendo: x + (x + 1) = 25  2x + 1 = 25 
 2x = 25 – 1 
 2x = 24  x = 24 / 2  x 
= 12 
 
Tendo encontrado x (o primeiro número), o outro, x + 1, 
será 12 + 1 = 13. 
R.: os números procurados são 12 e 13. 
 
 
9. Análise Combinatória 
 
Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que 
possibilita a construção de grupos diferentes formados por um 
número finito de elementos de um conjunto sob certas 
circunstâncias. 
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m 
elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p 
elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m. 
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais 
de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com 
repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais 
agrupamentos. 
Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: 
arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os 
mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma 
dúbia! 
 
Arranjos 
São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que 
os p elementos sejam distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. 
Os arranjos podem ser simples ou com repetição. 
Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em 
cada grupo de p elementos. 
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)! 
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12. 
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 
4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a 
repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem 
trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: 
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC} 
Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer 
repetidos em cada grupo de p elementos. 
Fórmula: Ar(m,p) = mp. 
Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16. 
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição 
desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde 
aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os 
agrupamentos estão no conjunto: 
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD} 
Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo 
de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita 
acerca de alguns elementos. 
Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1) 
Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-
2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72. 
Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto 
{A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no 
subconjunto {A,B,C}? 
Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto 
escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será 
formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 
grupos que estão no conjunto: 
PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB} 
Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão 
no conjunto: 
PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF} 
Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela 
junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do 
conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG. 
 
Permutações 
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que 
os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As 
permutações podem ser simples, com repetição ou circulares. 
Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos 
distintos. 
Fórmula: Ps(m) = m!. 
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6. 
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 
elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de 
qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem 
trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: 
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA} 
Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto 
C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 
iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que 
m1+m2+m3+...+mn=m. 
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então 
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn) 
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as 
mesmas letras da palavra original trocadas de posição. 
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: 
Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15. 
Exemplo:Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da 
palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes 
e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 
elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos 
são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C 
aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos 
estão no conjunto: 
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA, 
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA, 
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR} 
Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos 
com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo. 
Fórmula: Pc(m)=(m-1)! 
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6 
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De 
quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a 
uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem 
que haja repetição das posições? 
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com 
estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto: 
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC, 
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA, 
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA} 
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que: 
ABCD=BCDA=CDAB=DABC 
ABDC=BDCA=DCAB=CABD 
ACBD=CBDA=BDAC=DACB 
ACDB=CDBA=DBAC=BACD 
ADBC=DBCA=BCAD=CADB 
ADCB=DCBA=CBAD=BADC 
Existem somente 6 grupos distintos, dados por: 
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB} 
 
Combinações 
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma 
que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie. 
Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento 
em cada grupo de p elementos. 
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!] 
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6 
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples 
desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter 
a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem 
trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: 
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD} 
Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer 
repetidos em cada grupo até p vezes. 
Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p) 
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10 
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com 
repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm 
todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 
elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem 
trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 
2 elementos formam um conjunto com 16 elementos: 
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD} 
mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir 
deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, 
AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações 
com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são: 
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD} 
 
Regras gerais sobre a Análise Combinatória 
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis 
mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a 
regra da soma e a regra do produto. 
Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode 
ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido 
de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará 
de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto 
é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma 
escolha do outro. 
Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H 
pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma 
dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n 
formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser 
realizada de m.n formas. 
Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem 
que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira 
r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda 
s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De 
quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma 
extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta? 
 
É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n 
segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim 
teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter 
também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em 
s, teremos m.n segmentos possíveis. 
 
Número de Arranjos simples 
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras 
diferentes poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? 
Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m 
elementos tomados p a p. Construiremos uma sequência com os m 
elementos de C. 
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm 
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação 
com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha. 
Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m 
elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha 
tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C. 
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm 
Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou 
no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 
elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento 
dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na 
segunda fase é o (m-1)-ésimo. 
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm 
Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a 
próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento 
como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser 
visualizado como: 
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm 
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 
elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo 
elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha. 
Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos 
tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na 
segunda coluna da tabela abaixo: 
Retirada Número de possibilidades
1 m 
2 m-1 
3 m-2 
... ... 
p m-p+1 
No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1) 
Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, 
por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por: 
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1) 
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e 
quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos 
de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é: 
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE, 
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO} 
A solução numérica é A(5,2)=5×4=20. 
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e 
quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos 
de 2 elementos (não necessariamente diferentes)? 
Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela 
à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir 
que há 5x5=25 possibilidades. 
O conjunto solução é: 
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II, 
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU} 
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema 
brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no 
final? 
XYZ-1234 
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que 
podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser 
dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto. 
 
Número de Permutações simples 
Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o 
número de permutações com m elementos distintos de um conjunto 
C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A 
tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá 
obter o número de permutações de m elementos: 
Retirada Número de possibilidades 
1 m 
2 m-1 
... ... 
p m-p+1 
... ... 
m-2 3 
m-1 2 
m 1 
No.de permutaçõesm(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1
Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) 
e a expressão para seu cálculo será dada por: 
P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1 
Emfunção da forma como construímos o processo, podemos 
escrever: 
A(m,m) = P(m) 
Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas 
ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m 
elementos e escrever simplesmente: 
P(m) = m! 
Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: 
fatorial de m, onde m é um número natural. 
Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido 
origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a 
definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 
e para isto podemos escrever: 
0!=1 
Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza 
o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros 
negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1. 
O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de 
uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do 
sinal de exclamação: 
(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1 
Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e 
C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o 
conjunto solução é: 
P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA} 
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da 
palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto 
solução é: 
P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR, 
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM, 
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA} 
 
Número de Combinações simples 
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de 
arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, 
mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas 
coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em 
ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal 
(H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da 
posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher 
duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para 
evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma 
quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de 
combinação. 
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m 
elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as 
coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já 
apareceram em outras coleções com o mesmo número p de 
elementos. 
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode 
acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma 
ordem diferente. 
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, 
existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, 
para obter a combinação de m elementos tomados p a p, 
deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o 
número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja: 
C(m,p) = A(m,p) / p! 
Como 
A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1) 
então: 
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p! 
que pode ser reescrito 
C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p] 
Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por 
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1 
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração 
ficará: 
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m! 
e o denominador ficará: 
p! (m-p)! 
Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos 
tomados p a p, será uma das seguintes: 
 
 
Número de arranjos com repetição 
Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p 
elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. 
Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição 
de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m 
possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número 
total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é 
dado por mp. Indicamos isto por: 
Arep(m,p) = mp 
 
Número de permutações com repetição 
Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. 
Coloque estas bolas em uma ordem determinada. Iremos obter o 
número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10 
compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. 
Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que 
dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos 
compartimentos restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e 
finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades são 
C(10-3-2,5). 
O número total de possibilidades pode ser calculado como: 
 
Tal metodologia pode ser generalizada. 
 
Número de combinações com repetição 
Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos 
um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os 
elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com 
repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número 
destas combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior 
do que o número m de elementos. 
Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), 
(b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos de combinações com 
repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6. 
Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e 
vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas 
vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, 
enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das 
suas diferenças 
(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø 
(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø# 
(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ 
Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para 
cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um 
símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo 
exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios 
são prenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. 
Assim: 
Crep(5,6) = C(5+6-1,6) 
Generalizando isto, podemos mostrar que: 
Crep(m,p) = C(m+p-1,p) 
 
Propriedades das combinações 
O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a 
taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha. 
Taxas complementares 
C(m,p)=C(m,m-p) 
Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66. 
 
Relação do triângulo de Pascal 
C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1) 
Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605 
 
Número Binomial 
O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado 
antes por C(m,p) é chamado Coeficiente Binomial ou número 
binomial, denotado na literatura científica como: 
 
Exemplo: C(8,2)=28. 
Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número 
binomial ao conjunto dos números reais e podemos calcular o 
número binomial de qualquer número real r que seja diferente de um 
número inteiro negativo, tomado a uma taxa inteira p, somente que, 
neste caso, não podemos mais utilizar a notação de combinação 
C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p são números 
inteiros não negativos. Como Pi=3,1415926535..., então: 
 
A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais 
cálculos são úteis em Probabilidade e Estatística. 
 
Teorema Binomial 
Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, 
escreveremos mp no lugar de C(m,p). Então: 
(a+b)m = am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm 
Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são: 
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 
(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 
(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4 
(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5 
A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática. 
Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por: 
P(m): (a+b)m=am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm 
P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b 
Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1: 
P(k): (a+b)k=ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk 
para provar a propriedade P(k+1). 
Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à 
conclusão que: 
(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb+(k+1)2ak-1b2+...+(k+1)(k+1)bk+1 
(a+b)k+1= (a+b).(a+b)k 
= (a+b).[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk] 
= a.[a
k+k1ak-1b+k2ak-2 b2+k3ak-3b3+...+kkbk] 
+b.[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kk bk] 
= a
k+1+k1akb+k2ak-1b2+k3ak-2b3+...+kkabk