Sistemas de Forças - Slide

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Sistemas de Forças 
Prof. Clésio 
INTRODUÇÃO 
• Análise dos efeitos das forças que atuam em estruturas e 
equipamentos de engenharia. 
Força
• Ação de um corpo sobre o outro, é uma grandeza vetorial. 
• Sistema de forças, combinação através da lei do paralelogramo.
• Ação da tração no cabo sobre o suporte, fig 2/1ª. 
Fig. 2/1
• Vetor P de módulo P.
• O efeito sobre o suporte depende de p e o 
ângulo θ.
• E da posição do ponto de aplicação A.
• Qualquer variação de um dos três parâmetros 
altera a ação sobre o suporte A. 
• Força deve ser especificada pelo módulo, direção 
e ponto de aplicação (vetor fixo).
Efeitos Externos e Internos.
• Exemplo da fig. 2/1 a.
• Efeitos de P ao suporte são as forças reativas, exercidas no suporte 
pela e pelos parafusos.
• Forças externas podem ser aplicadas ou reativas.
• Efeitos das forças (P) internas sobre o suporte são as forças e 
deformações resultantes distribuídas por o todo o material do 
suporte.
Principio da Transmissibilidade.
• A força P pode ser aplicada em qualquer ponto da placa do suporte 
em A , B ou qualquer outro ponto sem alterar os efeitos de P sobre a 
placa, fig 2/2.
Fig. 2/2
Efeitos externos são a força 
exercida na placa pelo mancal 
de suporte em O e a força exercida
na placa pelo suporte com 
rolamento em C. 
Classificação das forças 
• Força de contato ou de corpo
• Contato físico
• Corpo dentro de um campo de forças(gravitacional, elétrico, 
magnético)
• Concentradas ou distribuídas
• SI Newton (N), no LMT kgf
Ação e reação
• 3ª Lei de Newton toda força de ação corresponde a uma força de 
reação de igual intensidade e sentido oposto
Forças concorrentes
• Suas linhas de ação se interceptam em um ponto
• Forças F1 e F2 na Fig. 2/3 a.
• Fig. 2/3 b, princípio da transmissibilidade, forças aplicadas em pontos 
diferentes.
• Fig. 2/3 c, lei do triângulo, movendo a linha de ação de uma das 
forças.
• Fig. 2/3 d, deve ser evitada perde-se a alinha de ação correta, pois R
não passa por A. 
• Matematicamente 
Fig. 2/3
Componentes vetoriais 
• Frequente há a necessidade de se substituir a força por suas 
componentes vetoriais em direções convenientes para determinada 
aplicação
• Relação de uma força com as componentes vetoriais ao longo dos 
eixos dados, não deve ser confundidas com as projeções 
perpendiculares, fig. 2/3 e 
Um Caso Especial de Adição de Vetorial
• Forças F1 e F2 paralelas, conforme fig. 2/4 
• Duas forças iguais colineares e opostas F, não produz efeito externo 
sobre o corpo.
• F1 e F gera R1, F2 e –F gera R2 → R1 +R2 = R
Fig. 2/4
SITEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS
Componentes Retangulares 
• Decomposição bidimensional de um vetor mais comum –
retangulares (regra do paralelogramo) fig. 2/5 
F = Fx + Fy
Fx e Fy componentes 
vetoriais de F nas direções 
x e y.
Fx = Fxi e Fy = Fyj
Fx e Fy componentes esca-
lares x e y de F
fig. 2/5
• Componentes escalares podem ser positivos ou negativos 
dependendo do quadrante para qual F aponta.
Convenções para Descrever os Componentes de um Vetor
• │F│ F - intensidade (quantidade), sempre positivo
• Componentes escalares em itálico sem negrito – exemplos 2/1 e 2/3
• Representação das componentes em linhas tracejadas e as forças por
linhas cheias fig. 2/5
• Problemas reais normalmente estão sem os eixos de referência
• Cabe ao estudante escolher de acordo com a conveniência
• Varia conforme a geometria e as direções do problema
Determinando as Componentes de uma Força
• As dimensões nem sempre são dadas nas direções horizontal e 
vertical
• Os ângulos não precisam ser medidos no sentido anti-horário a partir 
do eixo x
• A origem das coordenadas não precisa estar na linha de ação das 
forças 
• Esboço cuidadoso é sempre interessante e ajuda a tornar ageometria 
mais clara
• A fig. 2/7 mostra a linha de ação de F2 deslocada de O para a 
extremidade de F1 (Regra do triângulo)
Fig. 2/7
• O termo ƩFx, significa a soma algébrica das componentes escalares 
em x
• Ex: 2/1 Pag.22 até Ex: 2/4 Pag.24 e problemas Pag. 25
Momento
• Tendência de um corpo girar em relação a um eixo devido a aplicação 
de uma força 
• Qualquer linha que não intercepte e não seja paralela, a linha de ação 
da força → tendência a rotação M (torque)
• Ex – Fig . 2/8 a.
Momento em torno de um Ponto
• Fig. 2/8 b , corpo bidimensional submetido a 
uma força F atuando em seu plano
• Módulo do momento, é proporcional ao mó-
dulo da força e a intensidade do braço de 
alavanca perpendicular a ação da força
• O momento M é um vetor, perpendicular ao 
plano do corpo, seu sentido depende da dire-
ção da força F, tende a girar o corpo
• Regra da mão direita, fig. 2/8 c.
Fig. 2/8
• SI ( N.m) 
• Sistema gravitacional (LFT) , (kgf.m)
• Fig. 2/8 d. todas as forças atuando em um plano.
• Direção, (+) sentido anti-horário, (-) sentido horário
Produto Vetorial 
• Problemas bidimensionais e tridimensionais, conceito vetorial para o 
cálculo do momento M 
• Fig. 2/8 b, momento de F em relação ao ponto A
• r é um vetor de posição, do ponto de referencia A a linha de ação da 
força F
• O módulo do momento é dado por;
M = Fr.sen.α = F. d
• Sequência rx F
• Ex: 2/5 Pag. 31 
Teorema de Varignon
• O momento de uma força em relação a qualquer ponto, é o 
somatório dos momentos dos componentes da força em relação ao 
mesmo ponto.
• Ex fig. 2/9 a, P e Q componentes não retangulares de R
Fig. 2/9
R = P + Q → r x R = r x (P+Q)
Mo = r x R = r x P + r x Q
Ex : 2/5 e 2/6
BINÁRIO
• Momento provocado por duas forças não colineares iguais e opostas
• Duas forças iguais e opostas F e – F, separadas por uma distância d, fig. 
2/10 a 
• Soma em todas as direções é zero
• Tendência de rotação 
• Momento combinado de duas forças em relação a um eixo normal a seu 
plano e passando por um ponto qualquer em seu plano O
M = F.(a+d) – F.a
M = F.d
O modulo é independente da distância a O 
Fig. 2/10
Método da Álgebra Vetorial 
• Produto Vetorial, fig. 2/10 b
• rA e rB são vetores posição de O até os pontos arbitrários A e B
• rA – rB = r
• M pode ser representado por vetor livre, fig. 2/10 c, sentido convenção, 
fig.2/10 d
Binários Equivalentes 
• Mudar os valores de F e d não altera o binário, fig. 2/11 mostra quatro 
diferentes configurações do mesmo binário M
Fig. 2/11
Sistemas de Força-Binário
• Efeito de uma força sobre um corpo, tendência de empurrar ou puxar o 
corpo na direção da força e de girar o corpo em relação a qualquer eixo fixo 
que não intercepte a linha de ação da força. Fig. 2/12
• Ex: 2/7 e 2/8
Fig. 2/12
Resultantes
• É um sistema mais simples que pode substituir as forças originais sem 
alterar o efeito externo ao corpo rígido sobre o qual as forças estão atuando.
• Equilíbrio, condição na qual a resultante de todas as forças atuando no 
corpo é nula (estática).
• Resultante não nula, aceleração, F = m.a (dinâmica)
• Tipo mais comum, todas as forças, F1, F2 e F3 atuando num plano x-y, fig. 
2/13 a 
• Obtenção do módulo e direção da resultante R, através do polígono, fig. 
2/13 b
• Solução gráfica, R é obtida preservando-se as 
linhas de ação das forças e adicionando-se os 
vetores pela regra do paralelogramo, usando 
o principio da transmissibilidade.
• Somando-se todos os momentos em O Mo, 
obtemos o sistema força-binário único. Fig. 
2/14 c
• Na fig. 2/14 d , ache a linha de ação de R, 
forçando R a ter um Mo em relação a O
• Sistemas de força da Fig. 2/14 a e fig. 2/14 d 
são semelhantes 
• Ʃ(F.d) na fig. 2/14 a é semelhante a R.d na fig.2/14 d
Fig. 2/14
Princípio dos Momentos
• Resumido na forma da equação
• Reduz um sistema de forças a sistema de força-binário em um ponto O 
arbritário, onde d é a distância do ponto O a linha de ação de R, teorema 
de Varignon
• Num sistema de forças concorrentes, somatório dos momentos ƩMo em 
relação a um ponto O é zero. Fig. 2/15
• Ex: 2/9
Fig. 2/15
SISTEMAS DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS
Componentes Retangulares 
• Muitos problemas de mecânica, necessitam analise na três dimensões, 
ortogonais. Fig. 2/16
Fig. 2/16
• Vetores unitários, i, j e k estão nas direções x,y e z 
• Módulo da força F multiplicado pelo vetor unitário nF, determina a direção 
F
F = F. nF
• Na maior parte dos casos, a direção de uma força é descrita por dois 
pontos sobre a linha de ação de uma força, ou por dois ângulos que 
orientam a linha de ação. 
Especificação por dois pontos na linha de ação da força. 
• Conhecendo-se as coordenadas dos pontos A e B, F pode ser escrito, fig. 
2/17 
• As componentes escalares x, y e 
z de F são os coeficientes 
escalares dos vetores unitários i, 
j e k
Fig. 2/17
Especificação por dois ângulos que orientam a linha de ação da força
• Considere a geometria da fig. 2/18 e que os ângulos θ e φ são conhecidos.
• Projetar F nas componentes horizontal e vertical.
• Projetar então a componente horizontal Fxy , nas componentes x e y 
• As quantidades Fx, Fy e Fz são as componentes escalares de F
• Escolha do sistema de coordenadas arbitrário
Fig. 2/18
Produto Escalar 
• Operação vetorial denominada produto escalar, expressa as componentes 
retangulares de uma força F
• Produto escalar de dois vetores P e Q, fig. 2/19 a
Fig. 2/19
• Projeção ortogonal P.cos α de P na direção de Q multiplicado por Q
• Ou projeção ortogonal Q.cos α de Q na direção de P multiplicado por P
• Ambos os casos, produto escalar dos dois vetores é um escalar
• Se n é um vetor unitário em uma direção, a projeção de F na direção n, 
fig. 2/19 b tem módulo 
Fn = F.n
• Quantidade vetorial 
Fn = (F.n).n ou Fn = F.nn
• Cossenos diretores de n são α , β e γ então podemos escrever n na forma 
vetorial
• Neste caso o seu módulo é unitário
• Se os cossenos diretores de F, em relação aos eixos de referência, x-y-z, 
são l, m e n, então a projeção de F na direção n
• i, j e k tem o mesmo comprimento e são ortogonais.
Ângulo entre Dois Vetores 
• Força F, formando um ângulo θ com a direção do vetor unitário n, então 
pela definição do produto escalar 
F.n = Fn.cos θ = F.cos θ , onde │n│= 1, então o ângulo entre F e n é
o ângulo entre quaisquer vetores P e Q
• Se F é perpendicular a direção da linha de direção do vetor unitário n
cos θ = 0, então F.n = 0
• Fig. 2/20 , produto escalar dos 
vetores P e Q que não se interceptam
• Q vezes a projeção de P’ sobre Q, 
P’.Q.cos α = P.Q cos α , P’ e P são
iguais pois são vetores livres
• Ex: 2/10 
Fig. 2/20
Momento e Binário
• Análise bidimensional, modulo de um momento por multiplicação escalar
• Analise tridimensional, distância perpendicular entre a linha da força 
aplicada até o ponto, pode levar a cálculo tedioso 
• Vantajoso utilizar o produto vetorial
Momentos em Três Dimensões
• Fig. 2/21 a força F , ponto O
• Ponto O e linha de ação de F formam o plano A
• Mo = F . D
• Vetor Mo, perpendicular ao plano, no eixo que passa por O
• Produto vetorial r x F, e tem módulo (r.senα).F=F.d, direção e sentido 
estabelecido pela regra da mão direita 
Avaliando o Produto Vetorial
• Expansão do determinante
• Exame detalhado através da fig. 2/22, mostra as três componentes de F 
atuando em um ponto A em relação a O por vetor r
• Valores escalares determinado por 
Fig. 2/22
Fig. 2/21
• Momento em Relação a um Eixo Arbitrário
• É possível expressar um MA de F a qualquer eixo λ que passa por O, fig. 2/23
Fig. 2/23
• n um vetor unitário na direção λ
• Produto escalar Mo.n, componente de Mo na direção 
λ, é igual a módulo de MA de F em relação a λ
• Expressão vetorial de MA de F em relação a λ
• Onde r x F = Mo
• r x F x n, produto escalar triplo, expresso pelo 
determinante
• Onde α,β e γ cossenos diretores do vetor unitário n
O Teorema de Varignon em Três Dimensões
• Fig. 2/24 , sistema de forças concorrentes F1, F2 e F3, somatório dessas 
forças em relação a O
• r x F1 + r x F2 + r x F3 + ...... = r x (F1 + F2 + F3 + .......) = r x ƩF
• Usando-se a propriedade distributiva para produto vetorial 
• A soma dos momentos de sistema de forças concorrentes em relação a um 
ponto é igual ao momento de sua soma em relação ao mesmo ponto
• Binários em Três Dimensões
• Fig. 2/25 duas forças iguais e sentidos opostos F e –F, vetor r vai de qualquer
ponto B na linha de ação de –F , para qualquer ponto A na linha de ação de 
F
• Pontos A e B localizados pelos vetores posições rA e rB , a partir de qualquer 
ponto O , o momento combinado das duas forças em relação a O 
Fig. 2/25
• rA – rB = r, referência em relação a O desaparece 
• Módulo de M é M = F.d
• d, distância perpendicular entre as linhas de 
ação das duas forças 
• O momento de um binário é um vetor livre 
• O momento de uma força em relação a um ponto é um vetor móvel
• Obedecem todas as regras que governam as quantidades vetoriais, fig. 2/26
Fig. 2/26
• Substituição de uma força F por seu sistema de força-binário equivalente, 
fig. 2/27
• Ex: 2/11, 2/12 e 2/13
Fig. 2/27
Resultantes
• Combinação de forças mais simples, substituindo um sistema de forças sem 
alterar o efeito externo sobre o corpo rígido, fig 2/28 a 
Fig. 2/28
Forças Resultantes
• Somente a 1ª equação é usada, não existe momentos em relação ao 
ponto de concorrência 
Forças Paralelas 
• R é a soma algébrica das forças dadas e sua posição da linha de ação, é 
obtida pelo princípio dos momentos Mo = r x R 
• r, vetor posição do ponto de referência força-binário O à linha de ação final 
de R
• Mo é a soma do momento das forças individuais em relação a O 
Forças Coplanares 
• Visto na seção de resultantes em um plano
• Torçor Resultante 
• Torque resultante M paralelo a uma força resultante R, fig. 2/29 a 
resultante é denominada torçor , exemplo aperto do parafuso chave de 
fenda
Fig. 2/29
• Qualquer sistema geral de forças pode ser representado por um torçor
aplicado ao longo de uma linha de ação única, fig. 2/30
Fig. 2/30
• Ex: 2/17, 2/18 e 2/19