Cálculo I UNIVESP Semana 05

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cálculo I
exercícios
ExErcício 1
a. Ache o Polinômio de Taylor de ordem 2 da função 
f(x) = ln x, desenvolvido em torno de x0 = 1.
b. Use o resultado obtido acima para calcular um va-
lor aproximado de ln 1,5. 
ExErcício 2 
a. Obtenha o polinômio de Taylor de ordem 4 da fun-
ção f(x) = cos x em torno de x0 = 0.
b. Use o resultado acima para obter um valor aproxi-
mado de cos 0,8.
ExErcício 3
Determine as primitivas das funções abaixo:
a. f(x) = x
3
2
 + 5x2 - 4x - 6
b. g(x) = 2cos x - 3sen x
c. h(x) = 3ex + 1
x
d. v(x) = 5 x7 
Cálculo I / Aulas 17–20 Exercícios 2
ExErcício 4
Sabendo que f'(x) = 4x3 - 2x + 3 e que f(2) = 10, obtenha f(x).
ExErcício 5
Calcule a área da região abaixo do gráfico da função f(x) = 2x + 1, acima 
do eixo ox e pelas verticais x = 0 e x = 4.
ExErcício 6 
Calcule a área da região abaixo do gráfico da função f(x) = 8x3 + 3x2 + 6x - 1, 
acima do eixo ox e pelas verticais x = 1 e x = 2 .
ExErcício 7
Calcule a área da região abaixo do gráfico da função f(x) = 3x2 - 1, acima 
do eixo ox e pelas verticais x = 2 e x = 4.
ExErcício 8
Calcule a área da região abaixo do gráfico da função f(x) = 3senx + 5, acima 
do eixo ox e pelas verticais x = 0 e x = π.
ExErcício 9 
Calcule a área da região limitada pelos gráficos das funções f(x) = -x2 + 3x  
e g(x) = x - 1 para x∈[0,2]. (Sugestão: Esboce os gráficos de f e g, marque 
a região A e descubra qual é o gráfico que limita A por cima e qual é o 
gráfico que limita A por baixo).
Cálculo I / Aulas 17–20 Exercícios 3
GABARITO
ExErcício 1
a. f(x) = lnx ⇒ f '(x) = 1
x
 = x-1 ⇒ f ''(x) = -x-2 = - 1
x2
Assim, f (1) = ln1 = 0; f '(1) = 1
1
 = 1; f ''(1) = - 1
12
 = -1
O Polinômio de Taylor de ordem 2 é 
P2(x) = f(x0) + f '(x0)(x - x0) + 
f ''(x0)
2
 (x - x0)
2
P2(x) = 0 + 1(x - 1) - 
1
2
 (x - 1)2 = x - 1 - (x - 1)
2
2
b. ln 1,5 ≈ P2(1,5) = 1,5 - 1 - 
0,52
2
 = 0,5 - 0,25
2
 = 0,5 - 0,125 = 0,375
Obs : o valor exato é 0,405465...
ExErcício 2
a. f(x) = cos x e x0 = 0 ⇒ f(x0) = f(0) = 1
f '(x) = - sen x ⇒ f '(x0) = f '(0) = - sen 0 = 0
f ''(x) = - cos x ⇒ f ''(x0) = f ''(0) = - cos 0 = -1
f '''(x) = sen x ⇒ f '''(x0) = f '''(0) = sen 0 = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(x0) = f
(4)(0) = cos 0 = 1
P4(x) = f(x0) + f '(x0)(x - x0) + 
f ''(x0)
2
 (x - x0)
2 + f '''(x0)
3!
 (x - x0)
3 + f
(4)(x0)
4!
 (x - x0)
4
P4(x) = 1 + 0 - 
1
2
 x2 + 0 + 1
24
 x4 = 1 - 1
2
 x2 + 1
24
 x4
Cálculo I / Aulas 17–20 Exercícios 4
b. cos 0,8 ≈ 1 - 0,8
2
2
 + 0,8
4
24
 = 1 - 0,64
2
 + 0,4096
24
 = 1 - 0,32 + 0,0170 = 0,697
Obs: o valor exato é 0,696706...
ExErcício 3
a. ∫f(x) dx = � x
3
2
 + 5x2 - 4x - 6 dx = x
4
8
 + 5
3
 x3 - 2x2 - 6x + C
b. ∫g(x) dx = ∫( 2 cos x - 3 sen x ) dx = 2 sen x + 3 cos x + C
c. ∫h(x) dx = � 3ex + 1
x
 dx = 3ex + ln |x| + C
d. ∫v(x) dx = ∫5 x7 dx = ∫ x⁷⁄ ⁵ dx = 
12
5
1
 x¹²⁄ ⁵ = 5
12
 5 x12 + C
ExErcício 4
f'(x) = 4x3 - 2x + 3 ⇒ f(x) = ∫(4x3 - 2x + 3)dx = x4 - x2 + 3x + C
Como f(2) = 10 segue 24 - 22 + 3×2 + C = 10 ⇒ 16 - 4 + 6 + C = 10
18 + C = 10 ⇒ C = -8
f(x) = x4 - x2 + 3x - 8
ExErcício 5
SA = ∫0
4 (2x + 1)dx = (x2 + x) 4 0 = 16 + 4 - 0 = 20
ExErcício 6
SA = ∫1
2 (8x3 + 3x2 + 6x - 1)dx = (2x4 + x3 + 3x2 - x)1
2 =
= 2×24 + 23 + 3×22 - 2 - (2×14 + 13 +3×12 - 1) = 50 - 5 = 45
ExErcício 7
SA = ∫2
4 (3x2 - 1)dx = (x3 + x) 2
4 = 43 - 4 - (23 - 2) = 60 - 6 = 54
Cálculo I / Aulas 17–20 Exercícios 5
ExErcício 8
A = ∫0
π (3senx + 5)dx = (-3cosx + 5x)0
π = -3cosπ + 5π - (-3cos0 + 5×0) = 6 + 5π
ExErcício 9
Vamos fazer um esboço da região A:
1
-1
1
2
A
2 3-1
Notamos que a região A é sempre limitada por cima pela parábola 
f(x) = -x2 + 3x e por baixo pela reta g(x) = x - 1, assim:
SA = ∫0
2 [-x2 + 3x - (x - 1)]dx = ∫0
2 (-x2 + 2x + 1)dx = - 
x3
3
 + x2 + x 
0
2
 =
= - 
23
3
 + 22 + 2 - 0 = - 
8
3
 + 6 = 
10
3