Matemática UNIVESP Semana 04

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matemática
exercícios de portfólio
ExErcício 1
Desenvolva a expressão (2x - 3y)4.
ExErcício 2
Determine o quociente e o resto da divisão de P(x) = 2x4 
- x3 + 4x2 + 5x + 1 por x2 + 1.
ExErcício 3
Seja:
A  = 
1
0
2 1
1
20
0
3
Determine todos os valores de λ∈ para os quais det 
[A - λI] = 0.
ExErcício 4
Seja:
A  = 
2
1
x
3
Matemática / Aulas 13–16 Exercícios de Portfólio 2
a. Para que valores de x∈ , A é invertível?
b. Para que valores de x∈ , temos A2 = 6
5
10
11
 ?
c. Existe x∈ , tal que A2 = 6
5
11
12
 ?
Matemática / Aulas 13–16 Exercícios de Portfólio 3
GABARITO
ExErcício 1
(2x-3y)4  =  16x4 - 96x3y + 216x2y2 - 216xy3 + 81y4
ExErcício 2
P(x)  =  2x4 - x3 + 4x2 + 5x + 1  =  (x2 + 1)(2x2 - x + 2) + 6x - 1
ExErcício 3
A  = 
1
0
2 1
1
20
0
3   ⇒  A - λI = 
1 - λ
0
2 1 - λ
1
20
0
3 - λ
det (A - λI)  =  (1- λ)(3 - λ)(1- λ) - 2(3 - λ)2  =  (3 - λ)[(1 - λ)(1 - λ) - 4]
det (A - λI)  =  (3 - λ)(1 - 2λ + λ2 - 4)  =  (3 - λ)(λ2 - 2λ - 3)
det (A - λI)  =  0 ⇒ (3 - λ)(λ2 - 2λ - 3)  =  0 ⇒ 3 - λ  =  0 ou λ2 - 2λ - 3  =  0
⇒ λ  =  3 ou λ  =  -1 
ExErcício 4
a. 
A  = 
2
1
x
3
  ⇒  det(A)  =  6 -X
det(A)  ≠  0  ⇔  6 - x  ≠  0  ⇔  x  ≠  6
b. 
A2  = 
2
1
x
3
 
2
1
x
3
  = 
4 + x
5
5x
x + 9
A2  = 
6
5
10
11
  ⇒  4 + x  =  6
Matemática / Aulas 13–16 Exercícios de Portfólio 4
5x  =  10
x + 9  =  11
Logo x  =  2
c. 
A2  = 
2
1
x
3
 
2
1
x
3
  = 
4 + x
5
5x
x + 9
  = 
6
5
11
12
  ⇒  4 + x  =  6
5x  =  11
x + 9  =  12
 O que é impossível. Logo não existe x na condição pedida.