Transformação de Tensões

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Módulo 6 – Transformação de Tensões 
 
 
Equações Gerais no Plano 
 
Dado um certo estado de tensões num ponto, associado a um dado sistema 
de coordenadas, é importante que se determine os valores destas mesmas tensões 
caso o sistema de coordenadas associado seja alterado. Na Figura 1, mostrada 
abaixo, isto é representado através de um elemento infinitesimal associado a um 
sistema de coordenadas x-y e um sistema rotacionado de um ângulo θ, x’-y’. A 
pergunta que deve ser feita aqui é quanto devem valer as tensões normais, σx e σy, 
e tangenciais, xy, originalmente associadas ao quadrado infinitesimal do sistema 
de coordenadas x-y quando o quadrado infinitesimal estiver associado ao sistema 
de coordenadas x’y’, rotacionado de um ângulo θ. 
 
 
Figura 1 – Transformação de um estado plano de tensões. 
 
De forma a responder esta questão é mais conveniente utilizar um triângulo 
conforme mostrado na Figura 2. Esse triângulo tem a sua hipotenusa alinhada com 
a direção y’ do sistema de coordenadas rotacionado, no sentido anti-horário, do 
ângulo θ. Nesta face devem estar associadas a tensão normal σx’ e a tensão 
tangencial x’y’. Como o estado de tensões está em equilíbrio, as forças associadas 
a todas as tensões têm que se equilibrar também nas direções x’ e y’. É necessário, 
portanto, que se passe as tensões para forças, multiplicando-as por suas áreas de 
atuação. Sendo a área da hipotenusa do triângulo adotada como ∆A, a área dos 
catetos devem valer, por conseguinte, ∆A.cosθ e ∆A.sinθ. 
 
Figura 2 – Transformação de coordenadas. 
 
Sabendo-se as forças que atuam em cada face do triângulo, pode-se 
proceder com a determinação das equações de equilíbrio em cada direção 
transformada. Para a direção x’, tem-se que: 
 
𝜎𝑥′∆𝐴 − (𝜎𝑥∆𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃 − (𝜎𝑦∆𝐴𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑠𝑖𝑛𝜃 − (𝜏𝑥𝑦∆𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑠𝑖𝑛𝜃 − (𝜏𝑥𝑦∆𝐴𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 
 
ou seja: 
 
𝜎𝑥′ = 𝜎𝑥 cos
2 𝜃 − 𝜎𝑦 sin
2 𝜃 + 2𝜏𝑥𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
 Para a direção x’y’ tem-se que: 
 
𝜏𝑥′𝑦′∆𝐴 + (𝜏𝑥𝑦∆𝐴𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑠𝑖𝑛𝜃 + (𝜎𝑥∆Acosθ)𝑠𝑖𝑛𝜃 − (𝜏𝑥𝑦∆𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃 − (𝜎𝑦∆𝐴𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 
 
ou seja: 
𝜏𝑥′𝑦′ = (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜏𝑥𝑦(cos
2 𝜃 − sin2 𝜃) 
 
As equações para σx’ e x’y’ encontradas acima são, portanto, as expressões 
que dão as transformações de qualquer tensão normal e tangencial, 
respectivamente, de um sistema xy para um sistema x’y’, rotacionado de um ângulo 
θ qualquer. Utilizando relações trigonométricas, estas expressões podem ser 
reescritas como: 
 
𝜎𝑥′ =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑖𝑛2𝜃 
 
𝜏𝑥′𝑦′ = −
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃 
 
Tensões Principais 
 
As expressões acima, no entanto, não são muito práticas, já que não nos 
fornecem nenhuma informação relevante, pelo menos à primeira vista. Afinal, tudo 
o que elas fornecem são os infinitos valores das tensões normais e tangenciais em 
um ponto para uma infinidade de valores de ângulos de rotação possíveis do 
sistema de coordenadas. No entanto, é natural que, da infinidade de valores a 
serem encontrados com estas expressões, haja valores máximos e mínimos 
associados. Estes valores, sim, são importantes e podem ser encontrados ao se 
trabalhar um pouco mais estas expressões. Derivando-se a primeira expressão 
uma vez em relação a θ, obtém-se que: 
 
0 −
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
(𝑠𝑖𝑛2𝜃)(2) + 𝜏𝑥𝑦(𝑐𝑜𝑠2𝜃)(2) = 0 
 
ou seja: 
 
−(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)𝑡𝑎𝑛2𝜃 + 2𝜏𝑥𝑦 = 0 
 
ou ainda que: 
 
𝑡𝑎𝑛2𝜃𝑃 =
2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
 
 
Este resultado mostra que, para que se obtenha um máximo ou um mínimo 
na expressão para σx’, um ângulo θ igual a θp deverá ser usado na rotação do 
sistema de coordenadas. Para se obter os valores dos máximos e mínimos, a 
expressão acima é substituída na expressão para σx’. No entanto, a expressão 
acima fornece apenas a tangente de θ, sendo que o seno e o cosseno de θ é que 
são necessários. A expressões do seno e do cosseno de θ associadas à expressão 
acima podem ser facilmente obtidas se interpretarmos esta expressão como no 
esquema abaixo. Isto é, a expressão dá a inclinação da tangente ao ângulo 2θp 
num sistema -σ, onde o seno ou o cosseno podem ser dados por: 
 
 
 
𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑃1 =
𝜏𝑥𝑦
√(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2 )
2
+ 𝜏𝑥𝑦2
 
 
𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑃1 =
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
√(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2 ) + 𝜏𝑥𝑦
2
 
 
𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑃2 =
−𝜏𝑥𝑦
√(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2 )
2
+ 𝜏𝑥𝑦2
 
 
𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑃2 =
−
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
√(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2 ) + 𝜏𝑥𝑦
2
 
 
sendo que ambos os ângulos, θp1 e θp2, caracterizam a mesma declividade no 
sistema acima, estando defasados de 180º, ou seja, 2θp2 = 2θp1 + 180º. 
Substituindo-se, primeiramente, as expressões referentes a θp1 na equação que dá 
σx’, tem-se: 
 
𝜎1 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
1
√(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2 )
2
+ 𝜏𝑥𝑦2
+ 𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦
√(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2 )
2
+ 𝜏𝑥𝑦2
 
 
Substituindo-se as expressões referentes a θp2 na mesma equação, obtém-
se praticamente a mesma coisa, apenas com os dois últimos termos com o sinal 
trocado. Chamando-se a quantidade entre raiz quadrada de R, tem-se, portanto, 
que: 
𝜎2 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
−
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
1
𝑅
+ 𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝑅
 
 
Trabalhando-se algebricamente as duas expressões resultantes, obtém-se 
duas equações que apenas diferem por um sinal: a expressão para σ1 apresenta 
um sinal positivo enquanto que a expressão para σ2 apresenta um negativo. Estas 
duas expressões são comumente apresentadas na seguinte forma: 
 
𝜎1,2 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
± √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦2 
 
ou seja, somando-se os dois termos, tem-se o valor para σ1, que será, portanto, um 
valor máximo de tensão. Com a subtração, obtém-se o valor para σ2, que será um 
valor mínimo de tensão. Estes dois valores de tensão caracterizam as Tensões 
Principais associadas ao estado de tensões dado e, como visto, associadas 
também aos ângulos θp1 e θp2 (defasagem de 90º). Estes ângulos são conhecidos 
como Direções Principais. 
Uma última observação a ser feita se refere à substituição das expressões 
para seno e cosseno na outra equação ainda não utilizada, ou seja, aquela para 
x’y’. Se isto for feito, será visto que a equação é sempre zerada, isto é, o ângulo 
que fornece uma tensão principal, obrigatoriamente, conduz a uma ausência de 
tensões cisalhantes. Da mesma forma, de um conjunto de estado de tensões 
possíveis para um ponto, aqueles que possuírem somente tensões normais e 
nenhuma tensão cisalhante, são estados de tensões principais. 
 
Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões 
 
Anteriormente, apresentaram-se expressões para a determinação das 
tensões e direções principais associadas a um dado estado de tensões. Para a 
determinação das tenções principais, viu-se que a fórmula mais comumente usada 
seria aquela mostrada abaixo. O primeiro termo da soma algébrica é chamado de 
tensão média, σméd, e o segundo termo de raio, R. 
 
𝜎1,2 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
± √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦2 = 𝜎𝑚𝑒𝑑 ± 𝑅 
 
Tanto esta equação como aquelas onde apareciam senos e cossenos de θ 
podem ser consideradas como equações de um círculo num sistema coordenado 
retangular σ-. Na equação acima, o centro do círculo seria dado por σméd, e o seu 
raio por R. As tensões principais estariam localizadas nos pontos de intersecção 
do círculo com o eixo das abscissas, ou seja, implicando em tensões cisalhantes 
nulas, como previsto anteriormente. Istoé ilustrado na Figura 3, abaixo. 
 
Figura 3 – Círculo de Mohr. 
 
Os infinitos pontos que compõem o círculo traçado no sistema σ- 
representam todas as possíveis transformações de um estado de tensões. O 
estado de tensões dado seria representado pelo ponto A na figura, enquanto que 
qualquer outro estado resultante de uma transformação (giro de um ângulo θ) 
estaria localizado a 2θ, a partir da direção CA, já que as relações trigonométricas 
observadas nas equações de transformação eram para o dobro do ângulo. Na 
dedução das equações, também foi estipulado que o ângulo θ crescia no sentido 
anti-horário, e assim deve ser observado no círculo de Mohr também. 
A construção do círculo de Mohr para um dado estado de tensões permite, 
de uma forma gráfica, a fácil análise de problemas de transformações de tensões. 
Através dele, fica imediata a determinação de quaisquer outros estados de tensões 
resultantes, principalmente dos estados tensões com tensões principais e seus 
ângulos de giro ou direções principais. Um procedimento simples para a construção 
do círculo de Mohr e a sua análise é dado a seguir. 
 
Procedimento de Análise 
 
Para a construção do círculo, os seguintes passos devem ser seguidos: 
 Estabelecer um sistema de coordenadas σ-, com σ nas abscissas 
crescendo positivamente para a direita e com τ nas ordenadas crescendo 
positivamente para baixo; 
 Utilizar a convenção mostrada na figura abaixo para os valores positivos de 
σ e . 
 
 
 Marcar o centro do círculo C, localizado sobre o eixo σ a uma distância σméd 
da origem, sendo σméd = (σx + σy)/2. 
 Marcar o ponto de referência A (σx, xy), referente ao ângulo θ = 0o, ou seja, 
alinhado com o σx do estado de tensões dado; 
 Unir o ponto A ao centro C, determinando a hipotenusa CA, que representa 
o raio R do círculo. Um ponto B de coordenadas (σy, -xy), diametralmente 
oposto ao ponto A também pode ser marcado. 
 Traçar o círculo utilizando o raio ou o diâmetro encontrado. 
 
Para a análise do círculo de Mohr: 
 
 Os componentes σx’ e x’y’ num ponto qualquer P atuantes em um plano 
definido por um ângulo θ, medido no sentido anti-horário, são obtidos por 
trigonometria; 
 Para localizar P, o ângulo θ de um plano (no sentido anti-horário) é medido 
no círculo como 2θ (no mesmo sentido anti-horário) da linha CA para CP; 
 As tensões principais σ1 e σ2 são determinadas pelos dois pontos de 
intersecção do círculo com o eixo σ (onde  = 0); 
 Estas tensões atuam nos planos definidos pelos ângulos θp1 e θp2, que são 
medidos pelos ângulos 2θp1 e 2θp2 medidos a partir da linha radial de 
referência CA no sentido anti-horário; 
 Os componentes σméd e |máx| são encontradas no círculo, definidos pelos 
ângulos θc1 e θc2 que, normalmente, são indicados no sentido horário por 
convenção. 
 
 
Referência de Estudo 
 
Capítulo 9. Seções 9.1 a 9.6. 
 
HIBBELER, R. C. “Resistência dos materiais”, São Paulo, Prentice Hall, 7ª 
edição, 2010.