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HIBBELER A MECANICA PARA ENGENHARIA 1~ EDIÇAO Pearson Educa ioo H I B B E L E R A MECANICA PARA ENGENHARIA 12ª EDIÇÃO Tradução Daniel Vieira Revisão Técnica José Maria Campos dos Santos Professor Doutor do Departamento de Mecânica Computacional da Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas PEARSON São Paulo Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela Copyright ('! 2011. Edição em língua portuguesa publicada pela Pearson Education do Brasil Ltda. Tradução autori.tada a partir da versão de Cingapura, adaptada da edição original em inglês do Estados Unidos, intitulada E GINEERL G MECIIA ICS: STATICS, 12th Edition de HlBBELER. RUSSELL C., publicada pela Pearson Education, lnc. do grupo Prentice Hall. Copyright lf} 2010. Adaptada da edição de Cingapura intitulada E GINEERI G MECHANICS: STATICS SI. 12th Edition adaptada por S. C. F ao. publicada pela Pcarson Education As ia Pte Ltd., Copyright e 20 I O. Todos o direitos reservados. Nenhuma pane desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia , gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Pearson Education do Brasil. Diretor editorial: Roger Trimer Gerente editorial: Sabrina Cairo Supervisor de produção editorial: Marcelo Françozo Editora plena: Thelma Babaoka Editoras: Silvana Afonso e Adriana Mauro Preparação: Érica AI vim Revisão: Erika Satie Kurihara e Guilherme Summa Ct1pa: Thyago Santos Editoração eletrônica e diagramação: Figurativa Editorial Fotografias fornecidas pelo awor, R. C. flibbeler Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CJP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) ll ibbcler, R.C. Estática : mecânica para engenharia I R. C. H ibbeler ; tradução Daniel Vicim ; revisão técnica José Maria Campos dos Santos. -- 12. ed. -- ão Paulo : Pearson Prentice H ali, 2011. Título original: Engineering mechan ics : statics, 12th edition. ISBN 978-85-7605-815- 1 I. Engenharia mecânica 2. Estática 3. Mecânica apl icada I. Titulo. I 0-11461 • lndices para catálogo sistemático: I. Estática : Mecânica para engenharia : Tecnologia 620.103 2010 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Bras i I, uma empresa do grupo Pearson Education Rua elson Francisco, 26, Limão CEP: 02712-100 - São Paulo - SP Tel : ( 11) 2178-8686 Fax: ( l i) 2 178-8688 e-mail: vendas@pearson.com CDD-620. I 03 AO ESTUDA TE Com a esperança de que este trabalho estimule o intere se em mecânica para engenharia e sirva de guia para o entendimento deste assunto. Princípios gerais 1 Objetivos do capitulo ....................................................................................... 1 1.1 Mccâtlica ............................................................................................ I 1.2 Concei tos fundamcntais ........................................................................... 2 1.3 Unidades de medida ........................................................................... 4 1.4 Sistema internacional de unidades...................................................... .5 1.5 Cálculos numéricos ................................................................................ 6 1.6 Procedimentos gerais para análise ...................................................... 7 11 Vetores de força 11 Objetivos do capítulo. .. . ........................................................................... 11 2.1 Escalares c vetores. . ...................................... ................................. li 2.2 2.3 2.4 Operações vetoriais Adição vetorial de forças . ······························································· I~ . ... .... ... ... ... . ..............•....•....•....... 13 Adição de um sistema de forças coplanares .................................. .. 22 2.5 Vetores canesianos . .... ........... ...................................................... 30 2.6 Adição de vetores canesianos ......................................................... ... 33 2.7 Vetores posição ......... ...................... .................. ....................... ....... .. 40 2.8 Vetor de força orientado ao longo de uma reta .................................... 42 2.9 Produto escalar ..................................................................................... 49 D Equilíbrio de uma partícula 61 Objetivos do capítulo . ... . . ...................... .... ........ .............................. 61 3.1 Condição de equilíbrio de uma partícula ......................................... 61 3.2 O diagrama de corpo livre ............................................................... .61 3.3 Sistemas de forças coplanares ......................................................... 64 3.4 Sistemas de força tridimensionais................................................... 75 D Resultantes de um sistema de forças 8S Objetivos do capítulo . . . ... .... ............................................................. . 85 4.1 Momento de uma força - formulação escalar ................................... 85 4.2 Produto vetoria l .........................................................•.••.••••.•• 4.3 Momento de uma fo rça - formulação vetorial . ..........•....•.•..•.•..•. 88 .. 90 4.4 O princípio dos momentos............................................................... .. 93 vm Estático 4.S Momento de uma força em relação a um eixo especificado ................ I O I 4.6 Momento de um binário ...................................................................... 1 08 4.7 Simplificação de um sistema de forças e binários ............................... 117 4.8 Simplificações adicionais de um sistema de forças e binários ............ 124 4. 9 Redução de um carregamento distribuído simples .............................. 133 D Equilíbrio de um corpo rígido 145 Objetivos do capíttl lo .................................................................................... l45 S.1 Condjçôes de equilíbrio do corpo rígido ............................................. 145 S.2 Diagramas de corpo livre ..................................................................... l46 S.3 Equações de equilíbrio ........................................................................ I 57 S.4 Membros de duas e três forças ............................................................ I 64 S.S Diagramas de corpo livre ..................................................................... I 74 S.6 Equações de equilíbrio ........................................................................ 177 S.7 Restrições e determinação estática ...................................................... 178 11 Análise estrutural 195 Objetivos do capítu lo .................................................................................... l 95 6.1 Treliças simples ................................................................................... I 95 6.2 O método dos nós ................................................................................ I 97 6.3 Membros de força zero ........................................................................ 202 6.4 O método das seções ........................................................................... 209 6.S Treliças espaciais ................................................................................. 217 6.6 Estruturas c máquinas .......................................................................... 220 Forcas internas 249 ' Objetivos do capíttllo .................................................................................... 249 7.1 Forças internas desenvolvidas em membros estmturais ....................... 249 7.2 Equações e diagramasde esforço cortante e momento ftetor. .............. 261 7.3 Relações entre carga distribuída, esforço cortante e momento ftetor ... 267 7.4 Cabos ................................................................................................... 275 11 Atrito 290 Objetivos do capítulo .................................................................................... 290 8.1 Características do atrito seco ............................................................... 290 8.2 Problemas envolvendo atrito seco ....................................................... 293 8.3 Calços .................................................................................................. 309 8.4 Forças de atrito em parafusos .............................................................. 311 8.S Forças de atrito em correias ................................................................. 317 8.6 Forças de atrito em mancais de escora, mancais axiais e discos ......... 323 8.7 Forças de atrito em mancais radiais ..................................................... 326 8.8 Resistência ao ro lamento ..................................................................... 327 11 Centro de gravidade e centroide 337 Objetivos do capítulo . .. .. . •......•...........•.. .... .. 9.1 Centro de gravidade, centro de massa e centroide de um corpo 9.2 Corpos compostos . .. . . . .................................................. . 9.3 Teoremas de Pappus e Guldinus .. . . •••••••••••••••••••••• 337 337 355 366 9.4 Resultante de um carregamento distribuído geral . ...................... 3 73 9.5 Pressão de fluidos .. ...... ···•••······ ·······• ... .. . -~·························· . 373 II!J Momentos de inércia 387 Objetivos do capítulo ..... .............................................................................. 387 10.1 Definição de momentos de inércia para áreas .................................... 387 10.2 Teorema dos eixos paralelos para uma área ....................................... 388 10.3 Raio de geração de uma área ............................................................... 388 10.4 Momentos de inércia para áreas compostas ...... ....................... ..... . .. 394 10.5 Produto de inércia para uma área ................................................. 40 I 10.6 Momentos de inércia para uma área relação aos eixos inclinados . 404 10.7 Circulo de Mohr para momentos de inércia .. .............................. 407 10.8 Momento de inércia da mas a .... ...................... ............................. 41 3 m Trabalho virtual 4 25 Objetivos do capitulo ...•..•.•..•............•....•..•.. ·········•····•····•········· 11.1 Definição de trabalho .......................................•....•....•.... 11.2 Principio do trabalho virtual. •• ••••• • •• o o ••••••••••••••••••••••••••• 11.3 Principio do trabalho virtual para um sistema . 425 425 426 de corpos rígidos conectados .................... ......... .......................... .. 428 11.4 Forças conservativas . .................................................................. . 438 11.5 Energia potencial .............................................................................. 438 11.6 Critério de energia potencial para o equilíbrio ................................... .440 11.7 Estabilidade da configuração de equilibrio ......................................... .440 Apêndices 4S4 A Revisão e expressões matemáticas .................................................... .454 B Equações fundamentais da estática ..................................................... 457 C Tabelas de conversão . ........................................ ............................. .458 Soluções e respostas parciais dos problemas fundamentais 461 Respostas dos problemas selecionados 476 • lndice remissivo 508 Sumário lX Este livro foi desenvolvido com o intuito de fornecer aos estudantes uma apresentação didática e completa da teoria da mecânica e aplicações à engenharia. Reconhecido por sua clareza na explicação e pelos sólidos conjuntos de problemas, Hibbeler é atualmente um dos autores mais vendidos na área. Nesta edição, fotos reais com soluções de vetores são fornecidas para permitir que os alunos entendam melhor os conceitos ensinados c problemas propostos. Os amplos problemas fornecidos no livro são organizados em nível de dificuldade gradual a fim de desenvolver as habilidades de resolução dos alunos, assim como fornecer-lhes a prática de que necessitam. Este livro <ontem os seguintes novos elementos: • Ampla variedade de problemas para a sua prática e resolução. • Diagramas rcalísticos com vetores para demonstrar aplicações do mundo real. Ampla variedade de problemas para a sua prática e resolu~ão Alguns exercícios são aplicações contemporâneas de problemas de engenharia mecânica em campos como aeroespaço, engenharia de petróleo e biomccânica - preparando os estudantes para trabalhar nesses setores em expansão. Exemplos Os exemplos (problemas resolvidos) ajudarão os estudantes a aprender os fundamentos e entender os conceitos por trás das questões. Os alunos são capazes de exercitar suas habilidades de resolução por meio desses problemas que possuem grande variedade de soluções possiveis. .. ...... s.oo ~ ... wdtc_,.~KIIit;' 'Ja~..,'*....,... ,... ...... , re. .......... f .... \I ... AJI ........ I,_. --·,!«)~ w o_... ........ ..........,__~-~~--~,. ot.a\1( ... .... ~. ••c.tkf- .... .... ('fD f'C'ta.;t. • .. ,_. \-nt.c.al ,_ -u.ho(T ... S.l~l. A LW~Uioem ... e~ ww ,. .... • o t.tv _, 1 at. A dlfll'Cio ~ ttllo t at ~~ ~~ ................... f:.""" • .,._.... (i r. ................ t ... "' ...... .. ... t o • c_,.lroft........., ... . ........ ~ ... () ........ ,. ............ t~t..tl) I~NM~(Ic~ .\ t \,.kn!~'\•IIWI l(t!Çt de a.t'O I . nt•c:w , 1 • ~quo ""'Aorf 011 pt110t1 1 .-11.•\ t'<' ~ cu~~ • ,._b!M ~t1pn $.10.). (..OIWiqiA'IIWIINIIk. _,. • to.~lwrt.o ...,. ~\ fiC'llj,'bft, ~. ~ illkh411Ja t ~aHol~ llloi fiM 4 I ~ Cftl /1 xn Estático Problemas fundamentais Um novo recurso nesta edição, esse conjunto de problemas está localizado após os problemas de exemplo. Ele oferece aos alunos aplicações simples dos conceitos para garantir que tenham entendido o capitulo antes de tentar resolver quaisquer outras questões . ... - 10.1. o.. - •• ··-· ...... ~ .... :-::;:::;:---;;IQ;;~:-... ;;; .. : .. ;;::.;:.:::=~ .. ::-:::.~.~-::-:::;::;: ---.s.-. ... ....... w, ..J...jL--~-· 1---•·---1 ··---l ,_,... ,_,.., to.l. Dorlcmww o '"'~lo> d..: 1no.Y\:.a 4• il'l .. "''"""'-b 10.4. I~ ~ ~ 4~ 111\:n.• \LI 6MI '""~ tM~6.1fl'•' m~dúcho• r •• 1---··---1 ,_,.., ,_, ... Problemas <On<eituais Esses problemas descrevem situações realisticas encontradas na prática. Eles são desenvolvidos para testar a capacidade de um aluno em aplicar os conceitos aprendidos. Os estudantes também se mantêm atualizados sobre as aplicações mais recentes da engenharia mecânica. Os professores possuem uma ampla variedade de questões entre as quais poderão escolher, modificar e acrescentar como novas questões para seus recursos. CCIP"Ao e _.... :o I • Problema' <on!liluals t..L f rn~~~cc:r~eicnl(~'ft lnlfii iW. frriWcn ,('lo.,..,.. ..,.,,......, .c•• toll r"'\M'\IIn Pl"liKOJIIrt bil \ll .. Albfl ...... ~ com ,, jPJi...:.hu lolaln.lellle ~dth n....., M t ,...._. ,_.., a ..,. ..- •• pJ~>Iç;lol alia., ço;tme • f\awa, OU U p~ltiLh..-1 do.'"ootfiJ ~~ ~ tn~...," A ..... \lllfllll ..... 1'\IU!illl lw1u N 1\:l'n.,..:kll" t-ca 1111111 u.;:io t forn«kl,l (lo! ~ "*""' A' ~ 4.-ktl•' ....... llt ... lltlftO p.YJ f\pl"'., !illol fl'~l.l fiam IIVI'C:'t !:-a rollll' I ~ '*"'11 Wl1• .S. tqllfl..,_ pwt L4 "'"'" •• ~ ,.w• Jlll.Uf • n:.,tlliÃII rata lnl!l«i• u ',...,u• .............. ,.... III(IN ~ .. - n_dl..,..acbvede!Odll ()11.1••_,._...., â .,.._ ~ • ~,·A._ IA-. 1M ... t...., - ........... ~-dr,._,.~.~· bplqllw- _.-....,_. • e na ... ,_u8.3. A (\'!1\11 t 1.S. fiWII fiiiUI e rt ... ..._ t _.., ~ - ~· 1.W1 t ML t~i1111o.l N f\pn r-ur ..-r H,. .• Mhn ..... õt .. P,l"'- t II'IC'Iiu fl'ill'lr 1M101 atNL ~ • ~ ~\M' ~.,.'"""'*' 011 puo,:ar pAI'1I ti;JIIq,t .. CIUI.' t "P - .wltw. 41q1o11bbno Jllnl •\pi.W-......... LL f _ .... ...._ •• , .. .,. _..._hçe_ .............. ~ ....... -.. -~ ........ ~ ............ ,.w .... ... ·-----.·~ .. ··~--.., ......... ,_ _____ ..; Além dos problemas já apresentados, os estudantes também têm à dispo ição listas de problemas dispostas ao longo dos capítulos divididas em três categorias, para auxiliar ainda mais a aprendizagem do aluno. Os problemas indicados pelo símbolo ( • ) podem ser resolvidos por meio de procedime ntos numéricos. Aqueles indicados apenas por número possuem resposta no fim do livro. O indicados com o símbolo ( • ) antes da numeração possuem equação ou resultado numérico adicional junto com a resposta. E os indicados com o símbolo (*) antes da numeração não possuem resposta. Diagramas realísticos com vetores para demonstrar aplicações do mundo real llustracões com vetores ' Foram acrescentadas muitas ilustrações fotorrealistas com vetores. Essas imagens fornecem uma sólida conexão com a natureza tridimensional da engenharia c também ajudam o aluno a visualizar c lembrar conceitos por trás da questão. "·~'·- h ·-····· u. nc.,, .... ......... ~. ~ ~ ...... - ........... _ .. d~ . ...... _....., ...... .. ,.,. ·"~f " • Fotografias •Sooi.çott ,....:_ ... . '"""* .......... ,...... .... ..... _._ ........... t- 1.4. De ..... • ~ • \()(1 ~ - IIIII!IPN11~ -..... .. _ ... _....... . ...... ~ ....... *""- 21 =~ _,_.. 1.S.. A illrça I - 9GO'- .._ • ---..Dto I ... ..... ~ .. ........,•jctw_•..,..•= e • ... ...c. .. . • -~- .«=MM ,_u A importância de conhecer a matéria é refletida por aplicações do mundo real descritas em fotos em todo o livro. Essas fotografias são utilizadas para explicar como os princípios se aplicam a situações reais . .......... - ...... -.. .... -. , _,..... .. ,....o--•.-·-• ....,. , _....._.o ... -,..-· - o ._ .......... o t c.. . ..... ,"'IWft .... ·-.... ..... ~ .......... t~........... • ......,.,........ ..... ~ ... ~- ...... ~· c::::ânt ....... ~ o,.._.....w ..... ftllr'tj ' " '~·~c .-ta:t• C - A 8 ..... c ....... , ,...__.~•• Prefácio Xlll XJV Estática Companion Website Site de apoio do livro No si te de apoio do livro ( www.prenhall.com/hibbclcr _br), professores e estudantes têm acesso a materiais adicionais que facilitam tanto a exposição das aulas como o processo de aprendizagem. Poro o professor: • Apresentações em PowcrPoint Os professores podem contar com slides que possuem infonnaçõcs c diagramas dos respectivos capítulos. • Banco de imagens O banco de imagens contém ilustrações, diagramas c fotos encontrados no livro. Esse material é de uso exclusil'o dos professores e está protegido por senha. Para ter acesso a ele, os professores que adotam o livro devem entrar em contato com seu representante Pearson ou enviar e-mail para universitarios@pearson.com. Poro o estudante: • Textos adicionais (em inglês) O autor se esforçou para escrever este livro de modo que atraísse tanto ao estudante quanto ao professor. Com o passar dos anos, muitas pessoas ajudaram no seu desenvolvimento c serei sempre grato por seus valiosos comentários e sugestões. Gostaria de agradecer, especialmente às seguintes pessoas que contribuíram com seus comentários relativos à preparação da décima segunda edição deste trabalho. Ycsh P. Singh, University of Texas - San Antonio Manoj Chopra, University o f Central Florida Kathryn McWilliams, University of Saskatchewan Daniel Linzell, Penn State University Larry Banta, West Virgínia University Manohar L. Arora, Co/orado School of Mines Robert Rennaker, University o f Oklahoma Ahmad M. ltani, Unil'ersity of Ne1'ada Existem algumas pessoas que sinto que merecem um reconhecimento especial. Vince O' Brien, diretor de Gestão de Projetos em Equipe, e Ro e Keman, minha editora de produção por muitos anos, por me oferecerem incentivo e apoio. Hone tamentc, sem a aj uda deles, esta edição totalmente revista e melhorada não teria sido possível. Além disso, um associado e amigo de longa data, Kai Beng Yap, foi de grande ajuda na verificação de todo o manuscrito e na preparação das soluções de problemas. Uma nota de agradecimento especial a esse respeito também vai para Kurt Norlin da Laurel Tech Tntegrated Services Publishing. Durante o processo de produção, sou grato pela ajuda de minha esposa, Conny, e minha filha , Mary Ann, com a revisão c digitação necessárias para preparar o texto, para publicação. Por fim, gostaria de agradecer muitíssimo a todos os meus a lunos c aos colegas da pro fi são, que têm usado o tempo livre para enviar-me e-mails com sugestões c comentários. Como essa lista é longa demais para mencionar, espero que aqueles que ajudaram dessa forma aceitem este reconhecimento anônimo. Eu agradeceria muito ouvi-lo se em algum momento tiver comentários, sugestões ou problemas relacionados a quaisquer questões relacionadas a esta edição. Sobre o adaptador RUSSELL CHARLES HlBBELER bibbeler@bellsouth.net Fan a u C hcong, da Nanyang Technological Universi ty (NTU), Cingapura, recebeu seu PhD na Universidade de Hong Kong. O professor Fan também é vice- diretor do Centre for Advanced umerical Eogioeering Simulations {CANES) da TU. Sua experiência profissional inclui o trabalho e investigação em pontes, arranha-céus, estmturas em concha, cais, pavimentos, estruturas de cabo e paredes de diafragma de vidro. O professor Fan também foi o adaptador da 5. ed. e 6. ed. de Meclumics o f materiais de H ibbeler e da li. ed., em SI, das obras Engineering Meclumics: Statics and Dynamics. Princípios gerais Obietivos do capítulo • Fornecer uma introdução às quantidades básicos e idealizações do mecânico. • Apresentar o enunciado dos leis de Newton do movimento e do gravitação. • Revisor os princípios poro o aplicação do Sistema Internacional de Unidades (SI). • Examinar os procedimentos padrão de execução dos cálculos numéricos. • Apresentar uma orientação geral para o resolução de problemas. Mecânica A mecânica é um ramo das ciências fisicas que trata do estado de repouso ou movimento de corpos sujeitos à ação das forças. Em geral, esse assunto é subdividido em três áreas: mecânica dos corpos rígidos, mecânica dos corpos deformáveis e mecânica dos fluidos. Neste livro, estudaremos a mecânica dos corpos rígidos, uma vez que este é um requisito básico para o estudo das outras áreas. Além disso, ela é essencial para o projeto e a análise de muitos tipos de membros estruturais, compo- nentes mecânicos ou dispositivos elétricos encontrados na engenharia. A mecânica dos corpos rígidos divide-se em duas áreas: estática e dinâmica. A estática trata do equilíbrio dos corpos, ou seja, aqueles que estão em repouso ou em movimento, com velocidade constante; enquanto a dinâmica preocupa-se com o movimento acelerado dos corpos. Podemos considerar a estática um caso especial da dinâmica em que a aceleração é zero; entretanto, a estática merece um tratamento distinto na aprendizagem da engenharia, uma vez que muitos objetos são projetados com a intenção de permanecerem em equilíbrio. Desenvolvimento histórico Os princípios da estática desenvolveram-se na história há muito tempo, porque podiam ser formulados simplesmente a partir das medições da geometria e da força. Por exemplo, os escritos de Arquimedes (287-2 12 a.C.) tratam do princípio da alavanca. Os estudos sobre polia, plano inclinado e torção também aparecem registrados em escritos antigos, da época em que as necessidades da engenharia limitavam-se principalmente à construção de edificios. I 2 I Estático Como os princípios da dinâmica dependem de lllna medição precisa do tempo, esse assunto se desenvolvelll bem maistarde. Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros grandes colaboradores desse campo. Seu trabalho consistiu de experimentos usando pêndulos e corpos em queda livre. As contribuições mais significativas na dinâmica, no entanto, foram feitas por Isaac ewton ( 1642-1727), que é conhecido por sua formulação das três leis fundamentais do movimento e a lei universal da atração gravitacional. Logo após essas leis terem sido postuladas, importantes técnicas para a aplicação delas foram desenvolvidas por Euler, D' Alembert, Lagrange e outros. Conceitos fundamentais Antes de começarmos o nosso estudo da mecânica para engenharia é importante entender o significado de al.guns conceitos e princípios fundamentais. Quantidades básicas As quatro quantidades que se seguem são usadas em toda a mecânica. Comprimento O comprimento é usado para localizar a posição de um ponto no espaço e, portanto, descrever o tamanho de um sistema fisico. Uma vez definida a unidade padrão do comprimento, pode-se definir distâncias e propriedades geométricas de um corpo como múltiplos da un idade de comprimento. Tempo O tempo é concebido como uma sucessão de eventos. Embora os princípios da estática sejam independentes do tempo, essa quantidade desempenha um importante papel no estudo da djnâmica. Massa A massa é uma medida da quantidade de matéria que é usada para comparar a ação de um corpo com a de outro. Essa propriedade se manifesta como uma atração da gravidade entre dois corpos e fornece uma medida da resistência da matéria à mudança de velocidade. Forca • Em geral, a força é considerada um 'empurrão' ou 'puxão' exercido por um corpo sobre outro. Essa interação pode ocorrer quando existe contato direto entre dois corpos, tal como quando uma pessoa empurra uma parede; ou pode ocorrer à distância, quando os corpos estão fisicamente separados. Exemplos do último tipo incluem as forças da gravidade, elétrica e magnética. Em qualquer caso, uma força é completamente caracterizada pela sua intensidade, direção e ponto de aplicação. Modelos Os modelos ou idealizações são usados na mecânica para simplificar a aplicação da teoria. Vamos definir a seguir três modelos importantes. Partícula Uma partícula possui massa, mas em um tamanho que pode ser desprezado. Por exemplo, o tamanho da Terra é insignificante quando comparado com o tamanho de sua órbita e, portanto, ela pode ser modelada como uma partícula no estudo de seu movimento orbital. Quando um corpo é modelado como uma particula, os princípios da mecânica reduzem-se a uma fonna muito simplificada, uma vez que a geometria do corpo não estará envolvida na análise do problema. Capítulo 1 Corpo rígido Um corpo rígido pode ser considerado a combinação de um grande número de partículas que permanecem a uma distância fiXa umas das outras. tanto antes como depois da aplicação de uma carga. Esse modelo é importante porque as propriedades materiais de qualquer corpo assumido como rígido não precisam ser consideradas quando se estudam os efeitos das forças atuando sobre o corpo. a maioria dos ca os, as dcformaçõc reais que ocorrem em estruturas, máquinas, mecani mos c simi lares são relativamente pequenas, c a hipótese de corpo rígido é adequada para a análise. Forca concentrada • Umaforça concemrada representa o efeito de uma carga que supostamente age em um ponto do corpo. Podemos representar uma carga por uma força concentrada, desde que a área sobre a qual ela é aplicada seja pequena, comparada com o tamanho total do corpo. Um exemplo seria a força de contato entre uma roda e o solo. As três leis do movimento de Newton A mecânica para engenharia é fonnulada com base nas três leis do movimento de Newton, cuja validade é baseada na observação experimental. Essas leis se aplicam ao movimento de uma particula quando medido a partir de um sistema de referência não acelerado. Elas podem ser postuladas resumjdamente como a segui r. Primeira lei Uma partícula originalmente em repouso ou movendo-se em linha reta, com velocidade constante, tende a permanecer nesse estado, desde que não seja submetida a uma força em desequilíbrio (Figura l.la). Segunda lei Uma partícula sob a ação de umaforça em desequilíbrio F sofre uma aceleração a que po sui a mesma direção da força e intensidade diretamente proporcional à força (Figura 1.1 b). • Se F é aplicada a uma partícula de massa m, essa lei pode ser expressa matematicamente como: F = ma ( 1.1 ) Terceira lei As forças mútuas de ação c reação entre duas partículas são iguais, opostas e colincares (Figura 1.1 c). Lei de Newton da atra~ão gravitacional Depois de explicar suas três leis do movimento, Newton postulou a lei que govcma a atração gravitacional entre quaisquer duas partículas. Expressa matematicamente, onde: F= Gm,m2 1.). F = força da gravidade entre duas partículas ( 1.2) G = con tante univcr ai da gravitação; de acordo com evidência experimental, G = 66, 73( I O 11) m3 I (kg. s2) m" m2 = mas a de cada uma das duas partículas r = distância entre as duas partículas • Enunciado de outnl forma, a força em desequilibrio que atua sobre a partícula é proporcional :\ taxa de variação da quant idade de movimento linear da partícula. F Princípios gerais I 3 I Fl Equilíbrio (a) ,. a Movimento acelerado (b) (/orça de A sobre 8 ~ F A 8 \.força de 8 sobre A Ação - reação (c) Figura 1.1 I 4 I Estático Peso Segundo a Equação 1.2, quaisquer duas partículas ou corpos possuem uma força de atração mútua (gravitacional) agindo entre eles. Entretanto, no caso de uma partícula localizada sobre ou próxima à superficie da Terra, a única força da gravidade com intensidade considerável é aquela entre a Terra e a partícula. Consequentemente, essa força, denominada peso, será a única força da gravidade considerada em nosso estudo da mecânica. Pela Equação 1.2, podemos desenvolver uma expressão aproximada para encontrar o peso W de uma partícula com uma massa m1 = m. Se considerarmos a Terra uma esfera sem rotação de densidade constante e tendo uma massa m2 = M., e se r é a distância entre o centro da Terra e a partícula, temos: Adotando g = GMj ?, resulta: W=GmU ,.2 (1.3) Por comparação com F = ma, podemos ver que g é a aceleração devido à gravidade. Como ela depende de r, então o peso de um corpo não é uma quantidade absoluta. Em vez disso, sua intensidade é detenninada onde a medição foi feita. Para a maioria dos cálculos de engenharia, no entanto, g é detenninada ao nível do mar e na latitude de 45°, que é considerado o ' local padrão'. m Unidades de medida As quatro quantidades básicas - comprimento, tempo, massa e força - não são todas independentes umas das outras; na verdade, elas estão relacionadas pela segunda lei do movimento de Newton, F = ma. Por essa razão, as unidades usadas para medir essas quantidades não podem ser todas selecionadas arbitrariamente. A igualdade F = ma é mantida apenas se três das quatro unidades, chamadas unidades básicas, estiverem definidas e a quarta unidade for, então, derivada da equação. Unidades SI O Sistema Internacional de Unidades, abreviado como SI, do francês Systeme lnternational d'Unités, é uma versão moderna do sistema métrico, que recebeu aceitação mundial. Como mostra a Tabela 1.1 , o sistema SI define o comprimento em metros (m), o tempo em segundos (s) e a massa em quilof,rramas (kg). A unidade de força, chamada 'newton' (N), é derivada de F = ma. Portanto, I newton é igual à força necessária para fornecer I quilograma de massa a uma aceleração de I m/s2 (N = kg · m/s~. TABELA 1.1 Sistemas de unidades Nome Distância Tempo Massa Força Sistema Internacional Metro Segundo Quilograma Newton* de Unidades (SI) (m) (s) (kg) (N) ( kgs~ m ) *Unidade derivada. Capítulo 1 Se o peso de um corpo localizado no 'local padrão' for determinado em newtons, então, a Equação 1.3 deve ser aplicada. Nessa equação,as medidas fornecem g = 9,80665 rnls2; entretanto, para cálculos, será usado o valo r g = 9,81 rnls2• Assim, W = mg (g = 9.81 rnls2) (1 .4) Logo, um corpo de massa I kg possuí um peso de 9,81 N, um corpo de 2 kg pe a 19,62 c assim por diante (Figura 1.2). Sistema internacional de unidades O Sistema Internacional de Unidades (SI) será bastante usado neste livro, visto que ele deve se tornar o padrão de medida mundial. Portanto, apresentaremo agora algumas das regras para o seu uso e tenninologias relevantes a mecânica para engenharia. Prefixos Quando uma quantidade numérica é muito grande ou muito pequena, as unidades usadas para definir seu tamanho podem ser modificadas usando um prefixo. Alguns dos prefixos usados no SI são mostrados na Tabela 1.2. Cada um representa um múltiplo ou submúltiplo de uma unidade que, se aplicado sucessivamente. move o ponto decimal de uma quantidade numérica a cada três casas decímai . • Por exemplo, 4000000 N = 4000 kN (quilonewtons) = 4 MN (meganewtons), ou 0,005 m = 5 mm (milímetro ). Observe que o sistema SI não inclui o múltiplo deca ( I O) ou o submúltiplo centi (0,0 I), que fazem pane do sistema métrico. Exceto para algumas medidas de volume e área, o uso desses prefixos deve ser evitado na ciência e na engenharia. TABELA 1.2 Prefixos Forma exponencial Prefi xo lmbolo SI Múltiplos I 000000000 I 09 g•ga G I 000000 I 06 mega M I 000 I 03 qui lo k Submúltiplos 0,001 I O 3 mil i m 0,000001 lO~ . rmcro Jl 0,00000000 I lO 9 nano n Regras para uso As regras imponantes a seguir descrevem o uso apropriado dos vários símbolos do SI: • Quantidades definidas por diversas unidades que são múltiplas umas das outras são separadas por um ponto para evitar confusão com a notação do • O quilograma é a única unidade básica que é definida com prefixo. Princípios gerais I 5 I 9,8t Figura 1.2 I kg I 6 I Estático prefixo, como indicado por N = kg · m/s2 = kg · m · s 2• Também é o caso de m·s (metro-segundo) e ms (milissegundo). • A potência exponencial de uma unidade tendo um prefLXo se refere a ambos: a unidade e seu prefixo. Por exemplo, pN2 = <PNY = J1 • pN. Da mesma forma, nun2 representa (mmY = mm·mm. • Com a exceção da unidade básica quilograma, em geral, evite o uso de prefLXo no denominador das unidades compostas. Por exemplo, não escreva N/mm, mas sim kN/m; também m/mg deve ser escrito como Mm/kg. • Ao realizar cálculos, represente os números em tennos de suas unidades básicas ou derivadas convertendo todos os prefixos para potências de I O. O resultado final deve então ser expresso usando-se um prefixo simples. Também, após o cálculo, é melhor manter os valores numéricos entre O, I e I 000; caso contrário, um prefixo adequado deve ser escolhido. Por exemplo, (50 kN)(60 nm) = [50(103) N][60(10-9)m] = 3000(10 6) N · m = 3(10 3) N·m = 3mN·m Cálculos numéricos O trabalho numérico na prática da engenharia é quase sempre realizado usando calculadoras e computadores. Entretanto, é importante que as respostas de qualquer problema sejam apresentadas com precisão justificável de algarismos significativos apropriados. Nesta seção, discutiremos esses tópicos juntamente com outros aspectos importantes envolvidos em todos os cálculos de engenharia. Homogeneidade dimensional Os termos de qualquer equação usada para descrever um processo fisico devem ser dimensiono/mente homogêneos; isto é, cada termo deve ser expresso nas mesmas unidades. Nesse caso, todos os termos de uma equação podem ser combinados se os valores numéricos forem substituídos nas variáveis. Considere, por exemplo, a equação s = vt + tat2 , onde, no SI, s é a posição em metros, m, t é o tempo em segundos, s, v é a velocidade em m/s e a é a aceleração em mls2• Independentemente de como a equação seja calculada, ela mantém sua homogeneidade dimensional. Na forma descrita, cada um dos três termos é expresso em metros [m, (mls)s, (mll)s'] ou resolvendo para a, a = 2slf - 2vlt, os termos são expressos em unidades de m/s2 [m/s2, m/s2, (m/s)/s]. Observe com atenção que os problemas na mecânica sempre envolvem a solução de equações dimensionalmente homogêneas e, portanto, esse fato pode ser usado como uma verificação pardal para manipulações algébricas de uma equação. Algarismos significativos O número de algarismos significativos contidos em qualquer número detcm1ina a precisão dele. Por exemplo, o número 4981 contém quatro algarismos significativos. Entretanto, se zeros ocorrerem no final de um número, pode não ficar claro quantos algarismos significativos o número representa. Por exemplo, 23400 pode ter três (234), quatro (2340) ou cinco (23400) algarismos significativos. Para evitar essas ambiguidades, usaremos a notação de engenharia para expressar um resultado. Isso exige que os números sejam arredondados para a quantidade adequada de algarismos significativos e, em seguida, expressos em múltiplos de (103), tais como: (103), (106) Capítulo 1 ou (lO 9). Por exemplo, se 23400 tiver cinco algarismos significativo, ele é escrito como 23,400( I 03), mas se tiver apenas três algarismos significativos, ele é escrito como 23,4( I 03). Se zeros ocorrerem no início de um número menor que um, então não serão significativo . Por exemplo, 0,00821 possui três algarismo significativos. Usando a notação de engenharia, esse número é expresso como 8,21 (I O 3). Da mesma forma, 0,000582 pode ser expresso como 0,582( I O 3) ou 582( I O 6). Arredondamento de números Arredondar um número é necessário para que a precisão do resultado seja a mesma dos dados do problema. Como regra geral, quaJquer algarismo numérico terminado em cinco ou mais é arredondado para cima e um número menor que cinco é arredondado para baixo. As regras do arredondamento de números são mais bem ilustradas através de exemplos. Suponha que o número 3,5587 precise ser arredondado para três algarismos signi ficalivos. Como o quarto algarismo (8) é maior que 5, o terceiro número é arredondado para 3,56. De igual modo, 0,5896 se torna 0,590 c 9,3866 se torna 9,39. Se arredondarmos I ,34 1 para três algarismos significativos, como o quarto algarismo ( I) é menor que 5, então teremos I ,34. Semelhantemente, 0,3762 se torna 0,376 c 9,871 se toma 9,87. Existe um caso especial para qualquer número que tenha um 5 com zeros em seguida. Como regra geral, se o algarismo precedendo o 5 for um número par, então esse algarismo não é arredondado para cima. Se o algarismo precedendo o 5 for um número impar, então ele é arredondado para cima. Por exemplo, 75,25 arredondado para rrês algarismos significativos se torna 75,2; O, 1275 se toma O, 128; e 0,2555 se toma 0,256. Cál,ulos Quando uma sequência de cálculos é realizada, é melhor armazenar os resultados intennediários na calculadora. Em outras palavras, não arredonde os cálculos até expressar o resultado final. Esse procedimento mantém a preci ão por toda a série de etapas até a solução final. este texto, normalmente arredondamos as respostas para três algarismos significativos, já que a maioria dos dados na mecânica para engenharia, como geometria c cargas, podem ser medidos de maneira confiável nesse nível de precisão. I" Procedimentos gerais para análise A maneira mais eficaz de aprender os princípios da mecânica para engenharia é resolver problemas. Para obter sucesso nessa empreitada, é importante sempre apresentar o trabalho de uma maneira lógica e organi=ada. como sugerido na seguinte sequência de pas os: • Leia o problema cuidadosamente e tente correlacionar a situação fisica real com a teoria estudada. • Tabule os dados do problema e desenhe os diagramas necessários. • Aplique os princípios relevantes, geralmente na forma matemática. Ao escrever quaisquer equações, certifique-se de que sejam dimensional mente homogêneas. • Resolva as equações necessárias e expresse a resposta com até três algarismos significativos. • Estude a resposta com julgamentotécnico c bom senso para determinar se ela parece ou não razoável. Princípios gerais I 7 I I 8 I Estático Pontos importantes • Estática é o estudo dos corpos que estão em repouso ou se movendo com velocidade constante. • Uma partícula possui massa, mas sua dimensão pode ser desprezada. • Um corpo rígido não se deforma sob a ação de uma carga. • Forças concentradas são aquelas que atuam em um único ponto sobre um corpo. • As três leis de movimento de Newton devem ser memorizadas. • Massa é a medida de uma quantidade de matéria que não muda de um local para outro. • Peso refere-se à atração da gravidade da Terra sobre um corpo ou quantidade de massa. Sua intensidade depende da elevação em que a massa está localizada. • No SI, a unidade de força, o newton, é uma unidade derivada. O metro, o segundo e o quilograma são unidades básicas. • Os prefixos G, M, k, m, J1 e n são usados para representar quantidades numéricas grandes e pequenas. A expressão exponencial deve ser conhecida, bem como as regras para usar unidades do SI. • Realize cálculos numéricos com vários algarismos significativos e, depois, expresse a resposta com três algarismos significativos. • Manipulações algébricas de uma equação podem ser verificadas em parte conferindo se a equaçãio permanece dimensionalmente homogênea. • Conheça as regras de arredondamento de números. Exemplo 1.1 Converta 2 km/h em m/s. -SOLUCAO • Como I km = I 000 m e l h = 3600 s, os fatores de conversão são organizados na seguinte ordem, de modo que possa ser aplicado um cancelamento das unidades: 2 km/h = 2 jg11 ( 1 000 m ) ( l }Í ) )< jg11 3600 s = 2000 m = O 556 m/s 3600 s , NOTA: Lembre-se de arredondar a resposta para três algarismos significativos. Exemplo 1.2 Calcule numericamente cada uma das expressões e escreva cada resposta em unidades SI usando um prefixo apropriado: (a) (50 mN)(6 GN); (b) (400 mm) (0,6 M )2; (c) 45 MN3/900 Gg. -SOLUCAO • Primeiro, converta cada número em unidades básicas, efetue as operações indicadas e depois escolha um prefixo apropriado. Capítulo 1 Princípios gerais I 9 I Porte (o) (50 mN)(6 GN) = [50(10-3) N)[6(109) N) = 300(106) w = 300(106)-....t( 1kN )( 1kN ) Y' I 03 }( I 03 }( =300 kN2 NOTA: Observe com atenção a conversão kN2 = (kN)2 = 10•6 N2. Porte (b) (400 mm){0,6 MN)2 = [400(10-3) m][0,6 (106) N)2 = [400(10-3) m][0,36 (1012) N]2 = 144( I 09) m · N2 = 144 Gm · N2 Podemos escrever também: 144(109)m · N2 = 144(109)m · -....t'( IMN )( IMN ) Y' I 06 }( 1 06 }( Porte (c) I Problemas 45MW 900Gg = O 144m · MN2 ' 45 (I 06N)3 900(106) kg = 50(10\~f/kg 50(109) pr( lkN )3 j_ J03N kg =50 kN3/kg 1.1. Arredonde os seguintes nllmeros para três algarismos significativos: (a) 4,65735 m, (b) 55,578 s, (c) 4555 N e (d) 2768 kg. 1.2. Represente cada uma das seguintes combinações de unidades na forma do Sl correta usando o prefixo apropriado: (a) ,uMN, (b) N/,urn, (c) MN!ks2 e (d) kN/ms. 1.3. Represente cada uma das seguintes quantidades na forma SI correta usando um prefixo apropriado: (a) 0,000431 kg, (b) 35,3(103) N e (c) 0,00532 km. *1.4. Represente cada uma das seguintes quantidades na forma do SI correta usando um prefixo apropriado: (a) Mglms, (b) N/mm e (c) mN/(kg.,us). 1.5. Represente cada uma das seguintes quantidades tla forma do S I correta us ando um prefixo apropriado: (a) kN/,us, (b) MglmN e (c) MN/(kg. ms). 1.6. Represente cada uma das seguintes expressões com três algarismos significativos e expresse cada resu ltado em unidades SI usando um prefixo apropriado: (a) 45320 kN, (b) 568(10s) mm e (c) 0,00563 mg. 1.7. Um foguete possui uma massa de 3,65(106) kg na Terra. Especifique seu peso em unidades do SI. Se o foguete estiver na Lua, onde a aceleração devido à gravidade é g"' = I ,62 m/ s2, detennine com três algarismos significativos seu peso e sua massa em unidades do SI. *1.8. Se um carro está viajando a 88 km/h, determine sua velocidade em metros por segundo. 1.9. O pascal (Pa) é uma unidade de pressão muito pequena. Dado que l Pa = I N/m2 e a pressão atmosférica no nível do mar é I O 1,325 kN/m2, quantos pascais vale essa quantidade? 1.10. Qual é o peso em newtons de um objeto que tenha a massa de: (a) 10 kg, (b) 0,5 g e (c) 4,50 Mg? Expresse o resultado com três algarismos significativos. Use o prefixo apropriado. 1.11. Reso lva cada uma das seguintes expressões com três algarismos significativos e expresse cada resultado em unidad es SI usa ndo um prefixo apropriado: (a) 354 mg(45 km)/0,0356 kN), (b) 0,00453 Mg)(20 I ms) e (c) 435 MN/23,2 mm. *1.12. O peso específico (peso/volume) do bronze é 85 kN/m3 • Determine sua densidade (massa/volume) em unidades do SI. Use um prefixo apropriado. *1.13. Duas partículas possuem uma massa de 8 kg e 12 kg, respectivamente. Se elas estão a 800 mm uma da outra, determine a força da gravidade agindo entre elas. Compare esse resultado com o peso de cada partícula. 10 I Estático 1.14. Determine a massa em quilogramas de um objeto que tem um peso de (a) 20m , (b) ISO kN c (c) 60 MN. Expresse o resultado com três algarismos significativos. 1.15. Resolva cada uma das seguintes expressões com três algarismos significativos e expresse cada resposta em uni- dades do SI usando um prefixo apropriado: (a) (200 kN)2, (b) (0,005 mm)2 e (c) (400 m)1• 1.16. Usando as unidades básicas do SI, mostre que a Equação 1.2 é uma equação dimensional mente homogênea que resulta F em newtons. Determine com três algarismos significativos a força gravitacional agindo entre duas esferas que estão se tocando. A massa de cada esfera é 200 kg e o raio é 300 mm. •1.11. Resolva cada uma das seguintes expressões com três algarismos significativos e expresse cada resposta em unidades do SI usando um prefixo apropriado: (a) (0,631 Mm)/(8,60 kg)2 c (b) (35 mm)2(48 kg)l. 1.18. Resolva (204 mm)(0,00457 kg)/(34,6 N) com três algarismos significativos c expresse o resultado em unidades do SI usando um prefixo apropriado. Vetores de forca I Objetivos do capítulo • Mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. • Expressar a força e sua posição na forma de um vetor cartesiano e explicar como determinar a intensidade e a direção do vetor. • Introduzir o produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre outro. Escalares e vetores Todas as quantidades fisicas na mecânica para engenharia são medidas usando escalares ou vetores. Escalar Um escalar é qualquer quantidade fisica positiva Olll negativa que pode ser completamente especificada por sua intensidade. Exemplos de quantidades escalares incluem comprimento, massa e tempo. Vetor Um vetor é qualquer quantidade fisica que requer uma intensidade e uma direção para sua completa descrição. Exemplos de vetores encontrados na estática são força, posição e momento. Um vetor é representado graficamente por uma seta. O comprimento da seta representa a intensidade do vetor, e o ângulo e entre o vetor e um eixo fixo determina a direção de sua linha de ação. A ponta da seta indica o sentido da direção do vetor (Figura 2.1 ). Neste livro, as quantidades vetoriais são representadas por letras em negrito, como A, e sua intensidade aparece em itálico, como A. Para manuscritos, em geral, é conveniente indicar uma quantidade vetorial simplesmente desenhando uma seta -acima dela, como A . Intensidade Sentido ~ __.- A \ ~ Direção Figura 2.1 12 I Estática -O;Y Multiplicação e divisão escalares figura 2.2 (a) (a) Operações vetoriais Multiplica~ão e divisão de um vetor por um escalar Se um vetor é multiplicado por um escalar positivo, sua intensidade é aumentada por essa quantidade. Quando multiplicado por um escalar negativo, ele também mudará o sentido direcional do vetor. Exemplos gráficos são mostrados na Figura 2.2. Adicão de vetores' Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do paralelogramo da adição. Para ilustrar, os dois velares 'componentes ' A e B na Figura 2.3a são somados para formar um vetor 'resultanle' R = A + B usando o seguinte procedimento: • Primeiro, una as origens dos vetores componentes em um ponto de modo que se tornem concon·entes (Figura 2.3b). • A partir da extremidade de B, desenhe uma linha paralela a A. Desenhe outra linha a partiir da extremidade de A que seja paralela a B. Essas duas linhas se interceptam no ponto P para formar os lados adjacentes de um paralelogramo. • A diagonal desse paralelogramo que se estende até P forma R, que então representa o vetoT resultante R = A + B (Figura 2.3c). R = A + B Lei do paralelogramo (b) (c) figura 2.3 Também podemos somar B a A (Figura 2.4a) usando a regra do triângulo, que é um caso especial da lei do paralelogramo, em que o vetor B é somado ao vetor A da forma 'extremidade-para-origem', ou seja, conectando a extremidade de A com a origem de B (Figura 2.4b). O R resultante se estende da origem de A à extremidade de B. De modo semelhante, R também pode ser obtido somando A a B (Figura 2.4c). Por comparação, vemos que a adição de vetores é comutativa; em outras palavras, os vetores podem ser somados em qualquer ordem, ou seja, R = A + B = B + A. R R R = A + B R = B + A Regra do triângulo Regra do triângulo (b) (c) figura 2.4 Capítulo 2 Vetores de força 13 I No caso especial em que os dois vetores A e B são colineares, ou eja, ambos possuem a mesma linha de ação, a lei do paralelogramo reduz-se a uma adição algébrica ou escalar R - A + 8, como mostra a Figura 2.5. Subtracão de vetores • - A resultante da diferença entre dois vetores A e B do mesmo tipo pode cr expressa como: R' = A - B = A + ( - B) Essa soma de vetores é mostrada graficamente na Figura 2.6. A subtração é definida, portanto, como um caso especial da adição, de modo que as regras da adição vetorial também se aplicam à subtração de vetores. B Adicão vetorial de forcas , , -B Lei do paralclogr:uno Subtração de vetores Figura 2.6 ou Segundo experimentos, uma força é uma quantidade vetorial, pois possui intensidade, direção e sentido especificados, e sua soma é feita de acordo com a lei do paralelogramo. Dois problemas comuns em estática envolvem determinar a força resultante, conhecendo-se suas componentes ou decompor uma força conhecida em dua componentes. De crcvcrcmo agora como cada um desses problemas é resolvido usando a lei do paralelogramo. Determinando uma forca resultante • As duas forças componentes, F1 e F2, agindo sobre o pino da Figura 2.7a podem ser somadas para formar a força resultante FR = F 1 + F2, como mostra a Figura 2.7b. A partir dessa construção, ou usando a regra do triângulo (Figura 2.7c), podemos aplicar a lei dos cossenos ou a lei dos senos para o triângulo a fim de obter a intensidade da força resultante e sua direção. (a) (b) Figura 2.7 Determinando as componentes de uma força Algumas vezes é necessário decompor uma força em duas componentes para estudar seu efeito de 'empurrão' ou 'puxão' em duas direções especificas. Por exemplo, na Figura 2.8a, F deve ser decomposta em duas componentes ao longo dos R C· ==::::;;::====:::· A 8 R=A + B Adição de \'etorcs colincarcs figura 2.5 - B Construção do triângulo A lei do porolelogromo é usodo poro determinar o resultante dos duas forços ogindo sobre o goncho. v (c) 14 I Estática Usando o lei do porolelogromo, o forço F' cousodo pelo membro vertical pode ser decomposto nos componentes que ogem oo longo dos cobos de suspensão 11 e v. I I I I I I I FJ Figura 2.9 A forço resultante FR sobre o gancho requer o odiçõo de FI + F2. Depois o resultante é somado o F3. (a) ---- 11 Figura 2.1 O dois membros, definidos pelos eixos u e v. Para determinar a intensidade de cada componente, um paralelogramo é construído primeiro, desenhando linhas iniciando na extremidade de F, uma linha paralela a u e a outra linha paralela a v. Essas linhas então se interceptam com os eixos v eu, fonnando um paralelogramo. As componentes da força F" e F. são estabelecidas simplesmente unindo a origem de F com os pontos de interseção nos eixos u e v (Figura 2.8b). Esse paralelogramo pode então ser reduzido a um triângulo, que representa a regra do triângulo (Figura 2.8c). A partir disso, a lei dos senos pode ser aplicada para determinar as intensidades desconhecidas das componentes. v F 11 11 "'" "'" (a) (b) (c) Figura 2.8 Adicão de várias forcas ' . Se mais de duas forças precisam ser somadas, aplicações sucessivas da lei do paralelogramo podem ser realizadas para obter a força resultante. Por exemplo, se três forças, F 1, F2 e F3 atuam em um ponto O (Figura 2.9), a resultante de quaisquer duas das forças (digamos, F 1 + F2) é encontrada e, depois, essa resultante é somada à terceira força, produzindo a resultante das três forças, ou seja, FR = (F1 + F2) + F3. O uso da lei do paralelogramo para adicionar mais de duas forças, como mostrado, normalmente requer cálculos extensos de geometria e trigonometria para determinar os valores numéricos da intensidade e direção da resultante. Em vez disso, problemas desse tipo podem ser facilmente resolvidos usando o ' método das componentes retangulares', que será expl:icado na Seção 2.4. Procedimento para análise Problemas que envolvem a soma de duas forças podem ser resolvidos da seguinte . manetra: lei do paralelogramo • Duas forças 'componentes', F1 e F2 na Figura 2.1 Oa se somam confonne a lei do paralelogramo, dando uma força resultante F R que forma a diagonal do paralelogramo. • Se uma força F precisar ser decomposta em componentes ao longo de dois eixos u e v (Figura 2.1 Oh), então, iniciando na extrem idade da força F, construa linhas paralelas aos eixos, formando, assim, o paralelogramo. Os lados do paralelogramo represen tam as componentes, F" e F, .. • Rotule todas as intensidades das forças conhecidas e desconhecidas e os ângulos no esquema e identifique as duas forças desconhecidas quanto à intensidade e à direção de F R ou às intensidades de suas componentes. Trigonometria • Redescnhe metade do paralelogramo para ilustrar a adição triangular 'extremidade-para-origem' das componentes. Capítulo 2 Vetores de força 15 I • Por esse triângulo, a intensidade da força resultante é determinada pela lei dos cossenos, c sua direção, pela lei dos senos. As intensidades das duas componentes de força são detenninadas pela lei dos seno . As fónnulas são mostradas na Figura 2. 1 Oc. Pontos importantes • Escalar é um número positivo ou negativo. • Vetor é uma quantidade que possui intensidade, direção e sentido. • A multiplicação ou divisão de um vetor por um escalar muda a intensidade do vetor. O sentido dele mudará se o escalar for negativo. • Como um caso especial, se os vetores forem colineares, a resultante será formada pela adição algébrica ou escalar. Exemplo 2.1 O gancho na Figura 2.1 1 a está sujeito a duas forças, F 1 e F 2• Oetenninc a intensidade e a direção da força resultante. F1- IOO 10° 15° FR c Lei dos cossenos: C \A· _._ 8 2 - 2A8 cos c Lei dos senos: A _ 8 _ C seno- scnb - scnc I (c) Figura 2.1 O A 65° 360 - 2(65°) 2 = 115° )~~ IOON ~( J50 90°- 25° = 65° (a) -SOLUCAO • lei do paralelogramo O paralelogramo é formado por uma linha a partir da extremidade de F1 que seja paralela a F2 c outra linha a partir da extremidade de F2 que seja paralela a F1• A força resultante F R estende-se para onde essas linhas se interceptam no ponto A (Figura 2.11 b). As dua incógnita ão a intensidade de F R e o ângulo O (teta). Trigonometria A partir do paralelogramo, o triângulo vetorial é construído (Figura 2.1lc). Usando a lei dos cossenos FR = J( IOO N? + (150 N?- 2{100 N)(l50 N) cos 11 5° = J IO 000 + 22 500-30 000(-0,4226) = 2 12,6 N = 213 N (b) / 115° o~ ~~JSO .oo ! (c) Figura 2.11 150 16 I Estática 11 600 N v (a) Aplicando a lei dos senos para determinar 8, 150 N _ 212,6 N sen 0 = 150 N (sen 115o) sen e sen il 5° 212,6 N e= 39,8° Logo, a direção (J (fi) de F R• medida a partir da horizontal, é: "' = 39 8° + 15 0° =54 8° 'f' ' ' ' NOTA: Os resultados parecem razoáveis, visto que a Figura 2.1 1 b mostra que F R possui uma intensidade maior que suas componentes e uma direção que está entre elas. Exemplo 2.2 Decomponha a força horizontal de 600 N da Figura 2.12a nas componentes que atuam ao longo dos eixos u e v e determine as intensidades dessas componentes. 600 N c I v (b) (c) Figura 2.12 -SOLUCAO • O paralelogramo é construído estendendo-se uma linha da extremidade da força de 600 N paralela ao eixo v até que ela intercepte o eixo u no ponto B (Figura 2. 12b). A seta de A para B representa F". Da mesma forma, a linha estendida da extremidade da força de 600 N paralelamente ao eixo 11 intercepta o eixo v no ponto C, que resulta em F,. A adição de vetores usando a regra do triângulo é mostrada na Figura 2.12c. As duas incógnitas são as intensidades de F, e F,,. Aplicando a lei dos senos, F. _ 600 N sen 120° sen 30° F,,= 1039N F. _ 600 N sen 30° sen 30° F,.= 600 N NOTA: O resultado para F,. mostra que algumas vezes uma componente pode ter uma intensidade maior do que a resultante. Capítulo 2 Vetores de força 17 I Exemplo 2.3 Determine a intensidade da força componente F na Figura 2.13a c a intensidade da força resultante se F R c tiver direcionada ao longo do eixo y positivo . .1' (a) (b) -SOLUCAO • Figura 2.13 A lei do paralelogramo da adição é mostrada na Figura 2.13b e a regra do triângulo é mostrada na Figura 2.13c. As intensidades de F R e F são as duas incógnitas. Elas podem ser determinadas aplicando-se a lei dos senos. F _ 200 sen 60° sen 45° F= 245 N FR 200N sen 75° sen 45° FR = 273 N Exemplo 2.4 • E necessário que a força resultante que age sobre a argola na Figura 2.14a seja direcionada ao longo do eixo x positivo e que F2 tenha uma intensidade mínima. Determine essa intensidade, o ângulo (}e a força resultante correspondente. F, R 800 N F, - (a) (b) -SOLUCAO Figura 2.14 • A regra do triângulo para F R = F1 + F2 é mostrada na Figura 2.14b. Como as intensidades (comprimento) de F11 e F2 não são especificadas, então F2 pode ser (c) F 800 I 0= 9W (c) 18 I Estática qualquer vetor que tenha s·ua extremidade tocando a linha de ação de F R (Figura 2. 14c). Entretanto, como mostra a figura, a intensidade de F2 é uma distância mínima, ou a mais curta, quando sua linha de ação é pe1pendicular à linha de ação de F R• ou seja, quando e== 90° Como a adição vetorial fonna agora um triângulo reto, as duas intensidades desconhecidas podem ser obtidas pela trigonometria. Problemas fundamentais* 2.1. Determine a intensidade da força resultante que atua sobre a argola e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x. Problema 2.1 2.2. Duas forças atuam sobre o gancho. Detennine a intensidade da força resultante. I 30° I h 2oo 40° / SOON Problema 2.2 2.3. Detennine a intensidade da força resultante c sua direção, medida no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. y I 800N Problema 2.3 FR == (800 N)cos 60° == 400 N F2 == (800 N)sen 60° == 693 N *Soluções parciais e respostas poro todos os problemas fundamentais são fornecidos no final do livro. 2.4. Decomponha a força de 300 N nas componentes ao longo dos eixos u e v, e detennine a intensidade de cada uma dessas componentes. v Problema 2.4 2.5 . A força F== 900 N atua sobre a estrutura. Decomponha essa força nas componentes que atuam ao longo dos membros AB e AC, e determine a intensidade de cada componente. Ayoo c o 900N Problema 2.5 2.6. Se a força F precisa ter uma componente ao longo do eixo u com Fu == 6 kN, determine a intensidade de F e de sua componente F. ao longo do eixo v. u Problema 2.6 •2.1. Se e = 30° e T = 6 kN, determine a intensidade da força resultante que atua sobre a argola e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x positivo. 2.2. Se O= 60° e T = 5 kN, determine a intensidade da força resultante que atua sobre a argola e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x positivo. 2.3. Se a intensidade da força resultante deve ser 9 kN direcionada ao longo do eixox positivo, determine a intensidade da força T que atua sobre a argola e seu ângulo e. y T 8k Problemas 2.1 /2/3 •2.4. Determine a intensidade da força resultante que atua sobre o suporte e sua direção, medida no sentido anti-horário a partir do eixo u positivo. •2.5. Decomponha F 1 em componentes ao longo dos eixos u e v, e determine suas intensidades. 2.6. Decomponha F2 em componentes ao longo dos eixos u c v, c determine suas intensidades. li Problemas 2.4/S/6 2.7. Se F8 = 2 kN e a força resultante atua ao longo do eixo u positivo, determine a intensidade da força resultante e o ângulo e. •2.8. Se a força resultante precisa atuar ao longo do eixo u positivo e ter uma intensidade de 5 kN, determine a intensidade necessária de F 8 e sua direção e. r:o~o~~;~R3~~F,.~- 3 kNx 00 00 00 Fn Problemas 2.7/8 Capítulo 2 Vetores de força 19 I •2.9. A chapa está submetida a duas forças em A e B, como mostrado na figura. Se e = 60°, detennine a intensidade da resultante das duas forças e sua direção medida no sentido horário a partir da horizontal. 2.10. Determine o ângu lo de (J para conectar o membro A à chapa de modo que a força resultante de FA e F8 seja direcionada horizontalmente para a direita. Além disso, infonne qual é a intensidade da força resultante. fà & 8 kN Problemas 2. 9/ 1 O 2.11. Se a tração no cabo é 400 N, determine a intensidade e a direção da força resultante que atua sobre a polia. Esse ângulo é o mesmo ângulo f) da linha AB no bloco do carretel. 400N Y 30° Problema 2.11 •2.12. O dispositivo é usado para a substituição cirúrgica da articulação do joelho. Se a força que atua ao longo da perna é 360 N, determine suas componentes ao longo dos eixos x e y'. 2.13. O dispositivo é usado para a substituição cirúrgica da articulação do joelho. Se a força que atua ao longo da perna é 360 N, detennine suas componentes ao longo dos eixos x' e y. y' y 360 N Problemas 2.12/13 I 20 I Estático 2.14. Detennine o ângulo O (0° :;: O:;: 90°) para o tirante A 8, de modo que a força horizontal de 800 N tenha uma componente de I 000 N direcionado de A até C. Qual é a componente da força que atua ao longo do membro AB? Considere; = 40°. 2.15. Determine o ângulo ; (0° < ; < 90°) entre os tirantes A8 e AC, de modo que a força horizontal de 800 tenha uma componente de 1200 que atue para a esquerda, na direção de 8 para A. Considere O= 30°. 800 A 8 Problemas 2.14 I 1 S •2.16. Decomponha F1 nas componentes que atuam ao longo dos eixos LI e v e determine suas intensidades. •2.17. Decomponha F2 nas componentes que atuam ao longo dos eixos LI e v e determine suas intensidades. 11 11 Problemas 2.16 I 17 2.18. A caminhonete precisa ser rcbocada usando duas cordas. Detennine as intensidades das forças F,. e F8 que atuam em cada corda para produzir uma força resultante de 950 N, orientada ao longo do eixo x positivo. Considere O = 50°. 2.19. A caminhonete precisa ser rcbocada usando duas cordas. Se a força resultante deve ser de 950 , orientada ao longo do eixox positivo, determine as intensidades das forças F~ e F 8 que atuam sobre cada corda e o ângulo (} de F 8. de modo que a inten idade de F8 seja mínima. F,. atua a 20° do eixo x, como mostra a figura. Problemas 2.18 I 19 •2.20. Se; = 45°, F1 = 5 k c a força resultante é de 6 k , orientada ao longo do eixo y positivo, determine a intensidade necessária de F2 e sua direçãoO. •2.21. Se ; = 30° e a força resultante deve ser de 6 kN, orientada ao longo do eixo y positivo, determine as intensidade de F1 e F2, e o ângulo O, se F2 necessita ser • • mtmma. 2.22. Se ; = 30°, F, = 5 kN e a força resultante deve ser orientada ao longo do eixo y positivo, detcnnine a intensidade da força resultante, se F2 necessita ser mínima. Além disso, quais os valores de F2 c do ângulo (}? Problemas 2.20121 122 2.23. Se O = 30° e F2 = 6 k , determine a intensidade da força resultante que atua obre a chapa e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x positivo. •2.24. Se a força resultante FR está orientada ao longo da linha a 75° no sentido horário a partir do eixo x positivo e a intensidade de F2 deve ser mínima, determine as intensidades de FR e F2, c o ângulo O:;: 90°. Problemas 2.23124 •2.25. Duas forças F1 c F2 atuem sobre o gancho. Se suas linhas de ação formam um ângulo (}c a intensidade de cada força é F 1 = F2 = F, determine a intensidade da força resultante F R e o ângulo entre F R e F1. Problema 2.25 2.26. A tora deve ser rebocada por dois tratores A e B. Detennine as intensidades das duas forças de reboque FA e F 8. levando-se em conta que a força resultante tenha uma intensidade FR = I O kN e seja orientada ao longo o eixo x. Considere 8 = 15°. 2.21. A resultante F R das duas forças que atuam sobre a tora deve estar orientada ao longo do eixo x positivo e ter uma intensidade de I O kN. Determine o ângulo O do cabo acoplado a B para que a intensidade da força F 8 nesse cabo seja mínima. Qual é a intensidade da força em cada cabo, nessa situação? y 8 Problemas 2.26/ 27 *2.28. A viga deve ser içada usando-se duas correntes. Detennine as intensidades das forças FA e F 8 que atuam em cada corrente, a fim de obter uma força resultante de 600 N orientada ao longo do eixo y positivo. Considere O = 45°. •2.29. A viga deve ser içada usando-se duas correntes. Se a força resultante for de 600 N, orientada ao longo do eixo y positivo, detennine as intensidades das forças FA e F8 que atuam em cada corrente e o ângulo O de F8 . para que a intensidade de F8 seja mínima. FA atua a 30° do eixo y, como mostra a figura. y ------x Problemas 2.28/ 29 Capítulo 2 Vetores de força I 21 2.30. Três correntes atuam sobre o suporte, de modo a criarem uma força resultante com intensidade de I 000 N. Se duas das correntes estão submetidas a forças conhecidas, como mostra a figura , determine o ângulo e da terceira corrente, medida no sentido horário a partir do eixo x positivo, de modo que a intensidade da força F nessa corrente seja mínima. Todas as forças estão localizadas no plano x- y. Qual é a intensidade de F? Dica: Detennine primeiro a resultante das duas forças conhecidas. A força F atua nessa direção. y I 400 N Problema 2.30 2.31. Três cabos puxam um tubo de tal modo que geram uma força resultante com intensidade de 1800 N. Se dois dos cabos estiverem submetidos a forças conhecidas, como mostra a figura, detennine o ângulo e do terceiro cabo, de modo que a intensidade da força F neste cabo seja mínima. Todas as forças estão localizadas no plano x- y. Qual é a intensidade de F? Dica: Determine primeiro a resultante das duas forças conhecidas. F Problema 2.31 I 22 I Estática y (a) y F,, F (b) Figura 2.1 S y jt Te-----~ F "; l ~=::-==:!::-----==-~:-X 1---Fx ----l Figura 2.16 Adição de um sistema de forças coplanares Quando uma força é dec·omposta em duas componentes ao longo dos eixos x e y, as componentes são, então, chamadas de componentes retangulares. Para um trabalho analítico, podemos representar essas componentes de duas maneiras, usando a notação escalar ou a notação de vetor cartesiano. Notacão escalar , As componentes retangulares da força F mostrados na Figura 2. 15a são determinadas usando a lei do paralelogramo, de modo que F = F,. + Fr Como essas componentes formam um triângulo retângulo, suas intensidades podem ser determinadas por: F.. = F cos fJ e F,. = F scn f) No entanto, em vez de usar o ângulo (), a direção de F também pode ser definida por um pequeno triângulo '.da inclinação', como mostra a Figura 2. 15b. Como esse triângulo e o triângulo maior sombreado são semelhantes, o comprimento proporcional dos lados fomece: ou e ou Fx a y=-c F, b y=-; A componente y é um escalar negativo, já que F,. está orientada ao longo do eixo y negativo. É importante lembrar que a notação escalar positiva e negativa deve ser usada apenas para fins de cálculos, não para representações gráficas em figuras. Neste livro, a ponta (extremidade) de uma seta do vetor em qualquer figura representa o sentido do vetor graficamente; sinais algébricos não são usados para esse propósito. Portanto, os vetores nas figuras 2.15a e 2. 15b são representados em negrito (vetor).* Sempre que forem escritos símbolos em itálico próximo das setas dos vetores nas figUJas, eles indicam a intensidade do vetor, que é sempre uma quantidade positiva. Notacão vetorial cartesiana , Também é possível representar as componentes x e y de uma força em termos de vetores cartesianos unitários i e j . Cada um desses vetores unitários possui intensidade adimensional igual a um e, portanto, pode ser usado para designar as direções dos eixos x e y, respectivamente (Figura 2.1 6). ** • Sinais negativos são usados em figuras com notação em negri to apenas quando mostram pares de vetores iguais, mas opostos, como na Figura 2.2. •• Em tr.1balhos manuscritos, os vetores unitários normalmente são indicados por acento circunflexo, por exemplo, 1 c j'. Esses vetores têm intensidade adimcnsional unitária, c seu sentido (ou ponta de seta) será descri to analiticamente por um sinal de mais ou de menos, se apontarem para o sentido positivo ou negativo do eixo x ou y . Capítulo 2 Vetores de forço I 23 I Como a intensidade de cada componente de F é sempre uma quantidade positi1•a, representada pelos escalares (positivos) F, e F}~ então, podemos expressar F como um vetor cartesiano. F = F) ... ~.j Resultante de for~as coplanares Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado para determinar a re ultantc de várias forças coplanares. Para tanto, cada força é decomposta em suas componentes x c y; depois, as respectivas componentes são somadas usando-se álgebra escalar, uma vez que são colineares. A força resultante é então composta adicionando-se as componentes por meio da lei do paralelogramo. Por exemplo, considere as três forças concorrentes na Figura 2.17a, que têm as componentes x e Jl, como mostra a Fib'11111 2. 17b. Usando a notação vetorial cartesiana, cada força é representada como um vetor cartesiano, ou seja, F1 = F"í + F1, j F2 = - Fl ) + F2,j F3 = F3 ) - F3_.j O vetor resultante é, portanto, FR = F,+ F2+ FJ = F ... i + F" j - Fü:i + F2j + F3) - F 3.j = (F,x- F ü: + FJr) i + (F,_, + F2,.- F ,,.) j = (F R.r) i + (F ll)·)j Se for usada a notação escalar, temos então, (±) (+I) Esses são os mesmos resultados das componentes i e j de F R determinados anteriormente. As componentes da força resultante de qualquer número de forças coplanares podem ser representadas simbolicamente pela soma algébrica das componentes x c y de todas as forças, ou seja, FR.r = 'f.F, F ='LF (2.1) Uma vez que estas componentes são determinadas, elas podem ser esquematizadas ao longo dos eixos x e y com seus sentidos de direção apropriados, e a força resultante pode ser determinada pela adição vetorial, como mostra a Figura 2.17. Pelo esquema, a intensidade de F R é determinada pelo teorema de Pitágoras, ou seja, FR= / Fi.+ F~ Além disso, o ângulo(), que especifica a direção da força resultante, é determinado por meio da trigonometria: Os conceitos anteriores são ilustrados numericamente nos exemplos que se seguem. .... y (a) (b) y (c) ftgura 2.17 I 24 I Estática A forço resultantedos quatro forças dos cabos que atuam sobre o suporte de ancoragem pode ser determinado somond~se algebricamente os componentes x e y do forço de cada cabo. Essa resultante F0 produz o mesmo efeito de puxão no suporte que todos os quatro cabos. y (a) )' ' \ 30c \':"" ' ' F1x = 200 sen 30°N (b) y (c) Figura 2.18 Pontos importantes • A resultante de várias forças coplanares pode ser detcnuinada facilmente se for estabelecido um sistema de coordenadasx c y e as forças forem decompostas ao longo dos eixos. • A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua linha de ação fonna com um dos eixos, ou por um triângulo da inclinação. • A orientação dos eixos x e y é arbitrária e sua direção positiva pode ser especificada pelos vetores cartesianos unitários i e j . • As componentes x e y da força resultante são simplesmente a soma algébrica das componentes de todas as forças coplanares. • A intensidade da força resultante é detenninada pelo teorema de Pitágoras e, quando as componentes são esquematizadas nos eixos x e y, a direção é detenninada por meio da trigonometria. Exemplo 2.5 Determine as componentes x e y de F 1 e F 2 que atuam sobre a lança mostrada na Figura 2.18a. Expresse cada força como um vetor cartesiano. -SOLUCAO • Notocão escolar • Pela lei do paralelogramo, F 1 é decomposta nas componentes x e y (Figura 2. 18b). Como F 1 .. atua na direção - -r e F 1y. na direção +y, temos: F 1x = -200 sen 30° N = - 100 N = 100 N - F1>, = 200 cos 30° = I 73 N = 173 N 1 A força F2 é decomposta em suas componentes x e y, como mostra a Figura 2. 18c. Nesse caso, a inclinação da linha de ação da força é indicada. A partir desse ' triângulo da inclinação', podemos obter o ângulo e, ou seja, e = tg-l ( 152 ). e detenuinar as intensidades das componentes da mesma maneira que fizemos para F 1• O método mais fácil, entretanto, consiste em usar partes proporcionais de triângulos semelhantes, OU Seja, Fl, 260N Da mesma forma, F2x = 260 N ( : ~ ) = 240 N Observe que a intensidade da componente horizontal, F 2., foi obtida multiplicando a intensidade da força pela relação entre o lado horizontal do triângulo da inclinação dividido pela hipotenusa; enquanto a intensidade da componente vertical, F21, foi obtida multiplicando a intens idade da força pela relação entre o lado vertical dividido pela hipotenusa. Então, F 2x = 240 N = 240 N - F2y = - I 00 N = I 00 N I I 26 I Estática 383,2 N y f: = 250 N 450 2 (a) (b) y I 296,8 N (c) Figura 2.20 Exemplo 2.7 A ponta de uma lança O na Figura 2.20a está submetida a três forças coplanares c concorrentes. Determine a intensidade e a direção da força resultante. -SOLUCAO • Cada força é decomposta em suas componentes x e y (Figura 2.206). Somando as componentes x, temos: .!'. FRx = L.Fx; FRx = -400 N + 250 sen 45° N - 200( ~ ) N = -383 ,2 N = 383,2 N - O sinal negativo indjca que F R.r atua para a esquerda, ou seja, na direção x negativa, como observamos pela pequena seta. Obviamente, isso ocorre porque F , e F3 na Figura 2.20b contribuem com um puxão maior para a esquerda do que F2, que puxa para a direita. Somando as componentes de y, temos: . r FRy = L.F, ; FRy = 250cos 45° N + 200( ~) N = 296,8N I A força resultante, mostrada na Figura 2.20c, possui a seguinte intensidade: FR = / ( - 383,2 N)2 + (296,8 N? = 485N Da adição de vetores na Figura 2.20c, o ângulo de direção ()é: B = t - I ( 296,8) = 37 80 g 383 2 , , NOTA: A aplicação desse método é mais conveniente quando comparado às duas aplicações da lei do paralelogramo, primeiro para somar F, e F2, depois para somar F3 a essa resultante. Problemas fundamentais 2.1. Decomponha cada força que atua sobre o poste em 2.8.. Determine a intensidade e a direção da força resultante. suas componentes x e y. 250 N y F1 = 300N Problema 2.7 y . . . . ~ • • • • . . .. .•. Problema 2.8 400 N 300N 2.9. Determine a intensidade da força resultante que atua sobre a cantoneira c sua direção O, medida no sentido anti- -horário a partir do eixo x. y Problema 2. 9 2.10. Se a força resultante que atua sobre o suporte for 750 N direcionada ao longo do eixo x positivo, determine a intensidade de F e sua direção O. y 325 N Problema 2.1 O I Problemas •2.32. Determine a intensidade da força resultante que atua sobre o pino e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x positivo. F 1 = 150N Problema 2.32 •2.33. Se F1 = 600 N e~ = 30°, determine a intensidade da força resultante que atua sobre a argola e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x positivo. Capítulo 2 Vetores de forço I 27 I 2.11. Se a intensidade da força resultante que atua sobre o suporte for 400 N direcionada ao longo do eixo u, determine a intensidade de F e sua direção O. y 250 450 11 Problema 2.11 2.12. Determine a intensidade da força resultante e sua direção e, medida no sentido anti-horário a partir do eixo x. y F 1 = 15 kN F3 = 15 kN 3 -----x Problema 2.12 2.34. Se a intensidade da força resultante que atua sobre a argola é 600 N e sua direção no sentido horário do eixo x positivo é O= 30°, determine a intensidade de F1 e o ângulo~- y F3 = 450N Problemas 2.33/ 34 I 28 I Estático 2.35. O ponto de contato entre o fêmur c a tíbia está em A. Se uma força vertical de 875 N é aplicada nesse ponto, detenninc as componentes ao longo dos eixos x e y. Observe que a componente y representa a força nonnal na região da carga de rolamento dos ossos. As componentes x e y dessa força fazem com que o nuido sinovial seja comprimido para fora do espaço de rolamento. )' 875 N X Problema 2.35 ' 2.36. Se ; = 30° c F2 = 3 k , dctcnninc a intensidade da força resultante que atua sobre a chapa e sua direção 8, medida no sentido horário a partir do eixo x positivo. •2.37. Se a intensidade da força resultante que atua sobre a chapa preci a ser 6 kN c sua direção no sentido borãrio do eixo x positivo é O = 30°, dctennine a intensidade de F2 e sua direção ;. 2.38. Se ; = 30° e a força resultante que atua sobre a placa de ligação é direcionada ao longo do eixo x positivo, determine as intensidades de F2 c da força resultante. SkN Problemas 2.36/ 37/ 38 2.39. Detennine a intensidade de F1 e sua direção e. de modo que a força resultante seja direcionada verticalmente para cima e tenha a intensidade de 800 N. ' 2.40. Dctcnninc a intensidade e a direção, medida no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo, da força resultante das três forças que atuam sobre o anel A. Considere F 1 = 500 N c O = 20°. Problemas 2.39 I 40 •2.41. Determine a intensidade e a direção e de F B• de modo que a força resultante seja direcionada ao longo do eixo y positivo c tenha uma intensidade de 1500 N. 2.42. Determine a intensidade e o ângulo medido no sentido antit-horário a partir do eixo y positivo da força resultante que atua no suporte se F8 = 600 N e e = 20°. y Ff 700 Problemas 2.41 / 42 2.43 . Se ~ = 30° e F 1 = 1,25 kN, determine a intensidade da força resultante que atua sobre o suporte e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x positivo. *2.44. Se a intensidade da força resultante que atua sobre o suporte é 2 kN direcionada ao longo do eixo x positivo, determine a intensidade de F1 c sua direção ~· •2.4 5. Se a força resultante que atua sobre o suporte precisa ser direcionada ao longo do eixo x positivo e a intensidade de F 1 precisa ser mínima, detennine as intensidades da força resultante e de F1• )' Fz- 1,5 kN Problemas 2.43/ 44/ 45 2.46. As três forças concorrentes que atuam sobre o olhai produzem uma força resultante FR =O. Se F2 = ~ F 1 e F 11 precisa estar a 90° de F2, como mostra a figura, determine a intensidade necessária de F3 expressa em função de F1 e o ângulo e. Problema 2.46 2.47. Detem1jne a intensidade de FA e sua direção e, de
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