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Probabilidade e Estatística
Aula 1 - 66,7 
Estatística é a ciência que estuda método de coleta, organização, descrição, análise e interpretação dos dados, para a obtenção de conclusões válidas e tomada de decisões.
Estatística Descritiva – Coleta, a organização e a descrição dos dados
Estatística Inferencial – Análise e a Interpretação dos dados 
Estatísticas das Probabilidades – Estudo do risco e do acaso de eventos futuros e determina se é provável ou não seu conhecimento
População e Amostra
Ao conjunto ou grupo de indivíduos que possuem pelo menos uma característica em comum, denominamos de população estatística ou de universo estatístico
Estatística: conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, organizar, descrever, analisar e interpretar dados provenientes de estudos ou experimentos, realizados em qualquer área do conhecimento.
População: é o conjunto total de elementos que tem determinada característica que se deseja estudar. 
Amostra: é uma parte da população de interesse a que se tem acesso para se desenvolver o estudo estatístico.
Os dados amostrais devem ser coletados de modo apropriado, de modo que os dados sejam representativos da população da qual foram extraídos.
Parâmetro: é uma medida numérica que descreve alguma característica de uma população.
Estatística: é uma medida numérica que descreve alguma característica de uma amostra.
Variáveis Qualitativas
São variáveis que assumem como possíveis respostas atributos e /ou qualidades. Se tais respostas têm uma ordenação natural, então elas são classificadas como qualitativas ordinais.
Exemplos: Classe social: baixa, média, alta. / Tamanho de uma embalagem: pequeno, médio, grande.
Quando não for possível estabelecer uma ordem natural entre suas respostas, elas são classificadas como qualitativas nominais.
Exemplos: Gênero: masculino ou feminino. / Estado civil: solteiro, casado, viúvo, divorciado.
Variáveis Quantitativas
São variáveis que assumem como possíveis respostas números e podem ser subdivididas em discretas e contínuas.
As variáveis quantitativas discretas são resultantes de contagens, assumindo assim, valores inteiros.
Exemplos: Número de irmãos: 0, 1, 2, ... / Número de peças defeituosas em um lote: 0, 1, 2, 3, ...
As variáveis quantitativas contínuas assumem valores em intervalos dos números reais e, geralmente, são provenientes de uma mensuração.
Exemplos: Peso, Altura
Organização dos dados
Dados brutos: dados coletados sem manipulação ou ordenação.
Rol: sequência ordenada (crescente ou decrescente) dos dados brutos. A ordenação do conjunto de dados brutos facilita a contagem do número de vezes que cada dado ocorre.
Exemplo 1: os dados abaixo são referentes às idades de funcionários do setor administrativo de uma empresa: 
22 24 19 21 25 18 28 24 25 28 22 25
O Rol para este conjunto de dados é: 18 19 21 22 22 24 24 25 25 25 28 28 
Aula 2 - 100%
Distribuição de Frequências
É uma tabela que viabiliza a extração rápida de uma grande quantidade de informações sobre um problema aplicado.
Utilizando Gráficos 
A visualização gráfica para uma distribuição de frequências é sempre bastante esclarecedora quanto desejamos extrair informações de um problema aplicado
Diagrama representativo para uma distribuição de frequências sem intervalos de classes - É um tipo de gráfico estatístico que para elaborá-lo, dispomos na linha horizontal os valores assumidos pela variável do problema e a seguir levantamos sobre cada valor da variável um segmento de reta vertical com medida correspondente ao valor da sua frequência simples.          
Gráfico de Colunas -É uma boa forma de visualizar a distribuição de frequências, apresenta as frequências sob a forma de barras verticais levantadas sobre os dados que aparecem organizados na linha horizontal.  
Diagrama ou gráfico de barras - Apresenta as frequências simples ou relativas sob a forma de barras horizontais, separadas entre si.
Gráfico ou Diagrama de Setores - Representa as frequências simples ou relativas sob a forma de setores de um círculo, aponta de forma muito clara os dados mais representativos da distribuição de frequências.
Para distribuir frequências precisamos de 3 tabelas com as seguintes informações 
	Variável
	Frequência
	Porcentagem
A variável estará no enunciado, a frequência e a quantidade de vezes da variável e a porcentagem sempre terá a seguinte regra número da frequência dividido pelo total de as frequências (conforme variável) vezes 100.
OBS: Realizar o ROL sempre quando a variável estiver misturada, conforme exemplo abaixo 
Variável misturada - 4 1 3 2 1 2 4 5 3 2 3 ROL = 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 
	Variável
	Frequência
	Porcentagem
	1
	2
	20%
	2
	2
	20%
	3
	3
	30%
	4
	2
	20%
	5
	1
	10%
	Total
	10
	100%
Aula 3 – 83,3
Apresentação e Organização de Dados Agrupados em Classes
Para ilustrar a criação de classes de freqüências considere o problema a seguir:
Exemplo
Suponha que tenha sido feita uma coleta de dados relativos às estaturas de quarenta alunos da faculdade A. O resultado da pesquisa foi apresentado na seguinte tabela primitiva
Tabela 1: Tabela Primitiva
Estatura de 40 alunos da faculdade A
Esses são os dados primitivos que estão apresentados sem nenhuma ordenação. O primeiro passo é ordená-los em um Rol para que possamos separá–los posteriormente em intervalos de classes.
Tabela 2: Rol
Estatura de 40 alunos da faculdade A
Com a tabela ordenada fica fácil visualizarmos, por exemplo, que o menor valor da variável estatura é 150 cm, e que, o  maior valor é 173 cm.
Podemos então calcular com facilidade a Amplitude Amostral, denotada por AA, que é a diferença entre o maior valor e o menor valor da variável do problema. 
AA = x máximo – x mínimo        
 Assim em nosso problema, definindo a variável x como a estatura dos alunos, a amplitude total da nossa amostra será dada por:
AA = 173 – 150 = 23
Para determinar o Número de Intervalos de Classes (i) que devemos utilizar no problema adotaremos a 
“ Regra de Sturges” que nos dá uma estimativa do número de classes em termos do tamanho da amostra (n).
I  1 + 3,3. log n        
*)  log n é o logaritmo na base 10 de n. Assim, o número de classes que devemos adotar em nosso problema será de:
i = 1 + 3, 3. log 40 = 6, 286797970  6 classes
Arredonda-se sempre o valor de i para o número inteiro mais próximo, pois o número de classes deve ser sempre inteiro.
Devemos construir as classes começando do menor valor que a variável assume na amostra.  A partir daí, devemos ir somando a amplitude de classe de modo que o limite superior de uma classe anterior seja o limite inferior da nova classe.
A convenção adotada para a representação de uma classe é a seguinte:
|- : Limite inferior incluído na classe e superior não.
|-|: limite inferior e superior incluídos na classe.
No nosso exemplo, a classe i = 1 terá como limite inferior  150 cm e limite superior 154 cm; a classe i = 2 terá como limite inferior 154 cm e superior 158 cm e assim por diante.
Observe que a última coluna da tabela representa a freqüência simples das estaturas dos alunos encontrados na respectiva classe. Por exemplo, pela classe i = 2, observamos que existem na amostra 9 alunos com estaturas entre 154 cm (inclusive) e 158 cm (exclusive).
Acrescentando a tabela 3 uma coluna com os pontos médios das classes, e, ainda, mais outras colunas com os vários tipos de frequências que conhecemos, vamos obter por fim a seguinte distribuição de frequências para o problema:
No caso da Estatística, as representações gráficas de uma distribuição de frequências para dados agrupados por classes que aparecem mais frequentemente são:
Aula – 4 – 66,7 
Medidas de Tendência Central
São medidasimportantes que tentam apontar para o valor central de um conjunto de dados. Destacamos como medidas de tendência central:
A Média Aritmética é a medida de posição central da Estatística que encontra o ponto médio de um conjunto de dados. As principais características da média aritmética são:
O cálculo da média envolve todos os elementos do conjunto de dados
A média é influenciada por dados com valores muito pequenos ou muito grandes
A média aritmética é única
A MEDIANA é uma medida de posição central da Estatística que busca dividir um conjunto de dados em dois grupos que contenham o mesmo número de elementos. As principais características da MEDIANA são:
Para qualquer conjunto de dados haverá sempre uma única mediana;
A mediana não é influenciada para dados valores muito pequenos ou muito grandes
A Moda é a medida de posição da Estatística que encontra o dado que aparece mais frequentemente em uma série de valores. As principais características da MODA são:
Pode não ser única; Exemplo:  A série de dados: 2; 3; 4; 6; 4; 8; 6, possui duas modas Mo= 4 e M’o= 6. Este tipo de série é chamado de série bimodal.
Pode não existir. Exemplo: A série de dados: 2; 3; 4; 6; 8, não possui valor repetido, logo não possui moda. Este tipo de série de dados é chamado de série amodal.
Por ser o valor mais frequente da série, é caracterizada como valor mais típico do conjunto de dados.
Dados agrupados com intervalo de classe
Dados não agrupados 
Exercício proposto
Para a série de dados: 5; 13; 10; 2; 4; 7; 6. Qual é o valor da mediana ?  
Ordenando a série na forma crescente obtemos 2; 4; 5; 6; 7; 10; 13 A mediana é dada por: Md = 6
Observe que três termos da série estão situados à esquerda de 6 e os outros três termos a direita. Isto é, a mediana dividiu a série de dados em partes iguais.
Caso: Dados Agrupados sem Intervalos de Classes - Neste caso, para calcularmos a MEDIANA devemos adotar os seguintes procedimentos:
Incluir na distribuição de frequências simples uma coluna com as frequências acumuladas.
Identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade do somatório das frequências simples.
Observar o valor da variável associado à frequência acumulada identificada no procedimento anterior.
O valor da variável obtido é a MEDIANA (Md) da distribuição de frequências.
3
Aula 5 – 33,3
Média Geométrica e Aplicações
A média geométrica é a raiz enésima dos produtos dos valores encontrados em um conjunto numérico.
 Para o conjunto X = {x1, x2,..., xn}, onde cada xi é um número real não negativo, a média geométrica (MG) será calculada aplicando-se a fórmula
Seja o conjunto X = {3, 5, 7, 16}. 
Então a média geométrica dos valores de X é igual a
Como a média geométrica é sempre menor ou igual que a média aritmética, muitos a utilizam como uma forma de medida mais conservadora de análise central para um conjunto de dados.
Para certos tipos de problema ela será a única medida que refletirá a resposta correta.
Sua grande aplicabilidade está em estimar a média de razões de crescimentos de dados em problemas dos tipos populacionais e financeiros.
Além da média, moda e mediana que são consideradas medidas de posições centrais existem outras medidas de posições denominadas de relativas. Dentre elas destacamos os: QUARTIS, DECIS e PERCENTIS. 
Todas essas medidas são destinadas a indicar a posição que um determinado dado ocupa em relação à amostra como um todo. Já sabemos que a MEDIANA divide um conjunto de dados em duas partes iguais.
Medidas de Posição Relativa
Os QUARTIS são os valores que dividem a série de dados em quatro partes iguais sendo que após a ordenação dos dados:
Caso1: Dados Não Agrupados
Determinação dos PERCENTIS
MEDIDAS DE DISPERSÃO:
Nem sempre o cálculo da média, da moda e da mediana nos permite uma análise clara do comportamento de dados 
de uma amostra. Observe, por exemplo, os três grupos de notas de um teste:
Apesar de todos terem as mesmas médias e medianas (Verifique!), torna-se evidente que o comportamento das notas dos três grupos não é o mesmo.  
Desta forma é sempre necessário uma análise conjunta entre as medidas de posição já estudadas e as medidas de dispersão que definiremos a seguir.
Amplitude Interquartil - Mede a dispersão nos dados que estão entre as 50% observações centrais. Sendo assim, não é influenciada pelos valores extremos da amostra de dados.
Amplitude Interquartil = Quartil 3 – Quartil 1
Para a série ordenada de tempos gastos no exemplo já visto.
Série ordenada de tempos gastos
Variância - Denotada por (s ), é a medida de dispersão que mede a variação média dos dados de uma amostra em relação a sua média aritmética. Pode ser calculada pela fórmula.
Em que: Xi é o valor de cada observação; X é a média aritmética das observações e n o tamanho da amostra (número de dados).
Desvio Padrão - Denotado por s, é uma medida conhecida pela sua utilidade e aplicação prática. É calculada extraindo-se a raiz quadrada da variância (s  ) ..
Coeficiente de variação - Denotado por (CV), é uma medida de dispersão relativa, elimina o efeito da magnitude dos dados, exprime na forma percentual a dispersão dos dados em relação à média. É dado pela fórmula a seguir
Em que: s é o desvio padrão e é a média aritmética da amostra.
Vamos a seguir calcular a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação para o problema da série ordenada de tempos gastos para se aprontar.
	
Aula 6 – 50,0
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
Diagrama de árvore
Consideremos o seguinte problema: Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas dois tipos de sanduíches:  
hot dog e hambúrger. Como sobremesa, há três opções: sorvete, torta ou salada de frutas.  
Pergunta-se: quantas são as possibilidades de uma pessoa fazer uma refeição incluindo um sanduíche e uma sobremesa?  
A determinação de tais possibilidades pode ser simplificada através de um diagrama, em que, na 1ª coluna, representaremos as possibilidades de escolha do sanduíche e, na 2ª coluna, as possibilidades de escolha da sobremesa.  
Este esquema é conhecido como diagrama de árvore. Fazendo a leitura de todas as “ramificações” da árvore, obtemos as possíveis refeições. Notemos que fazer uma refeição completa representa uma ação constituída de duas etapas sucessivas:
Escolha do tipo de sanduíche: há duas possibilidades.
Escolha da sobremesa: para cada uma das possibilidades anteriores, há três maneiras de escolher a sobremesa
Assim, a realização da ação (duas etapas sucessivas) pode ser feita assim: 2 x 3 = 6 maneiras distintas de se escolher uma refeição.
Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A primeira etapa pode ser realizada de p maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de q maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dado por p x q.
Esse princípio pode ser generalizado para ações constituídas de mais de duas etapas sucessivas.  Se determinado acontecimento ocorre em etapas independentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes,e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento, composto por n etapas, é dado por: T = k1. k2 . k3 . ... . kn
Exemplo 1 - No Brasil as placas dos veículos possuem 3 letras e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? Imaginemos a seguinte situação:  Placa ACD – 2172. 
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que:
para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a:  
26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000.  
Exemplo 2 - No Brasil, antes da alteração do sistema de emplacamento de automóveis, as placas dos veículos eram confeccionadas usando-se 2 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que podia ser licenciado nesse sistema? Imaginemos a seguinte situação: Placa AC – 2172.  
Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a:  
26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 6.760.000.  
Percebe-se que a inclusão de apenas uma letra faz com que sejam licenciados, aproximadamente, mais 170.000.000 de veículos.
Fatorial De Um Número Natural
Arranjo Simples
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados k a k, a qualquer seqüência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes. 
Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a posição dos seus elementos.  
Perceba que para formar centenas com algarismos distintos, utilizando apenas os algarismos (1; 3; 5; 7; 9) teremos as seguintes centenas: 135; 137; 139; 153, 157, e assim sucessivamente.  
Se invertermos a posição dos elementos de qualquer uma destas centenas conseguiremos outra centena diferente: 135 e 351.  
Temos então um ARRANJO de cinco elementos tomados de três a três.  
Exemplo 1 – 
Exemplo 2 – 
]
]]]]
Exemplo 1 - Escrever todos os anagramas da palavra SOL.  
Um anagrama da palavra SOL é qualquer permutação das letras S, O, L de modo que se forme uma palavra com ou sem sentido. 
Assim, temos:  SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO.
Exemplo 2 - De quantas maneiras cinco pessoas, A, B, C, D e E  podem ser dispostas em fila indiana? 
Cada maneira de compor a fila é uma permutação das cinco pessoas, pois qualquer fila obtida é uma seqüência ordenada na qual comparecem sempre as cinco pessoas.  
Assim, o resultado esperado é:  
P5 = 5!  = 5 . 4 . 3 . 2. 1 = 120
Exemplo 3 - Baseado no exemplo anterior (cinco pessoas, A, B, C, D e E), quantas filas podem ser compostas começando por A ou por B? 
A 1ª posição da fila pode ser escolhida de duas maneiras (tanto A como B pode iniciá-la). 
Definido o início da fila, restarão sempre quatro lugares para serem preenchidos pelas quatro pessoas restantes, num total de:
P4 = 4!  = 24 possibilidades. Pelo PFC, o resultado é: 2 x 24 = 48.
Permutação com elementos repetidos  
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:  
Combinações
Exemplo 1 
Exemplo 2
Exemplo 3 
Quando é Arranjo, quando é Combinação?
É Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a ordem dos elementos.
É Combinação quando os agrupamentos conseguidos não se alteram ao se inverter a ordem dos elementos.
Aula 7 – 83,3
Definições de Probabilidade
Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o explique.
Os fenômenos estudados pela Estatística são fenômenos cujos resultados, mesmo em condições normais de experimentação variam de uma observação para outra.
Para a explicação desses fenômenos – fenômenos aleatórios – adota-se um modelo matemático probabilístico. Nesse caso, o modelo utilizado será o CÁLCULO DAS PROBABILIDADES.
A probabilidade representa a relação entre o número de eventos favoráveis ao que se estuda em relação ao número possível de eventos. 
A probabilidade P(x) de ocorrer um evento x é igual número de maneiras pelas quais x pode ocorrer dividido pelo número total de maneiras pelas quais o evento pode ocorrer.
Método clássico:
Quando o resultado é provável. Seu emprego é comum nas situações que envolvem dados, moedas e baralhos. Nesses casos, se sabe previamente quais os resultados possíveis e desses, quantos são favoráveis. 
Exemplos:
A probabilidade de sair “cara” ao se jogar uma moeda é 50% ou 1/2;
Qual a probabilidade de extrair uma carta de copas de um baralho é 25% ou 1/4.
Qual a probabilidade de se extrair uma bola vermelha de uma caixa com 12 bolas, sendo três vermelhas?
Resp: 3/12 = 25%
d) Quando dois dados são jogados simultaneamente, existem seis resultados possíveis em cada dado, ou seja, 36 resultados possíveis no total. Qual seria a probabilidade de se obter a soma sete? Solução: 
Para que a soma seja sete os pares devem ser: {(6,1)}; {(5,2)}; {(4,3)}; {(3,4)}; {(2,5)}; {(1,6)}. Assim, a probabilidade é igual a 6/36 = 1/6
Método empírico - Depende da frequência de ocorrer o evento, determinada a partir de uma série de observações práticas anteriores. Por exemplo, em uma cidade de 10.00 habitantes 4.000 são do sexo feminino, estima-se que a probabilidade de um habitante escolhido ao acaso seja do sexo feminino é igual a 4.800/10.000, ou 0,48, ou 48%. Neste caso, a probabilidade está associada à frequência relativa (fi%).
Outro exemplo: 
Qual a probabilidade de encontramos um aluno maior de idade em um colégio, sabendo que uma pesquisa com 1400 alunos apontou 800 maiores de idade.  
				A probabilidade seria de 800/1400 = 57,14%.
Método subjetivo - A probabilidade é estimada com base na opinião pessoal. Por exemplo, um cientista político pode estimar que a probabilidade de vitória da oposição nas próximas eleições seja de 60%.
Experimento aleatório
É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. Um experimento apresenta as seguintes características fundamentais:
É possível conhecer previamente o conjunto de resultados possíveis.
Não é possível prever o resultado;
Podem repetir-se várias vezes nas mesmas condições.
Para entender melhor esses conceitos, convém observar o que há de comum nos seguintes experimentos:
Ex. 1: Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe.
Ex. 2: Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de coroas obtidas.
Ex. 3: Retirar com ou sem reposição, bolas de uma urna que contém 5 bolas brancas e 6 pretas
Ex. 4: Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima.
Ex. 5: Contar o número de peças defeituosas da produção diária de uma determinada máquina.
A análise desses experimentos revela:
Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições
Não se conhece um particular valor do experimento "a priori, porém podemos descrever todos os possíveis resultados - as possibilidades.
Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade (vide figura), uma estabilidade da fração f = r/n (frequência relativa), onde o r é o número de sucessos e n é o número de repetições.
Espaço amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, “S” ou . Para cada experimento aleatório E, define-se espaço amostralo conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Consideremos um experimento aleatório. O conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento é chamado espaço amostral (Ω). Indicaremos o número de elementos de um espaço amostral por n(Ω).
Exemplo 1 
a) E = Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima 
 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
b) E = jogar duas moedas e observar os resultados.  
 Ω = {(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)} 
 
Onde C = cara / K = coroa.
Exemplo 2 
Lançamos uma moeda honesta e observamos a face voltada para cima: 
Temos:   
Ω = {K,C}, n(Ω) = 2. 
 
Chamamos cada um dos resultados possíveis de ponto amostral.
Exemplo 3
Uma urna contém cinco bolas vermelhas e quatro brancas. Duas bolas são extraídas, ao acaso, sucessivamente e sem reposição. Observamos a sequência de cores das bolas sorteadas. 
Para determinar Ω, vamos construir um diagrama de árvore:
Indicando vermelha por V e branca por B, temos: 
 Ω = { (V, V), (V,B), (B,V), (B,B)}    n(Ω) = 4.
 Cada par acima é um dos pontos amostrais de Ω.
Evento
Evento é um conjunto de resultados do experimento. Em termos de conjunto, é um subconjunto de Ω. Em particular, Ω e Ø (conjunto vazio) são eventos. Ω é dito o evento certo e Ø o evento impossível.  Usando as operações em conjunto, podemos formar novos eventos: 
Probabilidade de Um Evento
Agora podemos quantificar o grau de confiança de qualquer evento.  
Atribuímos a cada evento um número obtido da soma das imagens de cada um de seus elementos na relação de freqüência. Este número chama-se probabilidade do evento. Observe como se resolve o seguinte caso.
O experimento consiste em extrair uma bola do interior de uma caixa e observar sua cor. Há um total de nove bolas na caixa: duas brancas, três vermelhas e quatro pretas. Qual será a probabilidade de tirar uma bola que não seja preta?
Para solucionar temos que determinar o espaço amostral: Ω = {branca, vermelha, preta}
Em alguns experimentos aleatórios, cada um dos resultados (eventos elementares) tem a mesma freqüência relativa esperada.  
Este é o caso de lançar uma moeda ou um dado e comprovar o resultado.  
Dizemos, então, que o espaço amostral é equiprovável, e que sua probabilidade é uniforme.
O evento “tirar uma bola de cor diferente do preto”, E = {B,V}, consta de dois elementos.  Atribuímos a cada evento um número obtido da soma das probabilidades de cada elemento na relação de frequências. Portanto, se somarmos as probabilidades da bola branca, 2/9, e da vermelha, 3/9, que aparecem na relação de freqüência, vamos conhecer o valor da probabilidade do evento A, indicado por P(E).  
Aula 8 – 50,0
Axiomas da Probabilidade
Requisitos Lógicos
Os conceitos básicos a partir dos quais se constrói a definição de probabilidade são conhecidos como os axiomas da probabilidade, sendo o seu conhecimento importante não apenas para o entendimento dessa definição mas também para compreender claramente as condições necessárias à sua aplicação.
Axiomas de Kolmogorov - 
Associados aos possíveis resultados de um experimento aleatório, existe sempre um espaço amostral e uma álgebra de eventos;
Para todo evento da álgebra, existe um número não-negativo (maior ou igual a zero), chamado de probabilidade, que se atribui a tal evento;
A probabilidade do espaço amostral é igual a 1;
Para quaisquer dois eventos disjuntos (que não compartilham nenhum resultado) a probabilidade da união deles é igual à soma das suas probabilidades;
A Importância do Conceito de Partição
A partição de um conjunto é uma coleção de conjuntos tal que a sua união é igual ao conjunto original, e que a interseção de quaisquer dois deles é vazia. Ao se particionar um evento, é possível se calcular a sua probabilidade somando-se a probabilidade dos eventos da partição. Para isso é necessário apenas dispor-se das probabilidades dos elementos da partição (vide Axiomas 4° e 5°).
Através do particionamento de conjuntos, é possível não apenas se calcular a probabilidade de eventos a partir de outras probabilidades já conhecidas mas também deduzir diversas propriedades e implicações do próprio conceito de probabilidade.
Evento complementar
Probabilidades em espaços amostrais equiprováveis
						EXEMPLOS
Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos:
Aula 9 – 50,0
Probabilidade Da União De Dois Eventos
Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral . Vamos encontrar uma expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto é, a probabilidade da ocorrência do evento A  B. 
Consideremos dois casos:
	
Probabilidade Condicional
TEOREMA DO PRODUTO
“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da possibilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro”.
Aula 10 - 
Teorema de Bayes e Função Binomia
Independência de eventos 
Um evento A é considerado independente de outro evento B se a probabilidade de A é igual a probabilidade condicional de A dado B, isto é, se p(A) = p(A/B)
Considerando o Teorema do Produto, pode-se afirmar que se A e B são independentes, então:
 P(A    B) = p(A) . p(B)
Exemplo 1
Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem boas.
 	
Teorema de Bayes
Experimentos Binomiais
Há muitos experimentos probabilísticos para os quais a conclusão de cada tentativa pode ser reduzida a dois resultados: sucesso ou fracasso. Quando um jogador de futebol ao bater uma penalidade máxima, por exemplo, das duas, uma: ou ele marca o gol ou não. Experimentos probabilísticos como esse são chamados binomiais.
Um experimento binomial é uma experiência probabilística que precisa preencher os seguintes requisitos:
O experimento é repetido por um número fixo de tentativas, sendo uma independente de todas as outras.
Há dois resultados possíveis de interesse em cada tentativa, que podem ser classificados como sucesso (S) ou fracasso (F).
A probabilidade de um sucesso (S) Pé a mesma em cada tentativa.
A variável aleatória x conta o número de tentativas com sucesso.
Vamos adotar a seguinte notação para experimentos binomiais:
Probabilidades Binomiais
Existem diversos meios de calcular a probabilidade de x sucesso em n tentativas em um experimento binomial. Uma delas é a fórmula da probabilidade binomial.