01 vetores e medidas

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Vetores e Medidas
Ricardo Melo Ferreira
ricmelof@gmail.com
Universidade Federal do Rio Grande do Sul - Instituto de F��sica
Aula passada
Vetores
Medidas
Aula Passada
Site da Disciplina
https://www.ufrgs.br/�sica1c/
Geometria
Derivadas
dtn
dt
= ntn�1
dcf (t)
dt
= c
df (t)
dt
d [f (t) + g(t)
dt
=
df (t)
dt
+
dg(t)
dt
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Vetores
Medidas
1
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2
Vetores
3
Medidas
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Vetores
Medidas
Vetor
Vetor �e composto por m�odulo, dire�c~ao e sentido. Qualquer
grandeza que precise de dire�c~ao e sentido para ser de�nida �e
uma grandeza vetorial.
Vetores podem ser representados por 
echas, onde o tamanho
da 
echa representa o m�odulo, e a dire�c~ao e sentido
costumam ser indicadas pelo a^ngulo com a horizontal.
x
y
~A
�
~B
~C
Vetores de mesmo m�odulo, dire�c~ao e sentido s~ao iguais,
independente de onde comecem:
~A = ~B = ~C
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Medidas
Vetor
Vetor �e composto por m�odulo, dire�c~ao e sentido. Qualquer
grandeza que precise de dire�c~ao e sentido para ser de�nida �e
uma grandeza vetorial.
Vetores podem ser representados por 
echas, onde o tamanho
da 
echa representa o m�odulo, e a dire�c~ao e sentido
costumam ser indicadas pelo a^ngulo com a horizontal.
x
y
~A
�
~B
~C
Vetores de mesmo m�odulo, dire�c~ao e sentido s~ao iguais,
independente de onde comecem:
~A = ~B = ~C
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Vetor
Vetor �e composto por m�odulo, dire�c~ao e sentido. Qualquer
grandeza que precise de dire�c~ao e sentido para ser de�nida �e
uma grandeza vetorial.
Vetores podem ser representados por 
echas, onde o tamanho
da 
echa representa o m�odulo, e a dire�c~ao e sentido
costumam ser indicadas pelo a^ngulo com a horizontal.
x
y
~A
�
~B
~C
Vetores de mesmo m�odulo, dire�c~ao e sentido s~ao iguais,
independente de onde comecem:
~A = ~B = ~C
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Vetor
Vetor �e composto por m�odulo, dire�c~ao e sentido. Qualquer
grandeza que precise de dire�c~ao e sentido para ser de�nida �e
uma grandeza vetorial.
Vetores podem ser representados por 
echas, onde o tamanho
da 
echa representa o m�odulo, e a dire�c~ao e sentido
costumam ser indicadas pelo a^ngulo com a horizontal.
x
y
~A
�
~B
~C
Vetores de mesmo m�odulo, dire�c~ao e sentido s~ao iguais,
independente de onde comecem:
~A = ~B = ~C
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Vetores
Medidas
Soma de Vetores - geom�etrica
x
y
~A
~B
~B
~S
~A
Propriedade comutativa:
~A+ ~B = ~B + ~A = ~S
Propriedade associativa: (
~A+ ~B) + ~C = ~A+ (~B + ~C )
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Medidas
Soma de Vetores - geom�etrica
x
y
~A
~B
~B
~S
~A
Propriedade comutativa:
~A+ ~B = ~B + ~A = ~S
Propriedade associativa: (
~A+ ~B) + ~C = ~A+ (~B + ~C )
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Soma de Vetores - geom�etrica
x
y
~A
~B
~B
~S
~A
Propriedade comutativa:
~A+ ~B = ~B + ~A = ~S
Propriedade associativa: (
~A+ ~B) + ~C = ~A+ (~B + ~C )
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Medidas
Soma de Vetores - geom�etrica
x
y
~A
~B
~B
~S
~A
Propriedade comutativa:
~A+ ~B = ~B + ~A = ~S
Propriedade associativa: (
~A+ ~B) + ~C = ~A+ (~B + ~C )
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Medidas
Soma de Vetores - geom�etrica
x
y
~A
~B
~B
~S
~A
Propriedade comutativa:
~A+ ~B = ~B + ~A = ~S
Propriedade associativa: (
~A+ ~B) + ~C = ~A+ (~B + ~C )
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Vetores
Medidas
Multiplica�c~ao por escalar
x
y
~A
4
~A
~A
�
~A
~A� ~B = ~A+ (�1)~B
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Multiplica�c~ao por escalar
x
y
~A
4
~A
~A
�
~A
~A� ~B = ~A+ (�1)~B
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Multiplica�c~ao por escalar
x
y
~A
4
~A
~A
�
~A
~A� ~B = ~A+ (�1)~B
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Multiplica�c~ao por escalar
x
y
~A
4
~A
~A
�
~A
~A� ~B = ~A+ (�1)~B
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Vetores
Medidas
Vetores unit�arios
Vetores unit�arios indicam a dire�c~ao e sentido dos eixos. S~ao
unit�arios pois te^m m�odulo 1. A dire�c~ao do eixo x �e indicada
pelo vetor
^i , do eixo y por ^j e do eixo z por ^k .
x
y
^i
^j
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Medidas
Vetores unit�arios
Vetores unit�arios indicam a dire�c~ao e sentido dos eixos. S~ao
unit�arios pois te^m m�odulo 1. A dire�c~ao do eixo x �e indicada
pelo vetor
^i , do eixo y por ^j e do eixo z por ^k .
x
y
^i
^j
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Vetores
Medidas
Componentes
Se sabemos somar vetores podemos escrever qualquer vetor
como soma dos vetores unit�arios.
x
y
^i
^j
~A
~A = 5^i + 6^j
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Vetores
Medidas
Componentes
Se sabemos somar vetores podemos escrever qualquer vetor
como soma dos vetores unit�arios.
x
y
^i
^j
~A
~A = 5^i + 6^j
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Vetores
Medidas
Componentes
As componentes do vetor
~A s~ao Ax = 5 e Ay = 6.
Rela�c~oes entre as componentes e o vetor:
A =
q
A2x + A
2
y
Ax = A cos(�)
Ay = A sen(�)
� = tg
�1
(
Ay
AX
)
Podemos realizar opera�c~oes com vetores atrav�es das
componentes
~A+3~B = Ax^i+Ay^j+3Bx^i+3By^j = (Ax+3Bx)^i+(Ay+3By )^j
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Componentes
As componentes do vetor
~A s~ao Ax = 5 e Ay = 6.
Rela�c~oes entre as componentes e o vetor:
A =
q
A2x + A
2
y
Ax = A cos(�)
Ay = A sen(�)
� = tg
�1
(
Ay
AX
)
Podemos realizar opera�c~oes com vetores atrav�es das
componentes
~A+3~B = Ax^i+Ay^j+3Bx^i+3By^j = (Ax+3Bx)^i+(Ay+3By )^j
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Componentes
As componentes do vetor
~A s~ao Ax = 5 e Ay = 6.
Rela�c~oes entre as componentes e o vetor:
A =
q
A2x + A
2
y
Ax = A cos(�)
Ay = A sen(�)
� = tg
�1
(
Ay
AX
)
Podemos realizar opera�c~oes com vetores atrav�es das
componentes
~A+3~B = Ax^i+Ay^j+3Bx^i+3By^j = (Ax+3Bx)^i+(Ay+3By )^j
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3
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O que �e medir
Medir �e comparar uma grandeza com um padr~ao determinado.
Sistema Internacional de unidades
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O que �e medir
Medir �e comparar uma grandeza com um padr~ao determinado.
Sistema Internacional de unidades
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Medidas
Tempo
As primeiras de�ni�c~oes de tempo tinham como refere^ncia a
dura�c~ao do dia, por exemplo o sistemade horas japone^s.
Medida de tempo no SI �e o segundo [s]. Atualmente o
segundo �e de�nido em fun�c~ao da freque^ncia da luz emitida por
um �atomo de c�esio 133.
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Medidas
Comprimento
Comprimento costumava ser medido com rela�c~ao �a partes do
corpo humano: p�es, polegadas, palmo, dec�ubito...
Unidade de comprimento no SI �e o metro [m], que costumava
ser de�nido por uma barra met�alica. Atualmente �e de�nido
como a dista^ncia percorrida pela luz em
1
299792458
s
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Medidas
Massa
Padr~ao de massa era o quilograma padr~ao, um cilindro
met�alico mantido a v�acuo.
A de�ni�c~ao mais precisa do quilograma [kg] de�ne que um
�atomo de carbono 12 tem 12 unidades de massa ato^mica [u],
onde 1u = 166053886� 10
�27
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Medidas
Nota�c~ao cient���ca
A nota�c~ao cient���ca permite escrever n�umeros muito grandes
ou muito pequenos.
Exemplos:
10 =1� 10
1
100 =1� 10
2
100000 =� 10
5
0; 00001 =1� 10
�5
0; 000123 =1; 23� 10
�4
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Medidas
Nota�c~ao cient���ca
A nota�c~ao cient���ca permite escrever n�umeros muito grandes
ou muito pequenos.
Exemplos:
10 =1� 10
1
100 =1� 10
2
100000 =� 10
5
0; 00001 =1� 10
�5
0; 000123 =1; 23� 10
�4
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Vetores
Medidas
Pre�xos do SI
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Vetores
Medidas
Convers~ao de unidades
NUNCA somar n�umeros com unidades ou potencias de 10
diferentes.
Exemplo: 1km + 1m + 2� 10�2m
Convertendo horas para segundos
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Medidas
Convers~ao de unidades
NUNCA somar n�umeros com unidades ou potencias de 10
diferentes.
Exemplo: 1km + 1m + 2� 10�2m
Convertendo horas para segundos
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Medidas
Algarismos signi�cativos
Estes n�umeros s~ao diferentes?
2
2; 0
2; 00
A diferen�ca �e o n�umero de algarismos signi�cativos. A
resposta sempre deve conter o n�umero de algarismos
signi�cativos do n�umero menos preciso do problema.
Exemplo: 2; 0 + 3; 004 = 5; 0
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Algarismos signi�cativos
Estes n�umeros s~ao diferentes?
2
2; 0
2; 00
A diferen�ca �e o n�umero de algarismos signi�cativos. A
resposta sempre deve conter o n�umero de algarismos
signi�cativos do n�umero menos preciso do problema.
Exemplo: 2; 0 + 3; 004 = 5; 0
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