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PROVA DE VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA

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PROVA DE VETORES E GEOMETRICA ANALÍTICA 
 
(1º) Considere os vetores ⃗⃗ = (-2, 3), ⃗⃗ = (-1, 2) e ⃗⃗⃗ = (-17, 30). Determine a1 e a2 
tais que ⃗⃗⃗ = a1 ⃗⃗ ⃗ + a2 ⃗⃗ . 
 
 
 
 
 
 
(2º) Sejam A (-2,-1), B (1,-3) e C (-1,1) vértices de um paralelogramo. Determine o 
quarto vértice de cada um dos três paralelogramos que podem ser formados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�⃗⃗� = a1 𝑢⃗⃗⃗ + a2 𝑣 
(-17, 30) = a1. (-2, 3) + a2. (-1, 2) 
(-17, 30) = (-2a1, 3a1) + (-a2, 2a2) 
(-17, 30) = (-2a1 – a2, 3a1 + 2a2) 
 
 
 
-2a1 – a2 = -17 (x2) 
3a1 + 2a2 = 30 
- 4a1 - 2a2 = -34 
3a1 + 2a2 = 30 
- a1 = - 4 (-1) 
a1 = 4 
 
 
 
-2a1 – a2 = -17 
-2 (4) – a2 = -17 
- 8 – a2 = -17 
– a2 = -17 + 8 
– a2 = - 9 (-1) 
a2 = 9 
B 
E F 
C A 
D 
 
I) ABCD 
𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = C – B 
𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-1, 1) – (1, -3) 
𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-2, 4) 
 
D = A + 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
D = (-2, -1) + (-2, 4) 
D = (- 4, 3) 
 
II) ABFC 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐵𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = C – A 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-1, 1) – (-2, -1) 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (1, 2) 
 
F = B + 𝐵𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
F = (1, -3) + (1, 2) 
F = (2, -1) 
III) AEBC 
 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐸𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝐵𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = −𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
E = B + 𝐵𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
E = (1, -3) + (-1, -2) 
E = (0, -5) 
 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = C – A 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-1, 1) – (-2, -1) 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (1, 2) 
 
 
(3º) Determinar os três vértices do triângulo, sabendo que os pontos médios de seus 
lados são M (2, 0, 1), N (0, 3, -2) e P (2, 4, 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4º) Dados os pontos A (
 
 
, -1, -3) e B (
 
 
, 2, 9), determine os pontos C e D que 
dividem os segmentos AB em três partes congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
M N 
P C A 
𝑀𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝐴𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = P – A 
(-2, 3, -3) = (2, 4, 0) – A 
(-2, 3,-3) – (2, 4, 0) = - A 
- A = (-4, -1, -3) (-1) 
A = (4, 1, 3) 
 
𝑀𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = N - M 
𝑀𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (0, 3, -2) – (2, 0, 1) 
𝑀𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-2, 3 -3) 
𝐶𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = N - C 
𝐶𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (0, 3, -2) – (0, 7, -3) 
 𝐶𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (0, -4, 1) 
B = N + 𝑁𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
B = (0, 3, -2) + (0, -4, 1) 
B = (0, -1, -1) 
 
𝐴𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
C = P + 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
C = (2, 4, 0) + (-2, 3, -3) 
C = (0, 7, -3) 
𝐴𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =P – A 
𝐴𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (2, 4, 0) – (4, 1, 3) 
𝐴𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-2, 3, -3) 
 
A B
B 
C D 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 
1
3
 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 
1
3
 (3, 3, 12) 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (1, 1, 4) 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = B - A 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (
7
2
, 2, 9) - (
1
2
, -1, -3) 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (
6
2
, 3, 12) 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (3, 3, 12) 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = C - A 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =( 
3
2
, 0, 1) – (
1
2
, -1, -3) 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (1, 1, 4) 
 
C = A + 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝐶 = (
1
2
, -1, -3) + (1, 1, 4) 
C = (
3
2
, 0, 1) 
 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
D = C + 𝐶𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝐷 = (
3
2 ,0, 1)+ (1, 1, 4) 
D = (
5
2
, 1, 5)

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