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PROVA DE VETORES E GEOMETRICA ANALÍTICA (1º) Considere os vetores ⃗⃗ = (-2, 3), ⃗⃗ = (-1, 2) e ⃗⃗⃗ = (-17, 30). Determine a1 e a2 tais que ⃗⃗⃗ = a1 ⃗⃗ ⃗ + a2 ⃗⃗ . (2º) Sejam A (-2,-1), B (1,-3) e C (-1,1) vértices de um paralelogramo. Determine o quarto vértice de cada um dos três paralelogramos que podem ser formados. �⃗⃗� = a1 𝑢⃗⃗⃗ + a2 𝑣 (-17, 30) = a1. (-2, 3) + a2. (-1, 2) (-17, 30) = (-2a1, 3a1) + (-a2, 2a2) (-17, 30) = (-2a1 – a2, 3a1 + 2a2) -2a1 – a2 = -17 (x2) 3a1 + 2a2 = 30 - 4a1 - 2a2 = -34 3a1 + 2a2 = 30 - a1 = - 4 (-1) a1 = 4 -2a1 – a2 = -17 -2 (4) – a2 = -17 - 8 – a2 = -17 – a2 = -17 + 8 – a2 = - 9 (-1) a2 = 9 B E F C A D I) ABCD 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = C – B 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-1, 1) – (1, -3) 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-2, 4) D = A + 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ D = (-2, -1) + (-2, 4) D = (- 4, 3) II) ABFC 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐵𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = C – A 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-1, 1) – (-2, -1) 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (1, 2) F = B + 𝐵𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ F = (1, -3) + (1, 2) F = (2, -1) III) AEBC 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐸𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝐵𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = −𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ E = B + 𝐵𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ E = (1, -3) + (-1, -2) E = (0, -5) 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = C – A 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-1, 1) – (-2, -1) 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (1, 2) (3º) Determinar os três vértices do triângulo, sabendo que os pontos médios de seus lados são M (2, 0, 1), N (0, 3, -2) e P (2, 4, 0). (4º) Dados os pontos A ( , -1, -3) e B ( , 2, 9), determine os pontos C e D que dividem os segmentos AB em três partes congruentes. B M N P C A 𝑀𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝐴𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = P – A (-2, 3, -3) = (2, 4, 0) – A (-2, 3,-3) – (2, 4, 0) = - A - A = (-4, -1, -3) (-1) A = (4, 1, 3) 𝑀𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = N - M 𝑀𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (0, 3, -2) – (2, 0, 1) 𝑀𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-2, 3 -3) 𝐶𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = N - C 𝐶𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (0, 3, -2) – (0, 7, -3) 𝐶𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (0, -4, 1) B = N + 𝑁𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B = (0, 3, -2) + (0, -4, 1) B = (0, -1, -1) 𝐴𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ C = P + 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ C = (2, 4, 0) + (-2, 3, -3) C = (0, 7, -3) 𝐴𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =P – A 𝐴𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (2, 4, 0) – (4, 1, 3) 𝐴𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-2, 3, -3) A B B C D 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 1 3 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 1 3 (3, 3, 12) 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (1, 1, 4) 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = B - A 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ( 7 2 , 2, 9) - ( 1 2 , -1, -3) 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ( 6 2 , 3, 12) 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (3, 3, 12) 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = C - A 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =( 3 2 , 0, 1) – ( 1 2 , -1, -3) 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (1, 1, 4) C = A + 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝐶 = ( 1 2 , -1, -3) + (1, 1, 4) C = ( 3 2 , 0, 1) 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ D = C + 𝐶𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝐷 = ( 3 2 ,0, 1)+ (1, 1, 4) D = ( 5 2 , 1, 5)
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