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Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Sistemas Digitais 2007/2008 Instituto Superior Técnico – Universidade Técnica de Lisboa MEEC SISTEMAS DIGITAIS Série de Problemas A1 Nota: As soluções propostas são indicativas e quaisquer dúvidas, erros ou gralhas devem ser esclarecidos com os docentes da disciplina. Problema 1.a) ( ) DBCBA D ABBC ACABBC DBCACBA DBC DBCDACBADCBAf ++= + + ++= +++= + +++= 44 344 21 43421,,, Problema 1.b) ( ) ( )( ) ( ) { { 0 00 ,,, = +++= +++= BABBAAABBA BABCABBADCBAf Problema 1.c) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) CDBA CDBACBA C DCDCDCBA DCDCBA DCDCBA DC EDCDCDCBAEDCBAf += ++= ++++= +++= ++++= + ++++++= . .. . . ,,,, 44 344 21 444 3444 21 Problema 1.d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) DCBA DCB DCB DCBBAA DC DCCBABAA DCBACBABAA DCBACBABAAA,B,C,Df +++= +++= ++ +++= + +++= +++= ++++++= AA 44 344 21 43421 Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Sistemas Digitais 2007/2008 Instituto Superior Técnico – Universidade Técnica de Lisboa MEEC Problema 1.e) ( ) ( )( ) DCB DC B DABCABB DBADCBCBA DBA DCB DBCBCBADCBAf += +++= +++= +++ + +++= 444 3444 21 44 344 21 ,,, Problema 2. ( ) BCACABCBAf ++=,, Dada a expressão acima, a função f vale “1” sempre que um dos termos de produto valha “1”, ou seja, se A=B=1, se A=C=1, ou se B=C=1. A tabela da verdade de f é, então: Determinação da forma canónica disjuntiva por inspecção da tabela. Cada termo de produto corresponde a um mintermo para o qual a função vale “1”. Por inspecção da tabela, verifica-se que a função vale 1, para os mintermos m3, m5, m6 e m7. A forma canónica conjuntiva (produto de somas) é, portanto, dada por CBACBACBACBAf +++= A B C f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 A B C f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 CBA← 1 0 0 0 1 0 1 1 CBA← 1 1 0 1 CBA← 1 1 1 1 CBA← Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Sistemas Digitais 2007/2008 Instituto Superior Técnico – Universidade Técnica de Lisboa MEEC Determinação da forma canónica conjuntiva por inspecção da tabela. Cada termo de soma corresponde a um maxtermo para o qual a função vale “0”. Por inspecção da tabela, verifica-se que a função vale 1, para os mintermos M0, M1, M2 e M4. A forma canónica conjuntiva (produto de somas) é, portanto, dada por ( ) ( ) ( ) ( )CBACBACBACBAf ++++++++= Determinação da forma canónica disjuntiva por manipulação algébrica. ( ) ( ) ( ) ( ) CBACBACBACBA CBACBACBACBACBACBA AABCBBACCCAB BCACABCBAf +++= +++++= +++++= ++= 321321321 111 ,, Determinação da forma canónica conjuntiva por manipulação algébrica. ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )CBACBACBACBA CBACBACBACBACBACBA CBBACBAACCBA CACBBA CBCABCBA CABBAC CAB CACAB BAC BACAB BCACABBCACABCBAf ++++++++= ++++++++++++= ++++++= +++= ++++= ++= + ++ + ++= ++=++= 44 344 2144 344 21 ,, A B C f 0 0 0 0 CBA ++← 0 0 1 0 CBA ++← 0 1 0 0 CBA ++← 0 1 1 1 1 0 0 0 CBA ++← 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Sistemas Digitais 2007/2008 Instituto Superior Técnico – Universidade Técnica de Lisboa MEEC Problema 3. Utilizando mapas de Karnaugh: a) simplifique a função ( ) ( )∏= 6,2,1,, MCBAf e apresente o resultado nas formas disjuntiva e conjuntiva; A função é definida como o produto dos maxtermos M1, M2 e M6, portanto a sua tabela da verdade terá zeros nas posições 1, 2 e 6: A BC 0100 1011 0 1 0101 0111 Forma disjuntiva A função tem 2 implicantes primos essenciais. O implicante CB é essencial porque o mintermo m0 apenas pode ser simplificado neste implicante. O implicante CB é essencial porque o mintermo m3 apenas pode ser simplificado neste implicante. O mintermo m5 pode ser simplificado com o mintermo, à sua direita, ou com o mintermo à sua esquerda. Os implicantes primos CA e BA são ambos não essenciais porque todos os mintermos que os constituem (m5 e m7, no primeiro caso, e m5 e m1, no segundo) fazem parte de 2 implicantes primos. Existem, assim, 2 soluções mínimas equivalentes: { { { essencial nãoessencialessencial CACBCBf ++= e { { { essencial nãoessencialessencial BACBCBf ++= Em ambos os casos, são necessários 2 inversores, 3 portas AND de 2 entradas e uma porta OR de 3 entradas. A BC 0100 1011 0 1 010 0111 1 1 A BC 0100 1011 0 1 0101 0111 A BC 0100 1011 0 1 0101 0111 Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Sistemas Digitais 2007/2008 Instituto Superior Técnico – Universidade Técnica de Lisboa MEEC Forma conjuntiva A função tem 2 implicados primos essenciais. Não existem outros implicados. A solução mínima é: ( ) ( )CBCBAf +++= São necessários 2 inversores, 1 porta OR de 2 entradas, 1 porta OR de 3 entradas e 1 porta AND de 2 entradas. A BC 0100 1011 0 1 0101 0111
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