CALCULO2 lista 4

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1) Determine o domínio das funções abaixo e represente graficamente:
 
a) xy)y,x(f 2  . 
 
d)   




 
x
1yxlny,xf
22
. 
 
2) Para esboçar o gráfico das funções abaixo 
superfície com os planos coordenados; determine e trace as cu
 
a) 2216 yx)y,x(f  . 
 
d) y4x28)y,x(f  . 
 
3) Se  y,xT for a temperatura em um ponto 
curvas de nível de T são chamadas de 
temperatura. Suponha que uma placa ocupa o 
 
a) Esboce as curvas isotérmicas sobre as quais
 
b) Uma formiga, inicialmente sobre o ponto
sua trajetória permanece constante. Qual é a trajetória tomada pela formiga e qual é a temperatura ao longo 
de sua trajetória? 
 
 
4) Se V(x,y) for a voltagem ou potencial sobre um ponto (
chamadas de curvas equipotenciais.
22 yx16
8)y,x(V

 , identifique
 
5) Para as funções abaixo, calcule as derivadas parciais no ponto 
 
a) .)2,1(P ; )xyln(e)y,x(f o
x
 
c)      1,0P ;yxlnyy,xf o222 
 
e)      .2,2P ;xyarctgy,xf o 
 
g)       ;ztg.ysenxz,y,xg 2
 
EAETI – ESCOLA DE ARQUITETURA ENGENHARIA E TI
 
4ª Lista de Exercícios –Cálculo II 
Determine o domínio das funções abaixo e represente graficamente: 
b)   )yxln(.4yy,xf 2  . c) )y,x(f 
 
e)   22 xy1x
1y,xf 

 
ar o gráfico das funções abaixo determine o domínio; determine e trace as interseções da 
superfície com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível; 
b) 22 49 yx)y,x(f  . c) )y,x(f
 
e) 21 y)y,x(f  
for a temperatura em um ponto  y,x sobre uma placa lisa de metal no plano 
são chamadas de curvas isotérmicas. Todos os pontos sobre tal curva têm a mesma 
temperatura. Suponha que uma placa ocupa o 1o quadrante e   xyy,xT  . 
a) Esboce as curvas isotérmicas sobre as quaisT = 1eT = 2. 
sobre o ponto (1, 4), anda sobre a placa de modo que a temperatura ao longo de 
sua trajetória permanece constante. Qual é a trajetória tomada pela formiga e qual é a temperatura ao longo 
voltagem ou potencial sobre um ponto (x,y) no plano XOY, então as curvas de nível de 
curvas equipotenciais. Ao longo de tal curva a voltagem permanece constante. Dado que 
, identifiquea curva equipotencial na qual V = 1. 
) Para as funções abaixo, calcule as derivadas parciais no ponto Po indicado. 
 b)   yxcosx)y,x(f 
. d)     xyxy,xf 222 
f)     P ;yxlney,xf ox 
).4,4,4(P o  h)    zyxz,y,xg 22 
 ESCOLA DE ARQUITETURA ENGENHARIA E TI 
1
1
x1xy  
determine o domínio; determine e trace as interseções da 
2x)  . 
de metal no plano XOY, então as 
Todos os pontos sobre tal curva têm a mesma 
), anda sobre a placa de modo que a temperatura ao longo de 
sua trajetória permanece constante. Qual é a trajetória tomada pela formiga e qual é a temperatura ao longo 
, então as curvas de nível de V são 
Ao longo de tal curva a voltagem permanece constante. Dado que 
 .)1,0(P ; o 
  .1,1P ;y o2 
 .2,1o 
    .1,1,1P ;xyzz o2 
 
 
2
2
6) Considere a função 22
2
yx
xyz

 . Verifique se a equação z
y
zy
x
zx 




 é verdadeira    0,0y,x  . 
 
7) Determine o coeficiente angular da reta tangente no ponto (1,1,5)à curva obtida pela interseção da 
superfície 22 y4xz  com plano:a) x = 1; b) y = 1. 
 
8) A área A da superfície lateral de um cone circular reto de altura h e raio da base r é dada por. 
A = .r .rh 22  
 
a) Se r é mantido fixo em 3 cm, enquanto h varia, encontre a taxa de variação de A em relação a h, no instante 
em que h = 7cm. 
 
b) Se h é mantido fixo em 7cm, enquanto r varia, encontre a taxa de variação de A em relação a r, no instante 
em que r = 3cm. 
 
9) Um ponto move-se ao longo da interseção do parabolóide elíptico 22 y3xz  e do plano 
 x = 2. A que taxa está variando z em relação a y quando o ponto está em (2,1,7). 
 
10)Uma placa de metal aquecida está situada em um plano XOY de modo que a temperatura T no ponto (x,y) é 
dada por T x y x y( , ) ( ) . 10 2 2 2 Determine a taxa de variação de T em relação à distância percorrida ao 
longo da placa a partir do ponto (1,2), nas direções positivas de: 
 
a) OX. b) OY. 
 
11) Verifique se as derivadas parciais de segunda ordem mistas ( fxy e fyx )são iguais. 
 
a)   3xy7xy8x4y,xf 42  . b)   22 yxy,xf  . 
 
12) Mostre que a função    Ctxsent,xu  é uma solução da equação da onda 2
2
2
2
2
x
uC
t
u




. 
 
13) Verifique se as funções abaixo satisfazem a equação de Laplace 0
y
z
x
z
2
2
2
2





 para todo x e y. 
a) 223 yxxz  . b)    xcoseysenez yx  . 
 
14) Mostre que a função 



 
C
xsenez t , C constante, satisfaz a equação do calor 2
2
2
x
zC
t
z




. 
 
 
15) Usando a regra da cadeia encontre as derivadas parciais das seguintes funções: 
 
a) z = 4x3 3x2y2; 





vsenuy
vcosux
; 
u
z


 e 
v
z


 b) z = ln(u2 + v2); 






xy3x2v
yxu
2
22
x
z


 e 
y
z


 
 
16) Determine a derivada total em cada caso 
 
a) 





tlny
ex
;
y
xz
t
; b) 






xcosv
xsenu
;uz v 
 
 
3
3
 
17) O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam à razão de 2 cm/min e 6 cm/min, 
respectivamente. Num determinado instante sabe-se que cm8r  e cm14h  . A que taxa a área da 
superfície total está variando neste instante? 
 
Obs.: A área da superfície total do cilindro é    hrr2rh2r2h,rS 2  . 
 
 
18) O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. As arestas l e w estão 
aumentando a uma taxa de 0,2m/s, ao passo que h está diminuindo a uma taxa de 0,3m/s. Num certo instante 
as dimensões da caixa são l = 1m, w = 2m e h = 2m. Neste instante, como está variando o volume da caixa? 
 
 
19) A altura de um cone circular reto é 10cm e está aumentando a uma taxa de 2cm/s. O raio da base é 15cm e 
está diminuindo de 1cm/s. a que taxa está variando o volume em relação ao tempo, nesse instante. ( O volume 
do cone é um terço da área da base vezes a altura ). 
 
20) Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo instante, a 
força eletromotriz é 100v e aumenta à taxa de 3 volts/min, enquanto a resistência é de 50 ohms e decresce à 
razão de 2 ohms/min. A que taxa varia a corrente I (em amperes) nesse instante, sabendo que, pela lei de 
Ohm, RIV  ? 
 
 
Questões de Múltipla Escolha 
 
1) Analise as afirmativas a seguir: 
I) A equação de estado de Van der Waals reproduz o comportamento de 1 mol de nitrogênio gasoso para 
certas condições de pressão e temperatura. Tal equação é ܲ + ௔
௏మ
= ோ்
௏ି௕
 ,onde P, T e V são as 
condições de pressão, temperatura e volume molar do gás, respectivamente, R é a constante universal 
dos gases e a e b são constantes positivas características do gás. A variação da pressão em relação ao 
volume é:  23
2
bV
RT
V
a
V
P



 ; 
II) Seja )2ln(),( yxxyxf  e ttyesenttx cos)()(  então 
tsent
senttsenttsent
dt
dz
cos2
)2(cos)cos2ln(

 ; 
III) Seja 22ln),( yxyxf  então 222
22
)( yx
yxf xx 
 . 
 
Está correto APENAS o que se afirma em 
(A) I. 
(B) II. 
(C) III. 
(D) I e III. 
(E) I, II e III. 
 
 
 
 
 
4
4
2) Está correto APENAS o que se afirma em 
 
I- A equação 02
2
2
2





y
f
x
f
 é chamada equação de Laplace em homenagema Pierre Laplace 
(1749-1827). Soluções dessas equações são chamadas de funções harmônicas e são muito 
importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. Com 
base nessas informações, a função ysenxyxf cos),(  é harmônica; 
II- Seja )2ln(),( yxxyxf  então 22
2
)2(
4
yx
yx
dx
zd

 ; 
III- xyexyxf 2),(  não é harmônica; 
 
 (A) I. 
(B) II. 
(C) III. 
(D) II e III. 
(E) I e III. 
 
 
3) O Índice de Massa Corporal (IMC) é um índice do peso de uma pessoa em relação à sua altura. Se uma 
pessoa tem massa m, em quilogramas, e altura h, em metros, então 2),( h
mhmfIMC  . Com o 
resultado do cálculo do IMC e por meio da tabela abaixo da Associação Brasileira para o Estudo da 
Obesidade você pode saber como está seu índice. 
 
 
Considere as seguintes afirmativas: 
I- Suponha que a massa de uma pessoa de 1,5 m de altura e 50kg diminui a uma razão de 0,1kg/hora 
a variação do IMC é de 0,045 kg/m2/h; 
II- A variação do IMC em relação a altura é mkgmh /2 ; 
III- Para que uma pessoa de 2m de altura tenha obesidade de grau III ela tem que pesar menos que 
160kg. 
Está correto APENAS o que se afirma em: 
 
(A) I. (B) II. (C) III. (D) I e II. (E) I, II e III. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1a) 1 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1c) 1d)1e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2d) 
 
 
 
 
 
2e) 
 
A reta y = x não pertence à região 
 
 
5
5
 
 
 
 
 
 
6
6
 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 a) bb) O caminho é xy = 4 e a temperatura T = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) A curva é x2 + y2 = 48 (circunferência). 
 
5) a) fx(Po) = e[ln(2) + 1]; fy(Po) = e/2; b) fx(Po) = 1 ; fy(Po) = 0; 
c) fx(Po) = 0; fy(Po) = 2; d) fx(Po) = 1; fy(Po) = 1 ; 
e)fx(Po) = 1/4 ; fy(Po) = 1/4; f) fx(Po) = eln3 + e/3; fy(Po) = e/3; 
g) gx(Po) = 1/4; gy(Po) = 1; gz(Po) = 1; h) gx(Po) = 1 ; gy(Po) =  1; gz(Po) = 1 
 
6) sim. 7) a) 8; b) 2.8) a) . b) . 9) 6 10) a) 200; b) 400 
11) a) fxy = fyx = 32y3 + 7; b)   2/322yxxy yxxyff  ;13) a) não; b)sim 
 
15) a) ucosyvx6vcos)xy6x12(
u
z 222 

 ; usenyx6)vsenu)(xy6x12(
v
z 222 

 
b) )y3x4(
vu
v2x2
vu
u2
x
z
2222 




 ; x3
vu
v2y2
vu
u2
y
z
2222 




 
 
16) a) 
tt
e
t
e
dt
dz tt
2lnln
 ; b) xsen)xln(sen)x(sen)x(senxcos
dx
dz xcos1xcos2   
 
17)216 cm2/min. 18) 0,6 m3/s; 19)50cm3/s20)0,14 A/min . 
 
 
 
 
 
Questões Objetivas 
 
1) D 
2) B 
3) A 
 
21
58
 67
58
