07 MEDIDAS DE DISPERSÃO

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ESTATÍSTICA APLICADA
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
Profa. BRUNA ADESE
07 –MEDIDAS DE 
DISPERSÃO
� VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
� MEDIDAS DE POSIÇÃO OU MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
� Média aritmética; Moda; Mediana; Mínimo, Máximo, Percentis
� MEDIDAS DE DISPERSÃO
� Finalidade: encontrar um valor que resuma a variabilidade de um conjunto de
valores
ESTATÍSTICA APLICADA 07 - MEDIDAS DE DISPERSÃO PROFa. BRUNA ADESE
MEDIDAS DE POSIÇÃO X MEDIDAS DE DISPERSÃO
� Mais utilizadas: Amplitude; Desvio padrão; Variância
� Outras: Intervalo-Interquartil, Coeficiente de Variação
� Maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de
tendência central (média ou mediana) tomado como ponto de comparação.
� A média - ainda que considerada como um número que tem a faculdade de representar
uma série de valores - não pode, por si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou
heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o conjunto.
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DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
� Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y e Z:
� X = { 70, 70, 70, 70, 70 }
� Y = { 68, 69, 70 ,71 ,72 }
� Z = { 5, 15, 50, 120, 160 }
� Entretanto..., é fácil notar que o conjunto X é mais homogêneo que os conjuntos Y e Z,
já que todos os valores são iguais à média.
� O conjunto Y, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto Z, pois há menor
diversificação entre cada um de seus valores e a média representativa.
� Concluímos então que o conjunto X apresenta dispersão nula e que o conjunto Y
apresenta uma dispersão menor que o conjunto Z.
Média = 350 / 5 = 70
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AMPLITUDE (A)
A = máx - min
� Amplitude (R ou A): é a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados
� Consideremos os mesmos conjuntos de valores das variáveis X, Y e Z:
� X = { 70, 70, 70, 70, 70 }
� Y = { 68, 69, 70 ,71 ,72 }
� Z = { 5, 15, 50, 120, 160 }
Ax = 70 – 70 = 0
Ay = 72 - 68 = 4
Az = 160 – 5 = 155
� A amplitude total tem o incoveniente de só levar em conta os dois valores extremos da
série, descuidando do conjunto de valores intermediários.
� Faz-se uso da amplitude total quando se quer determinar a amplitude da temperatura
em um dia, por exemplo, no controle de qualidade ou como uma medida de cálculo
rápido sem muita exatidão.
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INTERVALO-INTERQUARTIL
II = Q3- Q1
� É a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil, ou seja, Q3 - Q1
Dados: 1,9 2,0 2,1 2,5 3,0 3,1 3,3 3,7 6,1 7,7
Q1 = 2,05 e Q3= 4,9 Q3 - Q1 = 4,9 - 2,05 = 2,85
Posição de Q3: 0,75 x (n+1) = 0,75 x 11 = 8,25
⇒ Q1 = ( 2+2,1) / 2 = 2,05
⇒ Q3 = (3,7+6,1)/2 = 4,9
Posição de Q1: 0,25 x (n+1) = 0,25 x 11 = 2,75
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VARIÂNCIA
∑
=
−
−
=
−
−++−+−
==
n
i
in
n
xx
n
xxxxxxVariância
1
222
2
2
12
1
)(
1
)(...)()(S 
2σ 2S
� Expresso na unidade original de medida elevada ao quadrado
� Utilizado para avaliação da variabilidade de um processo/amostra
Fórmula alternativa:
1)(
n
1i
−
−
=
∑
=
n
XnX
S
i
22
2
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EXERCÍCIO
Grupo 1: 3,4,5,6,7 Grupo 2: 1, 3, 5, 7, 9 Grupo 3: 5,5,5,5,5
Considere as notas de um teste de 3 grupos de alunos, conforme abaixo.
Calcule a variância de cada grupo.
x1 = x2 = x3 = 5
_ _ _
4
G1: s2 =(3-5)2+(4-5)2+ (5-5)2+ (6-5)2+ (7-5)2 ⇒ S2 = 10/4= 2,5
G3: S2 = 0G2: S2 = 10
OU G1: ΣXi2= 9 + 16 + 25 + 36 +49 = 135
4
⇒ S2= 135 - 5×(5)2 = 2,5
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EXERCÍCIO
Dado o conjunto, determine a variância: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4
i Xi
1 10,2 10,32 -0,12 0,0144
2 10,5 10,32 0,18 0,0324
3 10,4 10,32 0,08 0,0064
4 10,1 10,32 -0,22 0,0484
5 10,4 10,32 0,08 0,0064
Total 0,1080
X XX i − ( )2i XX −
027,0)15/(1080,02 =−=σ
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DESVIO PADRÃO
� Expresso na unidade original de medida 
� Utilizado para avaliação do desvio em torno da média aritmética e da variabilidade de 
um processo/amostra 
� Indicador de variabilidade bastante estável, pois leva em consideração a totalidade dos
valores da variável em estudo
VariânciaPadrãoDesvio == S
G3: s2 = 0 ⇒ s = 0
G1: s2 = 2,5
G2: s2 = 10 ⇒ s = 3,16
⇒ s = 1,58
1643,0
15
1080,0
=
−
=σ
( ) 2n
1i i
1n
XX
σ
−
−
=
∑
=
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COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV)
� É uma medida de dispersão relativa
� Elimina o efeito da magnitude dos dados,
tornando a variabilidade entre conjuntos de
dados facilmente comparáveis
� Exprime a variabilidade em relação à média
%100×=
x
sCV
Altura 1,143m 0,063m 5,5%
Peso 50 kg 6 kg 12%
Média DesvioPadrão
Coef. de 
Variação
� Ex: Altura e peso de alunos 
Conclusão: Os alunos são, aproximadamente, duas vezes mais dispersos quanto ao peso do 
que quanto à altura. 
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COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV)
� Ex: Altura em cm de recém-nascidos e adolescentes 
Desvio
padrão
Coef. de
variaçãoMédia
Recém-nascidos 50 6 12%
Adolescentes 160 16 10%
Conclusão: Em relação às médias, as alturas dos adolescentes e dos recém-nascidos 
apresentam variabilidade quase iguais.
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� Calcular a amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação da 
amostra abaixo:
� Dados: 
� X1 – 22,0
� X2 – 22,5
� X3 – 22,5
� X4 – 24,0
� X5 – 23,5
� X6 – 20,7
� X7 – 21,9
� X8 – 24,4
� X9 – 22,9
� X10 – 21,5
EXERCÍCIOS
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EXERCÍCIOS
� Determinar a média, moda e 
mediana das idades dos 
habitantes de um determinado 
bairro. Os valores estão 
apresentados à direita:
45 54 23 35 46 67 37
19 66 43 22 76 44 19
33 41 60 81 47 39 47
56 20 29 31 40 19 22
24 33 80 76 34 67 70
39 79 21 32 33 55 50
29 40 38 44 22 78 22
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EXERCÍCIOS
� Encontre a média, a mediana e a moda das distribuições de dados apresentados 
nas tabelas a seguir:
a) Média: 4,6
b) Média: 51,36.
c) Média: 0,056.