ATPS Matematica

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Atividades Práticas Supervisionadas
Matemática
Curso de Tecnologia em Gestão Financeira
FAC 03
Atividades Práticas Supervisionadas do Curso de Tecnologia em Gestão Financeira na Faculdade Anhanguera, sob a orientação do Professor Juraci Luz.
Campinas, 07 de Outubro 2013.
Resolução
Uma empresa no ramo agrícola tem o custo para a produção de q unidades de um determinado insumo descrito por C(q) = 3q + 60. Com base nisso:
1.a) Determinar o custo quando são produzidas 0, 5, 10, 15 e 20 unidades deste insumo.
Cálculo
Para 0
C(0) = 3.0 + 60
C(0) = 0+60
C(0) = 60
Para 5
C(5) = 3.5 + 60
C(5) = 15 + 60
C(5) = 75
Para 10
C(10) = 3.10 + 60
C(10) = 30 + 60
C(10) = 90
Para 15
C(15) = 3.15 + 60
C(15) = 45 + 60
C(15) = 105
Para 20
C(20) = 3.20 + 60
C(20) = 60 + 60
C(20) = 120
1.b) Esboçar o gráfico da função.
1.c) Qual é o significado do valor encontrado para C, quando q=0?
C(0) = 3.0 + 60
C(0) = 0+60
C(0) = 60
É onde o custo é o valor mínimo.
1.d) A função é crescente ou decrescente? Justificar.
A função é crescente. Enquanto o valor em q for positivo, o valor do custo continuará crescendo.
1.e) A função é limitada superiormente? Justificar.
	Ela é uma função crescente, pois os valores em q são positivos e conforme eles aumentam o gráfico crescerá, então não tem como ser limitada.
O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por E = – 8t + 210, onde o consumo E é dado em kWh, e ao tempo associa-se t=0 para janeiro, t = 1 para fevereiro, e assim sucessivamente.
Cálculo
Janeiro t=0
E = – 8.0 + 210 → E = 0 – 0 + 210 → E = 210
Fevereiro t=1
E = – 8.1 + 210 → E = 1 – 8 + 210 → E = 203
Março t=2
E = – 8.2 + 210 → E = 4 – 16 + 210 → E = 198
Abril t=3
E = – 8.3 + 210 → E = 9 – 24 + 210 → E = 195
Maio t=4
E = – 8.4 + 210 → E = 16 – 32 + 210 → E = 194
Junho t=5
E = – 8.5 + 210 → E = 25 – 40 + 210 → E = 195
Julho t=6
E = – 8.6 + 210 → E = 36 – 48 + 210 → E = 198
Agosto t=7
E = – 8.7 + 210 → E = 49 – 56 + 210 → E = 203
Setembro t=8
E = – 8.8 + 210 → E = 64 – 64 + 210 → E = 210
Outubro t=9
E = – 8.9 + 210 → E = 81 – 72 + 210 → E = 219
Novembro t=10
E = – 8.10 + 210 → E = 100 – 80 + 210 → E = 230
Dezembro t=11
E = – 8.11 + 210 → E = 121 – 88 + 210 → E = 243
2.a) Determinar o(s) mês(es) em que o consumo foi de 195 kWh.
	Abril e Junho são os meses que tiveram consumo de 195 kWh.
2.b) Determinar o consumo médio para o primeiro ano.
243+230+219+210+203+198+195+194+195+198+203+210 = 2498 ÷ 12 →
A média de consumo no primeiro ano é de 208.16 kWh.
2.c) Com base nos dados obtidos no item anterior, esboçar o gráfico de E.
2.d) Qual foi o mês de maior consumo? De quanto foi esse consumo?
	O mês de maior consumo foi Dezembro. O consumo foi de 243 kWh.
2.e) Qual foi o mês de menor consumo? De quanto foi esse consumo?
	O mês de menor consumo foi Maio. O consumo foi de 194 kWh.
Sabe-se que o comportamento da quantidade de um determinado insumo, quando ministrado a uma muda, no instante t, é representado pela função Q(t)=250.(, onde Q representa a quantidade (em mg) e t o tempo (em dias). Então, encontrar:
Cálculo
Q(0)=250*( → Q(0) = 250
Q(1)=250*( → Q(1) = 250 * 0,6 → Q(1) = 150
Q(2)=250*( → Q(2) = 250 * 0,36 → Q(2) = 90
Q(3)=250*(→ Q(3) = 250 * 0,216 → Q(3) = 54
Q(4)=250*(→ Q(4) = 250 * 0,1296 → Q(4) = 32,40
Q(5)=250*(→ Q(5) = 250 * 0,07776 → Q(5) = 19,44
Q(6)=250*(→ Q(6) = 250 * 0,046656 → Q(6) = 11,664
Q(7)=250*(→ Q(7) = 250 * 0,0279936 → Q(7) = 6,9984
Q(8)=250*(→ Q(8) = 250 * 0,0167961 → Q(8) = 4,199025
Q(9)=250*(→ Q(9) = 250 * 0,0100776 → Q(9) = 2,5194
Q(10)=250*(→ Q(10) = 250 * 0,0060465 → Q(10) = 1,511625
Q(11)=250*(→ Q(11) = 250 * 0,0036279 → Q(11) = 0,906975
Q(12)=250*(→ Q(12) = 250 * 0,0021767 → Q(12) = 0,544175
Q(13)=250*(→ Q(13) = 250 * 0,001306 → Q(13) = 0,3265
Q(14)=250*(→ Q(14) = 250 * 0,0007836 → Q(14) = 0,1959
Q(15)=250*(→ Q(15) = 250 * 0,0004701 → Q(15)= 0,117525
Q(16)=250*(→ Q(16) = 250 * 0,000282 → Q(16) = 0,0705
Q(17)=250*(→ Q(17) = 250 * 0,0001692 → Q(17) = 0,0423
Q(18)=250*(→ Q(18) = 250 * 0,0001015 → Q(18) = 0,025375
Q(19)=250*(→ Q(19) = 250 * 0,0000609 → Q(19) = 0,015225
Q(20)=250*(→ Q(20) = 250 * 0,0000365 → Q(20) = 0,009125
Q(21)=250*(→ Q(21) = 250 * 0,0000219 → Q(21) = 0,005475
Q(22)=250*(→ Q(22) = 250 * 0,0000131 → Q(22) = 0,003275
Q(23)=250*(→ Q(23) = 250 * 0,0000078 → Q(23) = 0,00195
Q(24)=250*(→ Q(24) = 250 * 0,0000046 → Q(24) = 0,00115
Q(25)=250*(→ Q(25) = 250 * 0,0000027 → Q(25) = 0,000675
Q(26)=250*(→ Q(26) = 250 * 0,0000016 → Q(26) = 0,0004
Q(27)=250*(→ Q(27) = 250 * 0,0000009 → Q(27) = 0,000225
Q(28)=250*(→ Q(28) = 250 * 0,0000005 → Q(28) = 0,000125
Q(29)=250*(→ Q(29) = 250 * 0,0000003 → Q(29) = 0,000075
Q(30)=250*(→ Q(30) = 250 * 0,0000001 → Q(30) = 0,000025
Q(31)=250*(→ Q(31) = 250 * 0 → Q(31) = 0
3.a) A quantidade inicial administrada.
	A quantidade inicial foi de 250mg.
3.b) A taxa de decaimento diária.
	A taxa de decaimento diária é de 0,60.
3.c) A quantidade de insumo presente 3 dias após a aplicação.
Q(3)= 250.( → Q(3) = 250. (0,216) →Q(3) = 54 mg.
3.d) O tempo necessário para que seja completamente eliminado.
 	No prazo de 20 dias será eliminado se a conta for simplificada deixando duas casas decimais após a vírgula. Se for para fazer o cálculo detalhado deixando as casas decimais, no 31º dia será eliminado por completo.
	
Relatório Final
Usamos as funções matemáticas para descrever fenômenos econômicos. A matemática é uma ferramenta que nos auxilia na solução de problemas vinculados à administração de uma empresa.
	Existem alguns tipos de funções básicas de 1º grau que são: 
Função Crescente: Numa função de f(x) = x + 1, quando o valor que multiplica o valor de x > 0, a função será crescente. Com isso ao esboçar uma linha baseado no resultado de f(x) = x + 1 a linha deverá subir, sendo assim crescente. 
Função Decrescente: Numa função de f(x) = x + 1, quando o valor que multiplica o valor de x < 0, a função será decrescente. Com isso ao esboçar uma linha baseado no resultado de f(x) = x + 1 a linha deverá descer, sendo assim decrescente.
Função Limitada: Quando a variável dependente chega num determinado valor máximo ou mínimo, que independente do valor de x aumentar ou diminuir o resultado não ultrapassa aquele valor máximo ou mínimo. Ele se limita aquele resultado.
Função Composta: Quando temos que encontrar o valor de x e de y na mesma função ela é composta. É o calculo de duas ou mais variáveis.
	Nas funções de 1º grau, os cálculos são simples e os gráficos sempre serão retas crescentes, decrescentes, limitada ou composta.
	Através de outras funções mais complexas de 1º grau somos capazes de fazer cálculos para o nosso dia a dia. Por meio de funções podemos encontrar o valor de lucro e custo de um produto, cálculos de juros simples sobre determinadas parcelas, restrições orçamentárias para as empresas e até mesmo para uso doméstico.
	Nas funções de 2º grau os cálculos são bem mais complexos e os gráficos desenhados são conhecidos como parábolas. Quando a variável de maior grau for elevada ao quadrado () o gráfico que representará a função será uma parábola ou curva. Utilizamos a fórmula de Báskara para encontrar as raízes ou zeros e o vértice das parábolas. A fórmula segue dessa forma ou pode ser escrita dessa forma , o símbolo significa Delta, se então a função terá duas raízes reais e distintas, uma irá somar e outra irá subtrair . Se a função terá duas raízes reais e iguais representada por . Se então não existem raízes reais.
Quando o coeficiente de a >0 então a concavidade da parábola será voltada para cima, quando a<0 a concavidade será voltada para baixo.
	Nas funções exponenciais os gráficos têm curvas mais suaves seja ela crescente ou decrescente, a variável independente é o expoente. A função é dada como , o x que eleva ba é o expoente da função. 
	O coeficiente de b é chamado de valor inicial da função, quanto que o coeficientede a é chamado de base, eles que determinaram se a função será crescente ou decrescente. Para determinar a curva dessa função consideramos b>0, se a>1 a função será crescente, se 0<a<1 a função será então decrescente.
	Quanto maior for o valor da base, maior será o crescimento de f(x) conforme a variação de x.
Veremos a utilização de função exponencial junto com o fator multiplicativo, função exponencial e de depreciação e função exponencial de juros compostos.
O fator multiplicativo é quando temos um valor em porcentagem e transformamos em um valor decimal. A fórmula para tal transformação é Base = 1 + (d100), o valor de d é a porcentagem a ser transformada. Se fizermos a conta como Base = 1 + (10100) = 1,10 ou Base = 1 – (10100) = 0,90. Somando teremos uma porcentagem em decimal de acréscimo, subtraindo teremos em decimal de decréscimo. 
Uma vez transformado porcentagem em decimal, partimos para a aplicação da função exponencial, portanto o valor inicial deve ser fornecido.
Depreciação é uma desvalorização de venda que ocorre no decorrer do tempo ou anualmente, sempre depreciando o valor do período (ano) anterior imediatamente. A formula geral de depreciação é: M(n)=C*(, sendo M=montante, C=o capital inicial, i=taxa de juros em forma decimal e n=o número de períodos da aplicação. 
Juros Composto ou juros sobre juros é quando valores sofrem acréscimos sucessivos a uma taxa constante que incide sobre o valor do período anterior, detalhe esse período anterior (mês) já possui uma parcela de juros. 
Este procedimento é usado na determinação do montante para aplicações feitas nos sistemas de capitalização a juros compostos. A fórmula de juros compostos é a seguinte: M(n)=C*(.
Conceito de derivada é a própria taxa de variação instantânea, tem grande utilização nas áreas do conhecimento, principalmente nas áreas da administração, economia e contabilidade.
Taxa de variação média não é um conceito exclusivo das funções de 1º grau, ela pode ser calculada para qualquer função. A variável dependente é y enquanto que x é a variável independente, a taxa de variação média de y em relação a x é calculada dessa forma:
	Taxa de variação média = = 
 	A taxa de variação pode ser escrita da seguinte forma em funções: .
	Taxa de variação instantânea é a taxa de variação de um momento especifico, é utilizada para intervalos de tempo muito pequenos que se aproxime do próprio f(x) e ela é calculada a partir de taxas de variação média.
		Taxa de variação de f(x) = ( 
		Veremos algumas regras de derivadas.
	Função constante 	
F(x) = k, (k) é constante. Então, f’(x) = 0.
	Função de 1º grau
F(x) = m*x + b
	Soma ou diferença de funções
F(x) = u(x) + z(x), logo f’(x) = u’(x)+z’(x)
	Potência de x
F(x) = , logo f’(x) = n*
	Função Exponencial
F(x) = , a>0 e a ≠1, logo f’(x) = 
	Produto de funções
F(x) = u(x)*z(x) -> f’(x) = u’(x)*z(x)+u(x)*z’(x)
	Quociente de funções
F(x) = u(x)÷z(x) -> f’(x) = [u’(x)*z(x)-u(x)*z’(x)]÷[z(x)
	Função Composta
F(x) = z[u(x)], logo f’(x) = z’[u(x)]*u’(x)
	Funções Marginais
Função Custo Marginal = = C’(x) – derivada da função custo.
Função Receita Marginal = = R’(x) – derivada da função receita.
Função Lucro Marginal = = L’(x) – derivada da função lucro.
Função Produção Marginal = = P’(x) – derivada da função produção.
Função Custo Médio Marginal = = (x) – derivada da função custo médio.
Obtemos a taxa de variação média através da divisão de duas grandezas que tem unidades de medida, taxa de variação média também tem uma unidade de medida.
A derivada de uma função em um ponto é a taxa de variação instantânea da função no ponto: f’(a) = = 
	f’(a) = = , então é representada abaixo a derivada da função f(x) em um ponto x=a	
f(a) = 
	Taxa de variação média como inclinação da reta Secante é obtida através da fórmula entre intervalos de 4 ≤ x ≤ 9 
			Taxa de variação média = , obtivemos a variação em P através dos cálculos.
	Taxa de variação instantânea como inclinação da reta Tangente é representada pela fórmula	
		 = 
		 = 
Referências Bibliográficas
MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo A. Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. 2.ed.São Paulo: Cengage Learning, 2012. PLT 622.