BASES MATEMATICAS TEMA 4

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BASES MATEMATICAS TEMA 4
DESCRIÇÃO
Utilização de funções matemáticas elementares no estudo da variação do custo, da receita e do lucro no que diz respeito à quantidade produzida de certa utilidade (ou serviço). Gráficos dessas funções serão analisados, como também, com base neles, a taxa de variação de uma variável quando comparada à outra.
PROPÓSITO
Calcular taxas de variação média entre duas grandezas e interpretá-las. Esboçar e interpretar gráficos que representem a variação das funções custo, receita e lucro em relação à quantidade produzida de certa utilidade com o intuito de analisar o comportamento de cada uma delas quanto ao seu crescimento e decrescimento.
PREPARAÇÃO
Ao longo deste tema, você precisará de uma calculadora.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular taxas de variação médias entre duas grandezas
MÓDULO 2
Relacionar as taxas de variação em gráficos com períodos de crescimento e decrescimento
MÓDULO 3
Interpretar as funções custo, receita e lucro e analisar seus gráficos
MÓDULO 4
Analisar, através de funções, a demanda e a oferta de produtos a partir do preço praticado
MÓDULO 1
Calcular taxas de variação médias entre duas grandezas
INTRODUÇÃO
Vamos dar início a este módulo com o vídeo a seguir.
Assista ao vídeo Diversos usos das variáveis.
No estudo da relação entre variáveis, quando conseguimos quantificá-las, utilizamos as funções matemáticas, como aquelas que você estudou no Ensino Médio, em que, geralmente, expressamos o valor de uma variável 𝒚 em relação à outra, que costumamos denotar por 𝒙.
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A variável 𝒚 é comumente chamada de variável dependente.
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A variável 𝒙 é comumente chamada de variável independente.
Para compreender melhor o comportamento da variável dependente em relação à variável independente, muitas vezes, utilizamos o cálculo da taxa de variação da primeira em relação à segunda, isto é, quanto que 𝒚 varia para cada unidade de 𝒙.
TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA DE 𝒚 EM RELAÇÃO A 𝒙
Vamos considerar uma variável 𝒚 dada em função de 𝒙, ou seja:
𝒚 =  f f(𝒙)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A taxa de variação média de 𝒚 em relação a 𝒙, num intervalo aa ≤ 𝒙 ≤ bb (para 𝒙 variando de aa até bb) é dada por:
f(b) − f(a)b − af(b) − f(a)b − a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
1. Esta expressão indica o quanto a variável dependente 𝒚 varia para cada unidade aumentada na variável independente 𝒙.
2. É comum representarmos a variação ocorrida em uma variável inserindo a letra grega ΔΔ (“delta” maiúscula) antes da sua indicação. Por exemplo, a variação da variável 𝒙 será notada por ΔΔ𝒙. Sendo assim, a taxa de variação de 𝒚 em relação a 𝒙 poderá ser expressa por:
ΔyΔx = f(b) − f(a)b − aΔyΔx = f(b) − f(a)b − a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Algumas vezes, para facilitar representação, os valores aa e bb, das fórmulas acima são indicados por 𝒙2 e 𝒙1, respectivamente. De forma semelhante, escrevemos:
y2=f(b) e y1=f(a)y2=f(b) e y1=f(a)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Utilizando esse tipo de notação, podemos escrever:
ΔyΔx = y2−y1x2−x1ΔyΔx = y2−y1x2−x1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 1
DADA A FUNÇÃO 𝒚 = ff(𝒙), EM QUE ff(𝒙) = 3 + 2𝒙, VAMOS CALCULAR, INICIALMENTE, A TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA DE 𝒚 = ff(𝒙) PARA 𝒙 VARIANDO DE 2 A 5 (2 ≤ 𝒙 ≤ 5).
PASSO A PASSO PARA A RESOLUÇÃO
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PASSO 1
Nesse caso, consideramos:
x1 = 2 e x2 = 5x1 = 2 e x2 = 5
Assim:
y1=f(x1)=f(2)=y1=f(x1)=f(2)=
3+2 . 2=3+4=73+2 . 2=3+4=7
Consequentemente:
y2=f(x2)=f(5)=y2=f(x2)=f(5)=
3+2 . 5=3+10=133+2 . 5=3+10=13
PASSO 2
A taxa de variação média, portanto, será dada por:
ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =
13−75−2 = 62 = 213−75−2 = 62 = 2
Esse resultado nos diz que há um aumento de 2 unidades na variável 𝒚 para cada aumento de uma unidade em 𝒙.
PASSO 3
Agora, vamos determinar a taxa de variação média para 𝒙 variando de 2 a 4.
Nesse caso, temos:
x1=2 e x2=4x1=2 e x2=4
Já vimos que:
y1=f(x1)=f(2)=7y1=f(x1)=f(2)=7
Já o valor de 𝒚2 será dado por:
y2=f(x2)=f(4)=y2=f(x2)=f(4)=
3+2 . 4=3+8=113+2 . 4=3+8=11
A taxa de variação média, portanto, será dada por:
ΔyΔx = y2−y1x2−x1 = ΔyΔx = y2−y1x2−x1 = 
 11−74−2 = 42 = 2 11−74−2 = 42 = 2
ATENÇÃO
Observe que não houve alteração na taxa média de variação de 𝒚 em relação a 𝒙. É que o tipo de relação entre tais variáveis é linear, pois é descrita por uma função de primeiro grau. Nesse caso, a variação de 𝒚 em relação a 𝒙 é uma constante. Experimente calcular as taxas médias para outros intervalos de 𝒙 e note que o resultado será sempre o mesmo.
EXEMPLO 2
VAMOS CALCULAR ALGUMAS TAXAS MÉDIAS DE VARIAÇÃO CONSIDERANDO A FUNÇÃO
𝒚 = ff(𝒙) = 𝒙2 + 2𝒙.
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TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO DE 𝒚 EM RELAÇÃO A 𝒙 NO INTERVALO 0 ≤ 𝒙 ≤ 3.
Comecemos determinando a taxa média de variação de 𝒚 em relação a 𝒙 no intervalo 0≤x≤30≤x≤3
Temos, portanto, x1=0 e x2=3x1=0 e x2=3. Assim,
y1=f(x1)=f(0)=02+2 . 0=0y1=f(x1)=f(0)=02+2 . 0=0
e
y2=f(x2)=f(3)=y2=f(x2)=f(3)=
32+2 . 3=9+6=1532+2 . 3=9+6=15
A taxa que queremos determinar, então, será
dada por:
ΔyΔx = y2−y1x2−x1 = ΔyΔx = y2−y1x2−x1 = 
15−03−0 = 153 = 515−03−0 = 153 = 5
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO DE 𝒚 EM RELAÇÃO A 𝒙 NO INTERVALO 0 ≤ 𝒙 ≤ 2.
O que acontece se considerarmos o intervalo
0≤x≤20≤x≤2
Vamos calcular a taxa de variação média nesse caso.
Consideraremos x1=0 e x2=2x1=0 e x2=2.
Já vimos que y1=f(x1)=f(0)=0y1=f(x1)=f(0)=0 e, além disso, teremos:
y2=f(x2)=f(2)=y2=f(x2)=f(2)=
22+2 . 2=4+4=822+2 . 2=4+4=8
Nesse caso, a taxa que queremos determinar será dada por:
ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =
 8−02−0 = 82 = 4 8−02−0 = 82 = 4
ATENÇÃO
O resultado, como vemos, não é o mesmo. Esse tipo de função não apresenta a taxa de variação constante como a do exemplo anterior.
EXEMPLO 3
UMA FUNÇÃO PODE APRESENTAR DECRESCIMENTO EM UM TRECHO
E, NO OUTRO, CRESCIMENTO.
CONSIDERE A FUNÇÃO:
ff(𝒙) = 𝒙3 — 3𝒙2 + 𝒙 + 3
VAMOS CALCULAR AS TAXAS DE VARIAÇÃO MÉDIA EM DIFERENTES INTERVALOS.
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CRESCIMENTO DE 𝒚 EM RELAÇÃO A 𝒙 NO INTERVALO 1 ≤ 𝒙 ≤ 3.
Vamos calcular a sua taxa de variação média no intervalo 1≤x≤31≤x≤3.
Temos que:
x1=1 x1=1  e  x2=3 x2=3
Daí:
y1=f(x1)=f(1)=y1=f(x1)=f(1)=
13−3  . 12+1+3=13−3  . 12+1+3=
1−3+1+3=21−3+1+3=2
e
y3=f(x2)=f(3)=y3=f(x2)=f(3)=
33−3 . 32+3+3=33−3 . 32+3+3=
27−27+3+3=627−27+3+3=6
A taxa de variação média nesse intervalo será dada por:
ΔyΔx = y2−y1x2−x1 = ΔyΔx = y2−y1x2−x1 = 
6−23−1 = 42 = 26−23−1 = 42 = 2
Aqui, observa-se um crescimento de 𝒚 em relação a 𝒙.
DECRESCIMENTO DE 𝒚 EM RELAÇÃO A 𝒙 NO INTERVALO 1 ≤ 𝒙 ≤ 2.
O que acontece se considerarmos o intervalo
1≤x≤21≤x≤2?
Nesse caso, teremos:
x1=1, x2=2,x1=1, x2=2,
y1=f(x1)=f(1)=2y1=f(x1)=f(1)=2
e
y2=f(x2)=f(2)=y2=f(x2)=f(2)=
23−3 . 22+2+3=23−3 . 22+2+3=
8−12+2+3=18−12+2+3=1
A taxa de variação média nesse intervalo será dada por:
ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =
 1−22−1 = −11 = −1 1−22−1 = -11 = -1
O que indica que houve, em média, decréscimo de uma unidade em 𝒚 enquanto 𝒙 aumentou uma unidade.
EXEMPLO 4
VEJAMOS MAIS UM EXEMPLO QUE MOSTRA O CÁLCULO DE TAXAS DE VARIAÇÃO MÉDIA, MAS CONSIDERANDO TAMBÉM VALORES NEGATIVOS PARA 𝒙.
CONSIDERE A FUNÇÃO ff (𝒙) = 𝒙2 — 3𝒙 — 4.
Vamos determinar a taxa de variação média dessa função no intervalo —3 ≤ 𝒙 ≤ —1.
Temos 𝒙1 = —3 e 𝒙2 = —1. Daí:
y1=f(−3)=y1=f(−3)=
(−3)2−3(−3)−4=(−3)2−3(−3)−4=
9+9−4=149+9−4=14
e
y2=f(−1)=y2=f(−1)=
(−1)2−3(−1)−4=(−1)2−3(−1)−4=
1+3−4=01+3−4=0
Portanto, a taxa média de variação será dada por:
ΔyΔx = y2−y1x2−x1 = 0−14−1−(−3)ΔyΔx = y2−y1x2−x1 = 0-14−1−(−3)
= −142 = − 7= -142 = - 7
ATENÇÃO
Não há, como você pode constatar, nenhuma alteração no processo, porém será preciso atentar-se apenas aos sinais.
MÃO NA MASSA
MÃO NA MASSA
Parte superior do formulário
1. DADA A FUNÇÃO f(x)=5−3xf(x)=5−3x, A SUA TAXA DE VARIAÇÃONO INTERVALO 2≤x≤7 2≤x≤7  É:
—3.
5.
—0,6.
—5.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
2. DADA A FUNÇÃO f(x)=−3x2+x−4f(x)=−3x2+x−4, SUA TAXA DE VARIAÇÃO NO INTERVALO  −1≤x≤2  −1≤x≤2  É:
—3.
—2.
—4.
0.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
3. SE A DEMANDA DD DE CERTO PRODUTO, EM MILHARES DE UNIDADES, É DADA EM FUNÇÃO DE SEU PREÇO UNITÁRIO D=8.500−5pD=8.500−5p, A TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA DE DD PARA O INTERVALO 500≤p≤1.000 500≤p≤1.000  É:
—8 unidades/real.
2 unidades/real.
5 unidades/real.
—5 unidades/real.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
4. SE A QUANTIDADE OFERTADA SS DE CERTO BEM, EM TONELADAS, PODE SER EXPRESSA EM FUNÇÃO DO SEU PREÇO UNITÁRIO pp, EM REAIS, NA FORMA S=2p−240S=2p−240, O QUANTO ESSA QUANTIDADE VARIA, EM MÉDIA, QUANDO O PREÇO SOBE DE R$150,00 PARA R$180,00?
240 unidades/real.
20 unidades/real.
2 unidades/real.
12 unidades/real.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
5. QUANDO UMA FUNÇÃO ASSOCIA O CUSTO CT DE PRODUÇÃO DE CERTA UTILIDADE À SUA QUANTIDADE PRODUZIDA Q, ELA É DENOMINADA FUNÇÃO CUSTO TOTAL DESSA UTILIDADE. A TAXA DE VARIAÇÃO DO CUSTO TOTAL EM RELAÇÃO À QUANTIDADE PRODUZIDA, ISTO É, CONSIDERANDO UMA VARIAÇÃO DE 0 A Q UNIDADES PRODUZIDAS, É DENOMINADA CUSTO VARIÁVEL MÉDIO DE PRODUÇÃO E É DADA POR CVM(q) = CVM(q) =   CT(q)−C(0)q−0 =  CT(q)−C(0)q−0 =   CT(q)−C(0)q CT(q)−C(0)q, EM QUE CT (Q) É O CUSTO TOTAL PARA A PRODUÇÃO DE Q UNIDADES DESSA UTILIDADE.
SE A FUNÇÃO CUSTO TOTAL DE UMA UTILIDADE É DADA POR CT (q) = 2.000 + q + 0,1q2CT (q) = 2.000 + q + 0,1q2, QUAL SERÁ O CUSTO VARIÁVEL MÉDIO PARA A PRODUÇÃO DE 200 UNIDADES? CONSIDERE Q EM UNIDADES E CT EM REAIS.
20 reais/unidade.
21 reais/unidade.
18 reais/unidade.
16 reais/unidade.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
6. A POPULAÇÃO 𝒚 DE UMA CIDADE CRESCE 5% AO ANO. EM 2010, ERAM 40 MIL HABITANTES. O SEU TAMANHO, 𝒙 ANOS APÓS 2010, PODE SER CALCULADO PELA EXPRESSÃO 𝒚 = 40.000 . (1 + 0,05)𝒙.
A TAXA MÉDIA DE CRESCIMENTO (APROXIMADA) DESSA POPULAÇÃO ENTRE OS ANOS DE 2012 E 2019 É:
1.875 hab/ano.
2.125 hab/ano.
2.565 hab/ano.
2.955 hab/ano.
Parte inferior do formulário
GABARITO
1. Dada a função f(x)=5−3xf(x)=5−3x, a sua taxa de variação no intervalo 2≤x≤7 2≤x≤7  é:
A alternativa "A " está correta.
Considerando 𝒙1 = 2 e 𝒙2 = 7, temos:
ff(𝒙1) = ff(2) = 5 — 3 ∙ 2 = 5 — 6 = —1
e
ff(𝒙2) = ff(7) = 5 — 3 ∙ 7 = 5 — 21 = —16
Daí:
ΔfΔf = f(x2)−f(x1)x2−x1 = ΔfΔf = f(x2)-f(x1)x2-x1 = 
−16−(−1)7−2 = −16+15 = -16-(-1)7-2 = -16+15 = 
 −155 = −3 -155 = -3
2. Dada a função f(x)=−3x2+x−4f(x)=−3x2+x−4, sua taxa de variação no intervalo  −1≤x≤2  −1≤x≤2  é:
A alternativa "B " está correta.
Considerando 𝒙1 = —1 e 𝒙2 = 2, temos:
ff(𝒙1) = ff(—1) = —3 ∙(—1)2 + (—1) — 4 = — 3 — 1 — 4 = —8
e
ff(𝒙2) = ff(2) = —3 ∙ 2 2 + 2 — 4 = — 12 + 2 — 4 = —14
Daí:
ΔfΔx = f(x2)−f(x1)x2−x1 = ΔfΔx = f(x2)-f(x1)x2-x1 = 
−14−(−8)2−(−1) = −14+82 + 1 = -14-(-8)2-(-1) = -14+82 + 1 = 
 −63 = −2 -63 = -2
3. Se a demanda DD de certo produto, em milhares de unidades, é dada em função de seu preço unitário D=8.500−5pD=8.500−5p, a taxa de variação média de DD para o intervalo 500≤p≤1.000 500≤p≤1.000  é:
A alternativa "D " está correta.
Considere pp1 = 500 e pp2 = 1.000 reais. Assim, temos:
DD1 = 8.500 — 5∙500 = 8.500 — 2.500 = 6.000
e
DD2 = 8.500 — 5 ∙ 1.000 = 8.500 — 5.000 = 3.500
Portanto, a taxa média de variação da demanda DD, nesse intervalo, será dada por:
ΔDΔp =D2−D1p2−p1 =ΔDΔp =D2-D1p2-p1 =
 3.500−6.0001.000−500 =  3.500-6.0001.000-500 = 
−2.500500 = -2.500500 = 
−5 -5  unidades/real
4. Se a quantidade ofertada SS de certo bem, em toneladas, pode ser expressa em função do seu preço unitário pp, em reais, na forma S=2p−240S=2p−240, o quanto essa quantidade varia, em média, quando o preço sobe de R$150,00 para R$180,00?
A alternativa "C " está correta.
A resposta correta é a letra "C".
Considere pp1 = 150 e pp2 = 180 reais. Assim, temos:
SS1 = 2 ∙ 150 — 240 = 300 — 240 = 60
e
SS2 = 2 ∙ 180 — 240 = 360 — 240 = 120
Portanto, a taxa média de variação da quantidade ofertada SS, nesse intervalo, será dada por:
ΔSΔp =S2−S1p2−p1 =ΔSΔp =S2-S1p2-p1 =
 120−60180−150 = 120-60180-150 =
 6030 =  6030 = 
2 2  unidades/real
5. Quando uma função associa o custo CT de produção de certa utilidade à sua quantidade produzida q, ela é denominada função custo total dessa utilidade. A taxa de variação do custo total em relação à quantidade produzida, isto é, considerando uma variação de 0 a q unidades produzidas, é denominada custo variável médio de produção e é dada por CVM(q) = CVM(q) =   CT(q)−C(0)q−0 =  CT(q)−C(0)q−0 =   CT(q)−C(0)q CT(q)−C(0)q, em que CT (q) é o custo total para a produção de q unidades dessa utilidade.
Se a função custo total de uma utilidade é dada por CT (q) = 2.000 + q + 0,1q2CT (q) = 2.000 + q + 0,1q2, qual será o custo variável médio para a produção de 200 unidades? Considere q em unidades e CT em reais.
A alternativa "B " está correta.
A resposta correta é a letra "B".
O custo variável médio para q = 200 é a taxa de variação de CT para o intervalo 0 ≤ q ≤ 200 e é dado, nesse caso, por:
CVM(200)= CVM(200)=   CT(200)−C(0)200 CT(200)-C(0)200
Como
C(200) = 2.000 + 200 + 0,1 ∙ 2002 = 2.000 + 200 + 4.000 = 6.200 reais
e
C(0) = 2.000 + 0 + 0,1 ∙ 02 = 2.000 reais,
então:
CVM(200) =CVM(200) =
CT(200)−C(0)200 =CT(200)-C(0)200 =
 6.200−2.000200 =   6.200-2.000200 =  
 4.200200= 4.200200=
 21  21  unidades/real
6. A população 𝒚 de uma cidade cresce 5% ao ano. Em 2010, eram 40 mil habitantes. O seu tamanho, 𝒙 anos após 2010, pode ser calculado pela expressão 𝒚 = 40.000 . (1 + 0,05)𝒙.
A taxa média de crescimento (aproximada) dessa população entre os anos de 2012 e 2019 é:
A alternativa "C " está correta.
A resposta correta é a letra "C".
Para 2012, temos 𝒙1 = 2 e, em 2019, 𝒙2 = 9 anos. Então:
𝒚1 = 40.000 ∙ (1 + 0,05)2 = 40.000 ∙1,052 = 40.000 ∙ 1,1025 = 44.100 hab
e
𝒚2 = 40.000 ∙ (1 + 0,05)9 = 40.000 ∙ 1,059 ≅ 40.000 ∙ 1,5513 = 62.052 hab
Portanto, a taxa média de variação da população dessa cidade, de 2012 a 2019, foi de, aproximadamente:
ΔyΔx = ΔyΔx = 
 62.052−44.1009−2 =  62.052-44.1009-2 = 
17.9527≅17.9527≅
2.565 2.565  hab/ano
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
TEORIA NA PRÁTICA
Uma taxa de variação média à qual você certamente já se referiu diversas vezes é a velocidade média. Ela corresponde à taxa média de variação da posição de um móvel em relação ao tempo. Considere, por exemplo, um móvel que se desloca de acordo com a equação (função horária) em que s corresponde à sua posição, em metros, no instante t segundos.
s(t) = —t2 + 10t
Para determinar sua velocidade média em determinado intervalo de tempo (Δt), basta calcular a variação média de sua posição nesse intervalo.
Vejamos como é o movimento deste móvel:
Assista ao vídeo Teoria na Prática: Carro em Movimento
Vamos calcular sua velocidade média entre os instantes 1 e 5 segundos. Considerando t1 = 1 e t2 = 5 segundos, temos:
s(t1) = — 12 ++ 10 . 1 = — 1 ++ 10 = 10 metros
e
s(t2) = s(5) = — 52 ++ 10 . 5 = — 25 ++ 50 = 25 metros
As expressões acima correspondem, respectivamente, às posições desse móvel nos instantes 1 e 5 segundos. Sendo assim, sua velocidade média nesse intervalo de tempo será dada por:
Δs Δt=s(t2)−s(t1)t2−t1 = Δs Δt=s(t2)−s(t1)t2−t1 = 
 25 m − 9 m5 s − 1 s = 25 m − 9 m5 s − 1 s =
16 m4 s = 4 m/s16 m4 s = 4 m/s
Portanto, concluímos que, do instante t1 = 1s ao instante t2 = 5s, esse móvel percorreu um trecho de 16 metros em 4 segundos, isto é, sua velocidade média foi de 4 m/s. Isso não significa que sua velocidade permaneceu constante durante esse tempo. Observe, a seguir, que, se considerarmos o intervalo de tempo de 1 a 4 segundos, sua velocidade média será diferente da que já calculamos.
Vamos considerar t1 = 1 e t2 = 4 segundos. Já vimos que s(1) = 9m. No instante t2 = 4s, a posição do móvel é dada por s(t2) = s(4) = −- 42 ++ 10 .4 = −- 16 ++ 40 = 24 metros.
Portanto, sua velocidade média nesse novo intervalo de tempo será dada pela expressão a seguir, pois é maior do que no intervalo consideradoanteriormente.
Δs Δt=s(t2)−s(t1)t2−t1 =Δs Δt=s(t2)−s(t1)t2−t1 =
 24 m − 9 m4 s − 1 s = 24 m − 9 m4 s − 1 s =
15 m3 s = 5 15 m3 s = 5 
O que acontece com esse móvel quando consideramos sua velocidade média entre os instantes t1 = 6s e t2 9s? Vamos ao cálculo.
Temos:
s(t1) = s(6) = — 62 ++ 10 . 6 = — 36 ++ 60 = 24 metros
s(t2) = s(9) = — 92 ++ 10 . 9 = — 81 ++ 90 = 9 metros
Essas expressões correspondem, respectivamente, às posições desse móvel nos instantes 6 e 9 segundos. Observe que são as mesmas posições que esse móvel ocupou nos instantes 4 e 1 segundos.
Sua velocidade média nesse intervalo de tempo será dada por:
Δs Δt=s(t2)−s(t1)t2−t1 = Δs Δt=s(t2)−s(t1)t2−t1 = 
9 m − 24 m9 s − 6 s =9 m − 24 m9 s − 6 s =
−15 m3 s = −5 m/s−15 m3 s = −5 m∕s
Temos uma velocidade média negativa, que ocorre quando o móvel se desloca no sentido contrário da trajetória definida anteriormente. Note que, entre os instantes 1 e 4 segundos e entre 6 e 9 segundos, a distância percorrida é a mesma e em um mesmo intervalo de tempo (3 segundos). No entanto, no primeiro caso, o móvel sai da posição 9 metros e chega à posição 24 metros, percorrendo a distância de 15 metros, e, no segundo caso, sai da posição 24 metros e chega à posição 9 metros, isto é, percorre a mesma distância, mas no sentido contrário.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Parte superior do formulário
1. A TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA DE 𝒚 EM RELAÇÃO A 𝒙, EM DETERMINADO INTERVALO, REPRESENTA:
Quantas unidades 𝒚 varia, em média, para cada aumento de uma unidade em 𝒙 nesse intervalo.
Quantas unidades 𝒙 variou no intervalo considerado.
Qual o percentual de aumento de 𝒚 nesse intervalo.
Qual o percentual de aumento de 𝒙 nesse intervalo.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
2. SE A TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA DE UMA FUNÇÃO F(𝒙) COM 𝒙 VARIANDO DE 1 A 6 É IGUAL A 10, ENTÃO É CORRETO CONCLUIR QUE:
ff(1) = 10.
ff(6) = ff(1) + 10.
ff(6) − ff(1) = 10.
ff(6) − ff(1) = 50.
Parte inferior do formulário
GABARITO
1. A taxa de variação média de 𝒚 em relação a 𝒙, em determinado intervalo, representa:
A alternativa "A " está correta.
A taxa de variação de uma variável 𝒚 em relação à outra variável 𝒙 indica quantas unidades 𝒚 aumentam ou diminuem, em média, cada vez que a variável 𝒙 é aumentada em uma unidade.
2. Se a taxa de variação média de uma função f(𝒙) com 𝒙 variando de 1 a 6 é igual a 10, então é correto concluir que:
A alternativa "D " está correta.
Como
f(6)−f(1)6−1 = 10f(6)−f(1)6−1 = 10
	
Então, ff (6) − ff (1) = 10 ∙ (6 − 1) = 50.
MÓDULO 2
Relacionar as taxas de variação em gráficos com períodos de crescimento e decrescimento
INTRODUÇÃO
Vamos dar início a este módulo com o vídeo a seguir.
Assista ao vídeo Representando Funções em Gráficos.
Já vimos, no módulo anterior, como determinar a taxa de variação, isto é, de crescimento ou decrescimento de uma variável em relação à outra através dos valores calculados a partir das funções que as relacionam. No entanto, toda função matemática pode ser representada graficamente e, por conseguinte, a análise da taxa de variação também.
Veremos como é possível examinar a variação de uma variável em relação à outra com base em análises gráficas e como representá-la geometricamente.
ANÁLISES GRÁFICAS E REPRESENTAÇÕES GEOMÉTRICAS
Considere uma função 𝒚 = ff(𝒙) e um intervalo aa ≤ 𝒙 ≤ bb na qual ela está definida.
· A Figura 1 mostra a variação de 𝒚 (ΔΔ𝒚) e a variação de 𝒙 (ΔΔ𝒙) para o intervalo dado;
· Os pontos A e B têm coordenadas (aa,ff(aa)) e (bb,ff(bb)), respectivamente;
· A reta que passa por esses pontos tem inclinação que muda de acordo com a taxa de variação média da função ff(𝒙) em relação a 𝒙 no intervalo aa ≤ 𝒙 ≤ bb;
· Seu coeficiente angular corresponde a essa taxa de variação. Se a taxa de variação aumentar, por exemplo, a reta apresentará inclinação mais acentuada.
Foto: Shutterstock.comFigura 1 – Taxa de variação média: interpretação gráfica.
Para determinar se um gráfico apresenta tendência de crescimento ou decrescimento em um intervalo dado, basta calcular a taxa de variação média nesse intervalo ou verificar se a reta que une os dois pontos correspondentes ao intervalo é crescente (coeficiente angular positivo) ou decrescente (coeficiente angular negativo).
EXEMPLO 1
Considere o gráfico abaixo.
Foto: Shutterstock.com
Vamos determinar a taxa de variação média de 𝒚 em relação a 𝒙, inicialmente, para o intervalo 2 ≤ 𝒙 ≤ 6. Temos, nesse caso, ΔΔ𝒙 = 6 — 2 = 4 e ΔΔ𝒚 = 6 — 4 = 2.
Logo, a taxa de variação média é: ΔyΔx = 24 = 0,5ΔyΔx = 24 = 0,5.
Observe que, se considerarmos outro intervalo qualquer, como, por exemplo, 2 ≤ 𝒙 ≤ 4, a taxa de variação média permanecerá a mesma, pois se trata de um gráfico com comportamento linear.
Para esse último intervalo, temos ΔΔ𝒙 = 4 — 2 = 2 e ΔΔ𝒚 = 5 — 4 = 1.
Portanto, a taxa de variação média é: ΔyΔx = 12 = 0,5ΔyΔx = 12 = 0,5.
EXEMPLO 2
Vamos calcular as taxas médias de variação apresentadas pelo gráfico a seguir para os intervalos 1 ≤ 𝒙 ≤ 3 e —1 ≤ 𝒙 ≤ 2.
Foto: Shutterstock.com
Considerando 𝒙1 = 1 e 𝒙2 = 3, teremos 𝒚1 = 2 e 𝒚2 = 6. Portanto, a taxa média de variação de 𝒚 em relação a 𝒙 será dada por:
ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =
 6−23−1 =  6−23−1 = 
 42 = 2 42 = 2
Agora, se considerarmos 𝒙1 = —1 e 𝒙2 = 2, teremos 𝒚1 = —2 e 𝒚2 = 1. Portanto, a taxa média de variação de 𝒚 em relação a 𝒙 será dada por:
ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =
 1−(−2)2−(−1) =  1−(−2)2−(−1) = 
 33 = 1 33 = 1
MÃO NA MASSA
MÃO NA MASSA
Parte superior do formulário
1.
FOTO: SHUTTERSTOCK.COM
NO GRÁFICO APRESENTADO, A TAXA DE VARIAÇÃO DE 𝒚 QUANDO 𝒙 VARIA DE —2 A 4 É:
—3,5.
—2,3.
—1,5.
—1,2.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
2.
FOTO: SHUTTERSTOCK.COM
A TAXA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO, REPRESENTADA PELO GRÁFICO, PARA 𝒙 VARIANDO DE 2 A 5 É:
0,5.
—0,4.
—0,25.
—0,5.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
3.
FOTO: SHUTTERSTOCK.COM
A TAXA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO REPRESENTADA PELO GRÁFICO ACIMA PARA 𝒙 VARIANDO DE —4 A —3 É:
—2,4.
1,25.
—3,2.
—4,8.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
4.
FOTO: SHUTTERSTOCK.COM
NO GRÁFICO, CONSIDERE OS INTERVALOS —1 ≤ 𝒙 ≤ 2 E 0 ≤ 𝒙 ≤ 3.
SUAS TAXAS MÉDIAS DE CRESCIMENTO SÃO, RESPECTIVAMENTE:
2 e 2.
3 e 2.
2 e 3.
3 e 3.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
5.
FOTO: SHUTTERSTOCK.COM
O GRÁFICO REPRESENTA A PRODUÇÃO DE AÇO DE UMA MINERADORA NO PERÍODO DE 2013 A 2019.
A TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO APROXIMADA NA PRODUÇÃO DE AÇO NESSE PERÍODO É:
0,75 ton/ano.
—0,025 ton/ano.
0,097 ton/ano.
0,083 ton/ano.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
6.
FOTO: SHUTTERSTOCK.COM
O GRÁFICO MOSTRA A EVOLUÇÃO DO CONSUMO DE CERTO CEREAL ENTRE OS ANOS DE 2010 E 2015 EM UMA GRANDE REGIÃO.
SABE-SE QUE, DE 2015 A 2019, HOUVE UMA REDUÇÃO DE 20% NA TAXA MÉDIA DE CONSUMO, SE COMPARADA AO PERÍODO 2010-2015. SENDO ASSIM, QUAL FOI A QUANTIDADE CONSUMIDA DESSE CEREAL EM 2019?
1,87 ton.
2,98 ton.
3,15 ton.
3,75 ton.
Parte inferior do formulário
GABARITO
1.
Foto: Shutterstock.com
No gráfico apresentado, a taxa de variação de 𝒚 quando 𝒙 varia de —2 a 4 é:
A alternativa "C " está correta.
Para 𝒙1 = —2, temos 𝒚1 = 4 e para 𝒙2 = 4, temos 𝒚2 = —5.
Portanto:
ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =
 −5−44−(−2) =  −5−44−(−2) = 
−96 = −1,5-96 = -1,5
2.
Foto: Shutterstock.com
A taxa de variação da função, representada pelo gráfico, para 𝒙 variando de 2 a 5 é:
A alternativa "B " está correta.
A resposta correta é a letra "B".
Para 𝒙1 = 2, temos 𝒚1 = 1,2 e para 𝒙2 = 5, temos 𝒚2 = 0.
Portanto:
ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =
 0−1,25−2 =  0−1,25−2 = 
−1,23 = −0,4−1,23 = −0,4
3.
Foto: Shutterstock.com
A taxa de variação da função representada pelo gráfico acima para 𝒙 variando de —4 a —3 é:
A alternativa "A " está correta.
Para 𝒙1 = —4, temos 𝒚1 = —1 e para 𝒙2 = —3, temos 𝒚2 = —3,4.
Portanto:
ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =
ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =ΔyΔx = y2−y1x2−x1 =
−3,4+1−3+4 = −3,4+1−3+4 = 
−2,41 = −2,4−2,41 =−2,4
4.
Foto: Shutterstock.com
No gráfico, considere os intervalos —1 ≤ 𝒙 ≤ 2 e 0 ≤ 𝒙 ≤ 3.
Suas taxas médias de crescimento são, respectivamente:
A alternativa "A " está correta.
A resposta correta é a letra "A".
Para analisarmos a maior taxa média de crescimento, uma das formas é traçar as retas passando pelos pontos definidos pelos intervalos, como mostrado no gráfico a seguir. Porém, observe que, aparentemente, não há diferença nas inclinações dessas retas.
Foto: Shutterstock.comForte em Saint Tropez ao por do sol
Para termos certeza de que há ou não diferença, determinaremos as taxas de variação nesses dois casos. Para o intervalo —1 ≤ 𝒙 ≤ 2, temos:
𝒙1 = —1; 𝒙2 = 2; 𝒚1 = 3 e 𝒚2 = 9
A taxa de variação média é, portanto:
ΔyΔx = 9−32−(−1) =ΔyΔx = 9-32-(-1) =
63 = 263 = 2
Para o intervalo 0 ≤ 𝒙 ≤ 3, temos:
𝒙1 = 0; 𝒙2 = 3; 𝒚1 = 1 e 𝒚2 = 7
A taxa de variação média é, portanto:
ΔyΔx = 7−13−0 =ΔyΔx = 7-13-0 =
63 = 263 = 2
5.
Foto: Shutterstock.com
O gráfico representa a produção de aço de uma mineradora no período de 2013 a 2019.
A taxa média de variação aproximada na produção de aço nesse período é:
A alternativa "D " está correta.
Em 2013, podemos considerar uma produção de 4,5 toneladas. Em 2019, ela passa a ser de 5 toneladas. Sendo assim, a taxa média de variação nesse período é dada por:
5,0 ton−4,5 ton(2019−2013)  anos = 5,0 ton-4,5 ton(2019-2013)  anos = 
5,0 ton−4,5 ton6 anos ≅5,0 ton-4,5 ton6 anos ≅
0,083 ton/ano0,083 ton/ano
6.
Foto: Shutterstock.com
O gráfico mostra a evolução do consumo de certo cereal entre os anos de 2010 e 2015 em uma grande região.
Sabe-se que, de 2015 a 2019, houve uma redução de 20% na taxa média de consumo, se comparada ao período 2010-2015. Sendo assim, qual foi a quantidade consumida desse cereal em 2019?
A alternativa "B " está correta.
A resposta correta é a letra "B".
Vemos que, de 2010 a 2015, houve um aumento de 0,75 ton no consumo desse cereal. Como o período é de 5 anos, concluímos que a taxa média de variação é:
0,75 ton5 anos = 0,75 ton5 anos = 
0,15 ton/ano0,15 ton/ano
 0,15 ton/ano 0,15 ton/ano
Como, no período entre 2015 e 2019, houve diminuição da taxa média de variação em 20%, concluímos que essa taxa foi de:
(1 — 0,20) . 0,15 = 0,80 . 0,15 = 0,12 ton/anoton/ano
Considerando que esse último período é de 4 anos, então, em 2019, o consumo desse cereal foi igual a:
(2,5 + 0,12 . 4) ton = 2,98 tonton
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
TEORIA NA PRÁTICA
O cálculo da taxa média de variação é utilizado em diversas situações das mais diversas áreas. Inclusive, já vimos algumas dessas aplicações.
No campo da Economia e das Finanças, um conceito bastante utilizado é o de custo marginal, que consiste na mudança no custo total de produção resultante da variação em uma unidade da quantidade produzida.
Para melhor compreensão, apresentaremos, adiante, uma situação de análise de custos.
Quando se produz certa utilidade, é importante analisar os custos de produção e a receita gerada pela sua comercialização. Dessa forma, torna-se possível a avaliação dos lucros obtidos em tal processo. Dois dos principais conceitos que devem ser considerados nessa análise são o de:
Foto: Shutterstock.com
CUSTO VARIÁVEL MÉDIO
Foto: Shutterstock.com
CUSTO MARGINAL
Em situações em que se conhece a função que modela o custo de produção, utilizamos um conceito que foge ao escopo deste texto, que é o de derivada de uma função para definir e obter o custo marginal. Porém, quando os custos são analisados com base em tabelas que o relacionam com a quantidade produzida, esse conceito remete ao uso da taxa de variação média.
Considere a tabela a seguir, que apresenta o custo total de produção de garrafas de suco de laranja para cada quantidade produzida em certo período.
	Quantidade de garrafas
	Custo total (R$)
	0
	5.000,00
	1.000
	11.000,00
	1.500
	12.000,00
	1.800
	14.000,00
	2.000
	17.000,00
O gráfico a seguir representa os dados dessa tabela.
Foto: Shutterstock.com
Observe:
CUSTO FIXO
Mesmo quando nenhuma garrafa de suco é produzida, há um custo de R$5.000,00. Esse é o chamado custo fixo, que é aquele advindo de aluguel, salário de funcionários etc.
CUSTO VARIÁVEL MÉDIO
Quando são produzidas 1.000 garrafas, o custo total passa a ser de R$11.000,00. Observe que houve uma variação de R$6.000,00 quando a quantidade produzida foi de 0 a 1.000 garrafas. Isso significa que cada garrafa produzida proporcionou um aumento de R$6,00 no custo total de produção, isto é, R$6.000,00/1.000. Chamamos esse valor de custo variável médio, que, para certa quantidade q, pode ser definido como a taxa de variação do custo total, considerando a variação da quantidade produzida de 0 até q.
Se considerarmos a existência de um custo fixo de R$5.000,00 que deve ser dividido por toda a produção, podemos acrescentar R$5,00 ao custo final de cada unidade produzida. Esses valores mudam à medida que alteramos a quantidade produzida. Esse tipo de alteração deve ser analisada por quem gere os custos.
A tabela a seguir apresenta os custos variáveis médios para cada quantidade apresentada na tabela anterior.
	Quantidade de garrafas
	Custo total (R$)
	Custo médio (R$)
	0
	5.000
	-
	1.000
	11.000
	6,00
	1.500
	12.000
	0,67
	1.800
	14.000
	1,11
	2.000
	17.000
	1,50
Observe que, até a produção de 1.000 unidades, o custo variável médio é bem maior do que nos demais casos. Quando são produzidas 1.500 unidades, esse valor cai bastante e é o menor entre os apresentados. Isso é um indicativo de que esse nível de produção é o que gera o menor custo por unidade.
No entanto, nem sempre o custo variável médio indica o melhor nível de produção em relação ao custo, pois ele considera a diluição do custo fixo.
Uma medida que absorve melhor a diminuição do custo por unidade é o custo marginal médio.
O custo marginal é o aumento no custo associado à produção adicional. O custo marginal médio é o custo marginal dividido pelo número de unidades adicionais.
Na tabela a seguir, os valores dos custos marginais e custos marginais médios são apresentados.
	Quantidade de garrafas
	Custo total (R$)
	Custo marginal
	Custo médio (R$)
	Custo marginal médio (R$)
	0
	5.000
	-
	-
	-
	1.000
	11.000
	6.000
	6,00
	6,00
	1.500
	12.000
	1.000
	0,67
	2,00
	1.800
	14.000
	2.000
	1,11
	6,67
	2.000
	17.000
	3.000
	1,50
	15,00
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Note que, quando aumentamos a quantidade produzida de 1.000 para 1.500 unidades, o custo total varia R$1.000,00, ou seja, cada unidade produzida a mais, nesse intervalo, gera um aumento de R$2,00 no custo total.
Esse é o custo marginal médio do intervalo, e é o menor dos valores apresentados. Entretanto, quando a produção passa de 1.800 para 2.000 unidades, o custo marginal é demasiadamente grande.
Isso indica que o cenário é mais favorável à produção quando a quantidade produzida gira em torno de 1.500 unidades e menos favorável quando ela se aproxima de 2.000 unidades.
No próximo módulo, estudaremos os custos de produção com mais detalhes.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Parte superior do formulário
1. CONSIDERANDO DOIS PONTOS AA = (𝒙1, 𝒚1) E BB = (𝒙2, 𝒚2) EM UM GRÁFICO, A TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA DE 𝒚 PARA O INTERVALO 𝒙1 ≤ 𝒙 ≤ 𝒙2 É DADA POR:
y2y1y2y1
y2x2y2x2
y2−y1x2−x1y2−y1x2−x1
x2−x1y2−y1x2−x1y2−y1
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
2. CONSIDERE O GRÁFICO A SEGUIR, QUE MOSTRA OS CUSTOS TOTAIS DE PRODUÇÃO DE CERTA UTILIDADE PARA DETERMINADAS QUANTIDADES PRODUZIDAS.
FOTO: SHUTTERSTOCK.COM
O CUSTO VARIÁVEL MÉDIO QUANDO SÃO PRODUZIDOS 40KG DESSA UTILIDADE É:
180 R$/kg.
160 R$/kg.
72,00 R$/kg.
32,50 R$/kg.
Parte inferior do formulário
GABARITO
1. Considerando dois pontos AA = (𝒙1, 𝒚1) e BB = (𝒙2, 𝒚2) em um gráfico, a taxa de variação média de 𝒚 para o intervalo 𝒙1 ≤ 𝒙 ≤ 𝒙2 é dada por:
A alternativa "C " está correta.
A taxa de variação de uma variável 𝒚 em relação à outra variável 𝒙 indica quantas unidades 𝒚 aumentam ou diminuem, em média, cada vez que a variável 𝒙 é aumentada emuma unidade. Portanto, ela será dada por:
y2−y1x2−x1y2−y1x2−x1
	
2. Considere o gráfico a seguir, que mostra os custos totais de produção de certa utilidade para determinadas quantidades produzidas.
Foto: Shutterstock.com
O custo variável médio quando são produzidos 40kg dessa utilidade é:
A alternativa "B " está correta.
O custo variável médio para certa quantidade é a taxa de variação do custo total quando a produção varia de 0 a essa quantidade. Portanto, a solução será dada por:
7.200−80040−0 = 6.40040 =  1607.200−80040−0 = 6.40040 =  160 R$/kg
	
MÓDULO 3
Interpretar as funções custo, receita e lucro e analisar seus gráficos
INTRODUÇÃO
Vamos dar início a este módulo com o vídeo a seguir.
Assista ao vídeo Funções Matemáticas Aplicadas à Área Financeira.
FUNÇÕES CUSTO, RECEITA E LUCRO TOTAIS
As funções matemáticas, das mais elementares às mais complexas, são utilizadas nas análises de variação de duas grandezas, uma em relação à outra, em vários cenários e têm uma infinidade de aplicações práticas. Neste módulo, serão abordadas as funções custo, receita e lucro totais.
Foto: Shutterstock.com
Elas são largamente utilizadas na Administração, Economia, nas Ciências Contábeis e em áreas afins.
FUNÇÃO CUSTO TOTAL
A função custo total de uma utilidade é aquela que relaciona o seu custo total de produção CT com a quantidade produzida q e é dada pela soma dos custos fixos CF e dos custos variáveis CV, como a seguir:
CT = CF + CV
Os custos variáveis geralmente são obtidos pela multiplicação do custo unitário c pela quantidade produzida q. Dessa forma, a função custo total pode ser expressa por:
CT = CF + c . q
Observe que esse é o formato de uma função de primeiro grau. Apesar de poder assumir outras formas, a função custo total geralmente apresenta esse tipo de comportamento linear.
Os custos fixos são aqueles que não estão diretamente relacionados à produção. Eles são compostos, por exemplo, pelo aluguel que a empresa paga pela instalação, pelos salários de seus colaboradores etc. Mesmo que, em determinado período, não seja produzida nenhuma unidade do produto, o custo fixo ocorre. Já o custo variável é aquele que tende a variar de forma direta à quantidade produzida: quanto mais se produz, maior é o custo variável (total). Se nenhuma unidade for produzida, o custo variável é nulo.
FUNÇÃO RECEITA TOTAL
A função receita total de uma utilidade é aquela que relaciona o valor total recebido RT pela comercialização de q unidades dessa utilidade e é expressa pelo produto entre o seu preço unitário p e a quantidade comercializada, como a seguir:
RT = p . q
Apesar de expressa em relação a duas variáveis (preço e quantidade), conseguimos representá-la com função apenas da variável q. Isso porque o preço pode ser fixado ou expresso em relação à quantidade. Quando o preço p é fixo, a função receita tem comportamento linear. Porém, quando o preço se relaciona com a quantidade (através de uma função de demanda, como veremos no próximo módulo), ela assume outras formas, como, por exemplo, a de uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola.
O ponto no qual o custo se iguala à receita é denominado ponto de nivelamento. Ele é importante na determinação da meta de produção e venda, pois, a partir dele, começa-se a verificar a ocorrência de lucro.
FUNÇÃO LUCRO TOTAL
A função denominada função lucro total (LT) associa, a cada quantidade q produzida e comercializada, a diferença entre as respectivas funções receita total e o custo total. Sua forma é:
LT = RT — CT
Ela fornece o lucro obtido com a produção e comercialização de q unidades de uma utilidade, podendo assumir valores negativos (prejuízo), positivos (lucro), ou até mesmo ser nula. Neste último caso, consideramos que custo e receita se igualam.
EXEMPLO
Para produzir certa utilidade, uma fábrica gasta R$10,00 por unidade, além de uma despesa fixa (que independe da quantidade produzida) de R$800,00. Cada unidade produzida é vendida por R$14,00.
Temos:
· Custo fixo: CF = R$800,00;
· Custo unitário: c = R$10,00;
· Preço unitário de venda: p = R$14,00.
Para expressar o custo total CT em relação à quantidade produzida q, colocamos esses valores na expressão:
CT = CF + c ∙ q
Assim, temos:
CT = 800 + 10 ∙ q
A função receita total, que tem a forma:
RT = p ∙ q
Nesse caso, ela é expressa por:
RT = 14 ∙ q
O ponto de nivelamento é aquele em que custos e receita se igualam. Para determiná-lo, começamos resolvendo a equação:
RT = CT
14q = 800 + 10q
14q — 10q = 800
4q = 800
q = 80048004
q = 200
Concluímos, portanto, que, quando são produzidas e comercializadas 200 unidades, não há lucro nem prejuízo, pois receita e custo assumem o mesmo valor.
Para determinar que valor é esse, basta substituir q por 200 na função custo ou receita.
Veja:
CT (200) = 800 + 10 ∙ 200 = 800 + 2.000 = 2.800 reais
ou
RT (200) = 14 ∙ 200 = 2.800 reais
Logo, o ponto de nivelamento será dado por (200, 2.800).
A seguir, veja o gráfico com as funções custo e receita e com o ponto de nivelamento.
Foto: Shutterstock.com
Observe, no gráfico, que o encontro dos segmentos que representam as funções custo e receita ocorre quando q = 200. À esquerda desse ponto, o custo supera a receita, indicando, portanto, que, para q < 200 (quantidades inferiores a 200 unidades), ocorre prejuízo. À direita, é a receita que supera o custo, indicando que, para q > 200, ocorre lucro.
A função lucro total LT pode ser obtida considerando:
LT = RT — CT
Daí, temos:
LT = 14q — (800 + 10q)
LT = 14q — 800 — 10q
LT = 4q — 800
Inserindo a representação dessa função no mesmo gráfico em que estão representadas as funções custo total e receita total, podemos comparar as variações dessas três funções. Veja a seguir:
Foto: Shutterstock.com
Note que o segmento que representa a função lucro total intercepta o eixo horizontal no valor q = 200 (isso significa que o lucro é igual a zero quando a quantidade é igual a 200), que é a mesma quantidade do ponto de nivelamento, pois, quando receita e custo se igualam, o lucro é nulo.
A função lucro total pode ser utilizada para estimar o lucro obtido com a venda de certa quantidade q dessa utilidade e para determinar qual quantidade deve ser produzida e vendida para que determinada meta de lucro seja alcançada. Por exemplo, se queremos determinar o lucro quando são produzidas e comercializadas 500 unidades, fazemos:
LT (500) = 4.500 — 800 = 2.000 — 800 = 1.200 reais
Agora, se pretendemos determinar qual quantidade deve ser produzida para que o lucro seja de, por exemplo, R$3.000,00, devemos resolver a equação:
LT (q) = 3.000
Isto é:
4q — 800 = 3.000
4q = 3.000 + 800
4q = 3.800
q = 3.80043.8004
q = 950
MÃO NA MASSA
MÃO NA MASSA
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1. PARA CERTA UTILIDADE, A FUNÇÃO CUSTO TOTAL, EM REAIS, PARA UMA QUANTIDADE PRODUZIDA Q, EM QUILOGRAMAS, É DADA POR C(Q) = 3.000 + 50Q.
O GRÁFICO QUE REPRESENTA ESSA FUNÇÃO NO INTERVALO 0 ≤ Q ≤ 200 É:
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2. AS FUNÇÕES CUSTO TOTAL E RECEITA TOTAL REFERENTES A CERTO COMPONENTE ELETRÔNICO SÃO:
CT = 4.000 + 12Q
E
RT = 20Q
O SEU PONTO DE NIVELAMENTO É:
(125; 2.500).
(600; 12.000).
(50; 8.000).
(500; 10.000).
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3.
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O GRÁFICO REPRESENTA A FUNÇÃO CUSTO TOTAL REFERENTE A CERTO BEM.
O CUSTO FIXO DE PRODUÇÃO DESSE BEM E O SEU CUSTO UNITÁRIO (VARIÁVEL) SÃO, RESPECTIVAMENTE:
R$1.000,00 e R$50,00.
R$5.000,00 e R$10,00.
1.000,00 e R$25,00.
R$5.000,00 e R$50,00.
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4. DADAS AS FUNÇÕES CUSTO TOTAL E RECEITA TOTAL CT = 2.500 + 150Q E RT = 280Q, O GRÁFICO DE SUA FUNÇÃO LUCRO TOTAL NO INTERVALO 0 ≤ Q ≤ 100 É:
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5. UMA EMPRESA FABRICA APENAS UM MODELO DE CAMISETA E SABE-SE QUE, NO MÊS EM QUE SÃO FABRICADAS 500 CAMISETAS,O CUSTO TOTAL DE PRODUÇÃO É DE R$22.000,00. JÁ NO MÊS EM QUE SÃO FABRICADAS 1.000 CAMISETAS, ESSE CUSTO PASSA A SER DE R$30.000,00.
CONSIDERANDO QUE O CUSTO TOTAL É REPRESENTADO POR UMA FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU, É CORRETO CONCLUIR QUE O CUSTO FIXO DE PRODUÇÃO DESSE MODELO DE CAMISETA É:
R$14.000,00.
R$22.000,00.
R$12.000,00.
R$8.000,00.
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6. AS FUNÇÕES CUSTO TOTAL E RECEITA TOTAL, DADAS EM REAIS, PARA DETERMINADO BEM SÃO, RESPECTIVAMENTE:
C = 5.000 + 400Q E R = 700Q
ONDE Q (EM TONELADAS) É A QUANTIDADE PRODUZIDA E COMERCIALIZADA. QUAL DEVE SER A QUANTIDADE (APROXIMADA) PRODUZIDA E COMERCIALIZADA DESSE BEM PARA QUE O LUCRO SEJA IGUAL A R$60.000?
367 ton.
350 ton.
338 ton.
383 ton.
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GABARITO
1. Para certa utilidade, a função custo total, em reais, para uma quantidade produzida q, em quilogramas, é dada por C(q) = 3.000 + 50q.
O gráfico que representa essa função no intervalo 0 ≤ q ≤ 200 é:
A alternativa "A " está correta.
Como a função é de primeiro grau, seu gráfico é parte de uma reta. Portanto, basta tomarmos dois pontos para traçá-lo. Vamos considerar, para obtê-los, as quantidades limites 0 e 200.
q = 0 → C(0) = 3.000 + 50 ∙ 0 = 3.000 reais
q = 200 → C(200) = 3.000 + 50 ∙ 200 = 3.000 + 10.000 = 13.000 reais
Considerando os pontos obtidos anteriormente, temos:
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2. As funções custo total e receita total referentes a certo componente eletrônico são:
CT = 4.000 + 12q
e
RT = 20q
O seu ponto de nivelamento é:
A alternativa "D " está correta.
O ponto de nivelamento é aquele em que RT = CT. Portanto, obtemos a quantidade q desse ponto resolvendo a equação abaixo:
RT = CT
20q = 4.000 + 12q
8q = 4.000
q = 500
Substituindo esse valor na função receita total (pode ser também na função custo total), chegamos a:
RT (500) = 20 . 500 = 10.000 reais
Logo, o ponto de nivelamento será dado por: (500; 10.000).
3.
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O gráfico representa a função custo total referente a certo bem.
O custo fixo de produção desse bem e o seu custo unitário (variável) são, respectivamente:
A alternativa "C " está correta.
O custo fixo corresponde ao valor do custo total quando q = 0. Observe, no gráfico, que esse valor é R$1.000,00 (valor do eixo vertical).
Já o custo variável unitário é a taxa de variação média (quando a função é de primeiro grau) do custo para q variando de 0 até qualquer outro valor positivo. Observe, no gráfico, que, quando q = 0, temos CT = 1.000 reais e, quando q = 200, temos CT = 6.000 reais. Portanto, a taxa de variação será dada por:
ΔCTΔq = ΔCTΔq = 
 6.000−1.000200−0 = 6.000-1.000200-0 =
 5.000200= 5.000200=
25 25  reais/unidade
Logo, o custo variável unitário é R$25,00.
4. Dadas as funções custo total e receita total CT = 2.500 + 150q e RT = 280q, o gráfico de sua função lucro total no intervalo 0 ≤ q ≤ 100 é:
A alternativa "C " está correta.
Primeiro, vamos obter a expressão que fornece o lucro total desse produto em relação à sua quantidade produzida e vendida. Temos:
LT = RT — CT
LT = 280q — (2.500 + 150q)
LT = 280q — 2.500 - 150q
LT = 130q — 2.500
Escolhendo valores arbitrários para q, tais como q = 0 e q = 100, temos:
LT (0) = 130 ∙ 0 — 2 . 500 = 0 — 2.500 = — 2.500 reais
e
LT (1.000) = 130 ∙ 100 — 2.500 = 13.000 — 2.500 = 10.500 reais
Localizando esses dois pontos no gráfico e traçando um segmento por eles, obtemos o gráfico a seguir:
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5. Uma empresa fabrica apenas um modelo de camiseta e sabe-se que, no mês em que são fabricadas 500 camisetas, o custo total de produção é de R$22.000,00. Já no mês em que são fabricadas 1.000 camisetas, esse custo passa a ser de R$30.000,00.
Considerando que o custo total é representado por uma função de primeiro grau, é correto concluir que o custo fixo de produção desse modelo de camiseta é:
A alternativa "A " está correta.
O custo total tem a forma CT = CF + CV. Como a função é de primeiro grau, temos CV = c . q, e o custo unitário c, nesse caso, é dado pela taxa de variação média do custo total para qualquer intervalo. Considerando o intervalo 500 ≤ q ≤ 1.000, temos:
C  = ΔCTΔq = = ΔCTΔq =
 30.000−22.0001.000−500 =  30.000-22.0001.000-500 = 
8.000 500=168.000 500=16
Agora, considerando, por exemplo, que o custo total para produzir 500 camisetas foi de R$22.000,00, temos:
CF + 16 ∙ 500 = 22.000
CF + 8.000 = 22.000
CF = 14.000 reais
6. As funções custo total e receita total, dadas em reais, para determinado bem são, respectivamente:
C = 5.000 + 400q e R = 700q
Onde q (em toneladas) é a quantidade produzida e comercializada. Qual deve ser a quantidade (aproximada) produzida e comercializada desse bem para que o lucro seja igual a R$60.000?
A alternativa "A " está correta.
Para determinarmos a função lucro desse bem, devemos subtrair o custo da receita:
L = R — C
L = 700q — (50.000 + 400q)
L = 700q — 50.000 — 400q
L = 300q — 50.000
Igualando-se o lucro a R$60.000 e resolvendo a equação resultante, chegamos ao valor solicitado:
300q — 50.000 = 60.000
300q = 110.000
q = 367 ton (aprox.)
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
TEORIA NA PRÁTICA
Os custos de produção são avaliados em diversas situações, como, por exemplo, no estudo da viabilidade de instalação de produção em determinadas filiais ou regiões. Assim, as funções custo e receita são primordiais nesse tipo de estudo.
A seguir, veja um exemplo bem interessante abordado na questão do Enade (Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes – 2012 – Administração – Questão 13):
As decisões sobre a localização de empresas são estratégicas e integram o planejamento global do negócio. Considerando que o preço de venda da grande maioria dos bens produzidos é estabelecido pelo mercado, é preciso que as empresas conheçam em detalhes os custos nos quais incorrerão em determinada localidade. O modelo padrão custo-volume-lucro é útil na decisão de localização. A figura a seguir apresenta, em um único gráfico, as curvas de custo total versus a quantidade produzida mensalmente para as cidades de Brasília, São Paulo e Goiânia, as quais foram previamente selecionadas para receber uma nova fábrica de brinquedos. Sabe-se que a receita total é a mesma para as três localidades e que a decisão com base no lucro esperado em cada localidade varia com a quantidade produzida.
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A análise do modelo de custo-volume-lucro apresentado no gráfico revela que:
A) São Paulo é a localidade que proporcionará maior lucro para a nova fábrica, se a quantidade mensal a ser produzida variar entre 5.000 e 10.000 unidades, considerando a estrutura de custos apresentada.
B) São Paulo é a cidade na qual deve ser instalada a nova unidade produtiva, se a quantidade a ser produzida mensalmente for maior que 7.500 unidades, pois, a partir desse volume de produção, é a localidade que proporcionará maior lucro.
C) Brasília é a localidade mais indicada para receber a nova fábrica para volumes de produção mensal inferiores a 5.000 unidades, pois é a cidade que viabilizará maior lucro.
D) Goiânia deve receber a instalação da nova fábrica, se a quantidade produzida mensalmente for superior a 10.000 unidades, tendo em vista que, nas condições apresentadas, é a cidade que poderá dar maior lucro.
E) Tanto Goiânia quanto Brasília podem receber a nova fábrica, se o objetivo é produzir uma quantidade mensal exatamente igual a 5.000 unidades, considerando que o lucro será o mesmo nas duas localidades.
RESPOSTA
Observe que a comparação entre o custo em cada região com a função receita permite avaliar em qual região o lucro deverá ser maior, considerando o nível de produção. A alternativa correta é a letra A, pois, para o nível de produção entre 5.000 e 10.000 unidades, a função custo referente à São Paulo é a que está no menor patamar de todas. Como a receita independe da região, isto é, será a mesma para qualquer uma, então o maior lucro será atingido quando o custo for o menor.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
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1. (ENADE 2015 – TECNOLOGIA EM GESTÃO DA QUALIDADE – ADAPTADA) SUPONHA QUEUMA EMPRESA – CUJO FATURAMENTO ANUAL É DE R$840 MILHÕES, O CUSTO UNITÁRIO DO PRODUTO É DE R$350,00 E O PREÇO DE VENDA É DE R$420,00 POR UNIDADE – ESTEJA ESTUDANDO ALTERAR O PROCESSO DE GESTÃO DE QUALIDADE A FIM DE GERAR UM AUMENTO DE 10% NA QUANTIDADE DE PRODUTOS VENDIDOS. CONSIDERANDO ESSE NOVO CENÁRIO DE VENDAS, O INCREMENTO NO VALOR DO LUCRO FINAL É DE:
R$2 milhões.
R$14 milhões.
R$16,8 milhões.
R$70 milhões.
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2. (ENADE 2006 – ADMINISTRAÇÃO – QUESTÃO 32 – ADAPTADA)
A FIGURA A SEGUIR REPRESENTA OS CUSTOS DE DIFERENTES FORMAS DE PROCESSOS DE PRODUÇÃO (CELULAR, AUTOMATIZADA E INTERMITENTE) E A RECEITA DE VENDAS DE DETERMINADO PRODUTO.
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CONSIDERANDO A FIGURA, ANALISE AS AFIRMAÇÕES A SEGUIR:
I. SE FOR ESPERADO UM VOLUME DE PRODUÇÃO ABAIXO DE 10.000, A MANUFATURA INTERMITENTE É A PREFERÍVEL; ENTRE 10.000 E 43.000, A MANUFATURA CELULAR É A PREFERÍVEL; ACIMA DE 43.000, A MANUFATURA AUTOMATIZADA É A PREFERÍVEL.
PORQUE
II. OS PONTOS DE EQUILÍBRIO (QUANTIDADE/VALOR PARA OS QUAIS AS RECEITAS IGUALAM OS CUSTOS) SÃO DE 27.000, 30.000 E 40.000, RESPECTIVAMENTE, PARA AS MANUFATURAS CELULAR, AUTOMATIZADA E INTERMITENTE. A RESPEITO DAS INFORMAÇÕES ANTERIORES, CONCLUI-SE QUE:
As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.
A primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa.
A primeira afirmação é falsa, e a segunda é verdadeira.
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GABARITO
1. (Enade 2015 – Tecnologia em Gestão da Qualidade – adaptada) Suponha que uma empresa – cujo faturamento anual é de R$840 milhões, o custo unitário do produto é de R$350,00 e o preço de venda é de R$420,00 por unidade – esteja estudando alterar o processo de gestão de qualidade a fim de gerar um aumento de 10% na quantidade de produtos vendidos. Considerando esse novo cenário de vendas, o incremento no valor do lucro final é de:
A alternativa "B " está correta.
Se o preço de venda é de R$420,00 e o faturamento (receita total) é de R$840.000.000,00, então a quantidade vendida é igual a 840.000.000420 = 2.000.000840.000.000420 = 2.000.000 unidades ao ano. Com um aumento de 10% nessa quantidade, a empresa espera vender 2.200.000 unidades, o que proporcionará um aumento de 10% também no faturamento, que deverá ir para R$924.000.000,00.
Antes, o custo variável era de 350 . 2.000.000 = 700.000.000 reais.
Ocorrendo o aumento esperado de 10% na quantidade vendida (e produzida), o custo variável irá para 350∙2.200.000 = 770.000.000 reais.
Observe que se espera um incremento de 84 milhões no faturamento e de 70 milhões no custo. No lucro, portanto, o incremento será de 14 milhões.
2. (Enade 2006 – Administração – Questão 32 – adaptada)
A figura a seguir representa os custos de diferentes formas de processos de produção (celular, automatizada e intermitente) e a receita de vendas de determinado produto.
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Considerando a figura, analise as afirmações a seguir:
I. Se for esperado um volume de produção abaixo de 10.000, a manufatura intermitente é a preferível; entre 10.000 e 43.000, a manufatura celular é a preferível; acima de 43.000, a manufatura automatizada é a preferível.
Porque
II. Os pontos de equilíbrio (quantidade/valor para os quais as receitas igualam os custos) são de 27.000, 30.000 e 40.000, respectivamente, para as manufaturas celular, automatizada e intermitente. A respeito das informações anteriores, conclui-se que:
A alternativa "B " está correta.
A primeira afirmação é correta, pois podemos notar que para cada um dos intervalos citados as formas de produção que geram menor custo são aquelas cujos gráficos de custo estão abaixo dos demais, o que significa que geram maior lucro (já que a função receita independe, nesse caso, da forma de produção).
A segunda também está correta, pois os pontos de equilíbrio para as diferentes formas de produção são aqueles em que os gráficos das respectivas funções custo interceptam o gráfico da função receita.
No entanto, a segunda afirmativa não justifica a primeira, porque os pontos de equilíbrio comparam cada modelo de produção com a receita e não entre si.
MÓDULO 4
Analisar, através de funções, a demanda e a oferta de produtos a partir do preço praticado
INTRODUÇÃO
Vamos dar início a este módulo com o vídeo a seguir.
Assista ao vídeo Definições das Funções: Demanda, Oferta e Preço de Equilíbrio.
ANÁLISE DAS FUNÇÕES DEMANDA E OFERTA
Duas funções matemáticas largamente utilizadas no campo da Economia são a demanda e a oferta. Delas deriva o preço de equilíbrio de mercado, que é peça fundamental em diversas análises econômicas.
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DEMANDA OU QUANTIDADE DEMANDADA 𝐐𝐃
A demanda ou quantidade demandada QD de certa utilidade (bem ou serviço) a um preço unitário P é a soma das quantidades que todos os compradores do mercado desejam e estão aptos a adquirir a esse preço em certo período.
A FUNÇÃO MATEMÁTICA QUE RELACIONA AS VARIÁVEIS QD E P DE UMA UTILIDADE É DENOMINADA FUNÇÃO DEMANDA DESSA UTILIDADE.
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A tendência que geralmente se observa é que, se o preço aumenta, a quantidade demandada cai, pois o produto torna-se menos interessante para o consumidor.
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Porém, se o preço cai, a demanda tende a subir.
OFERTA E PREÇO SÃO GRANDEZAS QUE COSTUMAM VARIAR NO MESMO SENTIDO.
OFERTA OU QUANTIDADE OFERTADA 𝐐𝐎
A oferta ou quantidade ofertada QO de uma utilidade (bem ou serviço) a um preço unitário P é a soma das quantidades que todos os fornecedores ou produtores estão aptos e dispostos a vender desse produto ao preço P em certo período.
A FUNÇÃO MATEMÁTICA QUE RELACIONA AS VARIÁVEIS QO E P É DENOMINADA FUNÇÃO OFERTA DESSA UTILIDADE.
Com relação ao estudo da quantidade ofertada e do preço, a tendência que geralmente se observa é que, se o preço aumenta, a quantidade ofertada aumenta, pois o produto torna-se mais atrativo para quem o fornece. Porém, se o preço cai, a oferta também tende a cair.
PREÇO P
O PREÇO P DE UMA UTILIDADE PARA O QUAL AS QUANTIDADES DEMANDADA E OFERTADA SE IGUALAM É DENOMINADO PREÇO DE EQUILÍBRIO DE MERCADO OU, SIMPLESMENTE, PREÇO DE EQUILÍBRIO.
POR TAIS MOTIVOS, É DESEJÁVEL UM PREÇO QUE SE APROXIME DO PREÇO DE EQUILÍBRIO.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Recorrer à representação gráfica das funções demanda e oferta é bastante útil para facilitar suas análises e a do ponto de equilíbrio. O gráfico a seguir mostra uma situação genérica que representa tais elementos.
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EXEMPLO
Certo produto tem sua quantidade demanda QD e sua quantidade ofertada QO dadas, respectivamente, por:
QD = 10.000 — 15p
e
QO = —1.200 + 25p
P é o preço unitário de venda e varia de 100 a 500 reais.
Nesse caso, as duas funções são de primeiro grau, isto é, são representadas graficamente por um segmento de reta no intervalo designado. Portanto, para traçá-las, podemos tomar apenas dois pontos de cada.
Vamos considerar os preços R$100 e R$500, que são os extremos do intervalo considerado, para calcular os valores apresentados na tabela a seguir.
	Preço (R$)
	Quantidade demandada
	Quantidade ofertada
	100
	8.500
	1.300
	500
	2.500
	11.300
Outro ponto que já podemos localizar no gráfico é o ponto de equilíbrio. Para obtê-lo algebricamente, basta resolver a equação a seguir:
QO = QD
— 1.200 + 25p = 10.000 — 15p
25p + 15p = 10.000 + 1.200
40p = 11.200
p = 11.20040 = 11.20040
p = 280 reais
Este é, portanto, o preço de equilíbrio.
A quantidade de equilíbrio pode ser obtida substituindo esse valor em qualquer uma das funções, demanda ou oferta. Substituindo-o na função demanda, temos:
QD = 10.000 — 15.280 = 10.000 — 4.200 = 5.800 unidades
Logo, o ponto de equilíbrio é a interseção entre 280 e 5.800. Este ponto, bem como as funções demanda e oferta, é apresentado no gráfico a seguir.
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Pela análise do gráfico, podemos concluir que:
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À medida que os preços vão se afastando de R$280,00para valores menores, a tendência é que haja falta do produto no mercado, já que a demanda superará a oferta.
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No caso de preços maiores que o preço de equilíbrio, a oferta deverá superar a demanda, e, portanto, haverá sobra desse produto no mercado.
ATENÇÃO
As funções demanda nem sempre são representadas por segmentos de reta. Elas podem ser de outros tipos, como quadráticas, exponenciais, logarítmicas, entre outros formatos. Contudo, o tipo de análise gráfica que fizemos há pouco pode ser realizado quaisquer que sejam os tipos de funções que caracterizam essas duas variáveis em relação ao preço.
Na prática, diferentemente das funções custo, receita e lucro que vimos no módulo anterior, as funções demanda e oferta são obtidas através de processos estatísticos. Estes, por sua vez, obtêm equações relacionando duas variáveis a partir de levantamentos, para, assim, obter valores associados dessas variáveis.
MÃO NA MASSA
MÃO NA MASSA
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1. A FUNÇÃO DEMANDA QD, EM TONELADAS, DE CERTO PRODUTO É DADA POR QD = 200 — 3P, EM QUE P É O SEU PREÇO POR TONELADA.
O SEU PREÇO ATUAL PO PROPORCIONA DEMANDA DE 80 TONELADAS. O VALOR DE PO:
É menor do que R$30,00.
É maior do que R$50,00.
Está entre R$32,00 e R$37,00.
Está entre R$39,00 e R$45,00.
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2. AS FUNÇÕES DEMANDA E OFERTA DE CERTO BEM SÃO DADAS, RESPECTIVAMENTE, POR:
QD = 3.600 — 28P
E
QO = 20P — 1.200
O PONTO DE EQUILÍBRIO DESSE PRODUTO É:
(100; 800).
(120; 560).
(800; 100).
(560; 120).
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3. A DEMANDA DE UM PRODUTO É DE 1.300 UNIDADES QUANDO SEU PREÇO É DE R$42,00. SABE-SE QUE A FUNÇÃO QUE RELACIONA SUA QUANTIDADE DEMANDA COM SEU PREÇO É DO PRIMEIRO GRAU. ALÉM DISSO, CADA AUMENTO DE R$1,00 EM SEU PREÇO UNITÁRIO CAUSA UMA QUEDA DE 25 UNIDADES NA SUA DEMANDA. DENOTANDO POR D SUA QUANTIDADE DEMANDADA E POR P SEU PREÇO UNITÁRIO DE VENDA, A FUNÇÃO QUE REPRESENTA CORRETAMENTE A RELAÇÃO ENTRE ESSAS DUAS VARIÁVEIS É:
D = — p + 1.300.
D = — 25p + 2.350.
D = 25p — 2.350.
D = p — 1.300.
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4. A RELAÇÃO ENTRE A QUANTIDADE VENDIDA DE CERTO PRODUTO RELACIONA-SE COM SEU PREÇO DE FORMA LINEAR. SABE-SE QUE A REDUÇÃO NO PREÇO DE R$50,00 PARA R$40,00 AUMENTA A QUANTIDADE VENDIDA DE 200 PARA 250 UNIDADES. SE DENOTARMOS POR Q A QUANTIDADE VENDIDA E POR P O PREÇO DO PRODUTO, A EXPRESSÃO QUE RELACIONA CORRETAMENTE ESSAS VARIÁVEIS É:
q = — 10p + 50.
q = 5p — 450.
q = 10p — 50.
q = — 5p + 450.
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5. AS FUNÇÕES DEMANDA D E OFERTA S DE CERTO BEM SÃO DADAS, RESPECTIVAMENTE, POR:
D = 80 — 5P
E
S = 3P — 18
CONSIDERANDO QUE AS QUANTIDADES D E S SÃO POSITIVAS, OS VALORES DE PREÇO PARA OS QUAIS HAVERÁ SOBRA DESSE BEM NO MERCADO SERÁ DADO PELO INTERVALO:
(0 < p < 16).
(12,25 ≤ p < 16).
(0 < p < 12,25).
(3 < p < 5).
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6. DADAS D = — P2 — 2P + 80 (DEMANDA) E S = 7P — 10 (OFERTA), O PREÇO DE EQUILÍBRIO É IGUAL A:
4.
5.
6.
7.
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GABARITO
1. A função demanda QD, em toneladas, de certo produto é dada por QD = 200 — 3p, em que p é o seu preço por tonelada.
O seu preço atual pO proporciona demanda de 80 toneladas. O valor de pO:
A alternativa "D " está correta.
Igualando a demanda a 80 toneladas, temos:
200 — 3p = 80
— 3p = — 120
p = −120−3 = -120-3
p = 40
2. As funções demanda e oferta de certo bem são dadas, respectivamente, por:
QD = 3.600 — 28p
e
QO = 20p — 1.200
O ponto de equilíbrio desse produto é:
A alternativa "A " está correta.
Igualando a demanda e a oferta, o preço de equilíbrio pode ser obtido da seguinte forma:
QO = QD
20p — 1.200 = 3.600 — 28p
20p + 28p = 3.600 + 1.200
48p = 4.800
p = 100
A quantidade de equilíbrio pode ser dada pelo valor da demanda ou da oferta quando p = 100. Substituindo esse valor na função oferta, temos:
QO = 20 ∙ 100 — 1.200 = 2.000 — 1.200 = 800
Portanto, o ponto de equilíbrio será: (100; 800).
3. A demanda de um produto é de 1.300 unidades quando seu preço é de R$42,00. Sabe-se que a função que relaciona sua quantidade demanda com seu preço é do primeiro grau. Além disso, cada aumento de R$1,00 em seu preço unitário causa uma queda de 25 unidades na sua demanda. Denotando por D sua quantidade demandada e por p seu preço unitário de venda, a função que representa corretamente a relação entre essas duas variáveis é:
A alternativa "B " está correta.
Se a função é de primeiro grau, então ela tem a forma:
D = ap + b
Nessa forma, a é seu coeficiente angular e b, seu intercepto. Como a função cai 25 unidades para cada aumento de R$1,00 no preço, então a = — 25. Além disso, sabe-se que D = 1.300 quando p = 42. Então:
1.300 = — 25 ∙ 42 + b
1.300 = — 25 ∙ 42 + b
1.300 + 1.050 = b
b = 2.350
Logo, a função procurada é: D = — 25p + 2.350.
4. A relação entre a quantidade vendida de certo produto relaciona-se com seu preço de forma linear. Sabe-se que a redução no preço de R$50,00 para R$40,00 aumenta a quantidade vendida de 200 para 250 unidades. Se denotarmos por q a quantidade vendida e por p o preço do produto, a expressão que relaciona corretamente essas variáveis é:
A alternativa "D " está correta.
O coeficiente angular aa dessa reta (função do primeiro grau) é a taxa de variação da quantidade em relação ao preço. Então:
a = 250−20040−50 = a = 250-20040-50 = 
50−10 = −550-10 = -5
Como a equação dessa reta tem a forma q = ap + bq = ap + b, com aa = —5 e considerando que (40,250) é um de seus pontos, podemos escrever:
250 = − 5 . 40 + b250 = - 5 . 40 + b
250 = − 200 + b250 = - 200 + b
b = 450b = 450
A expressão que relaciona corretamente as variáveis p e q para esse produto é, portanto:
q = − 5p + 450q = - 5p + 450
5. As funções demanda D e oferta S de certo bem são dadas, respectivamente, por:
D = 80 — 5p
e
S = 3p — 18
Considerando que as quantidades D e S são positivas, os valores de preço para os quais haverá sobra desse bem no mercado será dado pelo intervalo:
A alternativa "B " está correta.
Igualando as funções dadas, temos:
3p — 18 = 80 — 5p
8p = 98
p = 12,25
Para que a demanda D seja positiva, o preço p tem que ser menor que 16. Sendo assim, o intervalo para o qual haverá sobra desse bem no mercado (a demanda será menor que a oferta), a ponto de as duas funções, D e S, serem positivas é (12,25 ≤ p < 16).
6. Dadas D = — p2 — 2p + 80 (demanda) e S = 7p — 10 (oferta), o preço de equilíbrio é igual a:
A alternativa "C " está correta.
Para determinar o preço de equilíbrio, devemos igualar as funções oferta e demanda:
7p — 10 = — p2 — 2p + 80
Assim, chegaremos à equação de segundo grau que possui as raízes — 15 e 6:
p2 + 9p — 90 = 0
Como só nos interessa a raiz positiva, pois ela indicará o preço do produto, então o preço de
equilíbrio é igual a 6.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
TEORIA NA PRÁTICA
No módulo anterior, você estudou a função receita referente à venda de certa utilidade dada em relação à sua quantidade vendida. Essa função pode ser expressa na forma:
RT = p ∙ q
Em que:
· p é o seu preço de venda unitário;
· q é a quantidade comercializada.
Vejamos, a seguir, alguns pontos importantes para a análise:
PREÇO FIXO
Quando o preço p é fixo, como já vimos, o gráfico dessa função será representado por uma semirreta. Nesse caso, quanto maior for a quantidade vendida, maior será o lucro. E, se a função custo dessa utilidade também for de primeiro grau, podemos concluir que, quanto maior for a quantidade produzida e vendida, maior será o lucro obtido.
VARIAÇÃO DE PREÇO
Nem sempre o preço é fixo, na maior parte dos casos, o preço do produto varia. Essa variação geralmente pode ser expressa por uma função demanda. Nesse caso, você sabe que geralmente as variáveis preço e quantidade variam em sentidos inversos. Se a demanda está abaixo do esperado para um produto, seus fornecedores tendem a diminuir seu preço, a fim de que o número de consumidores dispostos a consumi-lo aumente. De modo semelhante, se a demandaestá alta, pode ser que que haja aumento no preço.
INTERFERÊNCIA NA RECEITA
A variação do preço logicamente interferirá na receita da empresa. Podemos pensar que o aumento do preço, por exemplo, aumentará a receita. Porém, se a quantidade demandada do produto diminuir, o que garantirá o aumento da receita? Da mesma forma, a diminuição do preço poderia nos levar a concluir pela diminuição da receita. No entanto, se o aumento da quantidade vendida resultante dessa queda no preço tiver mais peso sobre a receita, o que podemos concluir?
Isso mostra que nem sempre o lucro aumentará se a quantidade produzida e vendida também aumentar. Se o aumento do preço provoca diminuição na quantidade vendida, é preciso avaliar esse tipo de relação matematicamente para obter as conclusões corretas. Nesse caso, podemos utilizar a função demanda para obter a função receita de uma utilidade.
Vamos considerar o exemplo a seguir para ilustrar como ocorre esse tipo de análise e qual sua importância na determinação de um nível de produção e venda que pode levar ao maior lucro possível.
Considere um produto que tenha custo fixo de R$6.000,00 e custo variável unitário de R$80,00. A sua quantidade demanda q, em unidades, relaciona-se com seu preço de venda unitário p, em reais, através da função demanda:
q = 400 — p
Com as informações dadas, podemos escrever sua função custo total na forma:
CT = 6.000 + 80q
Com relação à função receita total RT, como não temos um preço fixo, vamos obtê-lo a partir da sua relação com a quantidade q dada pela função demanda. Tomando essa função, podemos isolar a variável p, isto é, escrever p em função de q. Teremos:
q + p = 400
Substituindo p por 400 — q, na função RT = p ∙ q, chegamos a:
RT = (400 — q) ∙ q
RT = 400q — q2
Esta é uma função quadrática. Seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente do termo quadrático é negativo, então essa parábola terá concavidade voltada para baixo.
Para obter a função lucro total, fazemos:
LT = RT — CT
LT = — q2 + 400q — (6.000 + 80q)
LT = — q2 + 400q — 6.000 — 80q
LT = — q2 + 320q — 6.000
Observe que essa também é uma função quadrática representada por uma parábola com concavidade voltada para baixo, como mostra o gráfico a seguir:
Foto: Shutterstock.com
Pela sua análise, percebemos que, à medida que a quantidade aumenta, há também o aumento do lucro, mas até certo ponto. Há um ponto em que o lucro atinge seu valor máximo. Isso ocorre no vértice dessa parábola. Para determinar sua coordenada 𝒙, podemos utilizar a seguinte fórmula, em que aa é o coeficiente do termo 𝒙2 e bb, o coeficiente do termo 𝒙. Portanto, aa = — 1 e bb = 320.
xv = − b2axv = - b2a
Sendo assim, temos:
xv = − b2a = xv = - b2a = 
− 3202 . (−1) = - 3202 . (−1) = 
 −320−2 = 160 -320-2 = 160
Logo, a quantidade que deverá ser produzida e vendida para que o lucro atinja seu valor máximo é 160 unidades. Qualquer outro valor de q levará a um valor menor para LT. Para calcular qual é o lucro máximo, podemos substituir esse valor na expressão do lucro, como mostrado a seguir:
LT = — 1602 + 320 ∙ 160 — 6.000 = — 25.600 + 51.200 — 6.000 = 19.600 reais
Pode parecer estranho o fato de a quantidade produzida e vendida aumentar e, mesmo assim, o lucro diminuir. Isso ocorre porque, para aumentar a quantidade, o preço deve cair. Se, por um lado, o aumento da quantidade tende a provocar aumento da receita e, consequentemente, do lucro, por outro, a diminuição do preço tende a provocar diminuição da receita e do lucro.
Até certo ponto, o lucro cresce, mas chega um momento em que a diminuição do preço está tendo maior “força” do que o aumento da quantidade.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Parte superior do formulário
1. A FUNÇÃO DE DEMANDA PARA CERTO PRODUTO É Q = 8.000 − P, ONDE Q CAIXAS SÃO DEMANDADAS QUANDO P É O PREÇO POR CAIXA.
A RECEITA GERADA PELA VENDA DE 200 CAIXAS É IGUAL A:
R$1.560.000.
R$720.000.
R$1.980.000.
R$875.000.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
2. O LUCRO REFERENTE À PRODUÇÃO E VENDA DE Q UNIDADES DE CERTO PRODUTO É DADO POR L(Q) = − Q2 + 150Q − 3.000 REAIS, PARA Q VARIANDO ENTRE 0 E 80 UNIDADES. SEGUNDO TAL FUNÇÃO, O VALOR MÁXIMO DE LUCRO QUE PODE SER OBTIDO É:
R$2.000,00.
R$2.625,00.
R$3.000,00.
R$3.775,00.
Parte inferior do formulário
GABARITO
1. A função de demanda para certo produto é q = 8.000 − p, onde q caixas são demandadas quando p é o preço por caixa.
A receita gerada pela venda de 200 caixas é igual a:
A alternativa "A " está correta.
A alternativa A está correta.
Para obter a função receita total em função da quantidade q, devemos, em primeiro lugar, escrever a função demanda isolando a variável p.
Temos, então: p = 8.000 − q.
Substituindo essa expressão na função R = p ⋅ q (receita total) e aplicando a propriedade distributiva, temos:
R = (8.000 − q) ⋅ q
R = 8.000q − q2
Para uma quantidade igual a 200 caixas, temos a receita dada por:
R = 8.000 ∙ 200 − 2002 = 1.560.000 reais.
2. O lucro referente à produção e venda de q unidades de certo produto é dado por L(q) = − q2 + 150q − 3.000 reais, para q variando entre 0 e 80 unidades. Segundo tal função, o valor máximo de lucro que pode ser obtido é:
A alternativa "B " está correta.
Como o lucro é expresso por uma função quadrática com aa < 0, ou seja, seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo (∩), seu valor máximo é a coordenadayydo vértice (yvyv). Portanto, o lucro máximo pode ser obtido da seguinte forma:
yv = −Δ4a = yv = −Δ4a = 
 − b2−4ac4a  - b2−4ac4a − 1502−4 . (−1) . (−3.000)4 . (−1) =- 1502−4 . (−1) . (−3.000)4 . (−1) =
 2.625  2.625  reais
	
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Entender taxas de variação é uma importante habilidade de qualquer profissional, em especial daqueles em cargo de gestão. Essas taxas nos ajudam a estimar o que acontece com uma grandeza quando outra grandeza relacionada varia. Podemos reconhecer os períodos de crescimento ou decrescimento de uma grandeza que acompanhamos. Em especial para os gestores, podemos descrever inúmeras situações onde esse conhecimento é aplicado. Neste tema, vimos a aplicação direta nas situações com custo de produção, receita e lucro (algo bem presente na vida de muitos profissionais!). Também vimos a aplicação direta na relação de oferta de demanda, onde, para cada preço, temos uma demanda.
Essas são algumas das aplicações desses conceitos fundamentais da Matemática, mas existem muitas outras! O importante é que, utilizando esses conhecimentos como ferramentas, podemos tomar decisões mais acertadas em situações futuras.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
GOLDSTEIN, L. J.; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I. Matemática Aplicada. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.
LEITE, A. Aplicações da Matemática. São Paulo: Cengage Learning, 2008.
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática: para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. São Paulo: Atlas, 1997.
TAN, S. T. Aplicada à Administração e Economia. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
CONTEUDISTA
André Luís Corte Brochi
CURRÍCULO LATTES