Aula 7 e 8 matema

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Aula 6
Introdução
O conceito de função nos transporta à teoria dos conjuntos: quando existirem dois conjuntos com algum tipo de associação entre eles, ocorre uma função sempre que houver uma correspondência de qualquer elemento de um conjunto a um elemento do outro conjunto.
Funções
As funções são utilizadas em diversos setores da economia, por exemplo, nos valores pagos em um determinado período de um curso. O valor a ser pago vai depender da quantidade de disciplinas em que o aluno está matriculado. Assim, imagine que:
Exemplo
f(x) = 5x – 3 , onde a = 5 e b = -3
f(x) = -2x – 7 , onde a = -2 e b = 7
f(x) = x/3 + 2/5 , onde a = 1/3 e b = 2/5
f(x) = 11x , onde a = 11 e b = 0
Plano cartesiano
Como podemos observar, uma reta real é uma reta orientada ou um eixo que cada ponto está associado a um único número real e vice-versa.
Vamos imaginar um número P = -3. Teremos  = -3.
Agora vamos praticar:
Consideremos num plano 𝛼 de dois eixos, x e y, perpendiculares em 0, um ponto A pertencente a 𝛼, existem apenas duas retas, r e s, que passam por A de modo que r // y e s // x.
//
// Significa paralela.
Consideremos num plano 𝛼 de dois eixos, x e y, perpendiculares em 0, um ponto A pertencente a 𝛼, existem apenas duas retas, r e s, que passam por A de modo que r // y e s // x.
Agora, você pode notar que o plano cartesiano fica dividido em quatro quadrantes:
Podemos então localizar os pontos A(2,3), B(-3,2), C(-2,-1), D(3,-2), E(3,0) e F(0,2):
Veja a seguir o sinal das funções:
Representação gráfica das funções Crescente e Decrescente
O gráfico de uma função de 1° grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Vejamos um exemplo:
Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então, que a função y = 3x – 1 é crescente.
Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y diminuem. Dizemos, então, que a função y = -2x + 3 é decrescente.
Variação de sinal da Função de 1° Grau
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x, em que y é positivo, os valores de x em que y é zero e os valores de xem que y é negativo.
Entendendo na prática!
Consideremos uma função y = ax + b, vamos estudar seu sinal.
Sabemos que essa função se anula para x = -b/a (raiz). Há dois casos possíveis:
Atividade
1 - Em um plano cartesiano, são dados os seguintes pontos: A(2,3), B(-3,2). Assinale a opção correta:
“A” está no 1º quadrante e “B” no 2º quadrante.
“A” está no 2º quadrante e “B” no 3º quadrante.
“A” está no 3º quadrante e “B” no 4º quadrante.
“A” está no 1º quadrante e “B” no 3º quadrante.
“A” está no 3º quadrante  e “B” no 1° quadrante.
2 - Em um plano cartesiano, se uma reta corta o eixo x no ponto -1, indica que a função correspondente a essa reta é:
y = 4x + 1
y = x – 1/4
y = 4x + 1/4
y = 4x - 1/4
y = 4x – 1
3 - A definição de Função Polinomial de 1º grau é?
Qualquer função R dada por f(R) = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.
Qualquer função f dada por f(x) = ay + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.
Qualquer função f dada por f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.
Qualquer função f dada por f(x) = ax + b, onde a e b são números inteiros e a ≠ 0.
Qualquer função f dada por f(x) = ax + b, onde a e b são números irracionais e a a ≠ 0.
Aula 7
Introdução
Nesta aula estudaremos a função receita, a determinação de preços de vendas, as funções do lucro, os gráficos e suas representações.
Função receita e função lucro
Vamos compreender como determinar a função receita e a função lucro, na prática. Observe os casos a seguir:
O preço do aluguel corresponde à quinta parte do salário de João; as despesas com alimentação e transporte correspondem a dois sétimos.
Vamos determinar qual é o salário que João deve receber a fim de que, descontadas todas as despesas, sobrem a ele, no mínimo, R$ 540,00.
	
Aluguel = 1/5 do salário
	
	
Alimentação/Transporte = 2/7 do salário
Salário = (1/5) + (2/7) + 540 -> 540 = {1 – [(1/5) + (2/7)]} do salário
Logo: 540 = (18/35) do salário -> salário = (540/18) * 35 = 1.050
Assim, o salário que João deve receber é de R$ 1.050,00
Uma encomenda, para ser enviada pelo correio, tem um custo C de R$10,00 para um peso P de até 1kg. Para cada quilo adicional ou fração de quilo, o custo aumenta R$ 0,30.
Vamos determinar a função que representa o custo de uma encomenda de peso P ≥ 1kg.
Se 1 ≥ P - > C = 10
Se 2 ≥ P > 1 -> C = 10 + 1*0,30
Se 3 ≥ P > 2 -> C = 10 + 2*0,30
Se 4 ≥ P > 3 -> C = 10 + 3*0,30
Logo, para qualquer P -> C = 10 + (P – 1)*0,30
O gráfico ao lado informa a quantia a ser paga pelo consumo de água em certa cidade.
Sabendo que o consumo mínimo é de 10m3, vamos determinar quanto importa no pagamento um consumo de 28m3.
(60 – 20) / (20 – 10) = 4
20 + 4 * (C – 10)
20 + 4 * (28 – 10)
20 + 4 * 18 = 20 + 72 = 92
Agora é com você!
Com base nas situações vistas anteriormente, resolva as questões abaixo.
De modo geral, a lei que rege as transações comerciais é: R = C + L, onde V é a arrecadação dos produtos vendidos; C o custo total dos produtos fabricados; e L o lucro obtido na transação.
Para produzir um produto, uma indústria gasta R$ 1,20 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4.000,00, independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$ 2,00 por unidade.
Qual é o número mínimo de unidades a partir do qual a indústria começa a ter lucro?
GABARITO
C = 4000 + 1,20x onde x é a quantidade de produtos.
Com C = R – L, para calcularmos o valor mínimo para começar a dar lucro, vamos imaginar o L = 0.
Logo, substituindo C por 4000 + 1,20x e R por 2x, temos:
4000 + 1,20x = 2x – 0
2x – 1,2x = 4000
Logo: 0,8x = 4000
x = 5.000 produtos -> a partir daí começa a dar lucro.
Uma empresa pretende produzir um determinado produto e vender a R$80,00 cada. Caso não venda unidade alguma, a receita será 0.
Se forem vendidas 100.000 unidades, qual será a receita?
GABARITO
No caso da receita ser uma função linear (preço constante), a equação que define a função é R(q) = p.q onde R é a receita total, p é o preço por unidade do produto e q é a quantidade vendida.
Assim, a receita R será 80 x 100000 = R$ 8.000.00,00.
Ponto de equilíbrio
O ponto de equilíbrio é o ponto onde a oferta é igual à demanda.
A análise do Ponto de Equilíbrio é apenas um guia que evidencia o relacionamento existente entre os fatores que afetam o lucro. Tem grande importância para a decisão gerencial, mas é preciso levar em conta que suas premissas são difíceis de se realizar na vida real.
O cálculo do ponto de equilíbrio pode ser feito por três métodos:
Método da equação
Esse método segue a equação:
Exemplo
Tendo como base os valores:
Preço de venda unitário: R$10,00
Custo variável unitário: R$4,00
Custo fixo: R$150.000,00
Vamos determinar quantas unidades devem ser produzidas para que seja alcançado o Ponto de Equilíbrio:
10x = 4x + 150000 + 0
x = 25.000 unidades
Método da margem de contribuição
Utiliza a margem de contribuição por unidade de saída de produção necessária para calcular o ponto de equilíbrio.
Exemplo
Considerando os dados anteriores, vamos calcular o ponto de equilíbrio, levando em conta a margem de contribuição.
Preço de venda unitário: R$10,00
Custo variável unitário: R$4,00
Custo fixo: R$150.000,00
PVU – CVU = 10 – 4
Vamos usar o lucro zero por ser o ponto de equilíbrio, ou seja, receita = custo.
x = (150.000 + 0) / (10 – 4)
x = 25.000 unidades
Método gráfico
As unidades de venda são representadas no eixo horizontal e os valores monetários no eixo vertical.
Depreciação linear
Existem ativos (máquinas, equipamentos, veículos, prédios) que sofrem uma depreciação contábil (“desvalorização”) no seu valor de aquisição, calculado mensalmente ou anualmente, dependendo do tipo de ativo.
Exemplo
Um equipamento de informáticaé comprado por R$ 12.000,00. Sua depreciação normal é realizada em cinco anos. Vamos determinar:
a) Qual será o valor estimado desse equipamento ao fim de três anos.
b) Qual o valor da depreciação mensal desse equipamento.
Solução:
a) Valor da depreciação anual: 12000
12000/5 = 2400
Depreciação ao fim de três anos: 2400 x 3 = 7200
Valor estimado ao fim de três anos: 12000 – 7200 = R$4.800,00
b) Valor da depreciação mensal
2400/12 = R$ 200,00
Ou
12000/60 = R$ 200,00 porque 5 anos = 60 meses
Atividade
1 - O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que o preço de fábrica é R$7.500,00 e que, depois de seis anos de uso, é R$ 1.200,00, seu valor, após quatro anos de uso é:
a) R$ 2.100,00
b) R$ 3.150,00
c) R$ 3.300,00
d) R$ 3.750,00
2 – Uma empresa pretende produzir um determinado produto e vender a R$ 80,00 cada. Caso não venda unidade alguma, a receita será 0; se forem vendidas 100.000 unidades, qual será a receita?
a) R$ 180.000.00,00
b) R$ 8.000.00,00
c) R$ 800.00,00
d) R$ 80.000.00,00
3 – O ponto de equilíbrio é o ponto onde:
a) A oferta é maior que a demanda.
b) A oferta é menor que a demanda.
c) Há oferta, mas não há demanda.
d) A oferta é igual à demanda.
Aula 8
Introdução
Nesta aula, estudaremos a receita quadrática, além da função lucro quadrática e as inequações do 2º grau.
INTRO
OBJETIVOS
CRÉDITOS
Função quadrática
Para definirmos a função quadrática, vamos analisar a situação
a seguir.
Imagine que um clube dispõe de um campo de futebol de 100m de comprimento por 70m de largura e, por medida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando o campo e a cerca, uma pista com 3m de largura.
Vamos determinar qual é a área do terreno limitado pela cerca!
ZOOM
Exercícios!
Determine m para que a função f(x) = (m – 1)x2 + 2x – 3 seja do 2º grau.
GABARITO
(m – 1) ≠ 0 -> m ≠ 1
Determine o valor de p para que a função real f(x) = (p2 – 5p + 4) x2 – 4x + 5 seja do 2º grau.
Escreva sua resposta aqui.
GABARITO
p2 – 5p + 4 ≠ 0 -> as raízes de p2 – 5p + 4 = 0 são 1 e 4
Logo, para que a função seja do 2º grau: p ≠ 1 e p ≠ 4
Identifique os coeficientes a, b e c das seguintes funções quadráticas:
Escreva sua resposta aqui.
GABARITO
a) a = 1; b = -3; c = 10
b) a = -2; b = -5; c = 1
c) a = 3; b = 0; c = -9
d) a = 1; b = 2; c = 0
e) a = 1/5 ; b = -2; c = 3/5
f) a = -3; b = 1/2 ; c = 1
Gráfico 
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau
y = ax2 + bx + c, onde a ≠ 0, é uma curva chamada parábola. 
Exercício!
Construa o gráfico da função y = -x2 + 1
Escreva sua resposta aqui.
GABARITO
Valores máximo e mínimo de uma função de 2º grau
O gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c é sempre uma parábola de eixo vertical. Observe:
Propriedades do gráfico y = ax2 + bx + c
Podemos definir as seguintes propriedades do gráfico y = ax2 + bx + c:
PROPRIEDADE 1
Se a > 0, a parábola tem um ponto de mínimo e com concavidade voltada para cima.
PROPRIEDADE 2
Se a < 0, a parábola tem um ponto de máximo e com concavidade voltada para baixo.
PROPRIEDADE 3
O vértice da parábola é o ponto V(xv, yv) onde:
xv = -b/2a
yv = -D/4a, onde D = b2 – 4ac, isto é, (fórmula de Bhaskara)
PROPRIEDADE 4
A parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissas x’ e x”, que são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0.
PROPRIEDADE 5
A parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).
PROPRIEDADE 6
O eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = -b/2a.
PROPRIEDADE 7
ymax = - D / 4a ( a < 0).
PROPRIEDADE 8
ymin = - D / 4a (a > 0).
PROPRIEDADE 9
Forma fatorada: sendo x1 e x2 as raízes de f(x) = ax2 + bx + c; então, ela pode ser escrita na forma fatorada seguinte:
y = a(x – x1) . (x - x2)
Exercício!
Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1, 8) pertence ao gráfico dessa função, então:
O seu valor máximo é 1,25
O seu valor mínimo é 1,25
O seu valor máximo é 0,25
O seu valor mínimo é 12,5
O seu valor máximo é 12,5
GABARITO
A função quadrática pode ser escrita na forma fatorada:
y = a(x – x1) (x – x2), onde x1 e x2 são os zeros ou raízes da função:
y = a[x – (-2)] (x – 3) = a(x + 2) (x – 3)
y = a(x + 2) (x – 3)
Como o ponto (-1, 8) pertence ao gráfico da função, vem:
8 = a(-1 + 2) (-1 – 3)
8 = a(1) (-4) = -4 . a
Daí vem: a = -2
Solução:
A função é, então: y = -2(x + 2) (x – 3), ou y = (-2x – 4) (x – 3)
y = -2x2 + 6x – 4x + 12
y = -2x2 + 2x + 12
Temos então: a = -2, b = 2 e c = 12.
Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo.
Isto já elimina as alternativas B e D.
Vamos, então, calcular o valor máximo da função.
D = b2 – 4ac = 22 – 4 . (-2) . 12 = 4 + 96 = 100
Portanto, yv = -100/4(-2) = 100/8 = 12,5
Logo, a alternativa correta é a letra E.
Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
1/2
2
1
4
-1/2
GABARITO
Seja x o número procurado. O quadrado de x é x2.
O número x excede o seu quadrado, logo: x – x2.
Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x – x2.
Solução:
Podemos escrever: y = -x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0. O valor procurado de x será o x (abscissa do vértice da função). Assim, xy = - b / 2a = -1 / 2(-1) = 1 / 2
Logo, a alternativa correta é a letra (a).
Função receita/lucro quadrática
Para definirmos a função receita/lucro quadrática, vamos analisar a situação a seguir:
Certa indústria fabrica um único tipo de produto, que é vendido ao preço unitário de x reais. Considerando que a receita mensal dessa indústria em reais é calculada pela expressão R(x) = 80000x – 8000x2, vamos calcular o valor que cada unidade do produto deve ser vendida para ser gerada uma receita mensal de R$200.000,00.
A receita é dada por:
R(x) = 80.000x – 8.000x2 onde x é o preço unitário.
Se a empresa teve uma receita de R$200.000,00, devemos substituir o valor 200.000 na R(x).
200.000 = 80.000x – 8.000x2
Arrumando a equação do segundo grau:
8.000x2 – 80.000x + 200.000 = 0
Para facilitar a aplicação de Bhaskara, devemos dividir por 8.000:
x2 – 10x + 25 = 0
Aplicando Bhaskara, encontramos o valor x = 5.
Portanto, cada unidade deve ser vendida por R$5,00.
Função Lucro
Observe a situação a seguir:
Um grupo de estudantes resolveu montar uma pequena indústria de estampas em camisas. Para tornar o negócio rentável, é preciso levantar os custos de produção e conhecer o número provável de camisetas vendidas. Esta última estimativa pode ser obtida por meio de uma pesquisa de mercado e depende do preço de venda de cada camiseta.
O grupo levantou os seguintes custos:
Vamos determinar o custo C para estampar x camisetas.
O custo C para estampar x camisetas é dado por:
C(x) = 1650 + 7,50x.
Exercício!
O lucro na venda de x unidades de um produto é dado por:
L(x) = x2 + 2x – 3
Determine:
a) O lucro na venda de 10 unidades do produto.
b) A quantidade vendida para um lucro zero.
c) A quantidade vendida para que o lucro seja o maior possível.
d) O gráfico de L(x).
Escreva sua resposta aqui.
GABARITO
a) Substituir x por 10: L(10) = 100 + 20 – 3 = 117, ou seja, R$117,00.
b) x2 + 2x – 3 = 0
Aplicando a Bhaskara, as raízes são: 1 e -3. A segunda, por ser negativa, tem que ser desprezada. Então, x = 1, isto é, preciso vender 1 unidade para o lucro ser zero.
c) Quanto mais venda, maior o lucro (não há limite).
d)
Inequações de 2º grau
Vamos aplicar o estudo do sinal da função quadrática na resolução de inequações.
Para resolver inequações do segundo grau, precisamos, antes, recordar que as inequações de primeiro grau são resolvidas seguindo-se o mesmo procedimento utilizado na resolução das equações de primeiro grau e observando-se as propriedades das desigualdades e o significado da solução.
x2 – 3x – 4 > 0 .... (então y > 0 lembrando que a função x2 – 3x – 4 = y).
Inicialmente, igualamos a equação a 0 para calcular as raízes.x2 – 3x – 4 = 0
x1 = -1 e x2 = 4
Assim, podemos desenhar a parábola função.
Para determinar o ponto em que a parábola corta o eixo y, temos que fazer x = 0. Logo:
y = -4
y = -4
Estudo do sinal da função
Estudando o sinal da função, temos: a função é côncava para cima, pois (a > 0): (onde a é o coeficiente em x2).
Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são x < -1 ou x > 4.
E o conjunto:
S = {x ∈ R | x < -1 ∨ x > 4}
O sinal ∨ significa “ou”.
Vejamos um exemplo!
Vamos determinar o sinal da função:
Achando as raízes da função, usando Bhaskara, temos:
x1 = 2
x2 = 3
E o estudo do sinal (a função é côncava para baixo, pois a < 0):
A solução é S = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 3}
Exercícios!
Determine o sinal da função: -x2 + 4x – 4 ≥ 0.
Escreva sua resposta aqui.
Estudo do sinal da função
Estudando o sinal da função, temos: a função é côncava para cima, pois (a > 0): (onde a é o coeficiente em x2).
Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são x < -1 ou x > 4.
E o conjunto:
S = {x ∈ R | x < -1 ∨ x > 4}
O sinal ∨ significa “ou”.
Vejamos um exemplo!
Vamos determinar o sinal da função:
Achando as raízes da função, usando Bhaskara, temos:
x1 = 2
x2 = 3
E o estudo do sinal (a função é côncava para baixo, pois a < 0):
A solução é S = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 3}
Exercícios!
Determine o sinal da função: -x2 + 4x – 4 ≥ 0.
Estudo do sinal da função
Estudando o sinal da função, temos: a função é côncava para cima, pois (a > 0): (onde a é o coeficiente em x2).
Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são x < -1 ou x > 4.
E o conjunto:
S = {x ∈ R | x < -1 ∨ x > 4}
O sinal ∨ significa “ou”.
Vejamos um exemplo!
Vamos determinar o sinal da função:
Achando as raízes da função, usando Bhaskara, temos:
x1 = 2
x2 = 3
E o estudo do sinal (a função é côncava para baixo, pois a < 0):
A solução é S = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 3}
Exercícios!
Determine o sinal da função: -x2 + 4x – 4 ≥ 0.
Escreva sua resposta aqui.
GABARITO
As raízes da função são:
x1 = 2 = x2
A função é côncava para baixo, pois a < 0. E o estudo do sinal fica assim:
A função é toda negativa, exceto no ponto x = 2, onde ela é nula. Queremos saber onde a função é positiva ou nula (≥ 0). O único ponto que faz parte da solução é x = 2.
A solução é S = {2}.
Determine o sinal da função: -x2 + 2x – 4 > 0
Escreva sua resposta aqui.
GABARITO
A função não possui raízes legais. Logo, ela não intercepta o eixo das abscissas. A concavidade é para baixo, pois a < 0.
Como queremos saber onde a função é positiva, o conjunto solução da função é vazio. Logo, S = ∅.
Atividades
1 - Determine as raízes reais da seguinte função: 3x2 – 7x + 2.
1 e 2
2/3 e 3
3 e 7
2 e 1/3
2 – Determine as raízes reais da seguinte função: x – 2x2.
1 e 0
0 e ½
½ e 1
0 e -½
3 – Determine os zeros reais da função: x4 – 5x2 + 4.
-2 e 2
-1, -2, 2 e 3
-1, -2, 1 e 2
1, -1, 2 e -3
4 – Resolva a inequação: x2 – 3x + 2 > 0.
S = {x ∈ R | x < 2 ou x > 1}
S = {x ∈ R | x < -1 ou x > -2}
S = {x ∈ R | x < 1 ou x > -2}
S = {x ∈ R | x < 1 ou x > 2}