AULA 7 E 8 MATEMÁTICA

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AULA 7 - TEMA 3 - CONJUNTOS
Prof.ª Samantha Silveira
samantha.silveira@estacio.br
2021-1
ARA0012
MATEMÁTICA EMPRESARIAL
TEMAS 
DE
APRENDIZAGEM
2
3. CONJUNTOS
3.1 DEFINIÇÃO DE CONJUNTOS
3.2 CONJUNTOS NUMÉRICOS
3.3 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
3.4 RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA E INCLUSÃO
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• Todos os ramos da matemática utilizam a noção de
conjuntos de diversas maneiras diferentes, sendo assim, a
noção de conjunto ganha um lugar de destaque no
ensino da matemática.
• As três noções básicas da teoria dos conjuntos são:
conjunto, elemento e pertinência, as quais denominamos
noções intuitivas.
CONJUNTOS
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1. Conceitos Primitivos 
(não-definidos) 
Conjunto e Elemento
CONJUNTOS
A ideia de 
conjunto
é a mesma de
coleção. 
5
Exemplos:
(a) Uma coleção de revistas é um conjunto; cada revista é
um elemento desse conjunto.
(b) Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do
time é um elemento desse conjunto.
(c) Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto;
cada aluno é um elemento desse conjunto.
1. Conceitos Primitivos (não-definidos) -
Conjunto e Elemento
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2. Representação 
de um 
Conjunto
CONJUNTOS
Tabular, 
Diagrama de Venn
e através de uma 
propriedade em comum.
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2.1. Representação Tabular
Podemos representar um conjunto sob forma de tabela,
escrevendo seus elementos entre chaves { } e separados por
vírgula.
É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A,
B, C, D, ... .
Exemplos: A = {a, e, i, o, u}
B = {1, 2, 3, 4}
CONJUNTOS
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2.2. Representação através de diagramas de Venn
CONJUNTOS
Exemplo:
Os elementos de um
conjunto são representados
por pontos interiores a uma
região plana limitada por
uma linha fechada simples,
isto é, uma linha que não se
entrelaça.
 a 
 b
 c
 d
 e
A
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2.3 . Representação através de uma propriedade
Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um
conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p,
então o conjunto A pode ser descrito por:
A = {x | x tem a propriedade p}.
Lê-se: "A é o conjunto formado por todos os elementos x tal
que x tem a propriedade p".
CONJUNTOS
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2.3 . Representação através de uma propriedade
Exemplos:
(a) A = {x | x é país da Europa}
o conjunto A é formado por todos os países da Europa.
(b) B = {x | x é mamífero}
o conjunto B é formado por todos os mamíferos.
CONJUNTOS
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3. Relação de Pertinência
Nos conjuntos, A = {a, e, i, o, u} e B = {1, 2, 3, 4}, note que u é
elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B.
Tais fatos serão respectivamente indicados por:
𝑢𝑢 ∈ 𝐴𝐴 (lê-se “u pertence a A”) 
e
𝑢𝑢 ∉ 𝐵𝐵 (lê-se “u não pertence a B”) 
CONJUNTOS
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3. Relação de Pertinência
De modo geral, para relacionar elemento e conjunto,
devemos utilizar os símbolos:
∈ (lê-se “pertence”) 
e 
∉ (lê-se “não pertence”)
CONJUNTOS
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4. Tipos de Conjunto
4.1. Conjunto unitário
Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.
Exemplos:
(a) C = {5}
(b) B = { x | x é estrela do sistema solar}
CONJUNTOS
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4. Tipos de Conjunto
4.2. Conjunto vazio
Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento
algum. Representa-se o vazio por Ø ou { }.
Exemplos:
(a)D = {x | x é número e x . 0 = 5} = Ø
(b)E = {x | x é computador sem memória} = { }
CONJUNTOS
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4. Tipos de Conjunto
4.3. Conjunto finito
Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao "fim"
da contagem de seus elementos.
Exemplos:
(a) B = {1, 2, 3, 4}
(b) D = {x | x é brasileiro}
(c) H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol}
CONJUNTOS
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4. Tipos de Conjunto
4.4. Conjunto infinito
Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos
um a um, jamais chegaremos ao "fim" da contagem.
Exemplos:
(a)N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
(b)A = 𝑥𝑥 ∈ 𝑁𝑁 𝑥𝑥 é 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 0,2,4,6, …
CONJUNTOS
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5. Conjuntos Iguais
Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os
mesmos elementos. Assim, se A é o conjunto das letras da
palavra "arte": A = {a, r, t, e} e B é o conjunto das letras da
palavra "reta": B = {r, e, t, a}, temos A = B, pois os conjuntos
possuem os mesmos elementos, não importando a ordem
em que os elementos foram escritos.
Se A não é igual a B, escrevermos 𝑨𝑨 ≠ 𝑩𝑩 (lê-se “A é diferente
de B”).
CONJUNTOS
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6. Conjunto Universo (U)
Conjunto universo de um estudo é um conjunto ao qual
pertencem todos os elementos desse estudo, ou seja, é o
conjunto que possui todos os elementos com os quais se
deseja trabalhar.
Exemplo:
Quais são os números menores que 5?
CONJUNTOS
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6. Conjunto Universo (U)
Exemplo: Quais são os números menores que 5?
A resposta irá depender do conjunto universo considerado.
 Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais,
teremos como resposta o conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}.
 Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais
pares, teremos como conjunto solução S = {0, 2, 4}.
CONJUNTOS
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Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de
B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B.
Indica-se que A é subconjunto de B por:
𝑨𝑨 ⊂ 𝑩𝑩 (lê-se “A está contido em B”)
ou ainda por 
𝑩𝑩 ⊃ 𝑨𝑨 (lê-se “B contém A”)
SUBCONJUNTOS
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Exemplos:
𝐴𝐴 = 2,5,3 e 𝐵𝐵 = 2,5,3,8,9 logo 𝐴𝐴 ⊂ 𝐵𝐵.
(lê-se “A está contido em B”)
𝐶𝐶 = 6,9,6,5 e 𝐷𝐷 = 9,6 logo 𝐶𝐶 ⊃ 𝐷𝐷.
(lê-se “C contém D”)
SUBCONJUNTOS
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Propriedades importantes envolvendo subconjuntos:
1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
SUBCONJUNTOS
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Relação de Inclusão
Usaremos a relação de inclusão (⊂) para relacionar um
subconjunto A com um conjunto B que contém A, logo
𝑨𝑨 ⊂ 𝑩𝑩 (lê-se “A está contido em B”).
Exemplo:
𝐴𝐴 = 2,5,3 e 𝐵𝐵 = 2,5,3,8,9 logo 𝐴𝐴 ⊂ 𝐵𝐵.
SUBCONJUNTOS
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Relação de Pertinência.
Usaremos a relação de pertinência (∈) para relacionar um
elemento 𝒙𝒙 com um conjunto W que possui x como
elemento, logo 𝒙𝒙 ∈ 𝑾𝑾 (lê-se “𝑥𝑥 pertence a W”).
Exemplo:
𝑊𝑊 = 𝑠𝑠, 𝑝𝑝, 𝑡𝑡, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 logo 𝑥𝑥 ∈ 𝑊𝑊 .
SUBCONJUNTOS
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OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
1. Intersecção de Conjuntos (∩)
A intersecção são os elementos comuns aos conjuntos A e
B.
Notação: 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 (lê-se “A intersecção B”).
Simbolicamente: 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝑥𝑥 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵
Diagrama de Venn
alceuds
Comentário do texto
continuar daqui
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OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
2. União de Conjuntos (∪)
É a união de todos os elementos que pertencem aos
conjuntos A e B.
Notação: 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 (lê-se “A união B”).
Simbolicamente: 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = 𝑥𝑥 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 𝑜𝑜𝑢𝑢 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵
Diagrama de Venn
Conjuntos
e
Diagrama 
de Venn
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Diagrama de Venn onde se
mostra a interseção das letras dos
alfabetos Grego, Latino e Cirílico.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Interse%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_grego
https://pt.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_latino
https://pt.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_cir%C3%ADlico
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Dois Conjuntos:
Essas configurações são representadas, respectivamente, pelas operações de conjuntos:
Conjuntos e Diagrama de Venn
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Dois Conjuntos:
Essas configurações são representadas, respectivamente, pelas operações de conjuntos:
Conjuntos e Diagrama de Venn
Conjuntos e Diagrama de Venn
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Três conjuntos
Na sua apresentação inicial, Venn focou-se sobretudo nos diagramas de três conjuntos.
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Aplicações das operações entre conjuntos:
A pesquisa de marketing é de extrema importância e nos fornece
informações valiosas. Dentre os benefícios da pesquisa de marketing
podemos destacar a geração de valor para sua audiência, tornando o
seu negócio mais confiável e assim aumentando a percepção de
credibilidade por parte dos potenciais consumidores com a sua marca.
As pesquisas ajudam as empresas a terem percepções que elas não
teriam sem as respostas dadas por seus consumidores, trazendo novas
possibilidades e, quem sabe, até uma visão inédita sobre o seu mercado.
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Aplicações das operações entre conjuntos:
Identificação de tendências
Isso é muito importante,porque você terá a chance de se
preparar e criar planos de ação antes de seus concorrentes,
seja especificamente sobre o seu produto ou serviço, ou
outras áreas como Marketing e Vendas.
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Aplicações das operações entre conjuntos:
Análise dos concorrentes
Uma pesquisa de mercado poderá ajudar sua empresa a
entender melhor os pontos fortes e fracos dos seus
concorrentes, além da opinião e comportamento do público
em relação a eles. Esses dados podem ser usados como uma
poderosa arma tanto de reavaliação do seu produto ou
serviço, quanto como uma fonte de informação para ações
de Marketing estratégicas e fortalecimento da sua imagem.
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Aplicações das operações entre conjuntos:
Para organizar os dados de sua pesquisa, utilizaremos os
conceitos de união, interseção e complemento de conjuntos
já aprendidos.
Para averiguar com maior clareza as informações obtidas
através de uma pesquisa de marketing, podemos utilizar o
Diagrama de Venn. Vamos entender com um exemplo de
pesquisa.
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Aplicações das operações entre conjuntos:
Exemplo de pesquisa:
Foram consultadas 500 pessoas sobre produtos que
habitualmente consomem. Obteve-se o seguinte resultado:
300 pessoas consomem o produto A, 270 consomem o
produto B e 80 consomem outros produtos distintos.
a) Quantas pessoas consomem os 2 produtos
habitualmente?
b) Quantas pessoas consomem apenas o produto B?
c) Quantas pessoas não consomem o produto A?
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Aplicações das operações entre conjuntos:
Solução: a) Quantas pessoas consomem os 2
produtos habitualmente?
(300 – X) + X+( 270 – X) + 80 = 500
X = - 650 + 500
X = 150
b) Quantas pessoas consomem apenas
o produto B?
R: 270 - 150 = 120
c) Quantas pessoas não consomem o
produto A?
R: 120 + 80 = 200
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Aplicações das operações entre conjuntos:
Solução:
Diagrama de Venn Diagrama de Venn
Exemplo
38
1. Numa pesquisa sobre preferência de detergentes realizada
numa população de 100 pessoas, constatou-se que 62
consomem o produto A, 47 consomem o produto B e 10
pessoas não consomem nem A e nem B. Que parte desta
população consome tanto o produto A quanto o produto B?
Exemplo
39
Solução: Representando as informações em diagramas,
temos:
Exemplo
40
Solução: 62 − 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 47 − 𝑥𝑥 + 10 = 100
−𝑥𝑥 + 119 = 100 × (−1)
𝑥𝑥 − 119 = −100
𝑥𝑥 = 119 − 100
𝑥𝑥 = 19
Logo, 19 pessoas consomem 
ambos os produtos.
Exemplo
41
2.
Exemplo
42
Solução: Analisando as sentenças, temos:
Verdadeiro. {A} é elemento de B.
Falso. {x} é um subconjunto unitário de A. O símbolo deveria ser
“contido”.
Falso. O conjunto A é subconjunto de B, pois x є A e x є B. Logo o
símbolo seria “contido”.
Falso. Há elemento de B que não é elemento de A, no caso {A}.
Falso. Não há o elemento A em B. O elemento é {A}.
Exercício
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1. Numa cidade constatou-se que as famílias que consomem
arroz não consomem macarrão. Sabe-se que: 40%
consomem arroz, 30% consomem macarrão, 15% consomem
feijão e arroz, 20% consomem feijão e macarrão, 60%
consomem feijão. O percentual correspondente às famílias
que não consomem esses três produtos, é:
a) 10% b) 3% c) 15% d) 5% e) 12%
Exercício
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2. Determine os conjuntos A, B e C que satisfazem as
seguintes condições simultaneamente:
Bom estudo!
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	ARA0012�MATEMÁTICA EMPRESARIAL
	TEMAS �DE�APRENDIZAGEM
	CONJUNTOS
	CONJUNTOS
	1.	Conceitos Primitivos (não-definidos) - Conjunto e Elemento
	CONJUNTOS
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	CONJUNTOS
	CONJUNTOS
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	CONJUNTOS
	CONJUNTOS
	SUBCONJUNTOS
	SUBCONJUNTOS
	SUBCONJUNTOS
	SUBCONJUNTOS
	SUBCONJUNTOS
	OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
	OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
	Conjuntos�e�Diagrama de Venn
	Número do slide 28
	Número do slide 29
	Número do slide 30
	Aplicações das operações entre conjuntos:
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	Aplicações das operações entre conjuntos:
	Exemplo
	Exemplo
	Exemplo
	Exemplo
	Exemplo
	Exercício
	Exercício
	Bom estudo!