Unidade 2 - Mecânica de fluidos

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Aula 3 unidade 2.pdf
103 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
Objetivos da terceira aula da unidade 2: 
 
Provocar o aprendizado através da interpretação 
dos enunciados dos exercícios; 
 
Provocar o aprendizado através da resolução de 
exercícios propostos; 
 
Promover, mais uma vez, a troca de papéis entre 
o educador e o educando, com os seguintes 
objetivos: 
 
1º - Comprovar que a docência é uma das 
maneiras mais eficaz de aprender; 
 
2º - Valorizar a atuação do educador, já que o 
educando irá conviver com todas as dificuldades 
de elaborar e transmitir um certo conteúdo; 
 
Mostrar que ao pensar por si só em relação a um 
dado tema, criação dos exercícios inéditos, além 
de enriquecer os conhecimentos é outra maneira 
eficaz de aprender; 
 
Avaliar os conhecimentos, a evolução do 
aprendizado e a desenvoltura das equipes. 
 
A avaliação da sétima tarefa será dividida em duas partes: 
 
1ª - Com relação ao cumprimento da tarefa com clareza. 
 
2ª - Com relação a ter acertado os exercícios. 
 
Para que a avaliação seja coerente em todas as turmas, preencheremos a seguinte ficha 
de avaliação: 
 
104 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
Nome da equipe apresentadora: ................................................................................. 
 
A equipe foi desinibida na realização da tarefa? 
 
Sim - atribua nota 1,0 (um) 
Não - atribua nota 0 (zero) 
Nota: ................................... 
 
O exercício inédito apresentado, foi realmente inédito, ou foi simples troca de números 
de algum exercício conhecido? 
 
Foi inédito - atribua nota 1,0 (um) 
Não foi inédito - atribua nota 0 (zero) 
Nota: ................................. 
 
A apresentação se restringiu a resolver os exercícios, ou foi mais além, explicando o 
conteúdo envolvido nos exercícios? 
 
Foi mais além - atribua nota 1,0 (um) 
Só ficou na resolução dos exercícios - atribua nota 0 (zero) 
 
Nota: ................................ 
 
 
O exercício resolvido da unidade 2 foi exclusivo e resolvido corretamente? 
 
Sim - atribua nota 3,5 (três e meio) 
 
Não, mas foi resolvido corretamente - atribua nota 3,5 / n (n = número de vezes que foi 
repetido) 
 
Não foi resolvido corretamente - atribua nota 0 (zero). Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O exercício elaborado foi realmente inédito e resolvido corretamente? 
 
105 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
Sim - atribua nota 3,5 (três e meio) 
 
Sim, mas não foi resolvido corretamente - atribua nota 0,5 (meio). Justifique. 
 
 
 
 
 
 
Não foi inédito - atribua nota 0 (zero). 
 
Nota: .............................. 
 
 
 
Nota final: ................................................. 
 
Quando 
 
sonhei, 
 
fui 
 
logo 
 
criando. 
 
Quando 
 
acordei, 
 
fui 
 
logo 
 
realizando. 
 
 
Raimundo Ferreira Ignácio 
Aula 4 unidade 2.pdf
106 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
Objetivos da quarta aula da unidade 2: 
 
Mostrar alguns exemplos práticos, onde se 
utilizam os conceitos de escalas de pressão; 
 
Introduzir o conceito de escala absoluta; 
 
Introduzir o conceito de escala relativa ou 
efetiva; 
 
Provocar a reflexão do aluno com relação às 
limitações do uso do piezômetro; 
 
Construir o diagrama comparativo entre escalas; 
 
Propor uma nova tarefa. 
 
Antes de entrar no próximo item da unidade 2, gostaria de relatar alguns momentos de 
minha vida profissional, nos quais deparei-me com o conceito que iremos estudar. 
 
1. Atuando na área comercial de bombas a vácuo e representando uma multinacional 
francesa, em diversas ocasiões atendendo clientes, antes de solucionar os problemas, 
era submetido a uma espécie de avaliação oral, onde perdi a conta das vezes que tive 
de responder perguntas como estas: 
 
P1- Nesta máquina, atuamos com vacuômetros, a pressão que o mesmo está 
registrando está em que escala de pressão? 
 
P2- Neste processo, necessitamos escolher uma bomba de vácuo, que irá propiciar 
uma depressão de -350 mmHg. A propósito esta depressão está em que escala? 
 
P3- Nossa fábrica está situado ao nível do mar. Efetuando uma análise do processo 
concluímos a necessidade de uma depressão de 15,2 psi. Isto será viável? 
 
2. Atuando na área de saneamento, no estudo do fenômeno de cavitação, tinha que 
determinar, tanto a pressão barométrica como a pressão de vapor. Quantas e quantas 
vezes, tive que responder: 
107 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
P4- A pressão barométrica (ou pressão atmosférica), que é lida pelo barômetro, está 
em que escala? 
 
P5- A pressão de vapor, que representa a pressão que a uma dada temperatura 
observa-se à vaporização do líquido, que é geralmente determinada em manuais 
de termodinâmica, está em que escala de pressão? 
 
Observação: Cavitação em instalações hidráulicas, representa o fenômeno de 
vaporização do fluido na própria temperatura de escoamento, devido à 
existência de uma pressão muito baixa. 
 
P6- Ao ler uma carga de pressão através de um piezômetro, qual a escala que este 
aparelho medidor de pressão opera? 
 
Observação: Piezômetro é um simples tubo de vidro graduado, que é aberto nas 
extremidades. 
 
P7- Estando em um local, onde a pressão barométrica é 8,9 mca, qual a máxima 
altura teórica de sucção? 
 
Observação: mca = metro de coluna de água = 1000 kgf / m3 . 
 
O próximo item estudado, permitirá responder a todas estas perguntas. 
 
 
2.5 Escalas de pressão 
 
Para o estudo básico de Mecânica dos Fluidos, tanto a escala absoluta como a escala 
efetiva ou relativa, são igualmente importantes. 
 
 
2.5.1 Escala absoluta 
 
É a escala de pressão que adota como zero o vácuo absoluto, o que justifica a afirmação 
que nesta escala só existe pressões positivas, teoricamente poderíamos ter a pressão 
igual a zero, que representaria a pressão do vácuo absoluto. 
 
Esta é realmente a única escala física de pressão e para diferenciá-la usaremos o 
símbolo “abs”. 
 
O aparelho mais comum que efetua leituras de pressões absolutas é o barômetro, 
utilizado na determinação da pressão atmosférica local, também denominada de pressão 
barométrica. 
108 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
O barômetro foi idealizado por Torricelli (figura 2.14), que definiu a pressão 
atmosférica padrão como sendo a pressão determinada ao nível do mar (mar Atlântico - 
altitude igual a zero), a uma temperatura aproximadamente igual a 15ºC e para o ar com 
uma massa específica aproximadamente igual a 1,226 kg/m3 . 
 
Para as condições descritas, considerando o mercúrio como fluido manométrico 
(γHg=13592,105 kgf/m3), onde se desprezou a sua pressão de vapor, obteve-se a carga 
de pressão de 760 mmHg. 
 
Observação: Nos problemas, geralmente adota-se: γHg =13600 kgf/m3 , o que resultaria 
uma pressão atmosférica padrão, ao nível do mar, igual a 10336 kgf/m2 . 
 
Figura 2. 14 
 
Evocando o teorema de Stevin, podemos escrever que: 
 
pA = pB = pC + γHg . h, onde pC foi considerado igual a zero (vácuo absoluto). 
 
Como pA = patm , temos: 
 patm = γHg . h Equação 2. 6 
Na determinação da pressão atmosférica padrão, temos: 
 
patm = 13592,105 . 0,76 = 10330 kgf/m2 
 
Observação: É comum na Engenharia, também trabalharmos com a pressão 
atmosférica técnica, que é igual a 10000 kgf/m2 . 
 
 
2.5.2 Escala Efetiva ou Relativa 
 
É a escala de pressão que adota como zero a pressão atmosférica local, o que justifica a 
afirmação que nesta escala existe: pressões negativas (depressões ou vácuos técnicos), 
nulas e positivas. 
109 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
Devemos salientar que a menor depressão possível é -patm , que para a escala absoluta, 
corresponderia ao vácuo absoluto. 
 
Os aparelhos mais utilizados para a determinação da pressão efetiva são: o piezômetro e 
o manômetro metálico. Neste item, estaremos falando do piezômetro, que é 
simplesmente um tubo de vidro graduado aberto em suas extremidades. 
 
Através do piezômetro, efetuamos leituras de cargas de pressão (coluna do fluido = h), 
como mostra a figura 2.15. 
 
 
Figura 2. 15 
 
A coluna h registrada no piezômetro da figura 2.14 é denominada de carga de pressão. 
Ela representa a relação entre a pressão da seção (1) e o peso específico do fluido. 
 
 h = p Equação 2. 7 γ
 
Na prática, a partir da carga de pressão lida no piezômetro, determina-se a pressão 
média da seção, onde o mesmo foi instalado. 
 
Na Escola da Vida a prática da reflexão é uma 
rotina. 
 
Colocando em prática a certeza anterior, gostaria que cada equipe refletisse sobre 
as limitações de uso de um piezômetro. 
 
Apesar das suas limitações, o conceito de carga de pressão que introduzimos em seu 
estudo será básico para o estudo dos escoamentos fluidos, como mostraremos em 
unidades posteriores. 
110 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
2.6 Diagrama comparativo entre escalas de pressão 
 
Através deste diagrama, objetivamos mostrar a relação entre as escalas de pressão e 
demonstrar que a menor depressão possível é -patm local. 
 
O diagrama encontra-se representado pela figura 2.16. 
 
 
Figura 2. 16 
 
2.8 Manômetro metálico tipo Bourdon 
 
Este aparelho é usado em diversas aplicações da Engenharia, o que justifica a sua 
abordagem nesta unidade. Mencionamos alguns exemplos: calibragem de pneus em 
postos de gasolina, “garrafas de oxigênio” em hospitais, etc. ... 
 
Demonstramos seu princípio de funcionamento através da figura 2.17. 
 
 
Figura 2. 17 
 
A pressão medida (pm) pelo manômetro metálico tipo Bourdon é também denominada 
de pressão manométrica e indica a diferença entre a pressão interna e a pressão externa. 
 
 pm = pint - pext Equação 2. 8 
111 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
Na maioria das aplicações a pressão externa é a pressão barométrica, o que implica 
dizer que a pressão medida é a pressão interna do fluido na escala efetiva. A figura 2.18 
mostra esta situação. 
 
 
Figura 2. 18 
 
Observação: Na prática considera-se a pressão manométrica como sinônimo de pressão 
efetiva. 
 
Podem existir situações especiais onde a pressão manométrica representa a diferença 
entre duas pressões efetivas, a figura 2.19 exemplifica esta situação. 
 
 
Figura 2. 19 
 
Tarefa proposta: 
 
Para a próxima aula: 
 
• esclarecer as questões mencionadas na página 106 e 107; 
 
• apresentar as limitações do uso de um piezômetro; 
 
• explicar a resolução de dois dos exercícios propostos. 
 
 
 
 
112 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
 
 
Certeza 
 
 
Não sou simplista 
 
nem tão pouco preciso crescer 
 
preciso é reviver 
 
o ato de nascer 
 
deixando de olhar o nascente 
 
na busca de algo 
 
sepultado no poente. 
 
 
 
 
 
Raimundo Ferreira Ignácio 
 
Aerostatica - unidade 2.pdf
113 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
Objetivos da Aerostática - unidade 2: 
 
Reescrever a equação de Clapeyron, viabilizando 
sua utilização em sistemas abertos; 
 
Mostrar a variação da massa molecular do ar em 
função da altitude; 
 
Estabelecer a restrição para o estudo proposto 
da aerostática; 
 
Reescrever o teorema de Stevin, com o objetivo 
de obter sua equação diferencial; 
 
Definir o que se considera por aerostática; 
 
Mostrar como se determina a aceleração da 
gravidade local; 
 
Mostrar a variação da temperatura do ar em 
função da altitude, quando o mesmo é 
considerado em repouso; 
 
Determinar as equações básicas da aerostática; 
 
Propor a nova tarefa. 
 
 
2.8 Aerostática 
 
Neste item estudamos as leis dos gases em repouso. A restrição para o estudo 
apresentado é que os gases abordados, serão considerados gases perfeitos, ou seja, 
aqueles que além de obedecerem a equação de estado apresentam, tanto o calor 
específico a pressão constante (cp) como o calor específico a volume constante (cv), 
inalterados ao longo do processo considerado. 
 
114 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
2.8.1 Equação de estado de um gás perfeito 
 
A equação utilizada em nossos estudos é oriunda da equação de Clapeyron, que está 
representada pela equação 2.9. 
 
 p . V = n . R . T Equação 2. 9 
 
onde: 
• p → pressão absoluta do gás; 
 
• V → volume do gás; 
 
• n → número de moles do gás; 
 
• R → constante universal dos gases → R = 8316
K kg
J
; 
 
• T → temperatura do gás na escala absoluta, que é também denominada de 
temperatura termodinâmica. 
 
A equação de Clapeyron (equação 2.9) não é adequada para sistemas abertos, já que não 
seria possível estabelecer o seu volume e nem a sua massa. 
 
Como a aerostática é um exemplo típico de sistema aberto, há a necessidade de 
reescrever a equação 2.9, possibilitando a sua utilização neste tipo de sistema. Neste 
intuito, evocamos o conceito de número de moles: 
 
 n = m Equação 2. 10 
M
 
onde: 
• m → massa do gás; 
 
• M → massa molecular do gás. 
 
 
Observação: Para os gases perfeitos, geralmente a massa molecular (M) permanece 
constante. O gráfico 2.1 procura mostrar a variação da massa molecular do 
ar em função da altitude. 
 
115 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
 
Gráfico 2. 1 
 
Limitando nosso estudo a uma altitude de 100 km, podemos considerar a massa 
molecular constante. 
 
Da equação 2.9 e 2.10, obtemos a equação de estado (equação 2.11) utilizada na 
Mecânica dos Fluidos: 
 
 p . 1 = Rρ g . T Equação 2. 11 
 
onde: 
• ρ → massa específica do gás = m
V
 
 
• Rg → constante do gás = RM 
 
Observação: Define-se volume específico como sendo o inverso da massa específica. 
116 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
2.8.2 Teorema de Stevin 
 
Evoquemos a equação 2.5: 
 
p1 - p2 = γ . h . 
 
Considerando: p1 como a pressão em um ponto de cota h e p2 como a pressão de 
referência, reescrevemos a equação anterior: 
 
 pcota h = preferência + γ . h Equação 2. 12 
 
Da equação 2.12, concluímos que a pressão de um fluido aumenta com a profundidade, 
portanto ao considerar o eixo z como o eixo da altitude, onde z = 0 no nível do mar, 
podemos afirmar que a pressão diminui com a altitude, como mostra a equação 2.13. 
 
 pcota h = preferência - γ . z Equação 2. 13 
 
Adotando-se a preferência com constante e desprezando-se a variação do peso específico 
em um dz, ao diferenciar a equação 2.13, resulta: 
 
 dp = - γ . dz = - ρ . g . dz Equação 2. 14 
 
A equação 2.14 permitirá iniciar o estudo da aerostática, já que a mesma estuda a 
variação da pressão do ar, considerado em repouso, em função da altitude (z), onde seu 
peso específico será obtido através da equação de estado. 
 
 
2.8.3 Estudo da variação da pressão atmosférica em função da altitude (z) 
 
Sabendo que o ar atmosférico, pode ser considerado como gás perfeito até pressões 
iguais a 3 atm. e considerando a pressão de referência ao nível do mar igual a 1 atm., 
podemos afirmar que em nosso estudo da aerostática o ar será sempre considerado como 
gás perfeito. 
 
A equação fundamental (equação 2.15) da aerostática é originada das equações 2.11 e 
2.14. 
 
dp
p
g
R T
dz
ar
= − × × Equação 2. 15 
117 Curso
Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
Recordando que o nosso estudo está restrito a z = 100 km, podemos afirmar que o Rar é 
constante e aproximadamente igual a 287 m
s K
2
2 .
. 
 
Resta verificar a variação, tanto da aceleração da gravidade (g) como da temperatura, 
em função da altitude (z). 
 
 
Estudo da variação da aceleração da gravidade com a altitude. 
 
Evocando o conceito de campo de gravidade da Terra e o estabelecido por Somigliana e 
Silva em 1930 em Stolcomo, temos acesso a fórmula internacional da gravidade: 
 
 gϕ = 978,049 . (1 + 0,005288 . sen2 ϕ - 0,0000059 . sen2 2ϕ) Equação 2. 16 
 
onde: 
• gϕ → é a aceleração da gravidade em função da latitude (ϕ) ao nível do mar; 
 
• 978,049 → é o valor de referência da aceleração da gravidade em cm / s2 
considerado na linha do Equador; 
 
• ϕ → latitude. 
 
Determinada a aceleração em função da latitude ao nível do mar, recorre-se a balança de 
Jolly para obter a variação da intensidade do campo da gravidade em relação a altitude, 
como mostra a equação 2.17: 
 
 
 gZ = gϕ . (1 - 0,000000309 . z) Equação 2. 17 
 
 
Observação: Em nosso estudo optamos em trabalhar com a aceleração normal média, 
que é igual a 9,81 m / s2 e considerada constante. 
 
 
Com esta consideração e respeitando a restrição de z = 100 km, mostramos através do 
gráfico 2.2 a variação da temperatura (T) em função da altitude. 
 
 
 
118 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
 
Gráfico 2. 2 
 
Através do gráfico 2.2, observamos que temos basicamente dois tipos de variações: 
 
1ª - a temperatura varia linearmente com z, portanto: T = Tref. + k . (z - zref. ); 
 
2ª - a temperatura permanece constante (processo isotérmico). 
 
Considerando as variações lineares e diferenciando a sua função, temos: 
 
 dT = k . dz ∴ dz = dT
k
 Equação 2. 18 
 
Da equação 2.18 na equação 2.15, obtemos a equação geral para o estudo da variação da 
pressão atmosférica em função da altitude nas regiões onde a temperatura varia 
linearmente com a altitude (equação 2.19). 
 
dp
p
g
R k
dT
Tar
= − ⋅ ⋅ Equação 2. 19 
119 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
Observação: A grandeza k da equação 2.19 representa o coeficiente angular da reta que 
representa a variação da temperatura em função da altitude, coeficiente 
este que muda de região para região. 
 
Integrando-se a equação 2.19 de pref. à pz e Tref. à Tz , resulta: 
 
p p
T k (z - z
Tz ref.
ref. ref.
ref.
-g
R kar= ⋅ + ⋅



⋅) Equação 2. 20 
 
No intuito de exemplificar a equação 2.20, consideramos a região de altitude maior que 
zero e menor e igual a 10668m, onde temos: 
 
• pref. = 1 atm = 760 mm Hg = 10330 kgf/m2 = 10,33 mca = 14,7 psi = ...; 
 
• Tref. = 288 K; 
 
• zref. = 0; 
 
resulta: 
 
 k ≅ - 0,0065 K 
m
 pz = 1
288 Equação 2. 21 - 0,0065z
g
0,0065.Rar⋅ 

288
 
onde a pressão é obtida em atm. 
 
Nas regiões (gráfico 2.2) onde o processo é isotérmico, utilizamos diretamente a 
equação 2.15. 
 
Integrando a equação 2.15 de pref. à pz e zref. à z, resulta: 
 
 p = p ez ref.
-g . (z-z
R T
ref.
ar ref.⋅ ⋅
)
 Equação 2. 22 
 
No intuito de exemplificar a equação 2.22, consideramos a região de altitude maior que 
10668 m e menor e igual a 20000m, onde temos: 
120 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
• pref. = p10668 , que é calculada através da equação 2.21; 
 
• Tref. = T10668 ; 
 
• zref. = 10668 m. 
 
 p p ez 10668
-g . (z -10668)
R Tar 10668= ⋅ ⋅ Equação 2. 23 
 
Tarefa: 
 
Para a próxima aula preparar um seminário, no qual irá: 
 
• explicar tanto o conceito de processo isobárico, como de processo isocórico 
(ou isométrico); 
 
• explicar tanto o conceito do calor específico à pressão constante, como a 
volume constante; 
 
• explicar porque não se utiliza a equação de Clapeyron no estudo da 
aerostática; 
 
• mencionar porque se diferencia uma dada equação (usar para esta explanação 
as equações: 2.13 e 2.14); 
 
• mostrar que J
kg . K
m
s K
2
2= . ; 
 
• mostrar como se determina o peso específico do ar a uma altitude z; 
 
• explicar que está correto considerar o ar como gás perfeito no estudo da 
aerostática; 
 
• efetuar a leitura adequada da equação 2.15; 
 
• especificar as variáveis que influenciam na determinação da aceleração da 
gravidade local; 
 
• dar o conceito de latitude; 
 
• mostrar o cálculo, tanto da pressão como da temperatura, para a altitude de 
10668 m; 
 
• justificar através dos conceitos abordados na aerostática, que é correto 
considerar a pressão do gás constante em aparelhos de instrumentações; 
121 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
• mostrar como podemos adaptar um barômetro em altímetro; 
 
• explicar a resolução de um dos exercícios propostos. 
 
 
 
Através da Reeducação, eliminam-se velhos paradigmas: 
 
 
 
 
 
Quando eu era menino 
 
tinha um cachorro 
 
e uma a beleza de passarinho 
 
mas o tempo passou 
 
daqui a pouco 
 
eu morro 
 
e é só tristeza 
 
no meu caminho. 
 
 
 
 
 
Raimundo Ferreira Ignácio 
 
superf�cie plana submersa - unidade 2.pdf
122 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
Objetivos do estudo de superfície plana submersa - 
unidade 2: 
 
Mencionar em que situações têm-se uma 
distribuição uniforme de pressões em uma 
superfície plana submersa; 
 
Mostrar as maneiras de calcular o módulo da 
força resultante da distribuição uniforme das 
pressões em uma superfície plana submersa; 
 
Demonstrar que o módulo da força resultante de 
uma distribuição não uniforme de pressões em 
uma superfície plana submersa é igual ao 
produto da pressão que age no centro de 
gravidade da superfície pela área da mesma que 
está em contato com o fluido; 
 
Determinar o ponto de aplicação da força 
resultante em superfícies planas submersas; 
 
Apresentar tabelado, tanto a ordenada do centro 
de gravidade como o momento de inércia, para 
figuras planas comumente usadas em aplicações 
da Engenharia; 
 
Apresentar as equações dimensionais das 
grandezas estudadas nesta unidade; 
 
Mencionar as principais unidades de pressão; 
 
Dar as relações entre unidades de pressão, que 
são comumente utilizadas na Engenharia; 
 
 
123 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
Objetivos do estudo de superfície plana submersa - 
unidade 2 (cont.): 
 
Relatar algumas considerações sobre fluidos 
manométricos utilizados em manômetros de 
coluna de líquido. 
 
 
 
2.9 Forças em superfícies planas submersas 
 
Geralmente os cursos básicos de Mecânica dos Fluidos são ministrados em paralelo aos 
cursos de Mecânica Geral e de Resistência dos Materiais, ambos responsáveis pelos 
estudos de conceitos básicos que são pré-requisitos para o estudo das forças em 
superfícies planas submersas. 
 
Por este motivo, não iremos esgotar o assunto, mas apenas introduzi-lo abordando os 
conceitos básicos, que serão pré-requisitos para alguma disciplina futura, como 
Hidráulica, Máquinas Hidráulica, ... 
 
2.9.1 Cálculo do módulo da força resultante em superfícies planas submersas 
 
As forças que atuam em uma superfície plana submersa são originadas pelas pressões 
dos pontos fluidos em contato com a superfície plana submersa, e estas pressões podem 
apresentar dois tipos de distribuição ao longo da superfície: 
 
1ª - As pressões apresentam uma distribuição uniforme ao longo da superfície. Esta 
situação ocorre para os seguintes casos: 
 
• para
líquidos: a superfície encontra-se em um plano horizontal; 
 
• para gases: a superfície encontra-se em uma posição qualquer, desde que o seu 
comprimento na vertical seja inferior a 100 m. 
 
Evocando a equação 2.2, podemos afirmar que nesta situação a força resultante será 
igual ao produto da pressão pela área da superfície em contato com o fluido: 
 
 F p . AR = Equação 2. 24 
124 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
A equação 2.24 pode ser facilmente demonstrada, evocando que o módulo da força 
resultante é igual ao volume do diagrama de pressão. 
 
Consideramos a situação representada pela figura 2.20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. 20 
pressão 
uniformement
e distribuída. 
superfície plana 
submersa. 
 
 
 
A figura 2.21 representa o volume formado pelo diagrama de pressão, onde A é a área 
da superfície plana submersa em contato com o fluido e V é o volume do diagrama de 
pressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. 11 
p 
A 
 
 
 
 
 | FR | =V= p . A 
 
 
2ª - As pressões não são uniformemente distribuídas nas superfícies planas submersas 
 
Esta segunda situação representa o que geralmente ocorre em comportas planas, 
caracterizando um exemplo típico da Engenharia Civil. 
125 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
Para estudá-la, consideramos a situação descrita pela figura 2.22, onde a única restrição 
é existir uma superfície livre, ou seja, o líquido está em contato com o ar atmosférico. 
 
Na figura 2.22 a superfície plana submersa encontra-se no eixo 0y e foi projetada no 
plano x0y, onde: 
• A = área da superfície plana submersa; 
 
• θ = ângulo qualquer; 
 
• CG = centro de gravidade da figura. 
 
 
Superfície livre 
Figura 2. 22 
 
Pela hipótese do contínuo, consideramos um ponto fluido apresentando dimensões 
elementares, portanto podemos considerar o dA como sendo um ponto fluido, o que 
corresponde que no mesmo atua a pressão: p = patm + γ . h. Trabalhando na escala 
efetiva, temos: p = γ . h. 
 
Analisaremos apenas um dos lados da superfície, o que equivale a considerar 
fluido somente a sua direita. 
 
A pressão p agindo em dA origina uma força, cujo módulo é: dFN = p . dA, onde dFN é 
normal a superfície plana submersa, cujo módulo também pode ser calculado da 
seguinte maneira: dFN = γ . h . dA. 
126 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
Através da figura 2.22, podemos escrever que: senθ = h
y
 , portanto: 
 dFN = γ . y . senθ . dA. 
 
Para calcular o módulo da força resultante, integramos: | FR | = γ . senθ . . y . dA
A∫
 
Evocando o cálculo da ordenada do centro de gravidade, temos: yCG = 
1
A
y.dA
A∫ , 
portanto: | FR | = γ . senθ . yCG . A. 
 
Através da figura 2.22, podemos escrever que: yCG . senθ = hCG , que dá origem a 
expressão utilizada para o cálculo do módulo da força resultante em superfícies planas 
submersas: 
 
 | FR | = γ . hCG . A = pCG . A Equação 2. 15 
 
Conclusão: O módulo da força resultante em superfícies planas, submersas em um 
fluido de superfície livre, será igual ao produto da pressão que atua no 
centro de gravidade (CG) da figura pela área em contato com o fluido. 
 
2.9.2 Determinação do ponto de aplicação da força resultante em superfícies planas 
submersas 
 
O ponto de aplicação da força resultante em superfícies planas submersas é denominado 
de centro de pressões e só coincide com o centro de gravidade, quando temos uma 
distribuição uniforme das pressões na superfície considerada. 
 
A medida que a superfície plana se afasta da superfície livre, menor será a distância 
entre o centro de pressões (cp) e o centro de gravidade (CG). 
 
Calculemos o momento originado pela força dFN em relação ao eixo 0x da figura 2.22: 
 
 dM = dFN . y = γ . y2 . senθ . dA Equação 2. 26 
 
Integrando a equação 2.26, resulta: FR . ycp = γ . senθ . , y dA2
A
.∫
 onde representa o momento de inércia da área A em relação ao eixo 0x 
(I
y dA2
A
.∫
0 ), 
 
portanto: 
 y
sen .I
sen .y A
I
y Ac p
O
CG
O
CG
= =γ θγ θ
.
. . .
 Equação 2. 27 
127 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
Evocando o teorema de translação de eixos devido a Steiner, onde se considera o eixo 
passando pelo CG da superfície de área A , podemos escrever que: IO = IC G + y2 CG . 
A, portanto: 
 
 ycp = yCG + 
I
 Equação 2. 28 
y A
CG
CG .
 
 
Observações: 1ª - Determinar o cp equivale a determinar o CG do diagrama de 
pressões. 
 
2ª- Os principais valores para ICG =IG e yG são mostrados pela tabela 
2.1, onde devemos observar que nem sempre yG é igual a yCG . 
 
 
 
 
 
Ao meu redor 
o que vejo assusta-me 
fome, miséria, opressão 
inexistência de vida. 
 
Em meu interior 
a certeza 
de poder criar 
um mundo melhor. 
 
 
 
 
 
Raimundo Ferreira Ignácio 
 
128 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
Tabela 2.1 
 
129 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
 
Tabela 2.1 (cont.) 
130 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
Tabela 2.1 (cont.) 
 
 
131 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
Tabela 2.1 (cont.) 
132 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
2.10 Equações dimensionais 
 
• p → pressão → p = F.L-2 
 
• h → carga pressão → h = L 
 
• I → momento de inércia → I = L4 
 
 
2.11 Principais unidades de pressão 
 
Mostramos além das unidades de pressão as unidades de carga de pressão, que são 
comumente utilizadas para definir pressão: 
 
• SI → p = N
m
Pa (Pascal)2 = 
 
• MK* S → p = kgf
m2
 
 
• Sistema Inglês → p = psi = lbf
pol 2
 
 
• Unidades usuais → p = atm. (atmosfera) 
 
 → p = at (atmosfera técnica) 
 
 → h = mmHg (milímetro de mercúrio) 
 
 → h = mca (metro de coluna d’água) 
 
 → h = inHg (polegada de mercúrio) 
 
 → p = ba (bária) 
 
 → p = torr (Torricelli) 
 
 → p = bar 
 
 
 
 
133 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
2.12 Relações entre unidades de pressão 
 
 
Unidades Símbolo Relação com N / m2 
Pascal Pa 1 
- kgf / m2 9,81 
- psi 6893,69 
atmosfera atm. 101337,3 
atmosfera técnica at 98100 
- bar 105 
bária ba 10-1 
Torricelli torr 133,3 
milímetro de mercúrio mmHg 133,3 
polegada de mercúrio inHg 3386,8 
metro de coluna d’água mca 9810 
 
 
2.13 Algumas considerações sobre o fluido manométrico, usado em manômetros de 
coluna de líquidos 
 
O fluido manométrico utilizado em manômetros de coluna de líquidos deve apresentar 
duas características básicas: 
• não ser miscível ao fluido que contém o ponto que se deseja 
determinar a pressão; 
 
• ter peso específico superior à do fluido que contém o ponto 
que se deseja determinar a pressão. 
 
O valor do peso específico é fundamental para a precisão do aparelho utilizado, já que 
estabelece a relação entre a faixa de medição da escala de graduação e o tamanho do 
manômetro. 
 
Outros fatores que devem ser observados na escolha do fluido manométrico são: 
• temperatura de utilização; 
 
• viscosidade; 
 
• pressão de vapor. 
 
Somente sendo observados os fatores mencionados anteriormente, poderemos ter 
aparelhos com precisão aceitável para as aplicações da Engenharia. 
 
Aula 2 unidade 2.pdf
96 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
Objetivos da segunda aula da unidade 2: 
 
Realizar tarefas que visam facilitar o 
comprometimento
com o aprendizado e a 
participação efetiva dos alunos; 
 
Estudar o teorema de Stevin; 
 
Introduzir a equação manométrica; 
 
Propor nova tarefa. 
 
Na Escola da Vida, não se pesca para os Alunos, 
através dela, orienta-se a ter uma pescaria eficiente. 
 
Desejando colocar em prática esta certeza, estabeleço uma nova tarefa, que deve ser 
elaborada e apresentada nesta aula. Seu título: 
 
"Ainda, utiliza-se o teorema de Stevin em muitas aplicações da Engenharia.” 
 
As equipes devem se reunir por 25 minutos. Baseadas no texto, que descreve o item 2.3 
(páginas: 99 a 100 desta unidade), devem responder as perguntas apresentadas a seguir. 
 
P1 - Qual a ordem de grandeza do erro cometido na medida de pressão em manômetros de 
colunas de líquidos? 
 
P2 - Você seria capaz de citar outros exemplos, sem ser aqueles mencionados nesta 
unidade, onde se utilizam manômetros de colunas de líquidos? 
 
P3 - Você seria capaz de dar o conceito de um volume de controle (VC)? 
 
P4 - Na introdução do enunciado do teorema de Stevin, considerou-se a base do cilindro 
como um ponto fluido. Você concorda com esta consideração? Justifique. 
 
P5 - Na figura 2.9, considerou-se os pontos (1) e (2) respectivamente a profundidade h1 e 
h2 em relação a superfície livre. Podemos afirmar que: p1 = γ . h1 e p2 = γ . h2 ? 
Justifique. 
 
P6 - Como o fluido considerado para a introdução do enunciado do teorema de Stevin, está 
em repouso, poderíamos ter a somatória das forças em relação a algum de seus eixos 
diferente de zero? 
97 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
P7 - Considerando-se o cilindro fluido representado pela figura 2.9, onde conhecemos os 
seus peso específico e altura, como podemos determinar o seu peso? 
 
P8 - Você seria capaz de explicar, porque não foi considerado o empuxo no cilindro fluido 
representado pela figura 2.9? 
 
 
2.3 Teorema de Stevin 
 
O teorema de Stevin será a base para o estudo dos manômetros de colunas de líquido. 
 
Estes aparelhos são de construção simples e de baixo custo, além destas vantagens 
praticamente não exigem manutenção, nem calibragem especial e permitem medições com 
grande precisão (erro máximo na ordem de 1%). 
 
São várias as aplicações práticas deste tipo de aparelho, citamos algumas delas: 
 
. medidores de vazão: 
. medidores de velocidades; 
. controle de nível de reservatórios. 
 
Para introduzir o enunciado do teorema de Stevin, consideramos um recipiente que contém 
um fluido contínuo, incompressível, em repouso e que apresenta um peso específico 
conhecido e igual a γ (figura 2.8). 
 
Figura 2. 8 
 
Consideramos um volume de controle no formato de um cilindro com a base apresentando 
uma área elementar dA, como mostra a figura 2.9. 
98 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
Figura 2. 9 
 
Considera-se, tanto a base superior como a base inferior do cilindro sendo representadas 
por pontos fluidos, respectivamente pontos (1) e (2), onde atuam respectivamente as 
pressões p1 e p2 . 
 
Pela condição do fluido estar em repouso, podemos afirmar que o cilindro também o está, e 
isto permite concluir que: 
 
∑ = 0Fcilindror 
 
Considerando o eixo z, que passa pelos centros de gravidades das bases do cilindro, como 
mostra a figura 2.10, podemos escrever que: 
 
 
Figura 2. 10 
Fz
→ =∑ 0 
 
p1 . dA + γ . dA . h = p2 . dA 
 
 ∴ p1 = p2 - γ . h Equação 2. 4 
 
99 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
A equação 2.4 pode se rescrita da seguinte forma: 
 
 p1 - p2 = γ . h Equação 2. 5 
 
A equação 2.5 dá origem ao enunciado do teorema de Stevin, que pode ser assim descrito: 
 
“A diferença de pressão entre dois pontos fluidos, pertencentes a um fluido 
contínuo, incompressível e em repouso é igual ao produto do seu peso específico 
pela diferença de cotas entre os pontos.” 
 
Considerando que o recipiente representado pela figura 2.11, encerra um fluido contínuo, 
incompressível, em repouso, que PH é um plano horizontal traçado no meio fluido e que p4 
- p1 = γ . h = p4 - p2 = p4 - p3 , podemos obter as seguintes conclusões: 
 
1ª - Ao traçarmos um plano horizontal em um meio fluido contínuo, incompressível e em 
repouso, todos os seus pontos estarão submetidos a mesma pressão. 
 
2ª - A pressão em um ponto fluido pertencente a um fluido contínuo, incompressível e em 
repouso não depende do formato do recipiente que o contém, isto desde que o mesmo 
não seja capilar. 
 
3ª - A diferença de pressão obtida entre dois pontos pertencentes a um fluido contínuo, 
incompressível e em repouso, não depende da distância entre os pontos, depende 
somente da diferença de cotas entre os pontos e de seu peso específico. 
 
Figura 2. 11 
Observação: 
Ao considerar um gás confinado em um recipiente pequeno, pelo fato do γgás 
ser muito menor que o γlíquido , podemos considerar que a sua pressão é 
praticamente constante. 
 
∆pgás = γgás . h ≅ 0 
 
∴pgás = constante 
100 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
 
2.4 Equação manométrica 
 
Esta é a equação que aplicada nos manômetros de coluna de líquidos, resulta em uma 
diferença de pressão entre dois pontos fluidos, ou na pressão de um ponto fluido. 
 
Ela é válida quando o sistema considerado estiver em repouso. 
 
Considerando o sistema representado pela figura 2.12, aplicamos a equação manométrica 
para a determinação da diferença de pressão p1 - p2 . 
 
 
Figura 2. 12 
 
A equação manométrica pode ser obtida de duas maneiras distintas: 
 
1ª-Nomeando-se as superfícies de separação dos fluidos e aplicando-se o teorema de 
Stevin. Nesta situação, tem-se: 
 
pA - p1 = ∴ p1y×γ A = p1 + 1y×γ
 
PB - pA = ∴ ph×γ B = pA + h×γ
 
∴pB = p1 + + 1y×γ h×γ
101 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
PB = pC = p1 + + Equação A 1y×γ h×γ
 
pC - pD = ∴ h×mγ
pD = pC - = ph×mγ 1 + + - 1y×γ h×γ h×mγ
 
pD - p2 = Equação B 1y×γ
 
Das equações A e B, obtém-se: 
 
p2 = pD - = p1y×γ 1 + + - - 1y×γ h×γ h×mγ 1y×γ
 
p1 - p2 = ( )γγ −× mh
 
2ª - Através de uma regra prática, onde se adota um dos dois pontos fluidos como 
referência e escreve-se a pressão que age no mesmo, a esta pressão somam-se as 
colunas descendentes (+γh) e subtraem-se as colunas ascendentes (-γh), igualando-se a 
expressão assim obtida a pressão que atua no outro ponto fluido (aquele não escolhido 
como referência). 
 
Para a figura 2.12, adotando-se o ponto fluido 1 como referência e “caminhando-se” para o 
ponto 2, como mostra a figura 2.13, sempre na horizontal e vertical, obtém-se: 
 
 
Figura 2. 13 
102 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
p1 + + + - - - = p1y×γ h×γ 2y×γ 2y×γ h×mγ 1y×γ 2 
 
∴ p1 - p2 = ( )γγ −× mh 
 
Uma escolha, tanto pode nos levar ao sucesso como ao fracasso, portanto devemos 
refletir para fazê-la. 
 
Tarefa proposta: 
 
Para a próxima aula, todas as equipes devem preparar dois exercícios, um escolhido entre 
os propostos na unidade 2 e o outro inédito, ou seja criado pela própria equipe. 
 
A vida não se define. Vive-se. E para bem vivê-la, precisamos de compreensão, 
tranqüilidade e amor. 
 
 Pegue um sorriso 
 e doe-o 
 a quem jamais o teve... 
 
 Pegue um raio de sol 
 e faça-o voar lá 
 onde reina a noite... 
 
 Pegue uma lágrima 
 e ponha no rosto 
 de quem jamais chorou... 
 
 Pegue a coragem 
 e ponha-a no ânimo 
 de quem não sabe lutar... 
 
 Descubra a vida 
 e narre-a a quem 
 não sabe entendê-la...
Pegue a esperança 
 e viva na sua luz... 
 
 Pegue a bondade 
 e doe-a a quem 
 não sabe doar... 
 
 Descubra o amor 
 e faça-o 
 conhecer o mundo... 
 (Gandhi) 
Aula 1 unidade 2.pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso Básico 
 
de 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
Unidade 2 
 
 
 
 
 
 
 
Raimundo Ferreira Ignácio 
88 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
Unidade 2 - Estática dos Fluidos 
 
 
Objetivos - 
1. Evocar o conceito de pressão 
2. Demonstrar através da hipótese do contínuo, que a pressão é uma 
 grandeza escalar 
3. Mostrar a ampliação, ou a redução, de uma força através de um meio 
 fluido 
4. Mencionar os conceitos necessários para a utilização dos manômetros 
 de coluna de líquidos 
5. Mencionar as escalas de pressão 
6. Introduzir o estudo da aerostática 
7. Mostrar o princípio de funcionamento dos manômetros metálicos tipo 
 Bourdon 
8. Mencionar os conceitos básicos para o estudo das forças em 
superfícies planas submersas 
 
 
 
Sumário - 
2.1 Conceito de pressão 
2.2 Lei de Pascal 
2.3 Teorema de Stevin 
2.4 Equação manométrica 
2.5 Escalas de pressão 
2.6 Diagrama comparativo entre escalas de pressão 
2.7 Manômetro metálico tipo Bourdon 
2.8 Aerostática 
2.9 Forças em superfícies planas submersas 
2.10 Equações dimensionais 
2.11 Principais unidades de pressão 
2.12 Relações entre unidades de pressão 
2.13 Algumas considerações sobre o fluido manométrico, usado em 
 manômetros de coluna de líquido 
2.14 Exercícios 
2.15 Experiência proposta 
 
 
 
 
89 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
 
Objetivos da primeira aula da unidade 2: 
 
Evocar o conceito de pressão; 
 
Mencionar o conceito de fluido como meio 
contínuo; 
 
Realizar uma nova tarefa em sala de aula, que 
tem como objetivos: fixar a hipótese central da 
unidade 2 e estabelecer as condições para a 
validade da equação: FN = p . A; 
 
Demonstrar que a pressão é uma grandeza 
escalar; 
 
Descrever a lei de Pascal; 
 
Mencionar alguns exemplos práticos de aplicação 
da lei de Pascal; 
 
Propor tarefa visando facilitar o aprendizado. 
 
 
2.1 Conceito de pressão - (p) 
Para evocarmos este conceito, consideramos uma força normal elementar d agindo 
em um elemento de área dA, como mostra a figura 2.1. 
NF
→
 
Figura 2.1 
Define-se pressão como sendo a relação entre o módulo de d e a área dA: NF
→
90 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
 
 
 
dA
Fd
 = p
N
→
 Equação 2. 1 
Observação: 
Ao considerar o fluido como meio contínuo, garante-se que na sua menor 
porção existirá matéria. 
Esta consideração, permite afirmar que um ponto fluido será sempre 
representado por uma área elementar e em conseqüência define-se a 
pressão para o mesmo como sendo: p = γ . h, onde h é a profundidade do 
ponto fluido em relação a sua superfície livre, que é a superfície que o 
separa do ar atmosférico. 
A expressão: p = γ . h é válida quando se considera patm = 0. 
 
Pelo exposto anteriormente, podemos afirmar que um fluido em contato com uma 
superfície sólida, originará na mesma uma força normal cuja intensidade pode ser 
calculada pela equação 2.2. 
 
 FN = ∫ p . dA Equação 2. 2 
 
Tarefa: 
 
A equipe deve se reunir por 20 minutos, para esclarecer os seguintes pontos: 
 
1º - O título da unidade 2, por si só, representa a hipótese central desta unidade, hipótese 
esta que é condição para validade de tudo o que for apresentado na mesma. Qual a 
hipótese central da unidade 2? 
 
2º - Afirmou-se, que a pressão de um ponto fluido pode ser calculada pela equação: 
p = γ .h. Considerando o conceito de fluido como meio contínuo e a equação 2.1, 
como você demonstraria que p = γ .h? 
 
3º - A partir da equação 2.2, dê a(s) condição(ões) para transformá-la na equação 2.3: 
 
 FN = p . A Equação 2. 3 
 
4º - Você seria capaz de mencionar algum exemplo prático, no qual aplica-se a equação 
2.3? 
Lembre-se que uma das maneiras eficientes de aprendizado é 
quando temos que explicar algo a alguém!!! 
 
91 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
2.2 Lei de Pascal 
 
A figura 2.2, representa um recipiente que contém um fluido contínuo, incompressível e 
em repouso, do qual considera-se um ponto A. 
 
Figura 2. 2 
Pela hipótese do contínuo, sabemos que o ponto A apresenta dimensões elementares e 
pode ser representado por qualquer forma geométrica. Escolhemos a forma representada 
pela figura 2.3. 
 
Figura 2. 3 
onde: α → é um ângulo qualquer e S → é uma direção qualquer. 
 
Pelo fato do fluido estar em repouso, podemos afirmar que o ponto A também o está, 
portanto: 
 
Fx
→∑ = 0 
 
Fy
→∑ = 0 
 
Fz
→∑ = 0 
 
O ponto A , sendo um ponto fluido pertencente a um fluido contínuo, não estando no 
vácuo absoluto (ausência total de matéria) e assumindo a configuração representada 
pela figura 2.3, está submetido as seguintes pressões: 
 
92 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
• na direção x → px 
 
• na direção y → py 
 
• na direção z → pz 
 
• na direção S → pS 
 
Evocando a equação 2.3, podemos escrever que: 
 
FNx = px . dy . dz 
 
FNy = py . 2
.dydx 
 
FNz = pz . dx . dy 
 
FNS = pS . dy . dS 
 
Pela condição do ponto fluido A estar em repouso e considerando a direção x, podemos 
escrever que: 
 
∑ →xF = 0 e FNx = FNS 
 
A condição, do ponto fluido A estar em repouso, é representada pela figura 2.4. 
 
Figura 2. 4 
 
Considerando o triângulo (1), podemos escrever que: 
 
dz = dS . sen α 
 
Já o triângulo (2), origina: 
 
93 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
FNSx = FNS . sen α 
Portanto: 
px . dy . dz = pS . dy . dS . sen α 
 
px . dy . dz = pS . dy . dz 
 
px = pS 
 
Outro objetivo da Escola da vida: criar o 
hábito de ler e interpretar. 
 
Lendo a equação anterior: a pressão na direção x é igual à pressão em uma direção 
qualquer. 
 
Conclusões: 
1ª - A pressão em torno de um ponto fluido, pertencente a um fluido 
contínuo, incompressível e em repouso é igual em qualquer direção. 
 
2ª - Como a pressão não depende da direção, podemos afirmar que ela é 
uma grandeza escalar 
 
Por outro lado, ao considerarmos um fluido confinado e a este aplicarmos uma pressão, 
esta será transmitida integralmente a todos os seus pontos. (Figura 2.5) 
 
Figura 2. 5 
 
Isto que acabamos de estudar é óbvio. 
 
Gostaria de lembrar que nem sempre o óbvio resiste ao 
tempo. 
 
O que acabamos de ver vem resistindo desde 1620. 
 
94 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
As conclusões: (1) e (2) e a situação descrita pela figura 2.5 foram constatada por Blase 
Pascal em 1620, dando origem a lei de Pascal, cujo enunciado pode ser descrito da 
seguinte forma: 
 
“A pressão em torno de um ponto fluido contínuo, incompressível e em repouso 
é igual em todas as direções, e ao aplicar-se uma pressão em um de seus pontos, 
esta será transmitida integralmente a todos os demais pontos.” 
 
Apesar da lei de Pascal ter sido enunciada em 1620, foi neste século que ela passou a 
ser usada industrialmente, principalmente em sistemas hidráulicos. 
 
Os sistemas hidráulicos conseguem eliminar mecanismos complicados como: cames 
(excêntricos), engrenagens, alavancas, etc. ... 
 
O fluido
hidráulico não está sujeito a quebras tais como as peças mecânicas. 
 
Os fluidos, aqueles mais usados em sistemas hidráulicos, são geralmente a base de 
petróleo. Recentemente fluidos sintéticos, fluidos com alta resistência ao fogo, 
invadiram o campo hidráulico. 
 
Os fluidos hidráulicos são considerados praticamente incompressíveis, e possuem uma 
grande vantagem na transmissão de força, isto quando comparados com outros sistemas 
mecânicos, como demonstra a lei de Pascal. 
 
Quando um golpe é desferido na extremidade de uma barra de metal, a sua direção não 
será alterada, a não ser através do uso de engrenagens e outros mecanismos complexos. 
Já em um fluido hidráulico, a força é transmitida não só diretamente através dele a outra 
extremidade, mas também em todas as direções do fluido. (Figura 2.6) 
 
 
 
 
Figura 2. 6 
 
 
 
95 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
As vantagens descritas anteriormente para os fluidos hidráulicos levaram as indústrias, 
atualmente, a empregar uma grande variedade de máquinas que utilizam o princípio de 
transmitir força através de um meio fluido. 
 
A figura 2.7 mostra alguns destes exemplos, tais como: macaco hidráulico, prensa 
hidráulica, elevador hidráulico e sistema de freios hidráulico. 
 
 
Figura 2. 7 
 
Tarefa proposta: 
 
Elaborar um seminário com o título: Princípio de transmitir força, ampliando-a ou 
reduzindo-a, através de um meio fluido. 
 
 
 
 
As grandes conquistas exigem: otimismo e 
dedicação e a vontade de vencer abre novos 
horizontes. 
 
 
 
Raimundo Ferreira Ignácio 
 
Exercicios 26 a 35.pdf
142 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
2.14.1.26 O esquema abaixo mostra a utilização de dois manômetros metálicos, tipo 
Bourdon, respectivamente (A) e (B). Sabendo-se que o manômetro 
metálico (A) registra uma pressão igual a 0,9 kgf/cm² e o (B) uma pressão 
igual a 1,4 kgf/cm², determine a pressão absoluta do gás (1). 
 
 
Dados: Patm = 9 m.c.a.; para as dimensões do esquema, podemos 
considerar Pgás 1 = constante e Pgás 2 = constante. 
 
 
 
2.14.1.27 O esquema abaixo representa um trecho de uma instalação hidráulica. Qual a 
pressão estática média na seção (2) no S.I.? 
 
Dados: γH2O = 104 N / m3 ; pm1 = 8,56 mca; h= 0,2 m e γR = 5,0. 
 
2.14.1.28 O cilindro e o conduto da figura abaixo são preenchidos completamente por 
óleo de peso específico relativo igual a 0,9. Calcule o peso total ( pistão + G) 
sabendo-se que a leitura do manômetro metálico é 2,2 × 10 kgf/m² . 4 
 
Dados: D Kgf mp O= =1 80 10 3, / m ; H2 3 γ
Desprezar os atritos entre pistão e cilindro. 
143 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
 
2.14.1.29 Para o esquema abaixo, pede-se: 
 
a) a altura h; 
b) o peso G, considerando o peso do êmbolo desprezível; 
c) a pressão do gás B. 
 
Dados: 
 kgf / m ; kgf / m
p - 1000 kgf / m ; A = 50 cm
óleo
3
H2
 4 3
m
2 2
γ γ= =
=
750 10O
 
 
 
2.14.1.30 Determinar a pressão P1 em kgf/m² , sabendo-se que o manômetro metálico 
da figura está lendo uma pressão pm = 0,03 kgf/cm² , e a relação de áreas 
dos pistões A1/A2 = 2. 
 
Dados: . o sistema está em equilíbrio; 
 . kgf / móleo
3γ = 800 ; a = 10 cm ; b = 5 cm 
 
144 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
2.14.1.31 Calcular a pressão do ar na escala absoluta e a leitura do manômetro 
metálico da figura, ambas em mca. 
 
Dados: 
γ γ
γ
óleo
3
H2
 4 3
atm Hg
3
 N / m ; N / m
p mmHg ; kgf / m
= =
= =
8000 10
700 13600
O
 
 
2.14.1.32 Se considerarmos duas superfícies planas submersas como mostram as 
figuras abaixo, esboce o diagrama de pressões nas mesmas, considerando 
somente um dos lados. 
 
 
2.14.1.33 Sabendo-se que o dispositivo esquematizado a seguir encontra-se em 
equilíbrio, pede-se: 
145 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
a) a pressão do ar3 em mca; 
b) a pressão do ar2 em N/m²; 
c) o peso do êmbolo Ge em kgf. 
 
São dados: 
γ γ
γ
r H2
 4 3
ar Hg
3
 ; N / m
p mca ; kgf / m
 kgf 10 N
= =
= =
≅
8 10
17 13600
1
O
 
2.14.1.34 Um tubo em U está ligado a duas tubulações nas quais circulam fluidos de 
diferentes pesos específicos como mostra o esquema a seguir. Sabendo que 
na 
 tubulação '' A '' circula gasolina de peso específico relativo igual a 0,735 e 
na tubulação '' B '' óleo diesel de peso específico relativo igual a 0,852 e 
onde pB é igual a 12,7 m. c. óleo. 
 
Pede-se: 
 
a) a pressão na tubulação '' A'' na escala efetiva; 
 
b) a pressão na tubulação '' A '' na escala absoluta, sabendo-se que a 
instalação encontra-se em um local de altitude igual a 8250 m. 
146 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
 
 
 
2.14.1.35 Calcule a diferença de pressão pA - pB na situação descrita pela figura abaixo. 
 
Dados: γ γ γ γa H O rN m= = = ′ = 10 ; ; 4 / ,3 2 0 8 1 05r ,
 
 
 
 
Exercicios resolvidos.pdf
152 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
2.14.3 Exercícios resolvidos 
 
 
2.14.3.1 Pede-se o módulo da força que deve ser aplicada na haste do pistão 
esquematizado abaixo, para que o mesmo permaneça em equilíbrio. Dê o seu 
valor nos sistemas SI e CGS. 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
-0,03.sen30.γH2O 
pgás 1 patm 
 
 
 
 
+ 0,065 . γH2O 
 
 
 
 
 
patm + 0,065 . γH2O - 0,03.sen30.γH2O = Pgás 1 
 
Considerando escala efetiva, temos: 
 
0 + 0,065 . 103 - 0,03. 0,5 . 103 = Pgás 1 
 
153 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
 Pgás 1 = 50 kgf / m2 
 
F2 
Ah = 4 cm2 
 
 
 
 
 Ap = 10 cm2 
 
 
 
 
 
 
 F1 
 
 
 
 F = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F1 = Pgás 1 . Ap = 50 . 10-3 kgf 
 
F2 = par comp. . (Ap - Ah) = 10000 . (10-3 - 4.10-4) = 6 kgf 
 
Condição de equilíbrio: F1 = F2 + F ∴ F = - 5,95 kgf 
 
O sinal negativo indica que o sentido real é contrário ao adotado. 
 
Como 1kgf = 9,8 N e 1N = 105 dina, temos: 
 
SI → F = 58,31 N 
 
CGS → F = 58,31 . 105 dina 
 
 
2.14.3.2 O dispositivo esquematizado a seguir foi elaborado para ampliação de uma 
força. Na situação representada pela figura, ao aplicar-se uma força F = 20 N, 
sustenta-se um peso Ge = 100 N. 
 
Dados: 
 γ γr H O= =0 85 98102, ; N / m ; d = 5 cm ; De = 25 cm3
 
a) Equacione o problema e comprove o valor da força F; 
 
b) Desejando-se reduzir a intensidade da força F a metade, apresentou-se duas 
alternativas: 
 
 1°) duplicar a área do pistão (Ap) 
 2°) reduzir a área da haste à metade (Ah/2) 
 
Mantendo-se os demais dados, analise as duas alternativas e de seu parecer 
sobre elas; 
154 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
c) Adicionando-se um peso G = 20 N sobre Ge e eliminando-se por alguns 
instantes a força F observou-se que o êmbolo desceu z = 1 cm, alterando a 
cota de 0,5 m, antes de aplicarmos uma nova
força F = 14,32 N que 
restabeleceu o equilíbrio. Equacione, mostre as alterações das cotas e 
comprove o valor da força F. 
 
d) Se ao invés do pistão ter descido, houvesse subido z = 1 cm, afirma-se que 
teríamos um aumento da força F. Comprove esta afirmação, calculando o 
valor da força F para a nova situação de equilíbrio. 
 
Considere Gtotal = Ge + G = 120 N 
 
Observação: Considera-se Ah = 32,22 cm² na solução, tanto no item c como 
do item d.. 
 
 
 
Solução: 
 
a) p1 - p2 = γ × h
 par comp. - pe = γ γ × h r H× 2O
O par comp. = γ γ × h + r H× 2 GA
e
e
 
pelo conceito clássico de pressão => p e pela estática dos 
fluidos => ∑ ∴ F
Fn
A
= ∴ × Fn = p A
Fcorpo = 0 1 = F2 + F, onde: 
 
F1 = par comp. × Ap 
 
155 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
F2 = par comp. × (Ap - Ah) 
 
par comp. × Ap = par comp. × (Ap - Ah) + F 
 
F = par comp. × Ah 
 
Par comp. = γ γ h + r H× 2 O × GA
e
e
 = 0,85 × 9810 × 0,5 + 100
0 25
4
2π × , 
 par comp. = 6.206,43 N/m² 
 
F = 6.206,43 × 32,22 × 10 => F = 20 N - 4
 
 
b) 1°) duplicar a área do pistão : 
 Como a força F não depende de Ap (F = par comp. × Ah), somente a sua duplicação 
não acarreta nenhuma alteração. 
 2°) reduzir a área da haste à metade (Ah/2) do item a) 
 
 F = par × Ah 
 F = 6206,43 × 32,22 × 10 / 2 - 4
 
F = 10 N => o.k.! a proposição está correta. 
 
c) Ge’ = Ge + 20 N = 120 N ⇒ êmbolo desceu z = 1 cm ∴ irá alterar as demais cotas 
 
h’= h - z - z’= 0,5 - 0,01 - z’ 
 
 
z . π.D
2e
4
= z’. π. d
2
4
 ∴ 0,01 . π.25
2
4
 = z’. π.5
2
4
 ∴ z’= 0,25m 
 
 
h’= 0,5 - 0,01 - 0,25 ∴ h’= 0,24 m 
 
 
156 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
p’ar =γR . γH2O . h’+ 120
.0,252π
4
=0,85 . 9810 . 0,24 + 120
.0,252π
4
 ∴ p’ar = 4445,86 N/m2 
 
F’= par . Ah = 4445,86 . 32,22 . 10-4 ∴ F’= 14,32 N c.q.d. 
 
d) Ge = 120 N e o êmbolo subiu z = 1cm : 
 
h’= h + z + z’= 0,50 + 0,01 + z’ 
 
z . De2 = z’. d2 ∴ 0,01 . 252 = z’. 52 ∴ z’= 0,25 m 
 
∴ h’= 0,76 m 
 
par = 
120
0 252
4
π. ,
 + 0,85 . 9810 . 0,76 ∴ par = 8781,88 N/m2 
 
F = par . Ah = 8781,88 . 32,22 . 10-4 ∴ F = 28,30 N 
 
∴ comprovado que houve aumento da força. 
 
 
 
2.14.3.3 Considerando uma linha de ar comprimido instalada em um local de altitude 
de 3600 m e desejando determinar a variação de pressão entre duas seções de seu 
escoamento, instalou-se o manômetro diferencial esquematizado a seguir. 
157 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
 
a) Na situação representada a variação de pressão obtida foi de 1,42 psi (psi=lbf/pol2). 
Equacione e comprove este valor. 
 
b) Se a linha de ar comprimido estivesse em um local de altitude igual a 13200 m, qual 
seria o valor da variação de pressão mencionada no item anterior. 
 
c) Considerando a existência de um barômetro no local descrito no item b), qual seria a 
sua leitura em mm Hg. 
 
Solução: 
 
a) pA - pB = γ . h = γR . γH2O . 2 . sen 30º = 1,0 . 1000 . 2 . 0,5 
 
∴ pA - pB = 1000 kgf/m2 
 
10330 kgf/m2 ⇔ 14,7 psi 
 ∴ x = 1,42 psi , o que implica dizer que a resposta está certa. 
 1000 kgf / m2 ⇔ x 
 
b) Como o que foi determinado é uma variação de pressão (pA - pB) não teríamos 
nenhuma variação do valor lido no item a). 
 
c) pz = 0,235 . e
-
-9,81
287.218
.( )13200 10668−

 
 
 ∴ pz = 0,158 atm. 
 
 760 mm Hg ⇔ 1 atm. 
 ∴ x = 120,1 mm Hg 
 x ⇔ 0,158 atm. 
 
158 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
2.14.3.4 Deseja-se instalar um dispositivo que opera com uma pressão mínima de 7 
mca na seção (2) do esquema abaixo. Para verificar se é viável ou não instalá-
lo, pergunta-se: 
 
a) Qual a diferença de pressão p1 - p2 ? 
b) Qual o valor da pressão do gás A? 
c) Qual é a pressão p1 ? 
d) Qual a pressão p2 ? 
 
Dados: γH2O = 103 kgf/m3 e γR = 0,68027. 
 
Solução: 
 
a) p1 - 2,08 . γH2O + 1,47 . γH2O . γR + 0,61 . γH2O = p2 
 
p1 - 2,08 . 1000 + 1,47 . 1000 . 0,68027 + 0,61 . 1000 = p2 
 
p1 - p2 = 470 kgf/m2 
 
b) Pgás A = 
F
A
= −
20
2010 4.
 
 
Pgás A = 104 kgf/m2 
 
c) p1 + 2. γH2O = Pgás A 
 
p1 + 2 . 1000 = 10000 
 
p1 = 8000 kgf/m2 
 
d) p1 - p2 = 470 
 
159 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
8000 - p2 = 470 
 
p2 = 7530 kgf/m2 = 7,53 mca ∴ pode ser instalado o dispositivo. 
 
 
2.14.3.5 Sabendo-se que para o dispositivo esquematizado abaixo, os pistões 
encontram-se em repouso e não existe o escoamento d’água, pede-se: 
a) a força F1 que age na área frontal do pistão (1); 
b) a pressão na seção (2); 
c) a pressão do gás B; 
d) a pressão do gás A; 
e) a altura H. 
Dados: pm 1 = 30 mca; A1 = 10 cm2 ; pm 2 = 15 mca; A2 = 5 cm2 ; Ah = 2 cm2 
e γH2O = 1000 kgf/m3. 
 
 
160 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
a) F1 = p1 . A1 = pm 1 . A1 = 30 . 103 . 10 .10-4 
 
∴ F1 = 30 kgf 
 
b) Pgás C + γH2O . 5 - γH2O . 2 = p2 
 
15 . 1000 + 1000 . 5 - 1000 . 2 = p2 
 
∴ p2 = 18000 kgf / m2 
 
c) p2 - γH2O . h = Pgás B 
 
18000 - 1000 . 11 = Pgás B 
 
∴ Pgás B = 7000 kgf/m2 
 
 
 
Como o sistema encontra-se em equilíbrio, podemos escrever que: 
 
F1 + FAh 2 = FB + FAh 1 
 
FB = Pgás B . A2 = 7000 . 5.10-4 = 3,5 kgf 
 
∴ 30 - Pgás A . (A1 - Ah) + Pgás A . (A2 - Ah) - 3,5 = 0 
 
 30 - Pgás A . 8.10-4 + Pgás A . 3.10-4 - 3,5 = 0 
 
 5.10-4 . Pgás A = 26,5 
 
∴ Pgás A = 53000 kgf/m2 
 
 
Resposta dos exercicios da un 2.pdf
147 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
2.14.2 Respostas dos exercícios propostos 
 
 
2.14.1.1 
a) Fµ = 523,39 t 
 
b) p = 363.782,73 - 5440 t 
 
c) p = 343382,73 N/m² 
 
 
2.14.1.2 
F = 25.200 N 
 
 
2.14.1.3 
 a) pF = 165.000 N/m² 
 
b) pF abs = 195.705,45 N/m² 
 
c) x = 13,99 m 
 
 
2.14.1.4 
L = 0,57 m 
 
 
2.14.1.5 G ≅ 48 N 
 
 
2.14.1.6 
p = 15932,4 N/m² 
 
2.14.1.7 
∆H = 3,5 cm² 
 
 
2.14.1.8 
G = 10,41 N 
 
2.14.1.9 
Sim, pois o vácuo absoluto seria correspondente a -99.000 N/m² 
 
 
2.14.1.10 
Seria a -9,2 mca 
 
148 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
2.14.1.11 
Sim, pois o vácuo corresponderia a -20,58 psi 
 
 
2.14.1.12 
Rar = 287 J/kg k 
 
 
2.14.1.13 
P atm. padrão = 101.336,27 N/m² 
 
 
2.14.1.14 
ρ = 2,293 kg/m³ 
 
 
2.14.1.15 
ρ 2 = 1,40 kg/m³ 
 
 
2.14.1.16 
p715 = 0,918 atm. 
 
ρ 715 = 1,144 kg/m³ 
 
 
 
2.14.1.17 
Z ≅ 3134 m 
 
 
2.14.1.18 
p = 0,235 atm. 
 
θ = 218,7 K 
 
ρ = 0.379 kg / m3 
 
2.14.1.19 
p = 101.336,27 . ( Rar
g
Z 0065,0)
288
 0065,0288 − 
 
 
2.14.1.20 
p = 101.336,26 . ( 259,5)
288
 0065,0288 Z− 
149 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
 
2.14.1.21 
Obtemos respostas praticamente iguais as obtidas nos exercícios 
2.14.1.16 e 2.14.1.17. 
 
 
2.14.1.22 
p1500 = 0,119 atm. 
 
θ 1500 = 218,7 K 
 
ρ 1500 = 0,192 kg/m³ 
 
 
2.14.1.23 
a) Pgás = 2800 N/m² 
 
b) Pgás (abs) = 9805,42 kgf/m² 
 
 
2.14.1.24 
x = 0,8 m 
 
 
2.14.1.25 
a) Pgás = 0 
 
b) Pgás (abs) = 9,5 mca 
 
 
2.14.1.26 
Pgás 1 (abs) = 32000 kgf/m² 
 
 
2.14.1.27 
p2 = 7,76
× 10 N/m² 4 
 
 
2.14.1.28 
G = 60105,6 kgf 
 
 
2.14.1.29 
a) h = 2 m 
 
b) G = 3,75 kgf 
 
c) pgás B = 1500 kgf/m² 
150 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
 
2.14.1.30 
par 1 = 380 kgf/m² 
 
 
2.14.1.31 
par = 3600 N/m² 
 
par (abs) = 96910 N/m² 
 
pm = 33.600 N/m² 
 
 
2.14.1.32 
a) 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
2.14.1.33 
a) par 3 = 6,8 mca 
 
b) par 2 = 5,67 × 10 N/m² 4 
 
c) Ge = 1,0 kgf 
 
 
2.14.1.34 
a) pA = 13020,51 kgf/m² 
 
b) pA (abs) = 16516,07 kgf/m² 
 
 
2.14.1.35 
pA - pB = 2550 N/m² 
 
Experiencia proposta.pdf
162 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
2.15 Experiência proposta 
 
O objetivo central desta experiência é propiciar o contato inicial com alguns dos mais 
comuns aparelhos medidores de pressão, tais como: 
 
• barômetro; 
 
• manômetro metálico tipo Bourdon; 
 
• manômetros diferenciais de coluna de líquido; 
 
• piezômetro. 
 
Através da experiência, além de visualizarmos o funcionamento dos mesmos, 
efetuaremos as suas respectivas leituras de pressão, ou da diferença de pressão por eles 
determinada. 
 
A tabela a seguir mostra, tanto as leituras que serão efetuadas, como os dados que são 
fornecidos: 
 
 
Aparelho: Leitura: Dados: 
Barômetro h= mm Hg γHg = 13600 kgf/m3 
Manômetro metálico tipo 
Bourdon 
pm = 
- 
1º Manômetro diferencial 
de coluna de líquido 
 
h= 
γHg = 13600 kgf/m3 
γH2O=1000 kgf/m3 
2º Manômetro diferencial 
de coluna de líquido 
h1 = 
h2 = 
 
 γóleo = 
Piezômetro h = γH2O=1000 kgf/m3 
 
 
Através desta experiência, deseja-se obter as respostas para as seguintes perguntas: 
 
P1 - O barômetro determina que tipo de pressão? Em qual escala de pressão? 
 
P2 - Conhecida à pressão atmosférica local (P1), como você estimaria a altitude de 
nosso laboratório? Justifique. 
 
P3 - A pressão lida no manômetro metálica (pressão manométrica) encontra-se em que 
escala de pressão? Justifique. 
 
P4 - O desnível h do 1º manômetro diferencial depende da vazão d’água (volume por 
unidade de tempo) que existe na tubulação? Comprove através de no mínimo 
mais duas leituras, obtidas para vazões diferentes da inicial. 
 
P5 - Quais os valores da diferença de pressões calculados através dos “h” obtidos com 
o 1º manômetro diferencial? 
163 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
P6 - A diferença de pressão lida no 2º manômetro diferencial, depende da pressão do 
ar comprimido? Justifique calculando a diferença de pressão neste manômetro. 
 
P7 - Por que foi utilizado o ar comprimido neste ensaio? 
 
P8 - O piezômetro determina a pressão em que escala? Justifique calculando a pressão 
neste ensaio. 
 
P9 - Como você explicaria o funcionamento de cada um dos aparelhos medidores de 
pressão utilizados nesta experiência? 
 
P10 - Você seria capaz de especificar outras aplicações destes aparelhos? Dê exemplos. 
 
 
 
 
A resignação 
 
é o troféu 
 
conquistado 
 
por aqueles 
 
que vivem 
 
de suas derrotas. 
 
 
 
 
Raimundo Ferreira Ignácio 
 
 
 
Exercicios 1 a 2.pdf
134 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
Objetivos da sétima aula da unidade 2: 
 
Resolver e propor exercícios. 
 
Propor a experiência ligada à unidade 2. 
 
 
2.14 Exercícios 
 
 
2.14.1 Exercícios propostos 
 
 
2.14.1.1 A situação representada pela figura a seguir, esquematiza um elevador 
hidráulico utilizado para lubrificação de automóveis. O mesmo é constituído 
por um eixo de diâmetro igual a 35 cm e de altura de 450 cm, coaxial a um 
cilindro de diâmetro igual a 35,02 cm. O espaço anular entre o eixo e o cilindro 
é preenchido por um óleo lubrificante de viscosidade cinemática igual a 3,5 × 
 m²/s e peso específico igual a 8.500 N/m³. Sabendo que o eixo desce 
com uma velocidade constante de 0,4 m/s e que o peso total do veículo e eixo é 
de 35.000 N, pede-se: 
10 - 4
 
a) a Lei de variação da força de resistência viscosa, em função do tempo, no 
movimento descendente do eixo; 
b) a Lei de variação da pressão de acionamento do eixo, em função do tempo, 
imposta uniformemente distribuída na sua face inferior; 
c) a pressão de acionamento quando o eixo desceu 1,5 m. 
 
135 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
2.14.1.2 Uma força de 350 N é aplicada na alavanca AB como mostra a figura. 
Sabendo que o ponto C é um ponto de articulação, determine a força 
r
 , que 
deve ser aplicada na haste do cilindro (1) para que o sistema permaneça em 
equilíbrio. 
F
 
Observação: Considere o sistema em um plano horizontal e o fluido como contínuo, 
incompressível e em repouso. 
D 1 => diâmetro do cilindro (1) = 30 cm 
D 2 => diâmetro do cilindro (2) = 5 cm 
 
 
 
"A" Fluido 
350 N 
20 cm 
1
F 
"C" 
10 cm 
 
2
"B" 
 
 
 
 
Exercicios 3 a 4.pdf
136 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
2.14.1.3 Sabendo-se que o esquema abaixo se encontra em equilíbrio em um local de 
altitude igual a 9.000 m, pede-se: 
a) a pressão no fundo do recipiente na escala efetiva (pF); 
b) a pressão p na escala absoluta; F
c) a cota x. 
Dados: cm 79,79 =D ; 50N G ; 10 = ; /10 = 2
3 4 
2
=rOH mN γγ
 
2.14.1.4 Um cilindro de ferro, desloca-se com velocidade de 0,1 m/s, dentro de um 
tubo, separado deste por meio de uma película de óleo de espessura 
 e viscosidade dinâmica µ = . O óleo aplica 
sobre as faces do cilindro respectivamente as pressões: 
ε = 0 1, mm ×10 2 - 1 ( ) /N s m
p1 = 20 N/cm² e p2 = 18 N/cm². Calcular o comprimento '' L '' do cilindro 
de ferro para que a velocidade dada seja constante. 
Dados: γ Ferro DC cm= =78 000 10. N / m3 e D Cil =
 
 
Exercicios 5 a 8.pdf
137 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
2.14.1.5 Para o esquema abaixo, o pistão desce no interior do cilindro inclinado de 30º , 
arrastando consigo o conjunto formado por duas placas retangulares iguais, 
com dimensões e peso respectivamente; 0,5 × 2 m e 25,1 N, com velocidade 
de 150 m/min. Sabendo-se que o cilindro é completamente preenchido por 
óleo e que através de um dispositivo a pressão do mesmo é mantida 
constante. e igual a 0,2 N/cm², calcule o peso do pistão, desprezando a 
porcentagem de óleo que sai devido à diferença de diâmetros entre o pistão e 
cilindro. 
Dados: 
 34 
Hr
2
25 - 
e
N/m 10 ; 8,0 ; m/s 10
/10= ; cm 1,10D ; 00,10
2
===
==
O
i
g
smcmD
γγ
υ
 
2.14.1.6 Um pistão de peso 100 N sobe com velocidade cte. de 2 m/s ao longo de um 
cilindro, suficientemente grande para que o pistão jamais saia do mesmo, sob 
a ação de uma certa pressão. O diâmetro do pistão é 10 cm e do cilindro é 
10,01 cm. A folga anular entre o pistão e o cilindro é preenchida com um óleo 
lubrificante de viscosidade dinâmica µ . Sabendo-se 
que comprimento do pistão é 20 cm, qual a pressão a ser aplicada, imposta 
uniformemente distribuída em sua face inferior ? 
 = 10 - 2 ( ) /N s m× 2
 
Observação: Desprezar a ação do ar atmosférico que atua na parte superior do pistão. 
 
 
2.14.1.7 Dado o esquema abaixo, determinar o valor da área da haste (AH), supondo o 
sistema em equilíbrio. 
 
138 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
Observações:1) supor que a pressão do gás seja cte. e uniformemente distribuída na 
área A1; 
 2) supor o fluido contínuo,
incompressível e em repouso. 
 3) supor o sistema em um plano horizontal (∆ ) h ≅ 0
Dados: F = 50 N; Gpistão=F1=120 N; A1 = 2×A2; p ; AN mgás = 10 4 / 2 1 = 10 cm² 
 
2.14.1.8 O dispositivo esquematizado pelas figuras (1) e (2) funciona como um 
dinamômetro. A figura (1) representa a situação inicial de equilíbrio, onde o 
'' prato '' encontra-se vazio. A figura (2) representa uma nova situação de 
equilíbrio, onde foi colocado um peso G no ''prato''. Qual o peso no S.I. ? 
 
Observações: 1) Despreze o atrito entre o eixo e o cilindro. 
 2) Despreze a ação da pressão atmosférica. (patm = 0) 
 
Exercicios 9 a 25.pdf
139 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
2.14.1.9 Em um local onde a pressão atm. é lida pelo barômetro indicado pela figura 
abaixo, podemos ter uma depressão de - 91.200 N/m² ? Justifique. 
 
Dados: h = 900 mm; γH O N m2 310= 4 / 
 
2.14.1.10 Em um local onde a pressão barométrica é 9,2 mca, qual o menor '' vácuo '' 
que poderia ser atingido ? Justifique. 
 
 
2.14.1.11 Dizer se a afirmação abaixo é correta ou não, justificando. 
 Em um local onde a pressão barométrica é igual a 1,4 atm., podemos ter um 
aparelho registrando uma pressão negativa de 15,3 psi. 
 
 
2.14.1.12 Sabendo-se que a constante universal dos gases é 8316 J/kg K, e que a massa 
molecular do ar é 28,98 ; determine a constante do ar. (Rar) 
 
 
2.14.1.13 Calcule a pressão atmosférica padrão no S.I., sabendo-se que a mesma é 
estabelecida para θ ρ ≅ =15 1 226 ar 3 e kg / mo , .
 
Observação: Supor conhecida a constante. do ar (Rar) que é considerada válida até 
cerca de uma altitude de 100 Km. 
 
 
2.14.1.14 Calcule a massa específica do ar para uma pressão de 2 atm. (abs) e uma 
temperatura de 35ºC. 
 
 
2.14.1.15 Sabendo-se que o estado inicial de um gás perfeito é definido à 5,0 bar (abs) 
e 50 º C e que o mesmo após um processo isotérmico atinge uma pressão de 
1,3 bar (abs), calcule a sua massa específica no estado final. 
Dado: R gás = × 287 N mkg k
 
140 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
2.14.1.16 Sabendo-se que uma cidade encontra-se a uma altitude de 715 m em relação 
ao nível do mar ( z = 0 ), calcule a sua pressão atmosférica média e a sua 
massa específica média. 
 
Observação: Trabalhe com o valor da aceleração da gravidade médio (9,81 m/s²) 
 
 
2.14.1.17 Sabendo-se que a pressão barométrica média do pico da Bandeira é 68850 
N/m², estime a sua altitude em relação ao nível do mar. 
 
 
2.14.1.18 Calcule a pressão atmosférica média, a temperatura absoluta média e a massa 
específica média para o ar a uma altitude de 10668 m em relação ao nível do 
mar. 
 
 
2.14.1.19 Considerando o resultado da pressão atm. padrão, obtido no exercício 2.13, 
reescreva a expressão: arR287)
288
0,0065z - 288( 103300 ×=
g
p , se 
necessário, justificando. 
 
 
2.14.1.20 Considerando-se que a aceleração da gravidade média adotada para o globo 
terrestre é 9,81 m/s² e que R é válida até uma altitude 
de 100 Km, reescreva a equação do exercício 2.19, fixando para seu 
expoente 3 casas decimais. 
ar = × 287 N mkg k
 
 
2.14.1.21 Com a expressão obtida no exercício 2.20, verifique os resultados dos 
exercícios 2.14.1.16 e 2.14.1.17. Comente-os. 
 
 
2.14.1.22 Calcule a pressão atmosférica média, a temperatura absoluta média e a massa 
específica média para o ar a uma altitude de 15 km. 
 
 
2.14.1.23 O esquema abaixo representa um reservatório que contém a mistura de um 
certo gás com água, onde se elaborou uma maneira prática para se calcular a 
pressão do gás. Pergunta-se: 
a) qual a pressão do gás no S.I. ? 
b) qual a pressão do gás na escala absoluta no MK*S ? 
141 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos 
 
 
Dados: patm = 700 mmHg; γH2O = 10000 N / m3; γóleo = 8000 N / m3 ; 
 γHg = 13600 kgf / m3; 1 kg = 9,81 utm 
 
2.14.1.24 As figuras (1) e(2) representam duas situações de equilíbrio, onde a figura (2) 
foi obtida após uma redução da pressão do gás. Pede-se determinar o 
comprimento x. 
 
Dados referentes à situação mostrada pela figura (2): 
 
Pgás = 89572 N/m² (abs); γ = 7840 N/m³; D = 16 mm; d = 4 mm; m
γH O2 = 9800 N/m³; p 9,50 m.c.a. atmlocal =
 
 
2.14.1.25 Considerando a situação mostrada pela figura (1) do exercício anterior, 
pergunta-se: 
a) qual o valor inicial da pressão do gás na escala efetiva ? 
b) qual o valor inicial da pressão do gás na escala absoluta no MK*S ? 
Dado: 1 kgf = 9,80 N