Trabalho Matemática Bio (1)

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Trabalho
Hércules de Araujo Feitosa
UNESP - FC - Bauru
haf@fc.unesp.br
November 8, 2017
1 Questões
Exercício 1.1. A pressão da água, denotada por p, em atm à profundidade h em
metros é dada pela relação: p(h) = 1, 0 + 0, 1.h. Determinar:
(a) a pressão da água à profundidade de 9 metros.
(b) a pressão da água à profundidade de 20 metros.
(c) a profundidade em que a pressão da água é igual a 3,8 atm.
Exercício 1.2. Numa cidade paulista, havia em 1980, um milhão ratos. De 1980 a
1986, esta população de camundongos cresceu anualmente à taxa de 40 % ao ano.
Determinar a função do crescimento desta população de ratos em função do tempo em
anos. Fazer um esboço do gráfico da função.
Exercício 1.3. Uma porção de 200 g de água está inicialmente em um recipiente à
temperatura de 50o C. A partir de então, esta temperatura declina até a temperatura
ambiente de 20o C. O resfriamento desta porção de água é dada pela relação T (t) =
20 + 30.10−t, em que T é a temperatura da água e t é o tempo em horas. Fazer um
esboço do gráfico da temperatura da água em função do tempo.
Exercício 1.4. A equação do movimento de um ponto é dado pela função S(t) =
5t2 + 3t − 1, em que t é o tempo em segundos e S é o espaço percorrido em metros.
Sabendo-se que a velocidade é a derivada da função espaço pela variável tempo,
dS
dt
,
determinar o seguinte:
(a) a velocidade no ponto t = 3 s (b) a velocidade no ponto t = 13 s
(c) a velocidade no ponto t = 18 s (d) quantos metros o ponto percorre
entre os tempos t = 3 s e t = 6 s.
Exercício 1.5. O espaço percorrido, em metros, por um corpo é dado pela função
S(t) = 3t2 + 6t+ 6, em que t é o tempo em segundos. Determinar o seguinte:
(a) a velocidade no ponto t = 0 s (b) a velocidade no ponto t = 7 s
(c) a velocidade no ponto t = 3
4
s (d) o instante da velocidade 40 m/s.
(e) o instante da velocidade 20 m/s (f) quanto cresce a velocidade entre
os tempos t = 4s e t = 8s.
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Exercício 1.6. Uma torneira enche um tanque de maneira que o volume do tanque
no instante t segundos é V (t) = 100
√
t+ 1 − 100 litros. Qual a taxa de variação
instantânea do volume no tempo 8 s?
Exercício 1.7. Calcular as derivadas de segunda ordem de:
(a) y = 5x4 − 3x3 − 3x2 − 5 (b) y = sen x+ cos x (c) y = 3x.cos x
(d) y = 3x− 2 (e) y = 1
x
(f) y =
2x− 1
3x
.
Exercício 1.8. Uma pedra é lançada para cima e sua altura h em metros é dada por
h(t) = −t3+3t2+9t−1, em que t indica o tempo em segundos a partir do lançamento.
Em que instante a pedra atingirá sua altura máxima?
Exercício 1.9. Uma torneira enche um recipiente de água numa relação dada pela
função V (t) = 5t3−45t, em que V indica o volume de água no recipiente e t é o tempo
em minutos. Determinar o volume de água no recipiente nos instantes 5 e 7 minutos.
Fazer um gráfico a função V (t). Calcular a vazão da água no instante t = 3 minutos.
Avaliar os pontos críticos da função.
Exercício 1.10. A massa de uma cultura de bactérias tem o seu crescimento dado
pela função M(t) = 5 + 60t − 2, 5t2, com t em horas e M em cm3. Esboçar um
gráfico para M(t). Calcular a velocidade de crescimento da cultura quando t = 6 h. O
que representa o ponto M ′(t) = 0? O que ocorre com a cultura quando M ′(t) < 0 e
M ′(t) > 0?
Exercício 1.11. Uma proteína de massa m se decompõe em aminoácidos segundo a
relação m(t) =
25
t+ 3
, em que t é o tempo em horas. Determinar a taxa média de
variação nos intervalos [0, 2] e [1, 5]. Qual a taxa de variação instantânea para os
tempos 1 e 3 horas?
Exercício 1.12. A equação do movimento de um corpo é dado pela função S(t) =
4t3 + t2 + 2t, em que t é o tempo em segundos e S é o espaço percorrido em metros.
Sabendo-se que a aceleração é a derivada da função velocidade pela variável tempo,
dV
dt
, determinar o seguinte:
(a) a velocidade nos instantes t = 1 s e t = 7 s
(b) a aceleração nos instantes t = 3 s e t = 7 s
(c) em qual instante a velocidade é de 312 m/s.
Exercício 1.13. O espaço percorrido, em metros, por um corpo é dado pela função
S(t) = t3 + 3.
√
t, em que t é o tempo em segundos. Determinar o seguinte:
(a) a velocidade no instante t = 2 s
(b) a aceleração no instante t = 5 s.
Exercício 1.14. O número de visitantes do Jardim Botânico de uma cidade paulista
está previsto, em anos, a partir de agora, pela seguinte função V (t) = 5000 + 1000
√
t.
Então, determinar:
(a) o número de visitantes ano que o Jardim recebe no momento
(b) a expressão da variação do número de visitantes em função do tempo em anos
(c) o número se visitações em 4 anos
(d) a variação de visitante nos quinto ano.
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Exercício 1.15. Um objeto é lançado para cima. Sua posição após t segundos é
h(t) = −5t2 + 20t. Em que instante o objeto atingirá sua altura máxima? Qual a
altura máxima?
Exercício 1.16. O espaço percorrido, em metros, por um corpo é dado pela função
S(t) = t2 + 3.
√
t, em que t é o tempo em segundos. Determinar o seguinte:
(a) a velocidade no instante t = 2 s
(b) a aceleração no instante t = 5 s.
Exercício 1.17. Encontrar as integrais das seguintes funções:
(a) f(x) = x−
3
5 (b) f(x) = x
2
3 (c) f(x) = x−3
(d) f(x) =
x2 − 3
x3
(e) f(x) = x−4 (f) f(x) = x3 − 5x2
(g) f(x) = 2sen x− cos x (h) f(x) = 3x5 + 7x+ 2 (i) f(x) = 5√x2
(j) f(x) =
x3
3
+
x2
4
(k) f(x) =
x3 − 1
6
(l) f(x) = − 1
x3
(m) f(x) = 2x3 − 3x2 − 3x+ 4 (n) f(x) = x
3 − 1
x4
(o) f(x) = 3
√
x.
Exercício 1.18. Encontrar as primitivas das seguintes funções:
(a) f(x) = x2 + cos x (b) f(x) = x2 − 3x+ 6 (c) f(x) = x 23
(d) f(x) =
x2 + 3
x3
(e) f(x) = 2cos x− 4sen x (f) f(x) = x2 + 4x+ 5.
Exercício 1.19. Calcular as seguintes integrais definidas:
(a)
∫ 2
1
x3dx (b)
∫ 1
0
3xdx (c)
∫ pi
2
0
sen xdx
(d)
∫ 2
1
1
x3
dx (e)
∫ 1
−1 x
6dx (f)
∫ 1
−1 3x
3dx.
Exercício 1.20. Calcular a área sob o gráfico da função f(x) entre x = a e x = b:
(a) f(x) = 3− x2, [a, b] = [−1, 2] (b) f(x) = x2 + 6, [a, b] = [0, 4]
(c) f(x) =
√
x+ 3, [a, b] = [0, 5] (d) f(x) =
3x2 + 3x
x2
, [a, b] = [0, 2].
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