Sistemas Lineares Invariantes no Tempo

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SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO (SLIT)
Alunos:
Adriano Teixeira
André Alves
Lucas Abudioan
Marcela Barros
Rodrigo Oliveira
Rodolfo Gomes
Introdução
O que é um sinal;
O que é sistema;
O que é um sistema Linear;
Propriedades de sistemas lineares.
Sistemas Lineares e Invariantes no tempo
O que são;
 Resposta no tempo;
 Propriedades;
 O que é função de transferência;
 Exemplos de sistemas lineares.
CRONOGRAMA
Sinais São formas codificadas de se transmitir informação. 
Exemplo prático:
	Um exemplo disso são sinais transmitidos por antenas de TV, que ao chegarem nas casas dos clientes são decodificadas em cores pelos televisores.
Sistemas Entidade que manipula um ou mais sinais (entrada) para realizar uma função, produzindo, assim, novos sinais (saída). Podendo ser visto no tempo discreto ou contínuo.
	Em termos matemáticos, um sistema pode ser visto como uma interconexão de operações, ou uma transformação do sinal de saída com propriedades distintas.
INTRODUÇÃO
INTRODUÇÃO
Sistemas em tempo contínuo entrada e saída do sinal no tempo contínuo.
 y(t) = T{x(t)}
Sistemas em tempo discreto onde a entrada e saída do sinal estão no tempo discreto, ou seja, em um tempo não continuo ou dividido em amostra.
 y[n] = T {x[n]}
Sistemas
Figura representando um SLIT calculado através da convolução de um sinal com o sinal impulso h.
Sistemas
Funcionamento de um sistema
Sistemas de comunicação são responsáveis por captar e transmitir sinais de informação, o seu funcionamento pode ser descrito em etapas: Amostragem, Quantização, Codificação, Transmissão, Recepção, Estimativa de Amostragem, decodificação.
Amostragem : Retira do sinal original um conjunto de números , contendo as informações de tensão e tempo, de um determinado ponto de uma curva continua do sinal original.
Quantização : Nesta etapa o sistema deve representar cada ponto especifico amostrado como um numero discreto de base hexadecimal, octal ou binária, de maneira a preservar a informação.
Codificar o sinal : Nesta etapa o sinal quantizado deve ser codificado de uma maneira que este possa ser representada por um numero finito e limitado de caracteres.
Recepção : Feita através de um equipamento receptor.
Estimativa de amostragem : É preciso verificar se o sinal possui potencia ou numero de elementos de amostragem suficiente antes de fazer a decodificação.
Decodificação : Após o sinal passar por uma triagem ele precisa ser descodificado para ser interpretado pelo equipamento ou usuário destino.
Sistemas Lineares
O que é um sistema Linear?
Um sistema linear é aquele que atende duas propriedades matemáticas as de homogeneidade e de aditividade. 
Ou seja, ele será chamado de linear se atender aos seguintes princípios:
• Adição: Somente é considerado um sistema aditivo se a soma dos sinais de entrada resultarem em saídas compostas por somas dos mesmos sinais.
Ou seja, se T{x1(t)} = y1(t) e T{x2(t)} = y2(t) ⇒T{x1(t) + x2(t)} = y1(t) + y2(t) 
• Homogeneidade: Qualquer mudança na amplitude na entrada gera uma modificação igualmente na saída.
Ou seja, se T{x(t)} = y(t) ⇒T {α. x(t)} = α. T{x(t)} = α. y(t)
Sistemas
Princípio da Sobreposição
• Homogeneidade e adição, à associação dessas duas propriedades resulta no chamado “Princípio da Sobreposição”
Ou seja, se T{x1(t)} = y1(t) e T{x2(t)} = y2(t)⇒ T{α. x1(t) + β. x2(t)} = α. y1(t) + β. y2(t)
Definição
A propriedade mais importante de um sistema linear e invariante no tempo é o princípio da sobreposição, que diz que a saída de um sinal gerado pela combinação de múltiplos sinais de entrada diferentes, a soma individual destes sinais deve ser similar ao sinal da entrada.
Propriedades de sistemas lineares
A linearidade dos sistemas implica que todas operações utilizadas no processamento dos sinais de entrada serão lineares. Ou seja, qualquer sistema linear pode ser decomposto nos seguintes blocos de processamento:
Soma de dois sinais;
Multiplicação de um sinal por um valor constante;
y(t) = a.x(t)
Derivação de um sinal (variável) em relação ao tempo;
 y(t) = d(x(t)) / dt
Integração de um sinal (variável) em relação ao tempo;
 
Deslocamento no tempo (atrasar ou adiantar o sinal por uma diferença de tempo 
constante). 
T{x(t)} = y(t) ⇒ T{x(t – t)} = y(t – t)
Um sistema invariante no tempo é aquele que transfere todo o tipo de deslocamento temporal presente no sinal de entrada para o sinal de saída. Em outras palavras um sinal entra X(t) de um sistema invariante no tempo e resulta numa saída X’(t), então :
 
 
 Se o sinal não sofre nenhuma variação no tempo quando entra no sistema, então ele também não sofre variação na frequência.
Propriedades de sistemas lineares
Convolução
Teorema da Convolução
O teorema da convolução é uma ferramenta extremamente útil para se trabalhar com SLITs. Para compreender o seu funcionamento, é preciso antes estudar o conceito de resposta a impulso e de convolução.
A resposta a impulso de um sistema o caracteriza completamente, e seu sinal de saída é igual a seu sinal de entrada convoluído por sua resposta a impulso. Por causa do teorema da convolução, também é possível estudar os sistemas no domínio da freqüência.
Dadas as duas respostas em freqüência de dois sistemas, se ligarmos a saída de um na entrada do outro, a resposta em freqüência do sistema total será dada pela multiplicação ponto-a-ponto das duas respostas.
O que são?
Apesar dos sistemas reais serem não lineares os sistemas lineares e invariantes no tempo são utilizados por serem um modelo matemático de fácil manipulação e gerar um valor muito próximo do real em varias situações.
Resposta no tempo
Os resultados gerados dos sistemas lineares obedecem ao seu sinal de entrada, que conforme visto anteriormente podem ser de tempo discreto ou de tempo contínuo.
 
Sistemas Lineares e Invariantes no tempo
Tipos de Slits
Sistemas SLIT podem ser dos seguintes tipos:
SISO — Single Input, Single Output: O sistema possui uma única entrada e uma única saída.
MISO — Multiple Input, Single Output: A equação equivalente do sistema depende de todas as entradas. Para um sistema MISO ser linear, os diferentes sinais só podem ser somados entre si. Não pode haver multiplicação entre eles ou derivação de um sinal em relação ao outro.
SIMO — Single Input, Multiple Output: Logicamente, é possível decompor qualquer sistema SIMO em sistemas SISO individuais.
MIMO — Multiple Input, Multiple Output: Da mesma forma, é possível decompor qualquer sistema MIMO em sistemas MISO individuais.
Sistemas Lineares e Invariantes no tempo
Propriedades
Aditividade
Homogeneidade
Invariante no tempo
Função de Transferência
Exemplo: Encontre a função de transferência do circuito RLC abaixo:
L
R
C
ei
eo
i
ei = vL + vR + vC
eo = vC
Função de Transferência
Aplicando a transformada de Laplace nas equações, teremos:
Sabendo que E0 é a entrada e Ei representa a saída, de acordo com equação de transferência G(s) = [Y(s)/X(s)]:
Função de Transferência
Exemplos de sistemas lineares
Propagação de onda como o som e ondas eletromagnéticas
· Circuitos elétricos compostos de resistores, capacitores e indutores
· Circuitos eletrônicos, como amplificadores e filtros
· Movimento mecânico da interação de massas e molas
· Sistemas descritos por equações diferenciais como resistor-capacitor-indutor
· Multiplicação por uma constante (amplificação ou atenuação do sinal)
· Mudanças de sinal, como ecos, ressonâncias e escurecimento de imagem
· Sistema de unidade onde a saída é sempre é
igual à entrada
· Sistema nulo onde a saída é sempre é igual a zero, indiferente da entrada
· Diferenciação e integração, e as operações análogas de primeira diferença e running
sum para sinais discretos
· Pequenas perturbações em sistemas não lineares, por exemplo, um pequeno sinalamplificado por um transistor corretamente polarizado
· Convolução, uma operação matemática como onde cada valor na saída é expressado
como a soma de valores na entrada multiplicada por um conjunto de coeficientes
(pesos)
· Recursão, uma técnica semelhante a convolução, excluindo que valores previamente
calculados na saída são usadas em adição aos valores de entrada (realimentação)
Bibliografias
 Internet, http://www.univasf.edu.br/~edmar.nascimento/analise/sistemas 2009-1.pdf, 27/03/14 (data de acesso)
 Livro Sinais e Sistemas, Simon Haykin
 internet, http://users.isr.ist.utl.pt/~jsm/teaching/ss/2_SLITs.pdf, Jorge S. Marques - 30/03/2014 (data de acesso)
 Internet, www.matematiques.com.br/arquivos/doc_modelagem__492246747.ppt ,
31/03/2014 (data de acesso)