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Séries e Transformada de Fourier - Conversor Analógico-Digital 
Alexsandro Carlos de Oliveira1 
Maria Cristina Tagliari Diniz2 
Daniel de Oliveira3 
 
1. FASE 
1.1 Séries e Transformada de Fourier 
A transformada de Fourier encontra o conjunto de velocidades, intensidades e 
fases para se igualar a qualquer Sinal (função) de tempo. 
O interesse em métodos de processamento digital de imagens vem 
principalmente de duas áreas de aplicações: melhoria de informação (imagem) para 
interpretação humana, e processamento de dados (imagens) em computador, e vem 
crescendo com aplicações no Programa Espacial, na Medicina, Arqueologia, Física, 
Astronomia, Biologia, Indústria etc. O termo imagem refere-se a uma função de 
intensidade de luz bi-dimensional f(x,y), onde x e y são coordenadas espaciais e o 
valor de f em um ponto qualquer (x,y) é proporcional ao brilho ou nível de cinza da 
imagem naquele ponto. Uma imagem digital é uma imagem f(x,y) discretizada no 
espaço e na intensidade de brilho e pode ser considerada uma matriz, cujos elementos 
são chamados de "pixels" ("picture elements"). A Transformada de Discreta de Fourier 
Bi-dimensional (Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático francês - 1768 a 1830) é 
uma ferramenta matemática de grande aplicabilidade na solução dos problemas de 
processamento digital de imagens (sinais bi-dimensionais) pois, muitas vezes, é 
conveniente a mudança do domínio do tempo ou espaço (x,y) para o domínio da 
freqüência facilitando, assim, o seu processamento. 
 
1.2 Conversor Analógico-Digital 
O conversor analógico-digital (frequentemente abreviado por conversor A/D ou 
ADC) é um dispositivo eletrônico capaz de gerar uma representação digital a partir de 
 
1Acadêmico do curso de Engenharia Elétrica, Mecatrônica Centro Universitário ENIAC. e-mail: acoflorestal@gmail.com 
2 Acadêmico do curso de Engenharia de Produção, Centro Universitário ENIAC. e-mail: e-mail_pessoal@gmail.com 
3Professor Doutor (ou Mestre ou Especialista) dos cursos de Engenharia, Centro Universitário ENIAC. e-
mail:email_do_professor@servidor.com 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Digital
mailto:acoflorestal@gmail.com
mailto:e-mail_pessoal@gmail.com
mailto:email_do_professor@servidor.com
 
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uma grandeza analógica, normalmente um sinal representado por um nível de tensão 
ou intensidade de corrente elétrica. 
O processo de conversão A/D é mais complicado e mais demorado do que o 
processo de conversão D/A, havendo uma grande variedade de métodos para realizar 
tal conversão. 
O circuito do conversor é composto por um contador de década que gera o 
código BCD 8421 nas saídas A', B', C' e D'. As saídas entram em um conversor D/A, 
fazendo com que apresente na saída uma tensão de referência, a qual é injetada em 
uma das entradas de um circuito comparador constituído por um amplificador 
operacional. Na outra entrada têm-se o sinal analógico a ser convertido. 
 
1.2.1 Conceitos do Conversor - Anti-Aliasing 
Como os conversores são limitados em banda, ou seja, trabalham apenas em 
uma faixa específica de freqüência(1 a 10kHz), normalmente [0,fN], onde fN 
representa o dobro da freqüência do maior sinal passível de ser adquirido (fN/2 - 
freqüência de Nyquist), normalmente utiliza-se um filtro passa-baixas com a finalidade 
de evitar que amplitudes de harmônicas de alta freqüência apareçam na entrada do 
conversor. 
 
1.2.2 Estudo Comparativo 
Sinais gerados por circuitos analógicos são muitas vezes processados por 
circuitos digitais, por exemplo, por um microcontrolador ou por um microcomputador. 
Para processar sinais analógicos usando circuitos digitais, deve-se efetuar uma 
conversão para essa última forma, a digital. Tal conversão é efetuada por um 
Conversor Analógico-Digital ("A/D converter" ou ADC). 
O sinal recebido, depois de digitalizado, é processado e, na maioria das vezes, 
será utilizado para atuar sobre o circuito analógico que gerou o sinal original ou até 
mesmo sobre outro circuito. 
Por isso, um sinal na forma digital, para ser processado por um bloco funcional 
analógico, deve ser previamente convertido (ou reconvertido) para a forma analógica 
equivalente. 
 
1.2.3 Tipos de conversores A/D - Conversor em Rampa 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Anal%C3%B3gico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Conversor_digital-anal%C3%B3gico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Amplificador_operacional
https://pt.wikipedia.org/wiki/Amplificador_operacional
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Nyquist
https://pt.wikipedia.org/wiki/Conversor_Anal%C3%B3gico-Digital
https://pt.wikipedia.org/wiki/Conversor_Anal%C3%B3gico-Digital
 
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De um modo geral os conversores A/D podem ser divididos em alguns tipos 
técnicos, conforme as suas características fundamentais de conversão: 
O conversor em rampa é um conversor A/D simples e que pode ser projetado 
para que tenha uma alta resolução. Quando a taxa de amostragem não necessita ser 
elevada mas não dispensa alta resolução, este tipo de conversor é a melhor opção. O 
funcionamento deste dispositivo baseia-se na integração de sinais e seus 
componentes básicos são: um comparador, um contador e um integrador de Miller. 
Figura 1. Conversor A/D do tipo rampa com contador 
 
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Conversor_anal%C3%B3gico-digital (2017) 
 
Esse é seu princípio de funcionamento: primeiramente se integra o sinal de 
entrada (Vin) durante um tempo fixo, posteriormente move-se a chave presente na 
entrada do integrador para o ponto onde está conectada a tensão referência 
conhecida (Vref), de sinal contrário em relação à tensão de entrada, nesta fase faz-se 
a integração da Vref que se volte ao estado inicial, ou seja, tensão nula na saída do 
integrador. O contador citado anteriormente como um dos componentes básicos deste 
tipo de conversor é responsável por determinar o tempo da rampa de subida 
(integração de Vin) e realizar a contagem do tempo de descida (integração de Vref). 
 
1.2.4 Conversor de Aproximação Sucessiva 
O conversor SAR ADC (ou conversor de aproximação sucessiva) representam 
a maior parte de conversores de resoluções médio-grande. Eles possuem pouco 
consumo de energia, uma alta resolução e precisão, e o fato de serem fisicamente 
pequenos também ajuda. Devido a esses benefícios os ADCs SAR podem ser 
integrados com outras funções maiores. 
 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Conversor_A-D.gif
 
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Figura 2. Conversor de aproximação sucessiva 
 
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Conversor_anal%C3%B3gico-digital (2017) 
 
As suas maiores limitações são as pequenas taxas de amostragem, uma 
resolução limitada devido aos limites do DAC e comparador, e tambem o fato de seu 
tamanho aumentar com o número de bits. É ideal para sistemas com dados de 
multicanais e frequências de amostras abaixo de 10MHz e resoluções entre 8 e 16 
bits. 
Seus circuitos são mais complexos do que os do conversor em rampa, porém 
seu tempo de conversão é muito menor, o que torna seu uso bastante atrativo. Além 
disso, os conversores A/D por aproximações sucessivas têm um tempo de conversão 
fixo, que não depende do sinal analógico presente em sua entrada. O esquema básico 
deste conversor é similar ao do conversor em rampa. 
No entanto o conversor A/D por aproximações sucessivas não utiliza um 
contador para gerar a entrada do conversor D/A, usando, em seu lugar, um registrador 
comum. A lógica de controle modifica o conteúdo deste registrador bit a bit, até que o 
dado armazenado no registrador seja equivalente à entrada VA, dentro da resolução 
do conversor. 
 
1.2.5 Paralelo ou Flash 
Os conversores tipo paralelo têm como circuito básico de entrada um pré-
amplificador e um latch, que atuam juntos em uma configuração de circuito 
comparador. Na saída dos comparadores é necessária a colocação de um circuito de 
codificação que irá receber os sinais dos comparadores e codificar o sinal de saída 
em código binário (ou“GRAY”). 
A grande vantagem do conversor A/D paralelo é a grande rapidez na 
conversão, porque o sinal analógico de entrada é comparado diretamente e 
simultaneamente com cada nível de voltagem de referência em comparadores 
distintos. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Conversor_aproxima%C3%A7%C3%A3o_sucessiva.gif
 
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Figura 3. Conversor A/D de 7 comparadores 
 
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Conversor_anal%C3%B3gico-digital (2017) 
A grande dificuldade ou desvantagem dos conversores A/D paralelo é o 
aumento do número de comparadores de latch e complexidade do codificador à 
medida que se aumenta a resolução, isso ocasiona um enorme aumento na área de 
silício e consumo de potência, devido ao grande número de componentes. 
O conversor A/D paralelo é o mais rápidos dentre todos os tipos de conversores 
e normalmente é construído utilizando-se a versão mais rápida de uma determinada 
tecnologia, mas é expressivamente caro, visto que necessita de 2ⁿ-1 comparadores 
para um conversor de n bits. 
 
 
2. FASE 
2.1 Função Exponencial 
2.1.1 Função onde a variável está no expoente 
A função exponencial representa uma relação de dependência. Nesse tipo de 
operação matemática existe uma variável (incógnita) no expoente e o número real 
(maior que zero e diferente de um) na base. Tal função, é explicitada da seguinte 
forma: f: R-->R tal que y = aˣ, sendo que a > 0 e a ≠ 1. 
Confira abaixo alguns exemplos de funções exponenciais: 
y = 7ˣ + 1 
y = 2ˣ + 2 
y = 0,5ˣ 
y = 3ˣ 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Conversor_a-d_flash.gif
 
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Quanto a seu uso, a função exponencial pode auxiliar na realização de diversos 
cálculos, por exemplo: crescimento populacional, evolução de capital por juros 
compostos, decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de 
bactérias em uma colônia, etc. 
 
2.1.2 Propriedades da função exponencial 
As funções exponenciais possuem algumas propriedades relacionadas à 
potenciação, além de características que ajudam na realização de cálculos. Confira 
abaixo: 
 
1ª propriedade: se x = 0, logo f(x) = 1 
Essa propriedade abrange noções de potenciação, onde todo número elevado 
a 0 é igual a 1. Observe a função f(x) = 3ˣ, onde que x = 0: 
f(x) = 3ˣ 
 
f(0) = 3⁰ 
 
f(0) = 1 
 
2ª propriedade: se a > 1, a função será crescente 
Uma função é caracterizada como crescente, se aˣ¹ < aˣ² e, sempre, que a >1, 
independentemente do valor de x. Observe a função f(x) = 2ˣ, onde a = 2 e como a 
função é crescente teremos x₁ = 1 e x₂ = 2: 
 
aˣ¹<aˣ² 
2¹<2² 
2 < 4 
3ª propriedade: se 0 < a < 1, a função será decrescente 
Essa propriedade é parecida com a anterior, mas a expressão x₁ < x₂ e 0 < a < 
1, origina aˣ¹ > aˣ². Observe o exemplo da função f(x) = 0,5x, em que a = 0,5 e como 
a função é decrescente teremos x₁ = 1 e x₂ = 2. 
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/juros-compostos
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/juros-compostos
 
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x₁ < x₂ 
 
aˣ¹ > aˣ² 
 
0,5¹ > 0,5² 
 
0,5 > 0,25 
 
4ª propriedade: sempre que x₁ = x₂, aˣ¹ = aˣ² 
Todas as vezes que houver um sinal de igual entre as potências, os expoentes 
também devem apresentar o mesmo resultado. Observe a função f(x) = 7x, onde f(x₁) 
= 49 e f(x₂) = 49: 
f(x₁) = f(x₂) 
 
aˣ¹ = aˣ² 
 
7ˣ¹ = 7ˣ² 
Como o resultado das duas potências é igual a 49, x₁ e x₂ devem ser: 
x₁ = x₂ = 2 
 
3. FASE 
3.1 Gráfico da função exponencial 
A função exponencial pode ser representada através de um gráfico traçado a 
partir de pontos no plano cartesiano. Como nesse tipo de função a base é maior que 
0, a imagem será positiva e não existirão pontos nos quadrantes III e IV - que 
caracterizam uma imagem negativa. 
Este gráfico sempre estará abaixo do eixo x no plano cartesiano. Deste modo, 
quando a função é decrescente, os valores de y aproximam-se de zero na medida que 
o valor de x cresce. Já na função crescente, se x cresce y também cresce. 
Para construir o gráfico da função é necessário atribuir valores para x e montar 
uma tabela com os respectivos valores de f(x), marcando os pontos no plano 
cartesiano e, por fim, traçar a curva do gráfico. 
 
 
 
 
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/plano-cartesiano
 
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Observe abaixo os gráficos das funções crescente e decrescente: 
 
Gráfico da função crescente. (Foto: Educa Mais Brasil) 
 
Gráfico da função decrescente. (Foto: Educa Mais Brasil) 
Mostra-se que o número máximo de harmônicas representáveis em tempo 
discreto é igual ao período do sinal. Com essa observação derivamos, por analogia 
com o caso contínuo, as equações de análise e de síntese da Série de Fourier em 
tempo discreto. 
 
 
 
 
 
 
https://m.youtube.com/watch?v=MnxffUdZmsI
 
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Figura 4: Série de Fourier em Tempo Discreto (ELT007, ELT060, ELT088) 
 
 
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Conversor_anal%C3%B3gico-digital (2017) 
 
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
As séries de Fourier são uma ferramenta que permite representar um sinal 
periódico como uma soma infinita de componentes senoidais (senos e cossenos). As 
séries de Fourier são utilizadas para transformar para o domínio da frequência um 
sinal representado originalmente no domínio do tempo. Essa mudança de domínio 
pode trazer grande vantagem para análise, principalmente quando certas 
características do sinal não forem observáveis no domínio original. Muitas áreas da 
Engenharia, por exemplo Telecomunicações, têm nas séries de Fourier uma poderosa 
ferramenta de trabalho. O principal equipamento utilizado para este fim é o analisador 
de espectros. 
A transformada de Fourier, epônimo a Jean-Baptiste Joseph 
Fourier, decompõe uma função temporal (um sinal) em frequências, tal como um 
acorde de um instrumento musical pode ser expresso como a amplitude (ou volume) 
das suas notas constituintes. 
 
 
https://m.youtube.com/watch?v=MnxffUdZmsI
https://m.youtube.com/watch?v=MnxffUdZmsI
 
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5. FONTES CONSULTADAS 
 
A teoria analítica do calor de Joseph Fourier: uma análise das bases conceituais e 
epistemológicas Anderson Pifer , Katya Margareth Aurani Revista Brasileira de 
Ensino de Física, v. 37, n. 1, 1603 (2015) 
Telecomunicações – Sistemas Analógico-Digitais Marcelo P. Ribeiro e O. 
 Barradas Embratel Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. 1980 3. 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Depto de 
Engenharia Mecatrônica Sistemas Dinâmicos II para Mecatrônica Profa. Larissa 
Driemeier 
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/2247566/mod_resource/content/1/Mat 
erial_Aulas01e02.pdf 
Gonzales, R.C., Woods, R.E., Digital Image Processing, USA: Addison-Wesley 
Pubisshing Company, 1993. 
Carlson, A .B., Sistemas de Comunicação: uma introdução aos sinais e ruídos em 
comunicação elétrica, São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1981. 
 Pratt, W.K., Digital Image Processing, USA: John Wiley & Sons, Inc., 1991.