Apostila completa 2017

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1 
 
ÍNDICE 
 
CONTEÚDO Página 
Análise Combinatória 179 
Arranjo Simples 186 
Cálculo Algébrico 62 
Equação da Circunferência 372 
Equações do 2° grau 66 
Equações Exponenciais 107 
Equações Irracionais 69 
Equações Modulares 127 
Equações Polinomiais 397 
Estatística 212 
Fatoração de Polinômios 70 
Funções 76 
Função afim (1° grau) 89 
Função definida por mais de uma sentença 120 
Função Exponencial 108 
Função Logarítmica 114 
Função quadrática (2° grau) 98 
Geometria Analítica 349 
Geometria Espacial de Posição 305 
Geometria Espacial ( Prismas ) 309 
Geometria Plana 239 
Logaritmos 112 
Matemática Comercial 37 
Matemática Financeira 144 
Matrizes, Determinantes 154 
Números Complexos 382 
Números Inteiros 21 
Números Irracionais 30 
Números Naturais 10 
Números Racionais 22 
Números Reais 31 
Poliedros 305 
Polinômios 392 
Probabilidade 199 
Progressões 132 
Progressão Geométrica 138 
Sistemas Lineares 169 
Teoria dos Conjuntos 4 
Teoria Elementar dos Números 10 
Translação e Rotação de Eixos 121 
Trigonometria 288 
 
 
 
 
2 
 
CALENDÁRIO 2017 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
3 
 
HORÁRIO DE ESTUDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
CONCEITOS PRIMITIVOS 
 
 A idéia de conjunto é a mesma de coleção, conforme 
mostram os exemplos a seguir. 
 
Exemplos 
a) Uma coleção de revistas é um conjunto. Cada 
revista é um elemento desse conjunto. 
b) Os alunos de sua sala de aula formam um 
conjunto. Você é um elemento desse conjunto. 
 
* Em geral, um conjunto é denotado por uma letra 
maiúscula do alfabeto; e o elemento de um conjunto, é 
denotado por uma letra minúscula do alfabeto. 
 
REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO 
 
Tabular (enumeração dos elementos) 
 
 Os elementos do conjunto são representados entre 
chaves e separados por vírgulas. 
 
Exemplo: A = {a, e, i, o, u} 
 
Por uma propriedade 
 
 O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades: 
Exemplo: A = {x / x é uma vogal} 
 
Por um diagrama de Venn-Euler (lê-se: "Ven-óiler") 
 
 A representação de um conjunto por uma diagrama de 
Venn é aquela em que os elementos são simbolizados por 
pontos interiores a uma região plana, delimitada por uma 
linha fechada que não se entrelaça. 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA 
 
 É a relação existente entre o elemento e o conjunto do 
qual pertence. 
 Notação: Pertence 

 
 Não pertence 
 
 
Exemplo: Quando um elemento a pertence a um 
conjunto B, indicamos: 
a 

 B 
 
 Quando um elemento c não pertence a um 
conjunto B, indicamos: 
c 

 B 
 
SUBCONJUNTOS 
 
 Um conjunto B é subconjunto de um conjunto A se, 
e somente se, todo elemento de B pertence a A. 
 Notação: B

A ( B está contido em A ) 
 A

B ( A contém B) 
 
Exemplo 
 Se B = {1, 2, 3} e A = {1, 2, 3, 4, 5} , então B

A 
ou A

B, já que todo elemento de B também é 
elemento de A. Neste caso , B é subconjunto de A. 
 
* Todo conjunto é subconjunto dele mesmo. 
 
TIPOS ESPECIAIS DE CONJUNTOS 
 
Conjunto Unitário 
 
 É o conjunto que possui um único elemento. 
 
Conjunto Vazio 
 
 É todo conjunto que não tem elementos. 
Representamos o conjunto vazio por { } ou  . 
 
Conjunto Universo (U) 
 
 É um conjunto que contém todos os elementos do 
contexto no qual estamos trabalhando e também 
contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto 
universo é representado por uma letra U. 
Conjunto das Partes 
 
 Dado um conjunto A qualquer, pode-se obter um 
outro conjunto, cujos elementos são todos os possíveis 
subconjuntos do conjunto A. Este conjunto, 
representado por P(A), é denominado conjuntos das 
partes de A. 
 Se um conjunto A qualquer possui N 
elementos,então P(A) terá 2
n
 elementos: 
n(A) = n 
 n(P(A)) = n2 
A .a 
 .e 
.i .o 
.u 
 
 
5 
 
Exercício resolvido 
 
1. ( UEPI ) Seja o conjunto A = { 0, {0}, 1, {1}, {0, 1} }. É 
correto afirmar que: 
a) 0  A 
b) { 0, 1 }  A 
c) { 0, 1 }  A 
d) Os elementos de A são 0 e 1 
e) O número de subconjuntos de A é 2
2
 = 4 
 
 
 
 
Exemplo 
Obtenha o conjunto das partes do conjunto A= {2; 5; 6}: 
 P(A) = 2
n
 P(A) = 2
3
 P(A) = 8 subconjuntos 
São eles: 
 P(A) = {{2}; {5}; {6}; {2; 5}; {2; 6}; {5; 6}; {2; 5; 6}; { }} 
 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
Interseção De Conjuntos 
 Dados os conjuntos A e B, define-se como conjunto 
representado por 
BA
, formado por todos os elementos 
pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: 
}/{ BxeAxxBA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 Se A = {1, 2, 3, 8, 9,} e B = {2, 3, 4, 7, 9} , temos que : 
 9 3, 2,BA
 
 
União De Conjuntos 
 Dados os conjuntos A e B, define-se como união 
dos conjuntos A e B ao conjunto representado 
por BA , formado por todos os elementos 
pertencentes a A ou B, ou seja: 
}/{ BxouAxxBA 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 Se A = {a, e, i} e B = {i, o, u} , temos que : AUB= {a, 
e, i, o, u} 
 
 
Diferença De Conjuntos 
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença 
entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado 
por 
BA 
, formado por todos os elementos 
pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou 
seja : 
},/{ BxAxxBA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: A = {x, y, z, w} e B= {a, b, x, y}, temos que : 
 wzBA ,
 
 
 
Conjunto Complementar 
 O complemento do conjunto B contido no conjunto 
A, denotado por 
B
AC
, é a diferença entre os conjuntos 
A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos 
que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao 
conjunto B. 
 BAC = A – B = {x / x  A e x  B} 
 
 
 
 
 
Exemplo 
A 
B 
B
AC
 
A B 
BA 
 
A B 
BA
 
A B 
BA
 
 
 
6 
 
 Se A={1, 2, 3} e B={1, 2, 3, 4, 5}, então 
 
A
BC
= B – A = {4, 5} 
 
Observe que, no exemplo acima, não existe 
B
AC
, pois para 
existir ,B deveria estar contido em A. 
 
 
Complementar em relação ao universo U 
 
 Quando tivermos um conjunto universo U previamente 
fixado, indicaremos o complementar de A em relação a 
U simplesmente por 
A
 em vez de 
A
UC
. 
 
EXERCÍCIOS 
 
01.Se A = {2, 3, 6, 7, 8}, B = {1, 2, 3, 6, 8,9} e C = {0, 4, 6, 
8}, então determine : 
 
a) A – (B ∩ C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) (A – B) ∩ (C – A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) (A ∩ C ) ( B – C ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE 
CONJUNTOS 
 
Com dois conjuntos 
 
)()()()( BAnBnAnBAn 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício resolvido 
 
01. Em uma classe de 48 alunos, cada aluno 
apresentou um trabalho sobre ecologia, tendo sido 
indicado dois livros sobre esse assunto. O livroA foi 
consultado por 26 alunos e o livro B por 28 alunos. 
Pergunta-se: 
 
a) Quantos alunos consultaram os dois livros? 
 
b) Quantos alunos consultaram apenas o livro A? 
Resolução: 
 
 
?)(
)(
)(




BAn
BlivrooleramBn
AlivrooleramAn
livrosdoisosBAn
 
 
 
 
 
a) solução 
 
64854)BA(n
)BA(n282648
)BA(n)B(n)A(nBAn


 
 
 
 
b) solução 
 
26 alunos consultaram o livro A, porém 6 leram A e B, 
logo os que leram apenas o livro a será: 
 
26 - 6 = 20 
 
 
 
B
AC
BA  BA AB 
A 
B 
AB 
 
 
7 
 
Com três conjuntos 
 
)CBA(n)CB(n)CA(n
)BA(n)C(n)B(n)A(n)CBA(n


 
 
Exercício resolvido 
 
01. Desejando verificar qual o jornal preferido pela 
população de uma cidade, foi apresentado o resultado de 
uma pesquisa: 
 
 
Pergunta-se: 
Júlio César Oliveira 
a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal A? 
 
b) Quantas pessoas lêem o jornal A ou B? 
 
c) Quantas pessoas não lêem o jornal C? 
 
d) Quantas pessoas foram consultadas? 
 
Solução: 
Vamos recorrer aos diagramas, observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)( tabelaverCBA 40
 
Na região complementar colocamos 150 (não leram 
nenhum dos 3 jornais) 
Como 
70 )( BAn
e já foram colocados 40 leitores, 
restam 30 para completar 
)( BA 
. Da mesma forma: 
25406540  )( CAn
 
654010540  )( CBn
 
 
Para completar o conjunto A, devemos Ter: 
205 95300254030300 )(
 
 
Da mesma forma: 
70130200130
115135250135


)(
)(
Cn
Bn
 
 
Respostas de: 
 
a) 205 lêem apenas o jornal A 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
500 15011530205
 
 
 
d) 
700 4065257015011530205
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Uepi – PI 
O número de subconjuntos de A = {1, 2, 3, 4}, exceto 
o conjunto vazio é: 
a) 15 
b) 16 
c) 25 
d) 31 
e) 63 
 
 
02. PUC - MG 
Se A = { {}, , {0} }, podemos afirmar que: 
A) {}  A 
B) {0}  A 
C) {} =  
D) { {0},  }  A 
E) { {0},  }  A 
 
 
03. PUC – MG 
Seja o conjunto A = { x, y, {x} } e as proposições: 
(I) x  A 
(II) {x}  A 
(III) {x}  A 
(IV)   A 
A) Apenas (I) e (II) são verdadeiras 
B) Apenas (II) e (IV) são verdadeiras 
C) Todas as proposições são falsas 
D) Todas as proposições são verdadeiras 
 
 
  480BAn
BAnbnAnBAn


70250300
)()()(
 
U 
A B 
C 
205 115 
25 
70 
65 
40 
30 
150 
 
 
8 
 
04. UFLA 
Se n é o número de subconjuntos não-vazios do conjunto 
formado por cinco algarismos ímpares, então, n vale: 
a) 63 
b) 24 
c) 31 
d) 32 
 
 
05. UFLA 
Considere o conjunto A = {1, 2, 5, 8, {5}, {1, 2} }. Então a 
alternativa correta é: 
a) 1  A, 5  A, {5}  A, {1, 5}  A 
b) 5  A, {5}  A, {5}  A, {{5}}  A 
c) {1, 2}  A, {1, 2, 5}  A, 8  A, {8}  A 
d) 1  A, 2  A, 8  A, {1, 2, 8}  A 
e)   A,   A, {1, 2, 5}  A, {}  A 
 
06.(PUC-MG) Em um grupo de n crianças, 80 receberam a 
vacina de Sabin, 58 receberam a vacina contra sarampo, 
36 receberam as duas vacinas e 15% não foram 
vacinadas. O valor de n é: 
a) 117 
b) 120 
c) 135 
d) 143 
e) 179 
 
07. PUC – MG 
Se A = { , 3, {3}, {2, 3} }, então: 
A) {2, 3}  A 
B) 2  A 
C)   A 
D) 3  A 
E) {3}  A 
 
08. UFOP – MG 
Sejam os conjuntos A, B, e C, apresentados no diagrama 
abaixo: 
 
 
 
A) (A – B)  (A – C) 
B) (A  B)  (A – B) =  
C) (A  B  C)  (A – B) 
D) (A – C)  (A – B) 
E) A  B  A 
 
 
 
 
10.(ESAF/AFC) Considere dois conjuntos, A e B, onde 
A = {X1, X2, X3, X4} e B = {X1, X5, X6, X4}. Sabendo-
se que a operação Ψ é definida por AΨB = (A–B)U(B–
A), então a expressão (AΨB)ΨB é dada por: 
A) { X1, X5, X4} 
B) { X1, X2} 
C) { X1, X2, X3, X4} 
D) {X4, X6, X5} 
E) {X1, X6} 
 
11. (Esaf - ANEEL) X e Y são dois conjuntos não 
vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O 
conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. 
Sabe-se, também, que o conjunto 
YXZ 
 possui 2 
elementos. Desse modo, conclui-se que o número de 
elementos do conjunto P = Y – X é igual a: 
A) 4 
B) 6 
C) 8 
D) vazio 
E) 1 
 
12.(F.C.C.-SP) Se 
}}3,2{},3{,3},{{A 
, então 
A) {2, 3}  A 
B) 2  A 
C) { }  A 
D) 3  A 
E) {3}  A 
 
13.(Cesgranrio) Em uma universidade são lidos dois 
jornais A e B . Exatamente 80% dos alunos lêem o 
jornal A ; e 60% , o jornal B .Sabendo que todo aluno é 
leitor de pelo menos um dos jornais , o percentual de 
alunos que lêem ambos é : 
A) 48% 
B) 140% 
C) 60% 
D) 80% 
E) 40% 
 
14. (UFMG) Em uma escola , 5000 alunos 
inscreveram-se para cursar as disciplinas A e B . 
Desses alunos , 2825 matricularam-se na disciplina A e 
1027 na disciplina B . por falta de condições 
09. UFJF 
A 
C 
B 
 
 
9 
 
acadêmicas , 1324 alunos não puderam matricular-se em 
nenhuma das disciplinas . O número de alunos 
matriculados , simultaneamente , nas duas disciplinas, é : 
A) 156 
B) 176 
C) 297 
D) 1027 
E) 1798 
 
15.(UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos 
estes dados: 
 
- 40% dos entrevistados lêem o jornal A. 
- 55% dos entrevistados lêem o jornal B. 
- 35% dos entrevistados lêem o jornal C. 
- 12% dos entrevistados lêem os jornais A e B. 
- 15% dos entrevistados lêem os jornais A e C. 
- 19% dos entrevistados lêem os jornais B e C. 
- 7% dos entrevistados lêem os três jornais. 
- 135 pessoas entrevistadas não lêem nenhum dos três 
jornais. 
 
Considerando-se esses dados, é CORRETO afirmar que 
o número total de entrevistados foi 
 
A) 1 200. 
B) 1 500. 
C) 1 250. 
D) 1 350 
 
16.(UESC) No diagrama de Venn, a região sombreada 
representa o conjunto: 
 
 
 
01) C  (B – A) 
02) C – (A  B  C) 
03) C – (A  B) 
04)
  ABC 
 
05)
  ABC 
 
 
17.(CFO/PM 2009)Sejam C, F e O os conjuntos tais que: 
 
Os elementos do conjunto O são: 
A) {3,4,6,8,9,10} 
B) {1,2,9,10} 
C) {3,4,6,8,9} 
D) {9,10} 
18. (FASA - 2015) Dos pacientes que tomam certo 
medicamento, um quarto apresenta insônia ou 
taquicardia como efeitos colaterais, sendo que os que 
têm insônia são três vezes mais numerosos que 
aqueles com taquicardia. 
Se 5% dos pacientes apresentam ambos os 
problemas,então a porcentagem que tem apenas 
insônia é 
01) 22,5% 
02) 17,5% 
03) 12% 
04) 7% 
05) 2,5% 
 
 
19. (FIP/2017.1) ELEIÇÕES MUNICIPAIS 2016 
Uma pesquisa, realizada por um estatístico sobre as 
intenções de votos à prefeitura de uma cidade, 
apresentou os seguintes resultados: 
• 670 pessoas votariam no candidato A. 
• 720 pessoas votariam no candidato B. 
• 810 pessoas votariam no candidato C. 
• 150 pessoas estão com dúvida se votam no candidato 
A ou no candidato B. 
• 200 pessoas não sabem se votam no candidato A ou 
no candidato C. 
• 300 pessoas disseram votar no candidato B ou no 
candidato C. 
• 50 pessoas disseram simpatizar com os três 
candidatos, mas ainda não se decidiram. 
• Das pessoas entrevistadas 200 disseram que 
anulariam seu voto. 
Escolhendo aleatoriamente uma pessoa, dentre as 
entrevistadas, afirma-se: 
I. A probabilidade de essa pessoa estar entre as que 
anulariam seu voto é 1/9. 
II. A probabilidade de essa pessoa estar decidida a 
votar apenas no candidato A é maior que a 
probabilidade de ela estar decidida a votar apenas no 
candidato B. 
III. É mais provávela pessoa escolhida estar decidida a 
votar apenas no candidato C do que votar apenas no 
candidato A. É correto o que se afirma em: 
A) II apenas. 
B) I apenas. 
C) I e II apenas. 
D) II e III apenas. 
E) I, II e III. 
 
 
 
20. (FIP/2017.1) Uma instituição de Ensino Superior 
realizou uma pesquisa com estudantes de Medicina 
para saber quais são suas principais escolhas nas 
provas de Residência Médica. Nessa pesquisa, dentre 
as diversas especialidades, o estudante indicava sua 
preferência em pelo menos três. O resultado da 
pesquisa foi consolidado da seguinte maneira: 
 
 
 
10 
 
 
 
18 estudantes escolheram especialidades diferentes da 
Dermatologia, Oftalmologia e Otorrinolaringologia. Em 
relação à quantidade de estudantes: 
A) 32 escolheram apenas oftalmologia. 
B) 20 escolheram apenas dermatologia. 
C) 10 escolheram apenas Otorrinolaringologia. 
D) 300 foram entrevistados na pesquisa. 
E) 282 foram entrevistados na pesquisa. 
 
 
 
GABARITO 
 
01. A 
02. E 
03. D 
04. C 
05. B 
06. B 
07. E 
08. B 
09. A 
10. C 
11. B 
12. E 
13. E 
14. B 
15. B 
16. 01 
17. A 
18. 02 
19. C 
20. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS 
 
1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ( ) 
 
A idéia de número natural surgiu da necessidade 
de contar objetos. Tal fato deu origem, inicialmente, 
aos números 1, 2, 3, 4, 5, ...e, posteriormente, ao 
número zero. 
Portanto, chamamos conjunto dos números 
naturais o conjunto 
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 
O conjunto dos números naturais não-nulos é 
representado por IN*. Logo 
 
IN* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 
Propriedades 
 
P1. A soma de dois números naturais quaisquer é um 
numero natural. 
 
P2. O produto de dois números naturais quaisquer é 
um numero natural. 
 
 
POTENCIAÇÃO EM 
 
Sendo a
n
, n  IN, definimos a potenciação em IN 
da seguinte maneira: 
 
I. a
0
 = 1, a  0 
II. a
1
 = a 
III. 

fatores n
n a...aaaa 
, n  2 
 
Se a
n 
= b, o número a é denominado base, o 
número n é o expoente e o resultado b é a potência. 
Não se define 0
0
. 
 
Exemplos: 
 5
3
 = 5. 5. 5 =125 
 27
1
 = 27 
 16
0
 = 1 
 2
7
 = 2 . 2. 2. 2. 2. 2. 2 =128 
 
A potenciação possui algumas propriedades 
importantes, que apresentamos a seguir. 
 
nmnm aaa  
nm
n
m
a
a
a 
, com a  0 
  nmnm aa 
 
  nnn baba 
 
 
 
11 
 
n
nn
b
a
b
a






, b  0
 
Aplicação: 
 
Simplifique a expressão 
 








46
8224
423
824
42
8024
32
2323
32
21323
38
2563
.
.)(
 
24
46
610
32
32
32



.
 
 
 
DIVISÃO COM RESTO ( DIVISÃO EUCLIDIANA ) 
Definida em IN, a divisão com resto, então sejam a  
IN e b  IN com b  0. Dividir a por b é encontrar dois 
números q  IN e r  IN tais que: 
 
 
 
 
O número “a” é o dividendo, “b” é o divisor, “q” é o 
quociente e “r” é o resto da divisão. 
Observe que o resto “r” deve ser menor que o divisor 
“b”. 
 
Exemplo: 
 Na divisão de 34 (dividendo) por 5 (divisor), o 
quociente é 6 e o resto é 4. 
 
 porque 6 . 5 + 4 = 34 e 4 < 5. 
 
 Se na divisão de a por b  0 encontramos r = 0, 
concluímos que a = b . q, que temos uma divisão exata e 
ainda, que a é divisível por b. 
 Dizemos, então, que a divisão de a por b é exata ou, 
Podemos afirmar ainda, neste caso, que a é múltiplo de 
b e que b é divisor de a. 
a de divisor é b
b de múltiplo é a
qba 
 
 O maior resto possível de uma divisão exata será 
sempre o Divisor menos uma unidade. 
 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
 São critérios que nos permite verificar se um número é 
divisível por outro sem precisarmos efetuar grandes 
divisões. 
 
Por 2: Se termina em número par. 
 
Por 3: Se a soma dos algarismos é múltiplo de 3. 
 
Por 4: Se seus dois últimos algarismos é 00 ou é um 
múltiplo de 4. 
 
Por 5: Se termina em 0 ou em 5. 
 
Por 6: Se é divisível por 2 e por 3. 
 
Por 7: Separa-se o algarismo das unidades do 
restante, então a diferença entre esse número e o 
dobro do algarismo das unidades, tem que ser divisível 
por 7. 
 
 
 
Por 8: Se seus três últimos algarismos é 000 ou 
formar um número divisível por 8. 
 
 
Por 9: Se a soma dos algarismos resultar em um 
número divisível por 9. 
 
 
Por 10: Se terminar em 0. 
 
Por 11: A diferença entre as somas dos algarismos de 
ordem ímpar e de ordem par resulta em um no divisível 
por 11 os números iguais. 
 
 
 
Por 12: Um número será divisível por 12 quando for, ao 
mesmo tempo, divisível por 3 e por 4. 
 
(b.q) + r = a 
 
onde r < b 
 
a b 
q r 
 
 
12 
 
 
Por 15: Um número será divisível por 15 quando for, ao 
mesmo tempo, divisível por 3 e por 5. 
 
TEOREMA 1 
 
 Se dividirmos uma soma e cada uma das parcelas pelo 
mesmo número, a soma dará o mesmo resto que a soma 
dos restos das parcelas. 
Exemplo: 
 
 
TEOREMA 2 
 
 Se dividirmos o produto de vários fatores e cada um 
deles pelo mesmo número, o produto dará o mesmo resto 
que o produto dos fatores. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 Dado um número a  IN, convencionaremos 
representar por D(a) o conjunto dos divisores de a. 
 Para determinar todos os divisores de um número 
natural não nulo é uma tarefa às vezes um pouco 
complexa, principalmente para números maiores. Iremos 
ver alguns processos de determinação mais adiante. 
 Vejamos alguns exemplos simples em que basta 
efetuar divisões elementares: 
 
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
D(14) = {1, 2, 7 , 14) 
D(17) = {1, 17} 
 
 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 Sendo n  IN tal que n  0 e n  1, dizemos que n é 
um número: 
a) Primo se possui apenas os divisores triviais (1 e 
n); 
Pode-se afirmar que, se n é um número primo, ele possui 
apenas 4 divisores inteiros distintos ( 1, – 1, n, – n ) 
 
b) Composto se, além dos divisores triviais (1 e n), 
possui pelo menos um divisor próprio. 
Todo número composto pode ser decomposto em um 
produto de números primos. 
 
Ex.: 12 = 2 . 2 . 3 
Exemplos: 
 2 tem apenas os divisores naturais 1 e 2, portanto 
2 é primo. 
 23 tem apenas os divisores naturais 1 e 23, 
portanto 23 é primo. 
 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 é 
composto. 
 
 Quando um número natural n, n > 1, não é primo 
dizemos que ele é composto. 
 Existem infinitos números primos. 
 
Atenção: 
1 não é um número primo, porque ele tem apenas um 
divisor que é ele mesmo. 
 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA 
 
 Todo número composto é igual a um produto de 
números primos. 
 Quando escrevemos um número composto como 
um produto de números primos, nós dizemos que o 
número dado foi decomposto em seus fatores primos 
ou, ainda, que o número foi fatorado. 
 
Exemplo: Decompor em fatores primos os números 72, 
540 e 1800. 
 
Solução: 
 
Regra: Coloque à direita do traço vertical o menor 
número primo que divide o número dado. Continue 
procedendo do mesmo modo com os quocientes 
obtidos, até encontrar o quociente 1. 
 
 
 Quando um número termina em zeros, podemos 
cancelá-los e substituí-los pelo produto 2
n
 x 5
n
, onde n 
é a quantidade de zeros cortados. Observe: 
 
 
 
13 
 
 
 
 
 
COMO ACHAR OS DIVISORES DE UM NÚMERO 
 
 Na prática determinamos todos os divisores de um 
número utilizandoos seus fatores primos. 
 Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 72: 
 
1º Fatoramos o número 72. 
 
2º Traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque 
ele é divisor de qualquer número. 
 
3º Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos 
divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado 
de cada fator primo(desconsiderando os valores 
repetidos). 
 
 
 
4º Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. 
Então o conjunto dos divisores de 72 é 
 
 
D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} 
 
 
QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO 
 
 Será que é possível descobrir quantos divisores tem 
um número sem determinar antes quais são eles? 
Isso é possível e é outra interessante aplicação da 
fatoração. 
 
Exemplo: 
 
 Vamos descobrir quantos são os divisores 
POSITIVOS de 72 (já sabemos, contando, que são 24). 
O processo, cuja demonstração utiliza noções 
elementares de cálculo combinatório, é o seguinte: 
 
1°) Fatoramos o número: 72 = 2
3
 x 3
2
 
 
2°) Tomamos apenas os expoentes da fatoração: 3 e 2. 
 
3°) Adicionamos 1 (um) a cada expoente: 
 3 + 1 = 4; 2 + 1 = 3; 
 
4°) Multiplicamos os resultados obtidos: 4 x 3 = 12 
 
Conclusão: o número 72 possui 12 divisores 
(positivos ou naturais), conforme já havíamos 
descoberto por mera contagem. 
Obs.: O número 72 possui 24 divisores INTEIROS. 
 
 
REGRA GERAL DE DIVISIBILIDADE 
 
 Sejam a e b dois números, decompostos em seus 
fatores primos. O número a será divisível por b se 
ele contiver todos os fatores primos de b, com 
expoentes maiores ou iguais. 
 
Exemplo 
 
 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
 
 Analise a seguinte situação: deseja-se dividir 3 
toras de madeira, que medem respectivamente 12m, 
18m e 24m, em partes iguais e com maior tamanho 
possível. Qual comprimento deve possuir cada uma 
 
 
14 
 
das partes?
 
Para responder a estas pergunta, devem-se encontrar os 
divisores de 12, 18 e 24? 
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
D(18) = {1, 2, 3, 6, 18} 
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} 
D(12) ∩ M(18) ∩ M(24) = {6} 
Observe que 6 é o maior divisor comum entre 12, 18 e 
24. Logo, cada tora deve possuir comprimento igual a 6 m 
para que todas fiquem no maior tamanho possível. 
 O máximo divisor comum entre dois ou mais números 
naturais não nulos (números diferentes de zero) é o maior 
número que é divisor ao mesmo tempo de todos eles. 
 
PROCESSOS PRÁTICOS PARA DETERMINAR O MDC 
 
I) Regra da decomposição simultânea 
 
 Escrevemos os números dados, separamos uns dos 
outros por vírgulas, e colocamos um traço vertical ao lado 
do último. 
 No outro lado do traço colocamos o menor dos fatores 
primos que for divisor de todos os números de uma só 
vês. 
 O mdc será a multiplicação dos fatores primos que 
serão usados. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
II) Divisões sucessivas 
 
 O cálculo do m.d.c. de dois números pelo processo 
das divisões sucessivas obedece às seguintes regras: 
 
1) Divide-se o maior número pelo menor. 
2) Divide-se o número menor pelo primeiro resto. 
3) Divide-se o primeiro resto pelo segundo resto, e 
assim sucessivamente, até se obter uma divisão exata. 
4) O último divisor é o m.d.c. procurado. 
 
Exemplo: Calcular o m.d.c de 78 e 54. 
 
 
 
 
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI 
 
 Dois números naturais a e b são ditos primos 
entre si ou relativamente primos, se e somente se, o 
MDC(a, b) = 1. 
 
Exemplo: Verifique se 4 e 15 são primos entre si. 
 
 D(4) = {1, 2, 4) e D(15) = {1, 3, 5, 15} 
 Como o único divisor comum de 4 e 15 é 1 então 4 
e 15 são primos entre si. 
 É claro que, sendo a e b primos entre si, MDC (a, b) 
= 1, já que 1 é o único divisor comum. 
 
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO 
 
 Dado um número a IN, convencionaremos 
representar por M (a) o conjunto dos múltiplos de a e 
por D (a) o conjunto dos divisores de a. 
 Na prática, para obter os múltiplos de um número a 
 0, basta multiplicar cada número natural não nulo por 
a. Assim, sendo n uma variável natural não nula, 
podemos escrever, por exemplo: 
 
 
 
15 
 
M(5) = {x  IN / x = 5n} = {5.0, 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, ...)= 
{ 0, 5, 10, 15, 20, ...} 
 
M(7) = {x  IN / x = 7n} = {7.0, 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, ...} = 
{0, 7, 14, 21, 28, ...} 
 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
 
 O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números 
naturais não nulos(números diferente de zero), é o menor 
número que é múltiplo de todos eles. 
 Analise a seguinte situação: 
 Três navios fazem o mesmo percurso entre dois portos: 
o primeiro de 8 em 8 dias. O segundo de 12 em 12 dias e 
o terceiro de 16 em 16 dias. 
 
Tendo saído juntos em certo dia do mês, após quantos 
dias sairão juntos novamente? 
 
 Para responder a essa pergunta, devem-se encontrar 
os múltiplos de 8, 12 e 16. 
 
M(8) = {0, 8,16, 24, 32, 40,48, ....} 
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, ...} 
M(16) = {0, 16, 32, 48, 64, 80, .... } 
 
M(8) ∩ M(12) ∩ M(16) = {48} 
 
Logo, após 48 dias esses navios sairão juntos novamente. 
 
Regra da decomposição simultânea 
 
 Devemos saber que existe outras formas de calcular o 
mmc, mas vamos nos ater apenas a decomposição 
simultânea. 
 
OBS: Esta regra difere da usada para o MDC, fique atento 
as diferenças. 
 
 
Exemplos: 
 
MMC (18, 25, 30) = 720 
 
1º: Escrevemos os números dados, separados por 
vírgulas, e colocamos um traço vertical a direita dos 
números dados. 
 
2º: Abaixo de cada número divisível pelo fator primo 
colocamos o resultado da divisão. Os números não 
divisíveis pelo fator primo são repetidos. 
 
3º: Continuamos a divisão até obtermos resto 1 para todos 
os números. 
 
Observe: 
 
 
 
 
 
Propriedade: Observe, o mmc (10, 20, 100) , note que 
o maior deles é múltiplo dos menores ao mesmo 
tempo, logo o mmc entre eles vai ser 100. 
 
Exemplos: 
 
mmc (150, 50 ) = 150, pois 150 é múltiplo de 50 e dele 
mesmo. 
 
mmc (4, 12, 24) = 24, pois 24 é múltiplo de 4, 12 e dele 
mesmo. 
 
CALCULANDO MDC E MMC PELA FATORAÇÃO 
 
 O cálculo do MDC e do MMC de dois ou mais 
números torna-se extremamente simples quando eles 
se apresentam na forma fatorada, ou seja, 
decompostos em fatores primos. 
 
Basta usar a seguinte regra geral: 
 
MDC - tomam-se apenas os fatores comuns com os 
menores expoentes. 
 
MMC - tomam-se tanto os fatores comuns como os não 
comuns com os maiores expoentes. 
 
 
Exemplos: 
 
Calcular o MDC e o MMC de 1200, 480 e 2520 
 
1°) Fatoramos os três números. 
 
1200 = 2
4
 . 3 . 5
2
 
480 = 2
5 
. 3 . 5 
2520 = 2
3 
. 3
2 
. 5 . 7 
 
 
 
 
 
16 
 
2°) Calculando o MDC 
 
Fatores comuns: 2, 3, 5 com os menores expoentes: 
2
3
. 3 . 5 = 120 
 
3°) Calculando o MMC 
 
Fatores comuns e não comuns: 2, 3, 5, 7 com os maiores 
expoentes: 2
5
 . 3
2
 . 5
2 
. 7 = 50400 
 
Logo, MDC (1200, 480, 2520) = 120 e 
MMC (1200, 480, 2520) = 50400 
 
RELAÇÃO ENTRE MMC E MDC 
 
MMC(a, b) x MDC(a, b) = a x b 
 
Exemplo: 
 
MDC (12, 20) = 4 e MMC (12, 20) = 60 observe que, de 
fato, 4 x 60 = 12 x 20 = 240. 
 
**CURIOSIDADES 
 
Números PRIMOS GÊMEOS 
 
São aqueles que tem diferença 2. 
 
Ex.: 3 e 5, 11 e 13, 59 e 61, 137 e 139, etc. 
 
Números PRIMOS EM SEGUNDO GRAU 
 
 São os quadrados dos números primos e que tem 
apenas três divisores naturais 
 
4 →1, 2, 4 
9 →1, 3, 9 
25 →1, 5, 25 
 
Números AMIGOS OU AMIGÁVEIS 
 
 Se um é a soma dos divisores próprios do outro 
(divisores próprios são todos divisores positivos do 
números,exceto o próprio número). 
 
Ex.: 220 e 284 
 
Números PERFEITOS 
 
 Um número é perfeito se o seu ciclo é de comprimento 
1(um) ou seja, é aquele cuja soma dos seus divisores 
próprios é igual a si mesmo. 
 
6 → 1 + 2 + 3 = 6 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. (CESGRANRIO) Se a
2
 = 99
6
, b
3
 = 99
7
 e c
4
 = 99
8
, 
então (abc)
12
 vale: 
A) 99
12
 
B) 99
21/2
 
C) 99
28
 
D) 99
88 
 
E) 99
99
 
 
02 . ( PUC – MG ) Na divisão do número natural P 
pelo número natural m o quociente é 13 e o resto, 5. 
O menor valor de P é : 
a) 44 
b) 57 
c) 83 
d) 13 
 
03. (UFMG) Na divisão de dois inteiros positivos, o 
quociente é 16 e o resto é o maior possível. Se a soma 
do dividendo e do divisor é 125, o resto é: 
A) 4 
B) 5 
C) 6 
D) 7 
E) 8 
 
04. ( PUC – MG ) Os números M e N são inteiros 
positivos. Na divisão de M por N o quociente é 17 e 
o resto, o maior possível. Se M – N = 407, o resto é: 
a) 24 
b) 23 
c) 21 
d) 18 
e) 16 
 
05. ( UFMG) Um número é da forma 3a7b. Sabendo-
se que este número é divisível por 25 e por 9, os 
algarismos a e b são, respectivamente: 
a) 0 e 8 
b) 3 e 7 
c) 6 e 5 
d) 3 e 5 
e) N.d.a 
 
06. ( ETF – RJ ) Qual o menor número que se deve 
subtrair de 21.316 para se obter um número que seja 
divisível por 5 e por 9 ? 
a) 31 
b) 1 
c) 30 
d) 42 
e) 41 
 
07. (UNIMONTES PAES/2007 ) Se no número m498n, 
m é o algarismo da dezena de milhar e n o algarismo 
das unidades e m498n é divisível por 45, então m + 
n vale: 
A) 6 
 
 
17 
 
B) 7 
C) 8 
D) 9 
 
08. (UNIMONTES) Um número de seis algarismos é 
formado pela repetição de uma classe, por exemplo: 
256256 ou 678678. Qualquer número dessa forma é 
sempre divisível por 
A) 13, somente. 
B) 1010. 
C) 11, somente. 
D) 1001 
 
09. ( UFU – MG ) São dados os conjuntos : 
 D = divisores positivos de 24 
 M = múltiplos positivos de 3 
 S = D  M 
 N = números de subconjuntos de S. 
Portanto, N é igual a: 
a) 64 
b) 16 
c) 32 
d) 8 
e) 4 
 
10. ( Unimontes / PAES – 2004 ) Dados os conjuntos A = 
{ x  N / x = 3n, n  N } e B = { x  N–{0} / 
x
18
= n, n  
N } , tem-se que AB é igual ao conjunto: 
a) [3, 18 ] 
b) Vazio 
c) { x  N / 3 ≤ x ≤ 18 } 
d) { 3, 18, 6, 9 } 
 
11. ( Fuvest) O número de divisores positivos de 360 é : 
a) 18 
b) 22 
c) 24 
d) 26 
e) 30 
 
12. ( PUC – MG ) O número 2
a
 . 3
b
 tem oito divisores. Se 
a.b = 3, então a + b é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 60 
 
13. (UFMG) O número N = 2
a
 . 3
b
 . c divide o número 3600. 
Suponha que a, b e c sejam números inteiros, positivos, 
c seja um número primo maior que 3 e N com 16 
divisores. Então, a + b – c será igual a: 
a) - 2 
b) - 1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
14. (UFMG) A soma de todos os divisores do número 
105 é: 
a) 15 
b) 16 
c) 120 
d) 121 
e) 192 
 
15.( Unimontes – MG ) Entre os números 20 e 35, 
quantos são os números que têm apenas quatro 
divisores no conjunto dos números inteiros? 
a) 4 
b) 3 
c) 5 
d) 6 
 
16. (UFMG) Sabe-se que o número 2
13
 – 1 é primo. 
Seja n = 2
17
 – 16. No conjunto dos números naturais, o 
número de divisores de n é 
a) 5 
b) 8 
c) 6 
d) 10 
 
17. ( UFMG ) Sabe-se que os meses de janeiro, março, 
maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias. 
O dia 31 de março de um certo ano ocorreu numa 
quarta-feira. Então, 15 de outubro do mesmo ano foi: 
a) quinta-feira 
b) terça-feira 
c) quarta-feira 
d) sexta-feira 
 
18. ( UFMG ) Seja N o menor número inteiro pelo qual 
se deve multiplicar 2520 para que o resultado seja um 
quadrado de um número natural. Então, a soma dos 
algarismos de N é: 
a) 9 
b) 7 
c) 8 
d) 10 
 
 
19. ( FCC ) Sejam os números A = 2
3
. 3
2
. 5 e B = 2. 
3
3
. 5
2
 . O MDC e o MMC entre A e B valem 
respectivamente : 
a) 2. 3
2
. 5 e 2
3
. 3
3
. 5
2
 
b) 2. 5
2
. 5 e 2
2
. 3
2
. 5 
c) 2. 3. 5 e 2
3
. 3
3
. 5
2
 
d) 2
2
. 3
2
. 5 e 2. 3
2
. 5 
e) 2
3
. 3
2
. 5
2
 e 2. 3
3
. 5
2
 
 
20. (UFU-MG) Se o máximo divisor comum entre os 
números 144 e (30)
P
 é 36, em que p é um inteiro 
positivo, então o expoente p é igual a: 
A) 1 
B) 3 
C) 4 
D) 2 
 
 
18 
 
21. ( Fuvest ) Sejam a e b o máximo divisor comum e o 
mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente. 
Então o produto a.b vale : 
a) 2
4
. 3
4
. 5
3 
b) 2
5
. 3
2
. 5
2 
c) 2
5
. 3
3
. 5
3 
 
d) 2
6
. 3
3
. 5
2
 
e) 2
6
. 3
4
. 5
2
 
 
22. (UFU) Os irmãos José e Maria visitam regularmente 
seu avô Pedro. José visita-o a cada 8 dias e Maria a cada 
6 dias, ambos, rigorosamente, sem nunca falharem. Se 
José e Maria visitaram simultaneamente o avô no primeiro 
dia do ano de 2004, quantas vezes mais eles fizeram a 
visita simultânea até o dia 31 de dezembro de 2006? 
Obs.: Considere cada ano com 365 dias. 
A) 48 
B) 44 
C) 46 
D) 45 
 
23. ( CFTPR ) Três vendedores encontraram-se num certo 
dia na cidade de Medianeira - PR e jantaram juntos. O 
primeiro vendedor visita esta cidade a cada 6 dias, o 
segundo a cada 8 dias e o terceiro a cada 5 dias. Estes 
três vendedores marcaram de jantar juntos novamente no 
próximo encontro. Este, deverá acontecer após: 
a) 480 dias. 
b) 120 dias. 
c) 48 dias. 
d) 80 dias. 
e) 60 dias. 
 
24. ( UEL – PR ) Em 1982 ocorreu uma conjunção entre 
os planetas Júpiter e Saturno, o que significa que podiam 
ser vistos bem próximos um do outro quando avistados da 
Terra. Se Júpiter e Saturno dão uma volta completa ao 
redor do Sol aproximadamente a cada 12 e 30 anos, 
respectivamente, em qual dos anos seguintes ambos 
estiveram em conjunção no céu da Terra? 
a) 1840 
b) 1852 
c) 1864 
d) 1922 
e) 1960 
 
25. ( UERJ ) Dois sinais luminosos fecham juntos num 
determinado instante. Um deles permanece 10 segundos 
fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro 
permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. 
O número mínimo de segundos necessários, a partir 
daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar 
juntos outra vez é de: 
a) 150 
b) 160 
c) 190 
d) 200 
 
26. ( FGV – SP ) Seja x o maior número inteiro de 4 
algarismos que é divisível por 13 e y o menor número 
inteiro positivo de 4 algarismos que é divisível por 17. 
Se a diferença entre x e y é igual a K, a soma dos 
algarismos de K é: 
a) 26 
b) 27 
c) 28 
d) 29 
e) 30 
 
27. (UESB) Um paciente deve tomar três 
medicamentos distintos, em intervalos de 2:00h, 2:30h 
e 3:20h respectivamente. Se esse paciente tomou os 
três medicamentos às 7:00h, então deverá voltar a 
tomar os três, ao mesmo tempo, às 
(01) 10:00h 
(02) 12:50h 
(03) 15:00h 
(04) 16:30h 
(05) 17:00h 
 
28. (CFO/PM 2005) Duas pessoas, fazendo exercícios 
diários, partem simultaneamente de um mesmo ponto 
e, andando, contornam uma pista oval que circunda um 
jardim. Uma dessas pessoas dá uma volta completa na 
pista em 12 minutos. A outra, andando mais devagar, 
leva 20 minutos para completar a volta. Depois de 
quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se 
encontrar no ponto de partida? 
A. ( ) 30 minutos. 
B. ( ) 45 minutos. 
C. ( ) 60 minutos. 
D. ( ) 240 minutos. 
 
29.( UECE) Dois relógios tocam uma música 
periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o 
outro a cada 62 segundos. Se ambos tocaram, juntos, 
às 10 horas, que horas estarão marcando os relógios 
quando voltarem a tocar juntos, pela primeiravez após 
as 10 horas ? 
a) 10 horas e 31 minutos 
b) 11 horas e 02 minutos 
c) 13 horas e 30 minutos 
d) 17 horas 
 
30. (UPE-PE) Neto e Rebeca fazem diariamente uma 
caminhada de duas horas em uma pista circular. 
Rebeca gasta 18 minutos para completar uma volta, e 
Neto, 12 minutos para completar a volta. Se eles 
partem do mesmo ponto P da pista e caminham em 
sentidos opostos, pode-se afirmar que o número de 
vezes que o casal se encontra no ponto P é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
19 
 
31. (CFO/PM 2007) No alto de uma torre de uma emissora 
de televisão, duas luzes "piscam" com freqüências 
diferentes. A primeira "pisca" 15 vezes por minuto e a 
segunda "pisca" 10 vezes por minuto. Se num certo 
instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos 
segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? 
A. ( ) 12 
B. ( ) 10 
C. ( ) 20 
D. ( ) 15 
 
32. (UFTM) Márcia fabrica trufas de chocolate, que são 
vendidas em embalagens com 5, 8 ou 12 unidades. 
Renata, uma de suas vendedoras, possui em seu estoque 
793 trufas, que serão todas vendidas em embalagens do 
mesmo tipo. Porém, ela ainda não decidiu qual das três 
embalagens irá utilizar. Nessas condições, a menor 
quantidade de trufas que Márcia deverá acrescentar ao 
estoque de Renata de modo que, independentemente do 
tipo de embalagem utilizada, não sobre nenhuma trufa no 
estoque depois da confecção das embalagens, é igual a 
a) 7. 
b) 11. 
c) 23. 
d) 39. 
e) 47. 
 
33. (UFMG) No sítio de Paulo, a colheita de laranjas ficou 
entre 500 e 1500 unidades. Se essas laranjas fossem 
colocadas em sacos com 50 unidades cada um, sobrariam 
12 laranjas e, se fossem colocadas em sacos com 36 
unidades cada um, também sobrariam 12 laranjas. Assim 
sendo, quantas laranjas sobrariam se elas fossem 
colocadas em sacos com 35 unidades cada um? 
A) 4 
B) 6 
C) 7 
D) 2 
 
34. ( EEAer ) Três rolos de arame farpado têm, 
respectivamente, 168 m, 264 m e 312 m. Deseja-se 
cortá-los em partes de mesmo comprimento, de forma 
que, cada parte, seja a maior possível. Qual o número de 
partes obtidas e o comprimento, em metros de cada 
parte? 
a) 21 e 14 
b) 23 e 16 
c) 25 e 18 
d) 31 e 24 
 
35. ( FEI – SP ) Em uma sala retangular de piso plano nas 
dimensões 8,80 m por 7,60 m deseja-se colocar 
ladrilhos quadrados iguais, sem necessidade de recortar 
nenhuma peça. A medida máxima do lado de cada ladrilho 
é: 
a) 10 cm 
b) 20 cm 
c) 30 cm 
d) 40 cm 
e) 50 cm 
 
 
36. ( PUC / MG – 2001 ) Uma praça retangular, de 
110 m de comprimento por 66 m de largura é 
contornada por fileiras de palmeiras igualmente 
espaçadas. A distância entre uma palmeira e a 
seguinte é a mesma e a maior possível. Se em cada 
vértice da praça existe uma palmeira, o número total de 
palmeiras contornando a praça é : 
a) 16 
b) 18 
c) 22 
d) 24 
 
37. ( UFMG ) Sejam a, b e c números primos 
distintos, em que a > b. O máximo divisor comum e o 
mínimo múltiplo comum de m = a
2
.b.c
2
 e n = a.b
2
 são, 
respectivamente, 21 e 1764. Pode-se afirmar que a + 
b + c é : 
a) 9 
b) 10 
c) 12 
d) 42 
e) 62 
 
38. (UFU-MG) Se p é um número natural primo e a 
soma de todos os divisores positivos de p
2
 é igual a 31, 
então p é igual a: 
a) 5 
b) 7 
c) 13 
d) 3 
 
39. (FIP-2009) Numa competição de arremesso de 
disco, o vencedor conseguiu 61 m. O segundo 
colocado, 58m. De quanto foi o lançamento do terceiro 
colocado, sabendo-se que a diferença entre o seu 
lançamento e o lançamento do segundo colocado foi 
duas vezes a diferença entre o segundo colocado e o 
primeiro? 
A) 56m 
B) 52m 
C) 54m 
D) 50m 
 
40. (FIP-2009) Suponha que uma pessoa esteja 
percorrendo uma pista em forma do polígono 
ABCDEFGHI da figura abaixo. Saindo do ponto A, no 
sentido horário, ao caminhar, ela irá contando quantos 
lados já percorreu. Em qual dos vértices (A, B, C, ...) 
ela estará quando disser 555.555.555.555.555? 
110 
66 
 
 
20 
 
 
 
41. (FIP-2010) Observe a figura abaixo, que descreve as 
dimensões oficiais possíveis para um campo de futebol: 
 
Segundo o projeto, o comprimento do campo pode variar 
de 90 a 120 metros, e a largura de 45 a 90 metros. 
Admitindo que o comprimento seja um múltiplo de 10, e a 
largura seja um múltiplo de 5, de quantos modos possíveis 
pode ser construído o campo? 
A) 80 
B) 60 
C) 120 
D) 40 
 
42. (FIP-2010) Pensando em contribuir com uma 
alimentação mais saudável para a sua família, um 
professor da rede Pitágoras está planejando uma horta em 
um espaço retangular de 1,56m por 84cm, disponível em 
seu quintal. Ele inicia o preparo da horta dividindo o 
comprimento e a largura do terreno em partes iguais, 
todas de mesma medida inteira, quando expressas em 
centímetros. Dessa maneira, esse professor formou, na 
superfície do terreno, um quadriculado composto por 
quadrados congruentes, de modo que as medidas das 
arestas de cada quadrado tivessem o maior valor possível. 
Sua intenção é plantar, no centro de cada quadrado 
obtido, uma única muda. 
Nessas condições, a quantidade máxima de mudas que 
pode ser plantada é: 
 
 
 
A) 91 
B) 76 
C) 120 
D) 144 
 
 
43. (FIP-2011) Um grupo de estudantes se preparava 
para as provas do vestibular das FIPMoc. Ao estudar o 
assunto CONJUNTOS, em Matemática, eles 
observaram que o número de subconjuntos de um 
conjunto era dado por 2
n
. Se P e Q são conjuntos que 
possuem um único elemento em comum e se o número 
de subconjuntos de P é igual ao dobro do número de 
subconjuntos de Q, então o número de elementos do 
conjunto P união Q é o: 
 
A) triplo do número de elementos de P. 
B) dobro do número de elementos de Q. 
C) triplo do número de elementos de Q. 
D) dobro do número de elementos de P. 
 
44 .(FIP-2012) Os números primos são verdadeiras 
estrelas da matemática - eles só podem ser divididos 
por eles mesmos (com resultado igual a um) ou por um 
(com resultado igual a ele mesmo), sem nenhuma outra 
possibilidade de se conseguir um número inteiro. O 
mais célebre desses números é o 2, mas o maior deles 
foi descoberto no ano passado por Martin Nowak, 
professor da Universidade de Harvard, nos Estados 
Unidos. O número é dado pela notação 2
25 964 951
 – 1 e 
tem mais de sete milhões de dígitos, o equivalente ao 
número total de letras publicadas em mais de 61 
edições de Galileu. 
 
Considere um número natural N, dado por N = 2
51 929 902
 
– 2
25 964 951
. 
 
A quantidade de divisores naturais do número N é: 
 
A) 12 982 476 
B) 25 964 952 
C) 51 929 904 
D) 103 859 804 
 
45 .(FIP-2013) Numa prova de aquecimento, o atleta 
Bruno Lins sai correndo e, após dar 200 passos, o 
atleta UsainBolt parte em seu encalço. Enquanto Bolt 
dá 3 passos, Lins dá 11 passos; porém, 2 passos de 
 
 
21 
 
Bolt valem 9 de Lins. É correto afirmar que, para alcançar 
Bruno Lins, UsainBolt deverá dar 
 
A) 480 passos 
B) 240 passos 
C) 120 passos 
D) 80 passos 
 
 
GABARITO 
 
1) D 2) C 3) C 4) B 5) D 6) A 7) A 
8) D 9) B 10) D 11) C 12) D 13) B 14) E 
15) B 16) D 17) D 18) B 19) A 20) D 21) C 
22) D 23) B 24) D 25) D 26) E 27) 5 28) C 
29) A 30) C 31) A 32) E 33) D 34) D 35) D 
36) A 37) C 38) A 39) B 40) A 41) D 42) A 
43)B 44) C 45) B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ( ) 
 
O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}. 
 
Observe que este conjunto é formado por números 
negativos, zero e números positivos. Vale lembrar que 
zero é um númeronulo ou neutro, não é negativo e 
nem positivo. 
No seu dia a dia você já dever ter deparado com 
números inteiros; quando temos um crédito temos um 
número positivo, um débito é um número negativo, 
temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de 
zero são negativas, se você prestar atenção ao seu 
redor vai encontrar muitos números negativo e 
positivos. 
 
Como subconjuntos de Z, destacamos: 
 
a. o conjunto dos inteiros não negativos 
 
Z + = {0, + 1, +2, +3, +4, ...} = IN 
 
b. o conjunto dos inteiros positivos 
 
 = {+1, +2, +3, +4, ... } = IN* 
 
c. o conjunto dos inteiros não positivos 
 
Z –= {0, –1 , –2, –3, –4, ...} 
 
d. o conjunto dos inteiros negativos 
 
 = {–1, –2. –3, –4, ... } 
 
Propriedades 
 
P1. A soma de números inteiros quaisquer é um 
número inteiro. 
 
P2. A diferença de dois números inteiros quaisquer é 
um número inteiro. 
 
P3. O produto de dois números inteiros quaisquer é um 
número inteiro. 
 
 
RETA NUMÉRICA INTEIRA 
 
 
 
 Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem 
de crescimento dos números, eles estão crescendo da 
esquerda para a direita, -7 é menor que -6, 0 é maior 
que -1 e assim em diante. 
 
 

Z

Z
 
 
22 
 
Lembrete: 
 
1º: Zero é maior que qualquer número negativo. 
 
2º: Menos um é o maior número negativo. 
 
3º: Zero é menor que qualquer número positivo. 
 
4º: Qualquer número positivo é maior que qualquer 
número negativo. 
 
NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS 
 
 Observe na reta numérica que a distancia do -3 até o 
zero é a mesma do +3 até o zero, estes números são 
chamados de opostos ou simétricos. 
 
Logo: - 3 é oposto ou simétrico do + 3. 
 
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
 
Exemplos: 
 
a) (+3)
2
 = (+3) x (+3) = + 9 
 
b) (-2)
5
 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32 
 
**Importante: 
 
 (-2)
2
 = (-2) x (-2) = 4 é diferente de 
 - 2
2
 = -(2) x (2) = - (4) = - 4 
 
 No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão 
ao quadrado e no segundo caso apenas o número está 
elevado ao quadrado. 
 
EXERCÍCIOS 
 
01.( Unimontes – PAES) Se n é um número inteiro 
positivo, podemos afirmar que: 
 
a) n
2
 + n é sempre um número par. 
b) n
2
 + n é sempre um número ímpar. 
c) n
2
 – 1 é sempre um número par. 
d) n
2
 – 1 é sempre um número ímpar. 
 
 
 
 
GABARITO 
01. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ( ) 
 
 O conjunto dos Números Racionais (Q) é formado 
por todos os números que podem ser escritos na forma 
b
a
 onde a e b 

 Z e 
0b
(1º Mandamento da 
Matemática: NÃO DIVIDIRÁS POR ZERO) 
 
 São racionais por exemplo: 
 
 
4
3
12
3
12


 ( inteiro ) 
 
25,3
4
13
4
13


 ( Decimal exato ) 
 
...6666,2
3
8
3
8



 ( Dízima periódica ) 
 
 Podemos definir, portanto, o conjunto Q dos 
números racionais da seguinte forma 
 
 
 
 
 
 
Propriedades 
 
P1. A soma de dois números racionais quaisquer é um 
número racional. 
 
P2. A diferença de dois números racionais quaisquer é 
um número racional. 
 
P3. O produto de dois números racionais quaisquer é 
um número racional. 
 
P4. O quociente de dois números racionais quaisquer, 
sendo o divisor diferente de zero, é um número 
racional. 
 
 
TIPOS DE FRAÇÃO 
 
a) Fração própria 
 
 É aquela cujo numerador é menor que o 
denominador 
 
Exemplos: 
4
1
,
7
2
,
5
3
 
 
 
 
b) Fração imprópria 
 
 É aquela cujo numerador é maior que o 
denominador. 
 
 
 
23 
 
4
3
520
515
20
15



 1
ab
ab
a
b
b
a

IRx
*IRa
a
1
a
1
a
x
x
x









7
13
7
13
1
13
7
1

Exemplos: 
4
5
,
2
3
,
5
7
 
 
 
Obs.:Se o numerador é múltiplo do denominador, dizemos 
que a fração é aparente. Observe que uma fração 
aparente é, na verdade, um número inteiro. 
 
Exemplos: 
5
3
15
;3
2
6

 
 
 
 
SIMPLIFICANDO FRAÇÕES 
 
Uma fração pode ser simplificada dividindo-se numerador 
e denominador pelo seu máximo divisor comum 
 
Exemplos: 
 
 (MDC (15, 20) = 5) 
 
 Dizemos que a fração 
4
3
 é irredutível, pois o único 
divisor comum do numerador e do denominador é 1. 
 
 
OPERAÇÕES EM Q 
 
 As operações com número racionais segue as mesmas 
regras de operação das frações. 
 
 
 
Adição e Subtração 
 
Reduzem-se as frações ao mesmo denominador. Para 
isso devemos encontrar o mmc dos denominadores, 
criarmos uma mesma seqüência de fração com o novo 
denominador e numerador igual ao resultado da divisão do 
novo denominador pelo velho multiplicado pelo numerador 
velho. 
 
Exemplo 

4
3
3
2
 
 
O mmc(3,4) = 12 então 

1212
 
 
Dividindo-se 12 por 3 e multiplicando-se por 2, depois 
dividindo-se 12 por 4 e multiplicando-se por 3, então 
teremos: 
 
12
17
12
9
12
8

 
 
 
 
Inverso De Um Número Racional 
Chama–se inverso de um número racional 
b
a
 ≠ 0 o 
número racional 
a
b
 ≠ 0 , obtido do primeiro 
invertendo-se numerador e denominador. 
Exemplos: 
 O inverso de 
5
3
 é 
3
5
. 
 
 O inverso de 
7
8

 é 
8
7

. 
 
Observe que: 
 
a) Não se define o inverso de 0 (zero): 
b) O produto de um racional pelo seu inverso e 
igual a 1. 
 
 De fato: 
 
 
**O inverso de um numero racional a pode ser indicado 
por 
a
1
 sendo a  0 ou por a
 –1
. 
 
Exemplo: 
O inverso de 
13
7
 é: 
 
 
 
Observe que: 
 
 
 
Multiplicação 
 
Multiplicam-se os numeradores e os denominadores 
obtendo-se assim o resultado. 
35
6
7
2
.
5
3

 
 
 
Divisão 
 
 Deve-se multiplicar a primeira pelo inverso da 
segunda 
10
21
2
7
.
5
3
7
2
:
5
3

 
 
 
Potenciação de frações 
 
Para se elevar uma fração a um expoente natural, 
elevam-se numerador e denominador a esse expoente. 
 
 
 
24 
 
Exemplos: 
 
25
9
5
3
5
3
2
22






 
 
 
 
27
8
3
)2(
3
2
3
33 









 
Potenciação De Frações – Expoente Inteiro Negativo 
 Sendo 
b
a
 ≠ 0 um numero racional, definimos a 
potenciação com expoente inteiro negativo da seguinte 
forma: 
 
nn
a
b
b
a












 , com n  IN 
 
 Observe que basta tomar o inverso da base e elevar ao 
expoente natural simétrico. 
 
Exemplos: 
 
 
 0 – 5 não se define. Pois não existe o inverso de 0. 
 
A partir desta definição, o inverso de um número racional 
x  0 pode ser indicado por 
x
1
 ou x
 –1
. 
 
 
OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS DECIMAIS 
 
As operações elementares com números decimais 
obedecem a regras simples, conforme veremos a seguir. 
 
 
Adição e subtração de decimais 
 
 Colocamos vírgula debaixo de vírgula e efetuamos a 
operação normalmente. 
 
Exemplos: 
 31,45 + 2,137 
 
 31,45 
+ 2,137 
 33,587 
 
 6,4 – 3,158 
 
 6,400 
+ 3,158 
 3,242 
 
 
Multiplicação de decimais 
 
 Efetuamos normalmente a multiplicação e 
separamos, no produto, um número de casas decimais 
igual à soma do número de casas decimais de cada um 
dosdois fatores. 
 
Exemplo: 
 Vamos efetuar 2,3 . 0,138 
 
 0,138  3 casas decimais 
 2,3  1 casa decimal 
 414 
+ 267 . 
0,3174  4 casas decimais 
 
 
Divisão de decimais 
 
 Transformamos o divisor em inteiro, multiplicando 
dividendo e divisor por uma potência de dez adequada 
efetuamos a divisão normalmente e separamos, no 
quociente, um número de casas decimais igual ao 
numero de casas decimais utilizadas no dividendo 
(incluindo os zeros que tenham sido acrescentados) 
 
Exemplos: 
 
 Dividir 32,4 por 0,008 
32,4  0,008 = 32400  8 = 4050 
 
 
FRAÇÃO GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA 
 
Conforme você já estudou, todo número racional 
(Conjunto Q), resulta da divisão de dois números 
inteiros, a divisão pode resultar em um número inteiro 
ou decimal. 
 Convém lembrar que temos decimais exatos. 
 
Exemplo: 2,45; 0,256; 12,5689; 12,5689 
 
 Temos também decimais não exatos (dízima 
periódica) 
 
Exemplos: 2,555555.... ; 45,252525....; 
0,123123123...; 456,12454545; 7,4689999.... 
 
 Você deve saber, que em uma dízima periódica a 
parte decimal que repete, recebe o nome de período, a 
parte que não repete é chamada de anti-período, a 
parte não decimal é a parte inteira. 
 
Exemplo: 
 
 
8
27
8
27
2
3
2
3
3
2
3
333


















 
 
25 
 
 
 
 
 
 
Encontrando a Fração Geratriz de uma Dízima 
Periódica 
 
 
Dízima periódica simples 
 
 Devemos adicionar a parte decimal à parte inteira. 
Deve-se lembrar que a parte decimal será transformada 
em uma fração cujo numerador é o período da dízima e o 
denominador é um número formado por tantos noves 
quantos sãos os algarismos do período. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
Dízima periódica composta 
 
 Devemos adicionar à parte inteira, uma fração cujo 
numerador é formado pelo anti-período, seguindo de um 
período, menos o anti-período, e cujo denominador é 
formado de tantos noves quantos são os algarismos do 
período seguidos de tantos zeros quanto são os 
Algarismos do ante-período. 
 
Exemplos: 
Parte inteira = 0 
Período = 7(implica que temos um nove) 
Anti-período = 1 (implica em um 0) 
 
 
 
Parte inteira = 2 
Período = 5 (implica um nove) 
Anti-período = 003 (implica três zeros) 
 
 
 
 
 
 
Exercício Resolvido 
 
 
 
RADICIAÇÃO NO CONJUNTO DOS RACIONAIS 
 
 A Radiciação é o ato de extrair a raiz de um número, 
lembrando que temos raiz quadrada, raiz cúbica, raiz 
quarta, raiz quinta e etc... 
Radiciação é a operação inversa da potenciação. 
Sendo: 
 
 
Sendo a  Q e n  IN*, definimos a raiz enésima 
de a 
 n a
 da seguinte forma: 
0 b e ab ba 0 a e par n nn 
 
ab ba ímpar n nn 
 
Lembrando que: 
 Se o índice é um número maior que 1 (n > 1), se 
este for igual a dois (raiz quadrada "não escrevemos 
este valor, o local do índice fica vazio ou seja fica 
entendido que ali está o número 2"), se for igual a 3 
(raiz cúbica "este valor deve aparecer no índice"), etc... 
 
Exemplos: 
 
39 
porque 3
2
 = 9 e 3 > 0 
 
008 
 
 
2
3
16
81
4 
porque
16
81
2
3
4






 e 
0
2
3

 
 
 Para trabalhar com radicais, utilizamos a definição 
potência de expoente fracionário e as propriedades 
 
 
26 
 
da radiciação, conformes iremos ver a seguir, onde 
supomos as raízes definidas em IR. 
1. (m  Z e n  IN*) 
2. 
3. b  0 
4. 
5. 
6. 
 
 A simplificação de um radical consiste em reduzir seu 
radicando à expressão mais simples possível. Um radical 
em que o índice e o expoente do radicando têm um divisor 
comum pode ser simplificado. 
Exemplo: 
 
 
 Se o radicando ou os fatores que o compõem possuem 
expoentes maiores que ou iguais ao índice do radical, ele 
pode também ser simplificado. 
 
Exemplo: 
 
 
 A redução de radicais ao mesmo índice é importante na 
multiplicação e na divisão de radicais. Para reduzir 
radicais ao mesmo índice, utilizamos a propriedade 6, 
tomando como índice comum o MMC dos índices dos 
radicais dados. 
 
Exemplos: 
 
 Reduza ao mesmo índice os radicais 
, e 
Os índices são 2, 4 e 6, cujo MMC é 12. Temos: 
 
 
 
 
Obtemos então: , e 
 
 
Operações Com Radicais 
 
 A adição e a subtração de radicais semelhantes 
resulta sempre em um radical. Basta aplicar a propriedade 
distributiva da multiplicação em relação à adição. Esse 
procedimento é denominado redução de radicais 
semelhantes. 
Exemplos: 
 
 
 
 De maneira geral, a adição e a subtração de 
radicais se efetuam simplificando-se os radicais (se 
possível) e reduzindo-se, em seguida, os radicais 
semelhantes acaso existentes. 
 
 A multiplicação e a divisão de radicais se efetuam 
da seguinte forma: 
 
1º- Reduzem-se os radicais ao mesmo índice; 
2°- Aplicam-se as propriedades 2 e 3. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 A potenciação de radicais é efetuada utilizando-se a 
propriedade 4 e simplificando-se, em seguida, a 
expressão obtida. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 A radiciação de radicais é efetuada introduzindo-se 
o coeficiente no radicando e aplicando-se, em seguida, 
a propriedade 5 . 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) ( PAES – 2006 ) Considere as figuras abaixo na 
ordem dada. 
 
 
 
 
 
As frações representadas pelas regiões assinaladas 
nessas figuras são, respectivamente: 
a) 
15
4
, 
10
1
 e 
3
1
 
b) 
5
2
, 
15
4
 e 
7
3
 
c) 
15
7
, 
5
2
 e 
3
1
 
n mn
m
aa 
nnn abba 
n
n
n
b
a
b
a

  n mmn aa 
mnn m aa 
pn pmn m aa
 
33 22:6 2:46 46 422216 
2452.3.52.353.251625 244 
ab
4 2ab3
6 5ba
12 62 )ab(ab 
12 324 2 )ab(3ab3 
 12 256 5 baba 
12 66ba
12 63ba3
12 210ba
4
511
5
4
11
5
4
3
13
4
53
553 






  1065.2.2.35223 
66 326 36 23 5005.25.25.2 
  33 33 4443 21622.2.812323 
63 55 
63 33 405.252 
 
 
27 
 
d) 
15
7
, 
5
3
 e 
5
2
 
 
2) ( PUC – MG) Em uma caixa há m pirulitos. Depois 
que a criança A retira 
7
2
 do total de pirulitos dessa 
caixa e a criança B retira 11 pirulitos, ainda restam 
na caixa, 
5
2
 de m. O valor de m é : 
a) 25 
b) 30 
c) 35 
d) 40 
 
3) ( Fatec – SP ) Se A = (–3)
2
 – 2
2
, B = – 3
2
 + (–2)
2
 e C 
= (–3 –2)
2
, então C + A × B é igual a 
a) –150 
b) –100 
c) 50 
d) 10 
e) 0 
 
4) ( Fuvest – SP ) Qual desses números é igual a 0,064 
? 
a) ( 1/80 )
2 
b) ( 1/8 )
2 
c) ( 2/5 )
3
 
d) ( 1/800 )
2 
e) ( 8/10 )
3
 
 
5) ( UNIP ) Simplificando-se a expressão [(2
3
)
2
]
3
, obtém-
se: 
a) 6
6 
b) 6
8 
c) 2
8 
d) 2
18
 
e) 2
24
 
 
6) ( UEL – PR ) Se x e y são números reais, então a 
única alternativa correta é: 
a) 
  yxyx 33 
 
b) (2
x
 . 3
y
)
2
= 2
2x
 . 3
2y
 
c) (2
x
 – 3
x
)
y
 = 2
xy
 – 3
xy
 = –1
xy
 
d) 5
x
 + 3
x
 = 8
x
 
e) 3 . 2
x
 = 6
x
 
 
7) ( PUC – MG ) O resultado da expressão {[2
9 
: (2 . 2
2
)
3
]
–
3 
} / 2 é: 
a) 1/5 
b) 1/4 
c) 1/3 
d) 1/2 
 
8) ( CFTCE ) O valor da expressão [(0, 5)
2
]
8
. 32
64
1















 
como uma sópotência de 2 é: 
a) 2
 16 
 
b) 2
 18 
 
c) 2
 20 
 
d) 2
 22
 
e) 2
 24 
 
9) ( UFJF ) A soma 3.10
3
 + 3.10
0
 + 3.10
– 1 
é igual a: 
a) 303,3 
b) 27000.
30
1
 
c) 3001,01 
d) 3001,3 
e) 3003,3 
 
10) ( Fuvest – SP ) O valor de ( 0,2 )
3
 + ( 0,16 )
2
é 
a) 0,0264 
b) 0,0336 
c) 0,1056 
d) 0,2568 
e) 0,6256 
 
11) ( PUC – RJ ) O maior número a seguir é: 
a) 3
 31
 
b) 8
 10 
c)16
 8 
d) 81
 6 
e) 243
 4 
 
 
12) ( UFG – GO ) O número 
2818 
 é igual a: 
a) 
8
 
b) 4 
c) 
618 
 
d) 
210 
 
e) 0 
 
13) ( Unaerp – SP ) O valor da expressão 
d
cba .. 23
, 
quando 
2
1
a 
, b = – 2, c = 4 e d = – 8 é : 
a) – 8 
b) – 4 
c) – 2 
d) – 1/4 
e) – 1/8 
 
14) ( Izabela Hendrix – BH ) Se 2
k
 = x e 2
t
 = y, então 
2
2k + 3t
é : 
a) 2x + 3y 
b) x.y 
c) x + y 
d) x
2
. y
3
 
e) x
3
. y
2
 
 
15) ( PUC – MG ) O produto 2
1,2222...
. 2
0,133333...
é igual a 
: 
a) 
51 922.
 
 
 
28 
 
b) 
49 1122.
 
c) 
45 1622.
 
d) 
30 22.
 
e) 
25 1222.
 
 
16) ( PUC – SP ) O valor da expressão 
   3 22 231212 
 é: 
a) 232 
b) 
3
2
3
 
c) 
2
1
6
 
d) 
2
1
3
 
e) 612 
 
17) ( PUC – SP ) Considere o número p = 
n
m2
, em que 
2
3
2
m








+ 0,3 e n = 4 – 2
2
1






. O valor de “p” é 
tal que: 
a) 0 < p < 1 
b) 1 < p < 2 
c) 2 < p < 3 
d) 3 < p < 4 
e) 4 < p < 5 
 
 
18) ( PUC / MG ) A seguir, estão três afirmativas sobre 
números reais : 
I - O número 2,3235666... é racional. 
II- O número 
7
 pode ser escrito na forma 
q
p
, na 
qual p e q são inteiros, com q  0. 
III – O valor de m =  
3
3
2

 é – 1 ou 1. 
O número de afirmativas corretas é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
19) ( Unimontes / PAES) Se a =
3 64
 e b = 4116 , 
então a única alternativa CORRETA é: 
a) a + b = 
2
9
 
b) a = b 
c) a : b = 2 
d) a.b = 
8
1
 
20) ( Unimontes / PAES) Se a e b são números reais 
positivos, m e n são números naturais não nulos, 
então, das afirmações abaixo, a única INCORRETA 
é: 
a) 
nnn baba .. 
 
b) 
nmnm baba  
 
c) (a
m
)
n 
. (b
n
)
m
 = (a.b)
mn
 
d) 
mnmn
n
m
m
ba
b
a 








.
 
 
21) ( PAES / UNIMONTES ) Os números a e b estão 
representados na reta. 
 
 
 
O número a + b está : 
a) à direita de 1 
b) entre 0 e b 
c) à esquerda de –1 
d) entre –1 e 0. 
 
 
22) (UFOP) O valor simplificado da expressão 
 
é: 
A) 1,7 
B) 2 
C) -3,025 
D) -4 
 
23) (UNIMONTES) A terça parte da soma 3
7
 + 9
5
 é 
igual a 
A) 3
9
 + 9
3
 
B) 3
7
 + 9
2
 
C) 3
9
 + 3
5
 
d) 3
6
 + 3
5
 
 
 
24) (CTSP-2009)(FUVEST) Dividir um número por 
0,0125 equivale a multiplicá-lo por: 
A. 8 
B. 80 
C. 1/8 
D. 1/125 
 
 
25) 
 
 
 
 
 
a b –1 1 0 
 
 
29 
 
 
26) (PUC –MG) Calcule o valor da expressão: 
 
 
27) (Unimontes) Qual o valor de a + b, se 
b
a
 é a 
fração irredutível 
...,
...,
2221
4443
 ? 
A) 42/9 
B) 21/9 
C) 21 
D) 42 
 
 
 
28) (Enem 2015) No contexto da matemática recreativa, 
utilizando diversos materiais didáticos para motivar seus 
alunos, uma professora organizou um jogo com um tipo de 
baralho modificado, No início do jogo, vira-se uma carta do 
baralho na mesa e cada jogador recebe em mãos nove 
cartas. Deseja-se formar pares de cartas, sendo a primeira 
carta a da mesa e a segunda, uma carta na mão do 
jogador, que tenha um valor equivalente àquele descrito 
na carta da mesa. O objetivo do jogo é verificar qual 
jogador consegue o maior número de pares. Iniciado o 
jogo, a carta virada na mesa e as cartas da mão de um 
jogador são como no esquema: 
 
 
 
Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse 
jogador podem formar um par com a carta da mesa? 
a) 
9
 
b) 
7
 
c) 
5
 
d) 
4
 
e) 
3
 
 
29) (Enem 2015) Deseja-se comprar lentes para óculos. 
As lentes devem ter espessuras mais próximas possíveis 
da medida 
3 mm.
 No estoque de uma loja, há lentes de 
espessuras: 
3,10 mm;
 
3,021mm;
 
2,96 mm;
 
2,099 mm
 e 
3,07 mm.
 
 
Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura 
escolhida será, em milímetros, de 
a) 
2,099.
 
b) 
2,96.
 
c) 
3,021.
 
d) 
3,07.
 
e) 
3,10.
 
 
 
GABARITO 
 
1) C 
2) C 
3) E 
4) C 
5) D 
6) B 
7) D 
8) C 
9) E 
10) B 
11) A 
12) E 
13) A 
14) D 
15) C 
16) E 
17) B 
18) B ( V F F ) 
19) C 
20) B 
21) B 
22) B 
23) A 
24) B 
25) B 
26) 7/3 
27) D 
28) E 
29) C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ( ) 
 
 A radiciação nem sempre e possível no conjunto Q dos 
números racionais. Observe que, por exemplo, 
 
 Pode–se provar, no entanto, que raízes do tipo 
2
, 
3 5
, 
5
4
3
, etc. não são racionais. Isso quer dizer que, por 
exemplo, não existe número racional cujo quadrado é 2, 
não existe número racional cujo cubo é 5, e assim por 
diante. 
 Números como esses são chamados números 
irracionais. 
Escritos na forma decimal, os números irracionais, não 
são exatos nem periódicos. De fato, usando uma 
simples calculadora, encontramos 
 
2
 = 1,414213562... 
3 5
 = 1,709975947... 
5
4
3
 = 0,944087511... 
 
 
 Os números irracionais não provém necessariamente 
da radiciação. São também irracionais, por exemplo, os 
números 
 
  = 3.141592654... (importante no estudo do círculo) 
 
 e = 2.71828182... (importante no estudo dos 
logaritmos) 
 
 0,303303330... 
 
 
 
Propriedades 
 
P1. A soma de um número racional com um número 
irracional é um número irracional. 
 
P2. A diferença entre um número racional e um número 
irracional, em qualquer ordem, é um número irracional. 
 
P3. O produto de um número racional, não-nulo,por um 
número irracional é um número irracional. 
 
P4. O quociente de um número racional, não-nulo, por um 
número irracional é um número irracional. 
 
 
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
 
 Quando um radical ou uma expressão com radicais 
aparece como denominador de uma fração, é possível 
as vezes encontrar uma fração equivalente cujo 
denominador não contém radical. Tal procedimento é 
chamado racionalização de denominadores. 
O processo geral consiste em multiplicar numerador e 
denominador por um fator conveniente, denominado 
fator racionalizante. 
 
 
1º- O denominador é um radical simples 
 
 O fator racionalizante é um radical com o mesmo 
índice que o denominador e com radicando tal que, ao 
se efetuar a multiplicação, a raiz obtida no 
denominador seja exata. 
 
Exemplo: 
 
 
 
2º- O denominador é do tipo 
 
 Duas expressões do tipo 
ba 
 e 
ba 
 
são ditas conjugadas. É importante observar que 
 
 
 
Essa identidade nos permite racionalizar 
denominadores do tipo . O fator racionalizante 
é o conjugado do denominador. 
 
Exemplo: 
 
 
 Às vezes, a racionalização deve ser feita por partes. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Q
5
6
25
36
 ;Q283 
23
2
26
2
2
2
6
2
6
ba 
   bababa 
ba 
   
2
153
15
156
15
15
15
6
15
6 










 
 
  




 123
123
123
3
123
3
 
 







624
363
123
1233
2
2
4
63223
624
624
624
363 






 
 
31 
 
3º- O denominador é do tipo 
 
 As identidades notáveis, nos permitem escrever: 
 
 
 
 
Em cada caso, a segunda expressão entre parênteses é o 
fator racionalizante. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (IR) 
 
 Acrescentando ao conjunto dos números racionais os 
números irracionais, obtemos o conjunto IR dos nú-
meros Reais. 
Portanto, IR = Q U {irracionais} 
 Podendo ser representado da seguinte maneira pelo 
diagrama de VENN: 
 
 
 
O EIXO REAL 
 
 A cada ponto de uma reta pode-se associar um único 
número real e a cada número real pode-se associar um 
único ponto dessa reta. 
 
 
INTERVALOS REAIS 
 
 Os intervalos reais são subconjuntos dos números 
reais . Serão caracterizados por desigualdades, sendo 
a e b números reais, com a < b, temos: 
 
 
 Intervalo fechado: 
 
 
Notação: [a, b] = {x  IR / a ≤ x ≤b} 
 A este intervalo pertencem todos os números 
compreendidos entre a e b ,inclusive a e b . 
 
 Intervalo aberto: 
 
 
Notação: ]a, b[ = { x  IR / a < x < b } 
 
 A este intervalo pertencem todos os números 
compreendidos entre a e b , excluindo a e b. 
 
 
 Intervalo fechado à esquerda e aberto à 
direita: 
 
 
Notação: [a, b[ = { x  IR / a ≤ x < b } 
 
 A este intervalo pertencem todos os números 
compreendidos entre a e b , incluindo a e não incluindo 
b. 
 
 Intervalo aberto à esquerda e fechado à 
direita: 
 
 
Notação: ]a, b] = { x  IR / a < x ≤ b } 
 A este intervalo pertencem todos os números 
compreendidos entre a e b , exceto a e incluindo b. 
 
 Intervalos indicados pelo símbolo∞ 
(infinito): 
 
Notação: ]a, +∞[ = { x  IR / x > a } 
 
 
Notação: ]-∞, a[ = { x  IR / x < a } 
 
33 ba 
  bababa.ba 3 233 233 




 
  bababa.ba 3 233 233 




 
 









 13
1392
133
133
13
2
13
2 33
33 2
33 2
33
139 33 
 
 
32 
 
 
Notação: [a, +∞[ = { x  IR / x ≥ a } 
 
Notação: ]-∞, a] = { x  IR / x ≤ a } 
 
Notação : ]-∞, ∞[ = IR 
 
 Não esqueça!!!!! 
 
 Os números reais a e b são denominados extremos dos 
intervalos. 
 O intervalo é sempre aberto na indicação do 
infinito. 
 
 
 
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 
 
 Chama-se módulo ou valor absoluto de um número 
inteiro “x” a distância desse número até o zero na reta 
numérica. 
 Sendo x

IR, definimos de módulo ou valor absoluto 
de x e indicamos por 
x
, através da relação: 
 
x





0xsex
0xse,x
 , 
ou seja: um número real positivo tem como módulo o 
próprio número. Já um número real negativo terá como 
módulo o oposto a esse número. 
 
Exemplos: 
 
 O módulo de +177 é 177 e indica-se |+177| = 177. 
 O módulo de − 79 é 79 e indica-se |−79| = 79. 
 
 
Propriedades envolvendo módulo 
 
 Admitiremos, sem demonstrar, algumas propriedades 
dos módulos: 
 
1. Para todo x IR, temos |x| ≥ 0 e |x| = 0 ⇔ x = 0 
 
2. Para todo x IR, temos |x| = |−x| 
 
3. Para todo x IR, temos |x2| = |−x2| = x2 
 
4. Para todo x e y IR, temos |x.y| = |x|.|y| 
 
5. Para todo x e y IR, temos |x+y||≤|x|+|y| 
 
6. Para todo x e y IR, temos |x|−|y| ≤ |x − y| 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. (PUC-SP) Seja x um número natural que, ao ser 
dividido por 9, deixa resto 5 e, ao ser dividido por 3, 
deixa resto 2. Sabendo que a soma dos quocientes é 9, 
podemos afirmar que x é igual a: 
A) 28 B) 35 
C) 27 D) 33 
E) 23 
 
02. Analise as sentenças abaixo: 
I. todo número primo admite apenas 2 divisores. 
II. 1 é primo. 
III. se a e b são primos distintos, então a e b são 
primos entre si. 
IV. se a e b são primos entre si, então a e b são 
primos. 
São falsas 
A) apenas I e III 
B) apenas II e IV 
C) apenas I e II 
D) apenas I, II e IV 
E) apenas III e IV 
 
03. O número 45a4, onde a é o algarismo das dezenas, 
é divisível por 12. A soma dos possíveis valores de a é: 
A) 9 B) 10 
C) 12 D) 15 
E) 16 
 
04.(UFMG) O produto de um inteiro positivo a de três 
algarismos por 3 é um número terminado em 721. A 
soma dos algarismos de a é: 
A) 12 B) 13 
C) 14 D) 15 
E) 16 
 
05. (UFMG) O número de 3 algarismos divisível, ao 
mesmo tempo, por 2, 3, 5, 6, 9, 11 é: 
A) 330 B) 660 
C) 676 D) 990 
E) 996 
06. (UNB) A expressão 
5
1
1
3
1
5
1
1
1
1




 é equivalente a: 
A) 
2
3
 
B) 
3
2
 
C) 
3
1
 
D) 
4
1
 
 
 
 
33 
 
07. A expressão 
011
5
1
3
2
4,0
5
3
6
1
3
1




















 é igual 
a: 
A) 8 
B) –3 
C) 5 
D) 4 
E) 2 
 
08. (PUC) O valor de 
...444,0
é: 
A) 0,222... 
B) 0,333... 
C) 0,444... 
D) 0.555... 
E) 0,666... 
 
09. (USP) Sela 
b
a
 a fração geratriz da dízima 0,1222... 
com a e b primos entre si. Nestas condições, temos: 
A) a
b
 = 990 
B) ab = 900 
C) a – b = 8 
D) a + b = 110 
E) b – a = 79 
 
10. (UFMG) Efetuando as operações indicadas na 
expressão 
    04,014,012,001,0
3
1 2

 obtemos: 
A) 0,220 
B) 0,226 
C) 0,296 
D) 0,560 
E) 0,650 
 
11. (UFMG) O valor de 10
–2
 . [(–3)
2
 – (–2)
3
] 
3 001,0
 é: 
A) –17 
B) – 1,7 
C) – 0,1 
D) 0,1 
E) 1,7 
 
12. (FUVEST) O valor da expressão 
12
22


 é: 
A) 
2
 
B) 
2
1
 
C) 2 
D) 
2
1
 
E) 
12 
 
 
13. (FGV-SP) Simplificando-se a expressão 
23
2
23
1



 obteremos: 
 
A) 
22
 
B) 
323 
 
C) 
3222 
 
D) 
322 
 
E) 
232 
 
 
14.(Bombeiros-MG) Considere os números reais a, b 
e c tais que : 
0
a
b
 e 0
b
c
,cba 
 Nessas 
condições podemos afirmar que: 
A) a
2
 > 0 e b < 0 
B) b
2
 < 0 e a > 0 
C) a
2
 > 0 e a < 0 
D) c
2
 > 0 e c < 0 
 
15. (Bombeiros-MG) Sejam p e q dois números 
primos. Sabe-se que a soma dos divisores naturais de 
p
2
 é 133, e que a soma dos divisores naturais de 2q é 
18. O valor de p + q é: 
A) 10 
B) 7 
C) 18 
D) 16 
 
16. (CFO/PM) Duas pessoas, fazendo exercícios 
diários, partem simultaneamente de um mesmo ponto 
e, andando, contornam uma pista oval que circunda um 
jardim. Uma dessas pessoas dá uma volta completa na 
pista em 12 minutos. A outra, andando mais devagar, 
leva 20 minutos para completar a volta. Depois de 
quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se 
encontrar no ponto de partida? 
A) 30 minutos. 
B) 45 minutos. 
C) 60 minutos. 
D) 240 minutos. 
 
17.(CFO/PM) No alto de uma torre de uma emissora de 
televisão, duas luzes "piscam" com freqüências 
diferentes. A primeira "pisca" 15 vezes por minuto e a 
segunda "pisca" 10 vezes por minuto. Se num certo 
instante as luzes piscam simultaneamente, após 
quantos segundos elas voltarão a piscar 
simultaneamente? 
A) 12 
B) 10