Exercícios - Prova 01

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Capítulo 01 
1.1 Exercícios de Sala de Aula: 
Exercício 01: 
Dados os pontos 
 1,2,1M 
, 
 3, 3,0N 
 e 
 2, 3, 4P   
, determine: 
a) 
MNR
; 
b) 
MN MPR R
; 
c) 
Mr
; 
d) 
ˆ
MPa
; 
e) 
2 3P Nr r
. 
Exercício 02: 
Um campo vetorial 
S
 é expresso em coordenadas cartesianas como 
     
     2 2 2
125
ˆ ˆ ˆ1 2 1
1 2 1
x y zS x a y a z a
x y z
       
    
. 
a) Calcule 
S
 no ponto 
 2,4,3P
; 
b) Determine o vetor unitário que fornece a direção de 
S
 em 
P
; 
c) Especifique a superfície 
 , ,f x y z
 na qual 
1S 
. 
Exercício 03: 
Considere um campo vetorial 
ˆ ˆ ˆ2,5 3x y zG ya xa a  
 e o ponto 
 4,5,2Q
. Deseja-se encontrar: 
a) O vetor 
G
 no ponto 
Q
; 
b) A componente escalar de 
G
 no ponto 
Q
 na direção de 
 13ˆ ˆ ˆ ˆ2 2N x y za a a a  
; 
c) A componente vetorial de 
G
 no ponto 
Q
 na direção de 
ˆ
Na
; 
d) O ângulo 
Ga
 entre 
 QG r
 e 
ˆ
Na
. 
Exercício 04: 
Os três vértices de um triângulo estão localizados em 
 6, 1,2A 
, 
 2,3, 4B  
 e 
 3,1,5C 
. 
Determine: 
a) 
ABR
; 
b) 
ACR
; 
c) O ângulo 
BAC
 no vétice 
A
; 
d) A projeção de 
ABR
 em 
ACR
; 
e) O vetor projeção de 
ABR
 em 
ACR
. 
Exercício 05: 
Os três vértices de um triângulo estão localizados em 
 6, 1,2A 
, 
 2,3, 4B  
 e 
 3,1,5C 
. 
Determine: 
a) 
AB ACR R
; 
b) A área do triângulo; 
c) O vetor unitário perpendicular ao plano no qual o triângulo está localizado. 
Exercício 06: 
Transforme o vetor (ou campo vetorial) 
ˆ ˆ ˆ
x y zB ya xa za  
 para coordenadas cilíndricas. 
Exercício 07: 
Pede-se: 
a) Dê as coordenadas cartesianas do ponto 
( 4,4; 115º; 2)C z    ; 
b) Dê as coordenadas cílíndricas do ponto 
( 3,1; 2,6; 3)D x y z    
; 
c) Determine a distância entre 
C
 e 
D
. 
Exercício 08: 
Pede-se: 
a) Expresse o campo vetorial 
2 2
ˆ ˆ
x yxa ya
D
x y



 em coordenadas cilíndricas e variáveis 
cilíndricas; 
b) Calcule 
D
 no ponto 
 2; 0,2 ; 5z    
. 
Exercício 09: 
Tranforme para coordenadas cilíndricas: 
a) O vetor
 ˆ ˆ ˆ10 8 6x y zF a a a  
 no ponto 
 10, 8,6P 
; 
b) O campo vetorial
    ˆ ˆ2 4x yG x y a y x a   
; 
c) Determine as componentes cartesianas do vetor 
ˆ ˆ ˆ20 10 3 zH a a a   
 em 
 5, 2, 1P x y z   
. 
 
 
Exercício 10: 
Converta o campo vetorial 
ˆ
x
xz
G a
y

 (variáveis e componentes) para coordenadas esféricas. 
Exercício 11: 
Dados dois pontos, 
 3,2,1A 
 e 
 5,20º , 70ºB 
, determine: 
a) As coordenadas esféricas de 
A
; 
b) As coordenadas cartesianas de 
B
; 
c) A distância entre 
A
 e 
.B
 
Exercício 12: 
Transforme os seguintes vetores para suas coordenadas esféricas nos pontos dados: 
a) 
ˆ10 xa
 em 
 3,2,4P 
; 
b) 
ˆ10 ya
 em 
 5,30º ,4Q
; 
c) 
ˆ10 za
 em 
 4,110º ,120ºM
. 
Exercício 13: 
Transforme os seguintes vetores para suas coordenads esféricas nos pontos dados: 
a) 
ˆ15a
 em 
 1, 3,5P 
; 
b) 
ˆ15a
 em 
 2, 10º , 3Q  
; 
c) 
ˆ15 za
 em 
 3,45º ,60ºM
. 
 
 
1.2 Exercícios Extras (retirados do livro do Hayt): 
Exercício 14: 
 
 
 
Exercício 15: 
 
Exercício 16: 
 
Exercício 17: 
 
Exercício 18 (não fazer letra "d"): 
 
Exercício 19: 
 
 
 
 
Exercício 20 (não fazer letra "d"): 
 
 
 
Capítulo 02 
2.1 Exercícios de Sala de Aula: 
Exemplo 01: 
Seja uma carga pontual 
4
1 3.10Q C

 localizada em 
 1,2,3M
 e outra 
4
2 10Q C
 
 em 
 2,0,5N
 ambas no vácuo. Encontrar a força exercida por 
1Q
 em 
2Q
. 
Exemplo 02: 
Uma carga 
20AQ C 
 está localizada em 
 6,4,7A 
 e uma carga 
50BQ C
 está em 
 5,8, 2B 
 no espaço livre. Se as distâncias são dadas em metros, determine o vetor força exercida 
em 
AQ
 por 
BQ
. 
Exemplo 03: 
Determinar o campo elétrico em 
 1,1,1P
 causado por quatro cargas idênticas de 
3 nC
 localizadas 
em 
 1 1,1,0P
, 
 2 1,1,0P 
, 
 3 1, 1,0P  
 e 
 4 1, 1,0P 
, conforme mostrado na figura abaixo. 
 
Exemplo 04: 
Uma carga de 
3 C
 está localizada em 
 25, 30,15A 
 (em 
cm
) e uma segunda carga de 
0,5 C
 está em 
 10,8,12B cm
. Determine o campo elétrico 
E
: 
a) Na origem; 
b) Em 
 15,20,50P cm
. 
Exemplo 05: 
Calcule a carga total dentro de cada um dos volumes indicados: 
a) 
1 , , 2x y z 
 e 
3 3 3
1
v
x y z
 
; 
b) 
0,1;0 ;2 4o z        e  2 2sen 0,6v z  
; 
c) Universo e 2
2
r
v
e
r



. 
Exemplo 06: 
Uma linha de cargas uniforme de 
16 /nC m
 está localizada ao longo da linha definida por 
2y  
, 
5z 
. Determine o campo elétrico em 
 1,2,3P
. 
Exemplo 07: 
Duas linhas de cargas uniformes e infinitas de 
5 /nC m
 estão situadas ao longo dos eixos 
x
 e 
y
 no 
espaço livre. Determine o campo elétricos em: 
a) 
 0,0,4AP
; 
b) 
 0,3,4BP
. 
Exemplo 08: 
Três lâminas de cargas infinitas e uniformes estão localizadas no espaço livre como se segue: 
23 /nC m
 em 
4z  
; 
26 /nC m
 em 
1z 
 e 
28 /nC m
 em 
4z 
. Determine o campo elétrico 
resultante nos pontos: 
a) 
 2,5, 5AP 
; 
b) 
 4,2, 3BP 
; 
c) 
 1, 5,2CP  
; 
d) 
 2,4,5DP 
. 
 
 
Exemplo 09: 
Determine a equação da linha de força que passa pelo ponto 
 1,4, 2P 
 no campo elétrico: 
a) 2
2
8 4
ˆ ˆ
x y
x x
E a a
y y

 
; 
b) 
 5 ˆ ˆ2 5 1x x yE e y x a xa    
. 
 
2.2 Exercícios Extras: 
Exemplo 10: 
 
Exemplo 11: 
 
Exemplo 12: 
 
Exemplo 13: 
 
 
 
Exemplo 14: 
 
Exemplo 15: 
 
Exemplo 16: 
Dado o campo elétrico �⃗� = (4𝑥 − 2𝑦)�̂�𝑥 + (2𝑥 + 4𝑦)�̂�𝑦, determine a equação da linha de força 
que passa pelo ponto 𝑃(2,3, −4). 
 
Capítulo 03 
3.1 Exercícios de Sala de Aula: 
Exemplo 01: 
Calcule a densidade de fluxo elétrico 
D
 em coordenadas retangulares no ponto 
 2, 3,6P 
 
produzido por: 
a) uma carga pontual 
55Q mC
 em 
 2,3, 6M  
; 
b) uma linha de cargas uniforme de 
20 /L mC m 
 no eixo 
x
; 
c) uma densidade superficial de carga de 
2120 /S C m 
 no plano 
5z  
. 
Exemplo 02: 
Dada uma carga pontual de 
60 C
 localizada na origem, determine o fluxo elétrico total que passa 
através: 
a) da porção de uma esfera de 
26r cm
 limitada por 
0 /2  
 e 
0 /2  
; 
b) da superfície fechada definida por 
26 cm 
 e 
26z cm 
; 
c) do plano 
26z cm
. 
Exemplo 03: 
Dada a densidade de fluxo elétrico 
2 2ˆ0,3 /rD r a nC m
 no espaço livre, determine: 
a) o campo elétrico 
E
 no ponto 
 2,25º ,90ºP
. 
b) a carga total dentro da esfera 
3r 
. 
c) o fluxo elétrico total que deixa a esfera 
4r 
. 
Exemplo 04: 
Calcule o fluxo elétrico total que deixa uma superfície cúbica formada pelos seis planos 
, , 5x y z  
 
se a distribuição de carga é: 
a) duas cargas pontuais, uma de 
0,1 C
 em 
 1, 2,3
 e outra de 
1
7 C
 em 
 1,2, 2 
; 
b) uma linha de cargas uniforme de 
/C m 
 em 
2x  
 e 
3y 
; 
c) uma superfície de cargas uniforme de 
20,1 /C m
 no plano 
3y x. 
Exemplo 05: 
Considere um cabo coaxial de 
50 cm
 de comprimento com raio interno de 
1mm
 e raio externo de 
4mm
, o espaço entre os condutores é preenchido por ar. A carga total no condutor interno é 
30 nC
. Calcule a densidade de carga em cada condutor e, usando a lei de Gauss, a densidade de 
fluxo elétrico e o campo elétrico, em toda região. 
Exemplo 06: 
Uma carga pontual de 
0,25 C
 está localizada na origem, e duas densidades superficiais de carga 
uniformes estão localizadas como segue: uma de 
22 /mC m
 em 
1r cm
 e outra de 
20,6 /mC m
 
em 
1,8r cm
. Calcule o vetor densidade de fluxo elétrico em: 
a) 
0,5r cm
; 
b) 
1,5r cm
; 
c) 
2,5r cm
; 
d) Que densidade superficial de carga uniforme deve ser estabelecida em 
3r cm
 para 
causar um densidade de fluxo de carga nula em 
3,5r cm
? 
Exemplo 07 (usar expressão desenvolvida no item 3.4): 
Determine um valor aproximado para a carga total contida em um volume incremental de 
9 310 m
 
localizado na origem, se 
    2ˆ ˆ ˆsen cos 2 /x xx y zD e y a e y a za C m
   
. 
 
 
Exemplo 08: 
Determine a divergência 
div D
 em um ponto situado na origem se o vetor densidade de fluxo é 
    2ˆ ˆ ˆsen cos 2 /x xx y zD e y a e y a za C m
   
. 
Exemplo 09: 
Determinar o valor numérico para 
div D
 no ponto especificado para cada um dos seguintes itens 
abaixo: 
a) 
   2 2 2 2ˆ ˆ ˆ2 2 /x y zD xyz y a x z xy a x ya C m    
 em 
 2,3, 1P 
; 
b) 
     2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ2 sen sen 2 2 sen /zD z a z a z a C m         em  2,110º , 1P  ; 
c) 
          2ˆ ˆ ˆ2 sen cos cos cos sen /rD r a r a r a C m        em  1,5;30º;50ºP . 
Exemplo 10: 
Determine uma expressão para a densidade volumétrica de carga associada com cada campo 
densidade de fluxo elétrico a seguir: 
a) 2 2
2
2
4 2 2
ˆ ˆ ˆ /x y z
xy x x y
D a a a C m
z z z
  
; 
b) 
      2ˆ ˆ ˆsen cos sen /zD z a z a a C m      ; 
c) 
          2ˆ ˆ ˆsen sen cos sen cos /rD a a a C m       . 
Exemplo 11: 
Calcule ambos os lados do teorema da divergência para o campo 
2 2ˆ ˆ2 /x yD xya x a C m 
 e a a 
região fechada de um paralelepípedo formado pelos planos 
0 1x e
,
0 2y e
 e 
0 3z e
. 
Exemplo 12: 
Dado o campo 
    21 12 2ˆ ˆ6 sen 1,5 cos /D a a C m      calcule ambos os lados do teorema da 
divergência para a região limitada por 
2 
,
0 e 
 e 
0 5z e
. 
 
 
 
 
 
 
3.2 Exercícios Extras: 
Exemplo 13: 
 
Exemplo 14 (apenas letra 'a'): 
 
Exemplo 15: 
 
Exemplo 16: 
 
 
 
 
 
Exemplo 17 (*): 
 
*Obs. corrigir, lê-se: “Dentro de uma casca esférica ...” 
Exemplo 18: