Convergência e Topologia em Espaços Métricos

Prévia do material em texto

Convergeˆncia e Topologia
Vinicius Cabral da Silva
22 de novembro de 2017
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Nos espac¸os me´tricos os conceitos topolo´gicos introduzidos nos
cap´ıtulos anteriores podem ser todos expressos mediante limites de
sequeˆncias. Comec¸aremos com a noc¸a˜o de func¸a˜o cont´ınua.
Proposic¸a˜o 9:
Sejam M,N espac¸os me´tricos. A fim de que a aplicac¸a˜o
f : M −→ N seja cont´ınua no ponto a ∈ M e´ necessa´rio e
suficiente que xn −→ a em M implique f (xn) −→ f (a) em N.
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Nos espac¸os me´tricos os conceitos topolo´gicos introduzidos nos
cap´ıtulos anteriores podem ser todos expressos mediante limites de
sequeˆncias. Comec¸aremos com a noc¸a˜o de func¸a˜o cont´ınua.
Proposic¸a˜o 9:
Sejam M,N espac¸os me´tricos. A fim de que a aplicac¸a˜o
f : M −→ N seja cont´ınua no ponto a ∈ M e´ necessa´rio e
suficiente que xn −→ a em M implique f (xn) −→ f (a) em N.
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Demonstrac¸a˜o
Seja f cont´ınua no ponto a. Se xn −→ a enta˜o, dado
� > 0, ∃ δ > 0 tal que d(x , a) < δ =⇒ d(f (x), f (a)) < �. A partir
de δ, obtemos n0 ∈ N tal que
n > n0 =⇒ d(xn, a) < δ =⇒ d(f (xn), f (a)) < �. Logo
lim f (xn) = f (a). Para demonstrar a rec´ıproca suponhamos, por
absurdo, que f na˜o seja cont´ınua no ponto a. Enta˜o existe � > 0
tal que, para cada n ∈ N, no´s podemos obter xn ∈ M, com
d(xn, a) < 1/n e d(f (xn), f (a)) ≥ �. Isto nos da´ uma sequeˆncia
(xn) em M, com xn −→ a sem que f (xn) convirja para f (a).
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Corola´rio 1
Para que f : M −→ N seja cont´ınua no ponto a, e´ suficiente que
xn −→ a implique (f (xn)) convergente em N.
Basta mostrar que, nestas condic¸o˜es, xn −→ a implica
f (xn) −→ f (a). Ora, se xn −→ a, a sequeˆncia
(zn) = (x1, a, x2, a...) converge para a. Logo
(f (zn)) = (f (x1), f (a), f (x2), f (a), ...)
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Corola´rio 1
Para que f : M −→ N seja cont´ınua no ponto a, e´ suficiente que
xn −→ a implique (f (xn)) convergente em N.
Basta mostrar que, nestas condic¸o˜es, xn −→ a implica
f (xn) −→ f (a). Ora, se xn −→ a, a sequeˆncia
(zn) = (x1, a, x2, a...) converge para a. Logo
(f (zn)) = (f (x1), f (a), f (x2), f (a), ...)
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Corola´rio 2
Para que f : M −→ N seja cont´ınua no ponto a, e´ suficiente que
xn −→ a implique (f (xn)) possui uma subsequeˆncia convergindo
para f (a).
Trata-se na verdade, de um corola´rio da demonstrac¸a˜o, na qual,
supondo f descont´ınua no ponto a, obtivemos uma sequeˆncia (xn)
com xn −→ a, mas nenhuma subsequeˆncia de (xn) pode convergir
para f (a).
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Corola´rio 2
Para que f : M −→ N seja cont´ınua no ponto a, e´ suficiente que
xn −→ a implique (f (xn)) possui uma subsequeˆncia convergindo
para f (a).
Trata-se na verdade, de um corola´rio da demonstrac¸a˜o, na qual,
supondo f descont´ınua no ponto a, obtivemos uma sequeˆncia (xn)
com xn −→ a, mas nenhuma subsequeˆncia de (xn) pode convergir
para f (a).
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Corola´rio 3
A aplicac¸a˜o f : M −→ N e´ cont´ınua se, e somente se, a imagem
(f (xn)) de toda sequeˆncia convergeˆnte (xn) em M e´ uma sequeˆncia
convergente em N. No caso afirmativo, tem-se
f (lim xn) = lim f (xn).
Proposic¸a˜o 10
Seja X um subconjunto de um espac¸o me´trico M. A fim de que se
tenha a ∈ X em M, e´ necessa´rio e suficiente que a seja limite de
uma sequeˆncia de pontos xn ∈ X .
Demonstrac¸a˜o
Se a ∈ X , enta˜o ∀ n ∈ N podemos obter um ponto
xn ∈ B(a; 1/n) ∩ X . Isto nos da´ uma sequeˆncia de pontos xn ∈ X ,
com d(xn, a) < 1/n e portanto lim xn = a. Reciprocamente, se
a = lim xn, xn ∈ X , enta˜o toda bola aberta de centro a conte´m
pontos xn pertencentes a X. Logo a ∈ X .
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Corola´rio 3
A aplicac¸a˜o f : M −→ N e´ cont´ınua se, e somente se, a imagem
(f (xn)) de toda sequeˆncia convergeˆnte (xn) em M e´ uma sequeˆncia
convergente em N. No caso afirmativo, tem-se
f (lim xn) = lim f (xn).
Proposic¸a˜o 10
Seja X um subconjunto de um espac¸o me´trico M. A fim de que se
tenha a ∈ X em M, e´ necessa´rio e suficiente que a seja limite de
uma sequeˆncia de pontos xn ∈ X .
Demonstrac¸a˜o
Se a ∈ X , enta˜o ∀ n ∈ N podemos obter um ponto
xn ∈ B(a; 1/n) ∩ X . Isto nos da´ uma sequeˆncia de pontos xn ∈ X ,
com d(xn, a) < 1/n e portanto lim xn = a. Reciprocamente, se
a = lim xn, xn ∈ X , enta˜o toda bola aberta de centro a conte´m
pontos xn pertencentes a X. Logo a ∈ X .
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Corola´rio 3
A aplicac¸a˜o f : M −→ N e´ cont´ınua se, e somente se, a imagem
(f (xn)) de toda sequeˆncia convergeˆnte (xn) em M e´ uma sequeˆncia
convergente em N. No caso afirmativo, tem-se
f (lim xn) = lim f (xn).
Proposic¸a˜o 10
Seja X um subconjunto de um espac¸o me´trico M. A fim de que se
tenha a ∈ X em M, e´ necessa´rio e suficiente que a seja limite de
uma sequeˆncia de pontos xn ∈ X .
Demonstrac¸a˜o
Se a ∈ X , enta˜o ∀ n ∈ N podemos obter um ponto
xn ∈ B(a; 1/n) ∩ X . Isto nos da´ uma sequeˆncia de pontos xn ∈ X ,
com d(xn, a) < 1/n e portanto lim xn = a. Reciprocamente, se
a = lim xn, xn ∈ X , enta˜o toda bola aberta de centro a conte´m
pontos xn pertencentes a X. Logo a ∈ X .
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Corola´rio 1
A fim de que o ponto a pertenc¸a a` fronteira do conjunto X, e´
necessa´rio e suficiente que a seja limite de uma sequeˆncia de
pontos xn ∈ X , e de uma sequeˆncia de pontos yn ∈ M − X .
Com efeito, a fronteira de X e´ ∂X = X ∩M − X .
Corola´rio 2
Um subconjunto X ⊂ M e´ denso no espac¸o me´trico M se, e
somente se, todo ponto de M e´ limite de uma sequeˆncia de pontos
de X.
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Corola´rio 1
A fim de que o ponto a pertenc¸a a` fronteira do conjunto X, e´
necessa´rio e suficiente que a seja limite de uma sequeˆncia de
pontos xn ∈ X , e de uma sequeˆncia de pontos yn ∈ M − X .
Com efeito, a fronteira de X e´ ∂X = X ∩M − X .
Corola´rio 2
Um subconjunto X ⊂ M e´ denso no espac¸o me´trico M se, e
somente se, todo ponto de M e´ limite de uma sequeˆncia de pontos
de X.
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Corola´rio 1
A fim de que o ponto a pertenc¸a a` fronteira do conjunto X, e´
necessa´rio e suficiente que a seja limite de uma sequeˆncia de
pontos xn ∈ X , e de uma sequeˆncia de pontos yn ∈ M − X .
Com efeito, a fronteira de X e´ ∂X = X ∩M − X .
Corola´rio 2
Um subconjunto X ⊂ M e´ denso no espac¸o me´trico M se, e
somente se, todo ponto de M e´ limite de uma sequeˆncia de pontos
de X.
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Corola´rio 3
A fim de que um conjunto F seja fechado em M, e´ necessa´rio e
sufuciente que ele contenha o limite de cada sequeˆncia de pontos
xn ∈ F que convirja em M.
Ou seja, F ⊂ M e´ fechado se, e somente se,
xn ∈ F , xn −→ a ∈ M =⇒ a ∈ F . (Isto diz que F e´ fechado
relativamente a` operac¸a˜o de tomar limites em M.)
A demonstrac¸a˜o do corola´rio 3 se faz apelando para a proposic¸a˜o
10 e observando que F e´ fechado se, e somente se, F ⊃ F .
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Corola´rio 3
A fim de que um conjunto F seja fechado em M, e´ necessa´rio e
sufuciente que ele contenha o limite de cada sequeˆncia de pontos
xn ∈ F que convirja em M.
Ou seja, F ⊂ M e´ fechado se, e somente se,
xn ∈ F , xn −→ a ∈ M =⇒ a ∈ F . (Isto diz que F e´ fechado
relativamente a` operac¸a˜o de tomar limites em M.)
A demonstrac¸a˜o do corola´rio 3 se faz apelando para a proposic¸a˜o
10 e observando que F e´ fechado se, e somente se, F ⊃ F .
ViniciusCabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Proposic¸a˜o 11
Um conjunto A e´ aberto em M se, e somente se, cumpre a
seguinte condic¸a˜o: xn −→ a ∈ A =⇒ xn ∈ A para todo n
suficientemente grande.
Demonstrac¸a˜o
Se A e´ aberto e xn −→ a ∈ A enta˜o existe uma bola B(a; �) ⊂ A e
portanto existe n0 tal que n > n0 =⇒ xn ∈ B(a; �) ⊂ A.
Reciprocamente, supondo cumprida a condic¸a˜o, dada uma
sequeˆncia de pontos xn ∈ M − A com lim xn = b, na˜o se pode ter
b ∈ A, logo b ∈ M − A. Assim, M − A e´ fechado (Corola´rio 3) e
consequentemente A e´ aberto.
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Proposic¸a˜o 11
Um conjunto A e´ aberto em M se, e somente se, cumpre a
seguinte condic¸a˜o: xn −→ a ∈ A =⇒ xn ∈ A para todo n
suficientemente grande.
Demonstrac¸a˜o
Se A e´ aberto e xn −→ a ∈ A enta˜o existe uma bola B(a; �) ⊂ A e
portanto existe n0 tal que n > n0 =⇒ xn ∈ B(a; �) ⊂ A.
Reciprocamente, supondo cumprida a condic¸a˜o, dada uma
sequeˆncia de pontos xn ∈ M − A com lim xn = b, na˜o se pode ter
b ∈ A, logo b ∈ M − A. Assim, M − A e´ fechado (Corola´rio 3) e
consequentemente A e´ aberto.
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Proposic¸a˜o 12
A fim de que a seja ponto de acumulac¸a˜o de um conjunto X ⊂ M
e´ necessa´rio e suficiente que a seja limite de uma sequeˆncia de
pontos distintos de xn ∈ X .
Demonstrac¸a˜o
A condic¸a˜o e´ evidentemente suficiente. Suponhamos agora a ∈ X ′.
Para cada n ∈ N, a bola aberta B(a; 1/n) conte´m uma infinidade
de pontos de X. Podemos enta˜o escolher sucessivamente os pontos
x1, x2, ..., xn, ... de tal modo que xn ∈ X , xn ∈ B(a; 1/n), mas xn
na˜o e´ nenhum dos pontos x1, · · · , xn−1 escolhidos anteriormente.
Enta˜o m 6= n =⇒ xm 6= xn e, como d(xn, a) < 1/n, temos
lim xn = a.
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Proposic¸a˜o 12
A fim de que a seja ponto de acumulac¸a˜o de um conjunto X ⊂ M
e´ necessa´rio e suficiente que a seja limite de uma sequeˆncia de
pontos distintos de xn ∈ X .
Demonstrac¸a˜o
A condic¸a˜o e´ evidentemente suficiente. Suponhamos agora a ∈ X ′.
Para cada n ∈ N, a bola aberta B(a; 1/n) conte´m uma infinidade
de pontos de X. Podemos enta˜o escolher sucessivamente os pontos
x1, x2, ..., xn, ... de tal modo que xn ∈ X , xn ∈ B(a; 1/n), mas xn
na˜o e´ nenhum dos pontos x1, · · · , xn−1 escolhidos anteriormente.
Enta˜o m 6= n =⇒ xm 6= xn e, como d(xn, a) < 1/n, temos
lim xn = a.
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia
Exemplo 10
Vimos na Proposic¸a˜o 8 que lim xn = a > b na reta implica xn > b
para todo n suficientemente grande. Isto e´ um caso particular da
Proposic¸a˜o 11 pois o conjunto (b,+∞), dos pontos x > b e´
aberto na reta. Tambe´m o corola´rio da proposic¸a˜o 8, segundo o
qual xn ≤ b ∀ n =⇒ lim xn ≤ b (caso lim xn exista) decorre, como
caso particular, do Corola´rio 3 da Proposic¸a˜o 10 pois o conjunto
(−∞, b] dos pontos x ≤ b e´ fechado na reta.
Exemplo 12
Sejam f , g : M −→ N cont´ınuas. O conjunto F dos pontos x ∈ M
tais que f (x) = g(x) e´ fechado em M. Com efeito, dada uma
sequeˆncia de pontos xn ∈ F , com lim xn = a ∈ M, temos
f (xn) = g(xn) para todo n ∈ N. Segue-se da´ı que
f (a) = f (lim xn) = lim f (xn) = lim g(xn) = g(lim xn) = g(a). Logo
a ∈ F e, portanto, F e´ fechado.
Vinicius Cabral da Silva Convergeˆncia e Topologia