Gabarito da P2C do 2sem16.pdf

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Nº sequencial 
 
DISC: Nº NA 2121 CÁLCULO II 
I 
P- 2 C DATA: 24 / nov / 2016 
NOME: NOTA: 
ASS.: TURMA: 
Instruções Gerais: A duração da prova é 80 minutos. Não é permitida a consulta e nem o uso de calculadoras e celulares. 
 O valor de cada questão é 2.0 pontos. Respostas a tinta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª questão: Resolver o problema de valor inicial 
(𝑥2 + 1). 𝑦′ = 2𝑥𝑦 para y > 0 e y(1) = 1 
 
 
 
 
1ª questão: Resolver a equação diferencial 
𝑦ʼʼ − 𝑦ʼ − 2𝑦 = 4𝑒3𝑥 − 8𝑥 
 
 
Nº 
 
y”−y’ − 2 = 0 
𝑟2 − 𝑟 − 2 = 0 
𝑟 =
1 ± 3
2
 
r = 2 ou r = −1 
𝑦𝐻 = 𝐶1𝑒
2𝑥 + 𝐶2𝑒
−𝑥 
 
 
G(x) = 4𝑒3𝑥 − 8𝑥 
𝑦𝑝 = 𝐴𝑒
3𝑥 + ( 𝐵𝑥 + 𝐶 ) 
𝑦𝑝
ʹ = 3𝐴𝑒3𝑥 + 𝐵 
𝑦𝑝" = 9𝐴𝑒
3𝑥 
𝑦ʼʼ − 𝑦ʼ − 2𝑦 = 4𝑒3𝑥 − 8𝑥 
9𝐴𝑒3𝑥 − 3𝐴𝑒3𝑥 − 𝐵 − 2𝐴𝑒3𝑥 − 2𝐵𝑥 − 2𝐶 = 4𝑒3𝑥 − 8𝑥 
4𝐴𝑒3𝑥 −2𝐵𝑥 + (−𝐵 − 2𝐶) = 4𝑒3𝑥 − 8𝑥 + 0 
 
{
4𝐴 = 4 
−2𝐵 = −8 
−𝐵 − 2𝐶 = 0
 → A = 1 ; B = 4 ; C = −2 
𝑦𝑝 = 𝑒
3𝑥 + 4𝑥 − 2 
 
𝒚𝒈 = 𝑪𝟏𝒆
𝟐𝒙 + 𝑪𝟐𝒆
−𝒙 + 𝒆𝟑𝒙 + 𝟒𝒙 − 𝟐 
 
 
 
 
 
 
 
𝑦’
𝑦
= 
2𝑥
𝑥2+1
 
∫
1
𝑦
. 𝑦 . 𝑑𝑥 = ∫
2𝑥
𝑥2+1
𝑑𝑥 
∫
1
𝑦
𝑑𝑦 = ∫
2𝑥
𝑥2+1
. 𝑑𝑥 
 
 u = 𝑥2 + 1 
 du = 2x.dx 
 
∫
𝑑𝑦
𝑦
= ∫
𝑑𝑢
𝑢
 
ln|𝑦| = ln|𝑢| + 𝐶 
ln|𝑦| = ln|𝑥2 + 1| + 𝐶 
Para x = 1 temos que y = 1: 
ln|1| = ln|2| + 𝐶 
C = −ln 2 
ln 𝑦 = ln(𝑥2 + 1) − ln 2 
ln 𝑦 = ln (
𝑥2+1
2
) 
𝒚 =
𝒙𝟐+𝟏
𝟐
 
 
 
 
 
 
 
NA 2121 P-2 C 2º SEMESTRE 2016 NA 2121 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª questão: Dada a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 + 𝑡𝑔 (𝑦. 𝑒
1
𝑥), 
determinar o valor de E =𝑥2.
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 + 𝑦.
𝜕𝑓
𝜕𝑦
− 2𝑦2. 
4ª questão: Sendo D a região plana limitada pela reta 
vertical x = 0 e pelas retas inclinadas y = 2−x e y = x , 
pede-se: 
 
a) Esboçar a região D; 
 
b) Escrever a integral dupla ∬ 4𝑦. 𝑑𝐴
𝐷
𝐷
 nas duas 
ordens de integração, adotando dA = dxdy e dA 
= dydx; 
 
c) Calcular a integral dupla. 
 
∂f
∂x
= 0 + 𝑠𝑒𝑐2 (𝑦𝑒
1
𝑥) . 𝑦𝑒
1
𝑥. (−
1
𝑥2
) 
 
 = −
𝑦
𝑥2
. 𝑒
1
𝑥. 𝑠𝑒𝑐2 (𝑦𝑒
1
𝑥) 
 
∂f
∂y
= 2𝑦 + 𝑠𝑒𝑐2 (𝑦𝑒
1
𝑥) . 1. 𝑒
1
𝑥 
 
 = 2𝑦 + 𝑒
1
𝑥. 𝑠𝑒𝑐2 (𝑦𝑒
1
𝑥) 
 
 
Substituindo 
∂f
∂x
 𝑒 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 na expressão: 
 
𝐸 = 𝑥2.
∂f
∂x
+ 𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
− 2𝑦2 
 
𝐸 = −𝑦. 𝑒
1
𝑥. 𝑠𝑒𝑐2 (𝑦𝑒
1
𝑥) + 2𝑦2 + 𝑦. 𝑒
1
𝑥. 𝑠𝑒𝑐2 (𝑦𝑒
1
𝑥) − 2𝑦2 
 
E = 0 
 
 
 
 
 
𝐼1 = ∫ ∫ 4𝑦. 𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∫ ∫ 4𝑦. 𝑑𝑥𝑑𝑦
2−𝑦
0
2
1
𝑦
0
1
0
 
 
 
𝐼2 = ∫ ∫ 4𝑦. 𝑑𝑦𝑑𝑥
2−𝑥
𝑥
1
0
 
 
 
𝐼2= ∫ [4
𝑦2
2
 |
2 − 𝑥
𝑥
𝑥
] 𝑑𝑥
1
0
 
 
 = 2. ∫ [(2 − 𝑥)2 − 𝑥2]
1
0
𝑑𝑥 
 
 = 2. ∫ [4 − 4𝑥 + 𝑥2 − 𝑥2]
1
0
𝑑𝑥 
 
 = 2. [4𝑥 − 4
𝑥2
2
] |
1
0
 
 
 
 𝐈 = 𝟐(𝟒 − 𝟐) = 𝟒 
 
y = x 
x = 0 
x 
0 
2 
1 2 
y =2 −x 
1 
NA 2121 P-2 C 2º SEMESTRE 2016 NA 2121 
 
RASCUNHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5ª questão: Utilizar os Multiplicadores de Lagrange 
para calcular os valores máximo e mínimo da função 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦2 sujeitos à restrição 𝑥2 + 𝑦2 = 1. 
{
∇𝑓 = . ∇𝑔 
𝑔(𝑥, 𝑦) = 0
 ;  ∈ R 
 
{
(1, 2𝑦) = . (2𝑥, 2𝑦)
𝑥2 + 𝑦2 − 1 = 0 
 
 
{
1 = 2𝑥 
2𝑦 = 2𝑦 
𝑥2 + 𝑦2 = 1 
 
 
Da 2ª equação, obtemos: 
 
2𝑦 − 2𝑦 = 0 
2𝑦( 1 −  ) = 0 
 y = 0 ou  = 1 
 
Substituindo y = 0 nas outras equações: 
 
{
1 = 2𝑥
𝑥2 + 0 = 1
 → x = ± 1 e  = ± 
1
2
 
 
𝑃1 = (1, 0) ; 𝑃2 = (−1, 0) 
 
Substituindo  = 1 nas outras equações: 
 
{
1 = 2𝑥 
𝑥2 + 𝑦2 = 1
 → x = 
1
2
 e y = ± 
√3
 2
 
 
𝑃3 = (
1
2
,
√3
 2
) ; 𝑃4 = (
1
2
, −
√3
 2
) 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦2 
f(1,0) = 1 
f(−1,0) = −1 é valor mínimo restrito de f 
f(
1
2
,
√3
2
) = f(
1
2
, − 
√3
2
) = 
𝟓
𝟒
 é valor máximo restrito de f