Lista 02 - Variáveis Separáveis

Prévia do material em texto

Centro Universitário – Católica de Santa Catarina 
Engenharias 
Cálculo Diferencial e Integral III 
Professor Dr. Henrique de Souza Medeiros 
 
VARIÁVEIS SEPARÁVEIS 
 
Nos problemas, resolva a equação diferencial dada por separação de variável. 
1. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= sen 5𝑥 
2. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (𝑥 + 1)2 
3. 𝑑𝑥 + 𝑒3𝑥𝑑𝑦 = 0 
4. 𝑑𝑥 − 𝑥2𝑑𝑦 = 0 
5. (𝑥 + 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 + 6 
6. 𝑒𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 
7. 𝑥𝑦′ = 4𝑦 
8. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑥𝑦 = 0 
9. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦3
𝑥2
 
10. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦+1
𝑥
 
11. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2𝑦2
1+𝑥
 
12. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1+2𝑦2
𝑦 sen 𝑥
 
13. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒3𝑥+2𝑦 
14. 𝑒𝑥𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒−𝑦 + 𝑒−2𝑥−𝑦 
15. (4𝑦 + 𝑦𝑥2)𝑑𝑦 = (2𝑥 + 𝑥𝑦2)𝑑𝑥 = 0 
16. (1 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2𝑦2)𝑑𝑦 = 𝑦2𝑑𝑥 
17. 2𝑦(𝑥 + 1)𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 
18. 𝑥2𝑦2𝑑𝑦 = (𝑦 + 1)𝑑𝑥 
19. 𝑦 ln 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (
𝑦+1
𝑥
)
2
 
20. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (
2𝑦+3
4𝑥+5
)
2
 
21. 
𝑑𝑆
𝑑𝑟
= 𝑘𝑆 
22. 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑄 − 70) 
23. 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑃 − 𝑃2 
24. 
𝑑𝑁
𝑑𝑡
+ 𝑁 = 𝑁𝑡𝑒𝑡+2 
25. sec2 𝑥 𝑑𝑦 + cossec 𝑦 𝑑𝑥 = 0 
26. sin 3𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑦 cos3 3𝑥 𝑑𝑦 = 0 
27. 𝑒𝑦 sen 2𝑥 𝑑𝑥 + cos 𝑥 (𝑒2𝑦 −
𝑦)𝑑𝑦 = 0 
28. sec 𝑥 𝑑𝑦 = 𝑥 cotg 𝑦 𝑑𝑥 
29. (𝑒𝑦 + 1)2𝑒−𝑦𝑑𝑥 + (𝑒𝑥 +
1)𝑒−𝑥𝑑𝑦 = 0 
30. 
𝑦
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (1 + 𝑥2)−1/2(1 + 𝑦2)1/2 
31. (𝑦 − 𝑦𝑥2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (𝑦 + 1)2 
32. 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
−
1
𝑦
=
2𝑥
𝑦
 
33. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥𝑦+3𝑥−𝑦−3
𝑥𝑦−2𝑥+4𝑦−8
 
34. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥𝑦+2𝑦−𝑥−2
𝑥𝑦−3𝑦+𝑥−3
 
35. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= sen 𝑥 (cos 2𝑦 − cos2 𝑦) 
36. sec 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ sin(𝑥 − 𝑦) = sen(𝑥 + 𝑦) 
37. 𝑥√1 − 𝑦2𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 
38. 𝑦(1 − 𝑥2)1/2𝑑𝑦 = (4 + 𝑦2)1/2𝑑𝑥 
39. (𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦2 
40. (𝑥 + √𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 + √𝑦 
Resolva a equação diferencial sujeita à condição inicial indicada. 
41. (𝑒−𝑦 + 1) sin 𝑥 𝑑𝑥 = (1 + cos 𝑥)𝑑𝑦, 𝑦(0) = 0 
42. (1 + 𝑥4)𝑑𝑦 + 𝑥(1 + 4𝑦2)𝑑𝑥 = 0, 𝑦(1) = 0 
43. 𝑦𝑑𝑦 = 4𝑥(𝑦2 + 1)1/2𝑑𝑥, 𝑦(0) = 1 
44. 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑡𝑦 = 𝑦 𝑦(1) = 3 
45. 
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 4(𝑥2 + 1) 𝑥 (
𝜋
4
) = 1 
46. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦2−1
𝑥2−1
 𝑦(2) = 2 
47. 𝑥2𝑦′ = 𝑦 − 𝑥𝑦 𝑦(−1) = −1 
48. 𝑦′ + 2𝑦 = 1 𝑦(0) =
5
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas