aula cap tulo 01

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Capítulo 1: 
Tensão
Adaptado pela prof. Dra. Danielle Bond
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Introdução
• A resistência dos materiais é um ramo da mecânica que
estuda as relações entre as cargas externas aplicadas
a um corpo deformável e a intensidade das cargas
internas que agem no interior do corpo.
• Esse assunto também envolve o cálculo das
deformações do corpo e proporciona o estudo de sua
estabilidade quando sujeito a forças externas.
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Introdução
• No projeto de qualquer estrutura ou máquina, é
necessário usar os princípios da estática para
determinar as forças que agem sobre os vários
elementos, bem como no seu interior.
• O tamanho dos elementos, sua deflexão e estabilidade 
dependem não só das cargas internas, mas também do 
tipo de material de que são feitos.
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Introdução
• Muitas fórmulas e regras de projeto definidas em
códigos de engenharia e utilizadas na prática são
baseadas nos fundamentos da resistência dos
materiais, e por essa razão, é muito importante entender
os princípios dessa matéria.
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Equilíbrio de um corpo deformável
Cargas externas
1. Forças de superfície:
causadas pelo contato direto de 
um corpo com a superfície de 
outro.
2. Força de corpo:
Desenvolvida quando um corpo 
exerce uma força sobre outro, 
sem contato físico direto entre 
eles.
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Reações
• São as forças de superfície desenvolvidas nos apoios ou 
pontos de contato entre corpos.
• Se o apoio impedir a translação em uma determinada 
direção, então uma força deve ser desenvolvida no 
elemento naquela direção.
• Da mesma forma, se o apoio impedir a rotação, um 
momento deve ser exercido no elemento.
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Reações
• Forças de superfície desenvolvidas nos apoios ou pontos de 
contato entre corpos.
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Equações de equilíbrio
• O equilíbrio de um corpo exige um equilíbrio de forças 
e um equilíbrio de momentos.
• Se estipularmos um sistema de coordenadas x, y, z com 
origem no ponto O,
• A melhor maneira de levar em conta essas forças é 
desenhar o diagrama de corpo livre do corpo.
0M 0F   O
0 , 0 , 0
0 , 0 , 0




zyx
zyx
MMM
FFF
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Cargas resultantes internas
• O objetivo do diagrama de corpo livre é determinar a força e o 
momento resultantes que agem no interior de um corpo 
• Em geral, há quatro tipos diferentes de cargas resultantes:
a) Força normal, N
b) Força de cisalhamento, V
c) Momento de torção ou torque, T
d) Momento fletor, M
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Exemplo 1.1
Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em C.
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Exemplo 1.1
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Exemplo 1.2
Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal
em C do eixo de máquina mostrado na Fig. O eixo está apoiado em
mancais em A e B, que exercem somente forças verticais no eixo.
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Exemplo 1.2
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Exemplo 1.2
1Reações de Apoio Ray: Momento em B = 0
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Exemplo 1.2
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Exemplo 1.3
O guindaste na Fig. é composto pela viga AB e roldanas, além do cabo e
do motor. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção
transversal em C se o motor estiver levantando a carga W de 2000 N
(~200kg) com velocidade constante. Despreze o peso das roldanas e da
viga.
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Exemplo 1.3
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Exemplo 1.4
Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal
em G da viga de madeira mostrada na Fig. Considere que as articulações
em A, B, C, D e E estejam acopladas por pinos.
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Exemplo 1.4
EE E
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Exemplo 1.4
EE E
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Exemplo 1.4
E
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Exemplo 1.4
E
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Exemplo 1.4
E
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Exemplo 1.4
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Tensão
• Anteriormente dissemos que a força e o momento que 
agem em um ponto específico da área secionada de um 
corpo representam os efeitos resultantes da distribuição 
de forças que agem sobre a área secionada.
• A distribuição de carga interna é importante na 
resistência dos materiais, para resolver este problema é 
necessário estabelecer o conceito de tensão.
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Tensão
• A tensão descreve a 
intensidade da força 
interna sobre um plano 
específico (área) que 
passa por um ponto.
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Tensão normal, σ
• Intensidade da força que age perpendicularmente à ΔA
A
Fz
Az 


 0
lim
Pode ser de TRAÇÃO 
ou COMPRESSÃO
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Tensão de cisalhamento, τ
• Intensidade da força que age tangente à ΔA
A
F
A
F
y
Azy
x
Azx








0
0
lim
lim


O eixo z especifica a
orientação da área e x e y
referem-se às retas que
indicam a direção das
tensões de cisalhamento
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Estado Geral de Tensão
• Se o corpo for ainda mais secionado por planos paralelos ao plano 
x-z e pelo plano y-z, então podemos cortar elemento cúbico de 
volume de material que representa o estado de tensão que age em 
torno do ponto escolhido no corpo.
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Estado Geral de Tensão
O Estado de Tensão é caracterizado por 3 componentes que agem 
em cada face do elemento.
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Tensão normal e cisalhamento
• Unidades:
No Sistema Internacional de Medidas (SI): 
Tensão [N/m²] = 1 Pa
K (10³); M (106); G (109)
1N/mm² = 1MN/m² = 1MPa
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Tensão normal média em uma barra com carga axial
• Geralmente os elementos 
estruturais ou mecânicos são 
compridos e delgados; e estão 
sujeitos a cargas axiais 
aplicadas às extremidades do 
elemento.
• Nesta seção determinaremos a 
distribuição de tensão média 
que age na seção transversal 
de uma barra com carga axial.
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Tensão normal média em uma barra com carga axial
• A força resultante interna que age na área da S.T. deve ter 
valor igual, direção oposta à força externa que age na 
parte inferior da barra.
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Distribuição da tensão normal média
• Quando a barra é submetida a uma 
deformação uniforme, essa 
deformação é o resultado de uma 
tensão normal cte ; 
• Cada área é submetida a uma força, e 
a sua somatória é equivalente à força 
resultante interna P:
A
P
AP
dAdF
A


 



 
 
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Distribuição da tensão 
normal média
Equilíbrio
• As duas componentes da 
tensão 
normal no elemento têm 
valores iguais 
mas direções opostas.
A
P

σ = tensão normal média
P = força normal interna resultante
A = área da seção transversal da 
barra
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Exemplo 1.6
A barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm.
Determine a tensão normal média máxima na barra quando ela é 
submetida à carga mostrada.
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Solução:
Por inspeção, as forças internas axiais são constantes, mas têm 
valores diferentes.
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Solução:
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Exemplo 1.7
A luminária de 80kg é sustentada por duas hastes, AB e BC, como mostra a
Figura. Se AB tiver diâmetro de 10mm e BC tiver diâmetro de 8mm, determine a
tensão normal média em cada haste.
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BC = 7,86MPa
BA = 8,05MPa
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A peça fundida mostrada é feita de aço, cujo peso específico é . 
Determine a tensão de compressão média que age nos pontos A e B.
3
aço kN/m 80
Exemplo 1.8
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Exemplo 1.8
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Exemplo 1.9
O elemento AC mostrado na Fig. Está submetido a uma força vertical de 3kN.
Determine a posição x dessa força de modo que a tensão de compressão média
no apoio liso C seja igual à tensão de tração média na barra AB. A área da seção
transversal da barra é 400mm² e a área em C é de 650mm².
X = 124mm
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Tensão normal, σ
• Intensidade da força que age perpendicularmenteà ΔA
A
Fz
Az 


 0
lim
Pode ser de TRAÇÃO 
ou COMPRESSÃO
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Tensão de cisalhamento, τ
• Intensidade da força que age tangente à ΔA
A
F
A
F
y
Azy
x
Azx








0
0
lim
lim


O eixo z especifica a
orientação da área e x e y
referem-se às retas que
indicam a direção das
tensões de cisalhamento
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Tensão de cisalhamento média
• A tensão de cisalhamento foi definida como a componente da 
tensão que age no plano da área secionada.
• Se F for suficientemente grande, o material da barra irá 
deformar-se e falhar ao longo dos planos AB e CD.
• A força de cisalhamento V=F/2 deve ser aplicada a cada 
seção para manter o segmento em equilíbrio.
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Tensão de cisalhamento média
• A tensão de cisalhamento média distribuída sobre 
cada área secionada que desenvolve essa força de 
cisalhamento é definida por:
A
V
méd
τméd = tensão de cisalhamento média 
V = força de cisalhamento interna resultante
A = área na seção
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Tensão de cisalhamento média
Dois tipos diferentes de cisalhamento que ocorrem frequentemente na prática
a) Cisalhamento simples
b) Cisalhamento duplo
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Tensão de cisalhamento média
Equilíbrio:
Todas as quatro tensões de cisalhamento devem ter valores iguais e 
serem direcionadas no mesmo sentido ou em sentido oposto 
uma das outras nas bordas opostas do elemento:
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Exemplo 1.10a
A barra mostrada na Figura tem área de seção transversal quadrada com 40mm 
de profundidade e largura. Se uma força axial de 800N for aplicada ao longo do 
eixo que passa pelo centróide da área da seção transversal da barra, determine 
a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem no material 
ao longo do plano de seção a-a.
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Exemplo 1.10
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Exemplo 1.12
O elemento inclinado está submetido a uma força de compressão de 3.000 N. 
Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas 
definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano 
horizontal definido por EDB.
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As forças de compressão
agindo nas áreas de
contato são:
A força de cisalhamento
agindo no plano horizontal
secionado EDB é:
v
Fx
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As tensões de compressão médias ao longo dos planos horizontal e vertical do 
elemento inclinado são
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Tensão admissível
• Há muitos fatores desconhecidos que influenciam na tensão real de 
um elemento.
• O fator de segurança é um método para especificação da carga 
admissível para o projeto ou análise de um elemento.
• O fator de segurança (FS) é a razão entre a carga de ruptura e a 
carga admissível.
adm
rupFS
F
F

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Tensão admissível
• Os fatores de segurança e, portanto, as cargas ou tensões
admissíveis para elementos estruturais e mecânicos estão bem
padronizados, já que as incertezas envolvidas em seu projeto foram
razoavelmente avaliadas.
• Seus valores podem ser encontrados em normas de projeto e
manuais de engenharia`(sempre maior que 1).
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Exemplo 1.14
O braço de controle está submetido ao carregamento mostrado na figura abaixo. 
Determine, com aproximação de 5 mm, o diâmetro exigido para o pino de aço 
em C se a tensão de cisalhamento admissível para o aço for . 
Note na figura que o pino está sujeito a cisalhamento duplo.
MPa 55adm 
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Diagrama de 
corpo livre:
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O pino em C resiste à força resultante em C. Portanto,
    kN 41,30305 22 CF
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Exemplo 1.17
  MPa 680
rupaço

  MPa 70rupal 
MPa 900rup 
A barra rígida AB é sustentada por uma haste de aço AC com 20 mm de 
diâmetro e um bloco de alumínio com área de seção transversal de 1.800 mm2. 
Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão submetidos a cisalhamento 
simples. Se a tensão de ruptura do aço e do alumínio forem e 
, respectivamente, e a tensão falha para cada pino for de 
, determine a maior carga P que pode ser aplicada à barra. Aplique 
um fator de segurança FS = 2.
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Solução:
Diagrama de corpo livre:
Resposta: 
P=168kN
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Exemplo 1.10b
A barra mostrada na Figura tem área de seção transversal quadrada com 40mm 
de profundidade e largura. Se uma força axial de 800N for aplicada ao longo do 
eixo que passa pelo centróide da área da seção transversal da barra, determine 
a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem no material 
ao longo do plano de seção b-b.
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Exemplo 1.10b