Fórmula do Cisalhamento

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Fórmula do Cisalhamento
Teoria Completa Exercícios Resolvidos Passo a Passo
Flexão
Esforços Internos em Vigas
Fórmula da Flexão
Cargas Excêntricas e Flexão Assimétrica
Vigas Compostas
Concentradores de Tensões em Flexão
Fórmula do Cisalhamento
Teoria Completa
Introdução
Nos assuntos anteriores, nós vimos:
Como cargas axiais em uma peça geram nela forças internas normais e
tensões normais :
E como torques em uma peça geram nela torques internos (ou momentos
torsores ), que geram na peça tensões cisalhantes de acordo com a
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fórmula da torção:
Além disso, também vimos:
Como as cargas transversais em uma viga geram nela forças
cortantes/cisalhantes e momentos �etores :
Sendo que quanto a esse momento �etor , vimos que ele gera tensões
normais de acordo com a fórmula da �exão:
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Então agora, só tá faltando para a gente a última peça do “quebra-cabeça”
de resistência dos materiais:
Que é: como são as tensões causadas pela força cortante em uma peça?
De cara, como a própria força cortante é chamada também de força de
cisalhamento, dá para concluir que essas tensões vão ser tensões cisalhantes 
 (“tau”).
Mas como podemos descrever essas tensões ?
Exemplo
Para ilustrar essa pergunta, vamos usar um exemplo:
Vamos dizer que, em uma questão da sua prova, você precisa determinar a
tensão máxima causada pela força cortante na viga em “ ” abaixo:
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Avaliando os esforços internos nessa viga, você descobre que a força cortante
 máxima nela ocorre no trecho inicial, onde :
Mas e agora? 🤔
Como podemos descrever as tensões causadas por essa força cisalhante ?
Fórmula do Cisalhamento
A solução está em usar a fórmula do cisalhamento:
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Essa fórmula fornece a tensão de cisalhamento causada pela força cortante 
 em uma dada �bra de uma seção transversal:
Sendo que nessa fórmula:
 ou é o momento estático (que vamos aprender a calcular em breve!),
calculado para uma certa �bra da seção;
 ou é o momento de inércia da área da seção; (Igual ao que era
utilizado lá na fórmula da �exão!)
& ou é a largura da �bra em que se quer calcular a tensão :
Beleza...
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Mas como a gente aplica essa fórmula na prática?
Seguindo a sequência de passos abaixo!
Entre esses passos, os dois primeiros nós já vimos lá quando estudamos a
fórmula da �exão e estão resumidos no quadro abaixo:
Sendo que o momento de inércia da área de cada elemento retangular ou
circular é dado pelas fórmulas:
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Já os outros 3 passos são passos novos: nunca vimos eles antes.
Então vamos ver como fazê-los um a um!
Identi�cação das Fibras
Após determinarmos a posição da linha neutra e o momento de inércia da
área para a nossa seção, o próximo passo é identi�car as �bras da seção nas
quais queremos calcular a tensão .
Nesse passo, as �bras importantes de serem identi�cadas são:
As �bras no topo e na base da seção;
As �bras nas regiões em que há uma mudança na geometria da seção;
& a �bra na linha neutra da seção.
Por exemplo, para a nossa viga em , essa identi�cação pode �car assim:
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Momentos Estáticos
Em seguida, calculamos os momentos estáticos ou para cada �bra
identi�cada no passo anterior.
Para tanto, devemos fazer o seguinte:
Observar somente a região acima OU abaixo da �bra:
Separar a região escolhida em elementos individuais:
Identi�car, para cada um desses elementos, a área e a posição do
seu centro em relação à linha neutra da seção:
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E �nalmente, aplicar a fórmula (ou ) para a
�bra em questão:
Sendo que durante a resolução de um exercício, não é preciso fazer esse
passo tão detalhado como nas imagens acima!
Simplesmente identi�car as �bras e calcular os valores numéricos de 
 ou para cada �bra é o su�ciente, como na imagem abaixo:
Por �m, ainda existem algumas dicas sobre o momento estático ou 
 que foram utilizadas na imagem acima e que você pode usar a
vontade para facilitar a sua vida:
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Aplicação da Fórmula do Cisalhamento
Finalmente, após termos calculado os momentos estáticos no passo
anterior, podemos calcular as tensões nas nossas �bras.
Aqui, devemos aplicar a fórmula do cisalhamento para cada �bra,
tomando o cuidado de usar o momento estático ou correto e a
largura da �bra ou correta.
Além disso, para as �bras onde há uma mudança de largura, devemos
aplicar a fórmula do cisalhamento duas vezes: uma para cada largura.
Fazendo tudo isso para o nosso exemplo da viga em e marcando esses
pontos em um grá�co, teríamos algo assim:
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E as tensões nos demais pontos?
Você pode indicar elas conectando os pontos do grá�co acima, tendo
em mãos o conhecimento de que:
A distribuição de tensões devido à força cortante é parabólica;
E de que o ponto máximo dessas parábolas ocorre sempre na linha neutra
da seção.
E pronto!
Conectando os pontos dessa forma, encontramos que as tensões na nossa
seção �cam assim:
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Aí a partir desse grá�co, você consegue reconhecer a tensão cisalhantemáxima devido à força cortante na viga.
Nesse caso, vemos que a tensão máxima acontece na �bra .
Resumão
Agora você está preparado para fazer os exercícios resolvidos a seguir e
mandar bem na prova!
Para te ajudar, segue um resumão dos passos para resolver esses exercícios:
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Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 272&273-7.6.
A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira
com tensão de cisalhamento admissível .
Se for submetida a um cisalhamento , determine
a menor dimensão de sua parte inferior e de seus
lados.
Passo 1
O que está acontecendo?
A seção transversal dessa viga é retangular, com uma base e uma
altura .
Por causa da força cortante , vão surgir nessa seção tensões de
cisalhamento de acordo com a fórmula do cisalhamento:
Exercício Resolvido #1
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Onde:
 (também conhecido como “ ”) é o momento estático,
calculado para uma �bra da seção;
 (também conhecido como ) é o momento de inércia
da área da seção;
& (também conhecido como ) é a largura da �bra em
que se quer calcular a tensão .
Aí, como a seção dessa viga é só um retângulo, já sabemos que a sua linha
neutra/centroide �ca bem no meio da seção:
Além disso:
O momento de inércia da área é sempre uma constante;
E essa seção tem uma largura constante.
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Então o que vai determinar aonde vai ocorrer a tensão máxima nessa seção
é o momento estático .
E nós vimos na nossa teoria que o momento estático é sempre máximo na
linha neutra:
Assim, concluímos que a tensão máxima á nesse seção vai ocorre na sua
linha neutra.
E o que é que o exercício quer?
Ele quer saber qual é o menor valor de necessário para que a tensão de
cisalhamento máxima nessa viga não ultrapasse o seu valor admissível 
.
Ou seja, ele quer saber qual é o menor valor de que satisfaz a condição:
á
Então, para resolver esse exercício...
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Devemos determinar o valor de para essa seção e depois determinar o valor
do momento estático para a �bra na linha neutra.
Assim, vamos poder descrever a tensão á nessa seção em função da
dimensão .
Substituindo isso na condição á acima, vamos poder isolar e
encontrar seu valor mínimo necessário.
Passo 2
Então vamos começar pelo cálculo do momento de inércia da área para essa
seção retangular.
Lembra aí!
O momento de inércia da área de um elemento retangular é dado pela
fórmula:
Daí que, substituindo os valores:
;
& ,
Encontramos que:
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O que dá:
Beleza!
Passo 3
Em seguida, vamos determinar o valor do momento estático para a linha
neutra, que é sempre o momento estático máximo em uma seção:
á
Agora lembra aí!
Para determinar o valor do momento estático, devemos:
Observar somente a região acima OU abaixo da �bra;
Separar a região escolhida em elementos individuais;
Identi�car, para cada elemento, a área e a posição 
do seu centro em relação à linha neutra da seção;
E �nalmente, aplicar a fórmula para a
�bra em questão.
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Fazendo isso para a �bra na linha neutra, e escolhendo observar a região
acima dela, vamos ter um único elemento retangular, com a área e posição
 indicadas na imagem abaixo:
Dessa forma, vamos ter que:
á
O que signi�ca que:
á
E pronto!
Passo 4
Agora, podemos pegar a nossa condição de projeto:
á
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E aplicar a fórmula do cisalhamento com o objetivo de descrever a tensão
máxima á nessa seção.
Fazendo isso, a nossa condição �ca assim:
á
Substituindo , e , vamos ter que:
Simpli�cando isso, temos:
Isolando :
Espelhando essa expressão e fazendo a raíz quadrada dos dois lados:
E substituindo:
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;
& ,
Encontramos que:
O que signi�ca que o valor mínimo necessário para a dimensão é:
Resposta
Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 273-7.10.
Faça um grá�co da intensidade da tensão de cisalhamento
distribuída na seção transversal da escora se ela for
submetida a uma força de cisalhamento .
Exercício Resolvido #2
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Passo 1
O que está acontecendo?
Por causa da força cortante , vão surgir nessa seção tensões de
cisalhamento de acordo com a fórmula do cisalhamento:
Onde:
 (também conhecido como “ ”) é o momento estático,
calculado para uma �bra da seção;
 (também conhecido como ) é o momento de inércia
da área da seção;
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& (também conhecido como ) é a largura da �bra em
que se quer calcular a tensão .
Além disso, como essa seção é simétrica em relação à horizontal, já sabemos
que a sua linha neutra/centroide �ca bem no seu meio:
E o que é que o exercício quer?
Ele quer que a gente esboce um grá�co da intensidade da tensão de
cisalhamento distribuída nessa seção.
Para fazer isso, devemos seguir os passos abaixo:
Sendo que no nosso caso, já conhecemos a posição da linha neutra, então
podemos pular esse passo.
Aí, depois de aplicarmos a fórmula do cisalhamento para cada
�bra, vamos poder colocar os resultados para a tensão em um grá�co e
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conectar esses pontos, completando o grá�co pedido pelo exercício!
Passo 2
Então vamos lá!
Primeiro, precisamos fazer o cálculo do momento de inércia da área para
essa seção.
Para tanto, começamos separando a seção em elementos numerados:
Feito isso, calculamos:
o momento de inércia da área ;
a área ;
e a distância de seu centro até a linha neutra,
...para cada um desses elementos.
Todos os elementos são retangulares, então eles vão ter áreas e
momentos dados pela fórmula:
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Observando as dimensões fornecidas pelo exercício, vemos que para os
elementos e , temos uma base e uma altura ,
de tal forma que:
Já para o elemento , temos uma base e uma altura 
, de tal forma que:
Por �m, observando mais uma vez as dimensões fornecidas pelo exercício,
encontramos as distâncias e dos centros dos elementos e à linhaneutra:
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E como o centro do elemento já está na própria linha neutra, vamos ter
que:
Feito tudo isso, podemos �nalmente aplicar a fórmula:
...para determinar o momento de inércia da área da nossa seção como um
todo:
Como , e , podemos re-escrever essa fórmula
assim:
Finalmente, substituindo todos os valores disponíveis acima, encontramos
que:
Ou então:
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Passo 3
Agora, vamos identi�car as �bras que nos interessam nessa viga, que são:
As �bras no topo e na base da seção;
As �bras nas regiões em que há uma mudança na
geometria da seção;
& a �bra na linha neutra da seção.
Fazendo isso, devemos ter um desenho assim:
Sendo que nesse desenho, as dimensões foram adicionadas para facilitar já
os nossos cálculos no próximo passo.
Passo 4
Identi�cadas as �bras, podemos calcular os momentos estáticos delas.
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Nesse momento, vão nos ajudar as dicas que vimos na teoria:
Assim, para as �bras e , no topo e na base da seção, já sabemos que elas
vão ser iguais à :
Em seguida, por simetria, podemos dizer que os momentos estáticos para as
�bras e vão ser iguais:
Para calcular esses momentos estáticos, podemos escolher observar a região
acima da �bra .
Nessa região, vamos ter um único elemento retangular, de área 
 e com uma posição do centro em relação à
linha neutra , de tal forma que:
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Por �m, para calcular o momento estático , podemos observar a região
acima da �bra .
Nessa região, vamos ter:
O mesmo elemento retangular que havia na região acima
da �bra , para o qual e ;
E um elemento retangular encostando na linha neutra,
de base e altura , tendo assim uma área 
 e uma posição 
.
Dessa forma, temos que:
Passo 5
Por �m, podemos aplicar a fórmula do cisalhamento:
...para cada �bra, tomando o cuidado de aplicar essa fórmula duas vezes para
as �bras em que existem dois valores da largura .
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(Nesse caso, temos que tomar esse cuidado para as �bras e , onde há
uma mudança na largura da seção.)
Começando pelas �bras e :
Como o momento estático para essas �bras é igual à , vamos ter que:
Já para as �bras e , temos:
Substituindo os valores:
;
;
,
E utilizando o valor maior da largura para essas �bras, ,
encontramos que:
Calculando tudo isso, vamos ter um resultado �nal em ou :
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Em seguida, utilizando o valor menor da largura para essas �bras, 
, encontramos que:
O que dá:
Por �m, para a �bra , temos:
E substituindo:
;
;
,
E a largura da seção na região da �bra , , encontramos que:
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Passo 6
Finalmente, inserindo os valores de tensão encontrados no passo anterior
em um grá�co, e conectando esses pontos sabendo que:
A distribuição de tensões devido à força cortante é
parabólica;
E de que o ponto máximo dessas parábolas ocorre
sempre na linha neutra da seção.
Ficamos com o grá�co abaixo, que é a nossa resposta para o exercício:
Resposta
á
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Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 273-7.14.
Se a viga for submetida a um cisalhamento vertical 
, determine a tensão de cisalhamento máxima na
viga. Calcule também o salto da tensão de cisalhamento na
junção aba-alma . Trace um rascunho da variação da
intensidade da tensão de cisalhamento em toda a seção
transversal.
Passo 1
O que está acontecendo?
Por causa da força cortante , vão surgir nessa seção tensões de
cisalhamento de acordo com a fórmula do cisalhamento:
Onde:
Exercício Resolvido #3
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 (também conhecido como “ ”) é o momento estático,
calculado para uma �bra da seção;
 (também conhecido como ) é o momento de inércia
da área da seção;
& (também conhecido como ) é a largura da �bra em
que se quer calcular a tensão .
E o que é que o exercício quer?
Ele quer saber:
A tensão de cisalhamento máxima nessa seção;
E o salto de tensão na junção aba-alma , que é a
diferença entre a tensão nessa região para a aba de
largura e a tensão nessa região para a alma
de largura .
Para encontrar essas duas coisas, vamos ter que esboçar um grá�co para a
distribuição da tensão nessa seção, que é a terceira coisa que o exercício
pede.
Aí, para fazer isso, é só seguirmos os passos abaixo:
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Então vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar a posição da linha neutra dessa seção.
Para tanto, começamos separando a seção em elementos numerados e
de�nindo uma posição na base da seção:
Em seguida, preenchemos em uma tabela os valores da área e da posição 
 do centro de cada elemento:
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Ainda nessa tabela, também preenchemos na última coluna o produto desses
valores para cada elemento e na última linha os somatórios e 
.
Com isso, podemos aplicar a fórmula:
E substituir os valores desses somatórios para encontrarmos a posição da
nossa linha neutra:
Passo 3
Agora, já podemos calcular o momento de inércia da área da nossa seção
como um todo.
Para tanto, devemos calcular, para cada elemento numerado:
O momento de inércia da área ;
E a distância do centro do elemento até a linha neutra.
(Não precisamos calcular as áreas pois já calculamos elas no passo
anterior.)
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Como os nossos dois elementos são retangulares, eles vão momentos de
inércia da área .
Para o elemento , temos uma base e uma altura ,
então:
Já para o elemento , e , então:
Em seguida, como o elemento tem um centro a uma altura de e
como a linha neutra está a uma altura de , a distância para o
elemento vai ser:
Já o elemento tem um centro a uma altura de , de tal forma que:
Finalmente, podemos aplicar a fórmula:
Que �ca assim para o nosso caso com dois elementos:
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E substituir nessa fórmula:
 e ;
 e ; (Valores
retirados databela do passo anterior)
& e ,
Para encontrarmos que o momento de inércia da área da nossa seção como
um todo é:
Passo 4
Próximo passo, identi�car as �bras de interesse:
As �bras no topo e na base da seção;
As �bras onde ocorre uma mudança na largura da seção;
E a �bra na linha neutra.
Fazendo isso, �camos com o desenho abaixo:
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Sendo que nesse desenho, as dimensões foram adicionadas para já facilitar
os cálculos do próximo passo.
Passo 5
Agora, devemos calcular os momentos estáticos .
Para as �bras e , podemos nos lembrar que os momentos estáticos das
�bras no topo e na base de uma seção são iguais a zero, então:
Para a �bra , podemos escolher por observar a região acima dessa �bra.
Fazendo isso, vamos ter nessa região um único elemento retangular: o
elemento que de�nimos anteriormente.
Esse elemento tem uma área e um centro com uma
posição relativa à linha neutra .
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Dessa forma, temos que:
Já para a �bra , é mais fácil escolher por observar a região abaixo desse
�bra.
Nessa região, vamos ter um único elemento retangular encostado na linha
neutra com uma altura de e uma largura de .
Dessa forma, esse elemento vai ter uma área e um
centro com uma posição relativa à linha neutra .
Sendo assim, temos:
Passo 6
Finalmente, já temos tudo que precisamos para aplicar a fórmula do
cisalhamento:
...para cada �bra.
Para as �bras e , como , vamos ter que:
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Já para a �bra , temos:
Aí, como temos duas larguras na região da �bra ( e 
), devemos aplicar essa fórmula duas vezes.
Primeiro, substituímos:
;
;
,
E a largura da aba, :
Calculando tudo, vamos ter um resultado �nal em , que é o mesmo
que :
Em seguida, substituímos os mesmos valores, mas dessa vez utilizamos a
largura da alma, :
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Calculando tudo isso, encontramos que:
Por �m, para a �bra , temos:
Aí, substituindo:
;
;
;
E a largura da seção na região da �bra , ,
Encontramos que:
Passo 7
Por �m, inserindo os valores de tensão encontrados no passo anterior em
um grá�co, e conectando esses pontos sabendo que:
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A distribuição de tensões devido à força cortante é
parabólica;
E de que o ponto máximo dessas parábolas ocorre
sempre na linha neutra da seção.
Ficamos com o grá�co abaixo, que faz parte da nossa resposta para o
exercício:
Além disso, desse grá�co...
Conseguimos identi�car a tensão de cisalhamento máxima á nessa seção
e o valor do salto de tensão na junção aba-alma na �bra , que completam a
nossa resposta para o exercício:
Resposta
á
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Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 273-7.11.
Se o tubo estiver sujeito a um cisalhamento ,
determine a tensão de cisalhamento máxima nele.
Dicas do Expert: Existem alguns conhecimentos adicionais
importantes para resolver exercícios com uma seção circular
como este.
São eles:
Exercício Resolvido #4
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1. A tensão de cisalhamento máxima em seções transversais
circulares (vazadas ou não) ocorre na linha neutra da seção;
2. Para o cálculo da posição da linha neutra, do momento de
inércia da área e do momento estático, você pode considerar
furos como elementos de área negativa e momento de
inércia da área negativo;
& 3. A centroide de um semicírculo de raio �ca a uma
distância da base do semicírculo.
Passo 1
O que está acontecendo?
A seção transversal dessa viga tem a forma de um anel, com raio externo 
 e raio interno .
Por causa da força cortante , vão surgir nessa seção tensões de
cisalhamento de acordo com a fórmula do cisalhamento:
Onde:
 (também conhecido como “ ”) é o momento estático,
calculado para uma �bra da seção;
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 (também conhecido como ) é o momento de inércia
da área da seção;
& (também conhecido como ) é a largura da �bra em
que se quer calcular a tensão .
Além disso, como essa seção é simétrica em relação à horizontal, já podemos
a�rmar que a sua linha neutra �ca bem no seu meio:
E o que é que o exercício quer?
Ele quer saber a tensão de cisalhamento máxima á nessa seção, que vai
ocorrer na sua linha neutra.
Então, devemos encontrar:
O momento de inércia da área dessa seção;
E o momento estático para a �bra na linha neutra.
Feito isso, vamos poder aplicar a fórmula do cisalhamento para a �bra na
linha neutra “ ”, que vai �car assim:
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á
Sendo que a largura da seção nessa �bra vai ser igual ao diâmetro externo
de menos o diâmetro interno de .
Ou seja, .
Passo 2
Então vamos começar calculando o momento de inércia da área para essa
seção.
Para tanto, devemos separar ela em elementos individuais.
Nesse caso, podemos considerar o círculo maior como um elemento e o
círculo menor, que é um furo, como um elemento de área negativa e
momento negativo:
Como ambos os elementos são circulares, os seus momentos de inércia da
área individuais vão ser dados pela fórmula:
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Assim, para o elemento , de raio , vamos ter que:
Enquanto que para o elemento , de área/momento negativo e de raio 
, temos:
Aí, como os dois elementos já estão centrados na linha neutra, não é
necessário utilizar o teorema dos eixos paralelos .
Ao invés disso, podemos simplesmente somar os momentos de cada
elemento para encontrarmos o valor do momento de inércia da área da
seção como um todo:
Passo 3
Em seguida, calculamos o momento estático para a �bra na linha neutra.
Para tanto, podemos escolher observar a região acima dessa �bra.
Fazendo isso, vamos ter dois elementos na forma de semicírculos.
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O primeiro elemento, de raio , vai ter uma área positiva igual
à metade da área de um círculo com esse raio:
E um centro com uma posição :
Já o segundo elemento, de raio , vai ter uma área negativa
igual à metade da área de um círculo come esse raio:
E um centro com uma posição :
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Dessa forma, o momento estático para a �bra na linhaneutra vai ser:
O que dá:
Passo 4
Agora, só falta aplicar a fórmula do cisalhamento para o cálculo da tensão de
cisalhamento máxima nessa seção, que ocorre na sua linha neutra.
Fazendo isso, temos:
á
Aí, substituindo:
;
;
;
& ,
Vamos ter:
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á
Calculando tudo e percebendo que o resultado �nal vai sair em , que
é o mesmo que , encontramos que:
Resposta
á
Elaboração própria
Abaixo é dada uma seção retangular de altura 40cm e base 20
cm. Sabendo que a seção somente suporta uma tensão
cisalhante de no máximo 500Kpa, determine a que altura
ocorreria a tensão cisalhante imediatamente anterior ao
rompimento da mesma. Vale ressaltar que a peça está
sofrendo a ação de um cortante de 200KN na direção
mostrada.
Exercício Resolvido #5
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Passo 1
Para resolvermos essa questão precisamos analisar cada elemento da nossa
fórmula a �m de descobrir em que ponto estará a nossa incógnita (que já
sabemos de antemão que se trata da altura em que alcançamos o cisalhante
admissível da nossa peça, que também já sabemos ser 80Mpa).
A nossa fórmula para cisalhamento é dada por
Em que sabemos que
= tensão cisalhante
= esforço cortante
= Momento Estático
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= Momento de Inércia
= espessura do ponto que calculamos o cisalhante
Agora que já sabemos o que cada termo da nossa fórmula signi�ca, vamos
identi�car cada um desses valores na nossa seção.
Passo 2
O primeiro passo é determinar a posição da linha Neutra. Como se trata de
uma seção retangular, sabemos que a linha neutra passa no centro da nossa
seção, como mostra a �gura
Também temos pelo enunciado dois valores
Um valor é o cortante
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O outro valor é o próprio cisalhante
Passo 3
Também sabemos que devemos garantir o valor do momento de inércia, pois
esse se trata diretamente do valor referente a seção, ou seja, independente
do ponto em que calculamos o cisalhante.
Como se trata de uma seção retangular, sabemos que o momento de inercia
será dado por
Como já vimos sabemos que
Substituindo teremos que
Também sabemos que a seção que iremos calcular tem espessura constante,
que é o próprio valor de B, logo teremos que
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Até aqui tudo bem, agora precisamos determinar o nosso momento estático.
Passo 4
Sabemos que a fórmula do momento estático é dada por
Em que é a área da seção acima do ponto em que estamos calculando o
cisalhante e é o centroide que calculamos para essa área, porém em que
ponto estamos calculando o cisalhante? Vamos ver a imagem abaixo para
facilitar o entendimento.
como não sabemos a altura em que o cisalhante ocorre, vamos supor que
esse valor seja o nosso X, dessa forma nossa �gura �cará
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Então teremos que
Logo nosso momento estático será dado por
Passo 5
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Agora que já determinamos todos os valores basta substituirmos na nossa
equação
Substituindo teremos que
Ou seja, a nossa peça sofreria rompimento no trecho distante 18,6 cm da
linha neutra, ou seja, antes mesmo do cisalhante máximo que ocorreria na
Linha Neutra.
Resposta
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Nossa peça sofre rompimento a altura de 18,6 cm com relação a Linha Neutra
Elaboração própria
Abaixo é dado uma viga sujeita as cargas mostradas. Com base
nos seus conhecimentos, determine a tensão cisalhante
máxima que afeta a viga mostrada abaixo.
Passo 1
Para resolvermos essa questão precisamos analisar cada elemento da nossa
fórmula a �m de descobrir em que ponto estará a nossa incógnita (que já
sabemos de antemão que se trata da altura em que alcançamos o cisalhante
admissível da nossa peça, que também já sabemos ser 80Mpa).
A nossa fórmula para cisalhamento é dada por
Exercício Resolvido #6
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Em que sabemos que
= tensão cisalhante
= esforço cortante
= Momento Estático
= Momento de Inércia
= espessura do ponto que calculamos o cisalhante
Agora que já sabemos o que cada termo da nossa fórmula signi�ca, vamos
identi�car cada um desses valores na nossa seção.
Passo 2
O primeiro passo é determinar a posição da linha Neutra. Como se trata de
uma seção retangular, sabemos que a linha neutra passa no centro da nossa
seção, como mostra a �gura
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Também precisamos saber qual o cortante está agindo na nossa peça, e para
fazermos isso precisamos determinar o diagrama de esforços cortantes na
nossa estrutura, para isso faremos primeiro a determinação das reações de
apoio.
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Sabemos que precisamos determinar o equilíbrio de forças. Para isso farei o
somatório de momentos em A, assim teremos que
Como queremos que o somatório das reações também anule a carga teremos
que
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Passo 3
Como é pedido o cisalhante máximo, precisamos saber qual o maior cortante
agindo na viga, vamos analisar então o diagrama de cortante.
Por esse diagrama de cortantes teremos que o maior cortante agindo na
nossa peça é
Passo 4
Também sabemos que devemos garantir o valor do momento de inércia, pois
esse se trata diretamente do valor referente a seção, ou seja, independente
do ponto em que calculamos o cisalhante.
Como se trata de uma seção retangular, sabemos que o momento de inercia
será dado por
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Como já vimos sabemos que
Substituindo teremos que
Também sabemos que a seção que iremos calcular tem espessura constante,
que é o próprio valor de B, logo teremos que
Até aqui tudo bem, agora precisamos determinar o nosso momento estático.
Passo 5
Sabemos que a fórmula do momento estático é dada por
Em que é a área da seção acima do ponto em que estamos calculando o
cisalhante e é o centroide que calculamos para essa área, porém em que
ponto estamos calculando o cisalhante? Vamos ver a imagem abaixo para
facilitar o entendimento.
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Como querermos determinar o cisalhante máximo, devemos calcular o valor
do momento estático que age na linha neutra da nossa seção.
Pelo nosso esquema teremos que
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Com isso sabemos que a nossa área é dada por
E que
Logo nosso momento estático será
Passo 6
Agora que já determinamos todos os valores basta substituirmos na nossa
equação
Substituindo teremos que
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Resposta
Elaboração própria
Calcule o valor do cisalhante máximo que ocorre na seção
dada abaixo.
Passo 1
Exercício Resolvido #7
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Para resolvermos essa questão precisamos analisar cada elemento da nossa
fórmula a �m de descobrir em que ponto estará a nossa incógnita (que já
sabemos de antemão que se trata da altura em que alcançamos o cisalhante
admissível da nossa peça, que também já sabemos ser 80Mpa).
A nossa fórmula para cisalhamento é dada por
Em que sabemos que
= tensão cisalhante
= esforço cortante
= Momento Estático
= Momento de Inércia
= espessura do ponto que calculamos o cisalhante
Agora que já sabemos o que cada termo da nossa fórmula signi�ca, vamos
identi�car cada um desses valores na nossa seção.
Passo 2
O primeiro passo é determinar a posição da linha Neutra. Como se trata de
uma seção retangular, sabemos que a linha neutra passa no centro da nossa
seção, como mostra a �gura
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Também precisamos saber qual o cortante está agindo na nossa peça, e já
sabemos seu módulo pelo enunciado.
Passo 3
Também sabemos que devemos garantir o valor do momento de inércia, pois
esse se trata diretamente do valor referente a seção, ou seja, independente
do ponto em que calculamos o cisalhante.
Como se trata de uma seção retangular, sabemos que o momento de inercia
será dado por
Como já vimos sabemos que
Substituindo teremos que
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Também sabemos que a seção que iremos calcular tem espessura constante,
que é o próprio valor de B, logo teremos que
Até aqui tudo bem, agora precisamos determinar o nosso momento estático.
Passo 4
Sabemos que a fórmula do momento estático é dada por
Em que é a área da seção acima do ponto em que estamos calculando o
cisalhante e é o centroide que calculamos para essa área, porém em que
ponto estamos calculando o cisalhante? Vamos ver a imagem abaixo para
facilitar o entendimento.
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Como querermos determinar o cisalhante máximo, devemos calcular o valor
do momento estático que age na linha neutra da nossa seção.
Pelo nosso esquema teremos que
Com isso sabemos que a nossa área é dada por
E que
Logo nosso momento estático será
Passo 5
Agora que já determinamos todos os valores basta substituirmos na nossa
equação
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Substituindo teremos que
Resposta
Elaboração própria
Determine a tensão cisalhante máxima na seção sujeita ao
esforço cortante mostrado abaixo. Todas as medidas estão em
cm.
Exercício Resolvido #8
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Passo 1
Para resolvermos essa questão precisamos analisar cada elemento da nossa
fórmula a �m de descobrir em que ponto estará a nossa incógnita (que já
sabemos de antemão que se trata da altura em que alcançamos o cisalhante
admissível da nossa peça, que também já sabemos ser 80Mpa).
A nossa fórmula para cisalhamento é dada por
Em que sabemos que
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= tensão cisalhante
= esforço cortante
= Momento Estático
= Momento de Inércia
= espessura do ponto que calculamos o cisalhante
Agora que já sabemos o que cada termo da nossa fórmula signi�ca, vamos
identi�car cada um desses valores na nossa seção.
Passo 2
Precisamos determinar primeiramente a linha neutra na nossa seção.
Sabemos que para determinarmos a linha neutra precisamos primeiro
de�nir uma linha de origem, que geralmente passamos pela base da nossa
seção.
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Em seguida dividimos a nossa seção em �guras mais simples
Agora vem a parte legal, para cada uma dessas seções mais simples
calculamos o valor da área e a distancia do centroide de cada uma delas até a
nossa linha de origem.
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Agora para determinar a linha neutra basta usar a fórmula
Teremos que a linha neutra será marcada com relação a nossa origem
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Sabemos também que o nosso cortante é dado no enunciado e sabemos que
vale
Passo 3
Precisamos de�nir agora o valor do nosso momento de inércia. Aqui
devemos seguir um passo a passo como seguimos para determinação da
linha neutra.
Vamos utilizar a mesma separação de �guras mais simples que usamos para
determinação da linha neutra
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Já sabemos quanto valem as áreas de cada seção, mas agora devemos
calcular dois valores importantes. Primeiro o momento de inercia de cada
uma das peças mais simples. Depois a distancia do centroide de cada peça até
a linha neutra. Na �gura abaixo já veri�camos tanto as áreas quando as
distâncias dos centroides até a linha neutra.
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Vamos agora determinar o valor do momento de inercia para cada uma das
peças. Sabemos que como todas são retângulos, a fórmula será
Olhando novamente as medidas teremos que
Logo
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Com todos esses valores devemos usar a seguinte fórmula para
determinarmos o momento de inercia da nossa seção
Substituindo nossos valores teremos que
Passo 4
Agora vamos determinar o momento estático da nossa seção. Como no
enunciado foi pedidoo valor do cisalhante máximo, devemos fazer o calculo
levando em consideração as �bras da seção que contem a linha neutra, nesse
caso a seção que usamos a cor laranja, dessa forma também descobrimos que
o valor da espessura de �bras usada no nosso cálculo será
Mas também queremos determinar o momento estático, nesse caso devemos
escolher a seção acima da linha neutra ou abaixo da linha neutra. Analisando
a nossa seção, me parece mais simples fazer a conta analisando a parte de
baixo da nossa seção, nesse caso pela nossa �gura a nossa seção analisada
será
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Podemos ver que essa região marcada em baixo possui duas seções
diferentes, uma azul e uma laranja, dessa forma, para calcularmos o
momento estático total precisaremos determinar o momento estático de
cada um desses trechos e soma-los. Mas como calculamos o momento
estático?
A fórmula é dada por
Em que é a área de cada seção abaixo da linha neutra e a distancia do
centroide de cada seção abaixo da linha neutra até a própria linha neutra. No
esquema abaixo descobrimos que esses valores são os da �gura
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Agora basta substituir na fórmula os valores encontrados
Passo 5
Agora que já determinamos todos os valores basta substituirmos na nossa
equação
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Substituindo teremos que
Resposta
Elaboração própria
Uma viga de seção retangular com as dimensões mostradas
na �gura, foi submetida a um carregamento cortante de
intensidade . Sabendo que a tensão cisalhante admissível
máxima suportada por essa viga é ,
determine o valor do cortante máximo que podemos aplicar
sem que haja rompimento da peça.
Exercício Resolvido #9
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Passo 1
Para resolvermos essa questão precisamos analisar cada elemento da nossa
fórmula a �m de descobrir em que ponto estará a nossa incógnita (que já
sabemos de antemão que se trata do cortante).
A nossa fórmula para cisalhamento é dada por
Em que sabemos que
= tensão cisalhante
= esforço cortante
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= Momento Estático
= Momento de Inércia
= espessura do ponto que calculamos o cisalhante
Agora que já sabemos o que cada termo da nossa fórmula signi�ca, vamos
identi�car cada um desses valores na nossa seção.
Passo 2
Precisamos determinar primeiramente a linha neutra na nossa seção. A linha
neutra de uma seção retangular uniforme sempre �ca no centro da nossa
seção. Como queremos saber o máximo cortante que devemos aplicar
precisamos usar o ponto que há o maior cisalhante na nossa peça, e nesse
caso o ponto com maior tensão cisalhante é o ponto sobre a linha neutra.
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Passo 3
Precisamos de�nir agora o valor do nosso momento de inércia. Como a nossa
seção é retangular sabemos que o momento de inercia será
Em que
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Passo 4
Agora vamos determinar o momento estático da nossa seção. Como no
enunciado foi pedido o valor do cisalhante máximo, devemos fazer o cálculo
levando em consideração as �bras da seção que contem a linha neutra, dessa
forma também descobrimos que o valor da espessura de �bras usada no
nosso cálculo será
Mas também queremos determinar o momento estático, nesse caso devemos
escolher a seção acima da linha neutra ou abaixo da linha neutra. Analisando
a nossa seção, faremos isso para a seção acima da linha neutra como mostra
a �gura
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A fórmula do momento estático é dada por
Em que
á
á é
Com isso teremos que
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Passo 5
Agora que já determinamos todos os valores basta substituirmos na nossa
equação
Substituindo teremos que
Resposta
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Elaboração própria
Uma estrutura de madeira com per�l T mostrado baixo é
submetida a ação de um cortante de intensidade V. Sabendo
que a resistência dessa madeira ao cisalhamento é de 
, determine o máximo cortante que podemos
aplicar nessa peça sem que ela sofra um rompimento.
Exercício Resolvido #10
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Passo 1
Para resolvermos essa questão precisamos analisar cada elemento da nossa
fórmula a �m de descobrir em que ponto estará a nossa incógnita (que já
sabemos de antemão que se trata do cortante).
A nossa fórmula para cisalhamento é dada por
Em que sabemos que
= tensão cisalhante
= esforço cortante
= Momento Estático
= Momento de Inércia
= espessura do ponto que calculamos o cisalhante
Agora que já sabemos o que cada termo da nossa fórmula signi�ca, vamos
identi�car cada um desses valores na nossa seção.
Passo 2
Precisamos determinar primeiramente a linha neutra na nossa seção.
Sabemos que para determinarmos a linha neutra precisamos primeiro
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de�nir uma linha de origem, que geralmente passamos pela base da nossa
seção.
Em seguida dividimos a nossa seção em �guras mais simples
Agora vem a parte legal, para cada uma dessas seções mais simples
calculamos o valor da área e a distância do centroide de cada uma delas até a
nossa linha de origem.
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Agora para determinar a linha neutra basta usar a fórmula
Teremos que a linha neutra será marcada com relação a nossa origem
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Passo 3
Precisamos de�nir agora o valor do nosso momento de inércia. Aqui
devemos seguir um passo a passo como seguimos para determinação da
linha neutra.
Vamos utilizar a mesma separação de �guras mais simples que usamos para
determinação da linha neutra
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Já sabemos quanto valem as áreas de cada seção, mas agora devemos
calcular dois valores importantes. Primeiro o momento de inercia de cadauma das peças mais simples. Depois a distância do centroide de cada peça até
a linha neutra. Na �gura abaixo já veri�camos tanto as áreas quanto as
distâncias dos centroides até a linha neutra.
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Vamos agora determinar o valor do momento de inercia para cada uma das
peças. Sabemos que como todas são retângulos, a fórmula será
Olhando novamente as medidas teremos que
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Logo
Com todos esses valores devemos usar a seguinte fórmula para
determinarmos o momento de inercia da nossa seção
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Substituindo nossos valores teremos que
Passo 4
Agora vamos determinar o momento estático da nossa seção. Como no
enunciado foi pedido o valor do cisalhante máximo, devemos fazer o cálculo
levando em consideração as �bras da seção que contem a linha neutra, nesse
caso a seção 2, dessa forma também descobrimos que o valor da espessura de
�bras usada no nosso cálculo será
Mas também queremos determinar o momento estático, nesse caso devemos
escolher a seção acima da linha neutra ou abaixo da linha neutra. Analisando
a nossa seção, me parece mais simples fazer a conta analisando a parte de
baixo da nossa seção, nesse caso pela nossa �gura a nossa seção analisada
será
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Agora precisamos saber o que fazer com essa seção, a fórmula do momento
estático é dada por
Em que é a área da seção abaixo da linha neutra e a distancia do
centroide dessa seção abaixo da linha neutra até a própria linha neutra. No
esquema abaixo descobrimos que esses valores são os da �gura
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Agora basta substituir na fórmula os valores encontrados
Passo 5
Agora que já determinamos todos os valores basta substituirmos na nossa
equação
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Substituindo teremos que
Resposta
Escreva um código
computacional
que possa ser
usado para
determinar a
A viga na na
Figura 6.54f é
submetida a um
momento
totalmente
plástico
A viga de madeira
T está sujeita a
uma carga
composta por n
forças con
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Determine a
tensão de
cisalhamento
máxima na escora
se ela for submeti
https://www.respondeai.com.br/conteudo/mecanica-e-resistencia-dos-materiais/livro/exercicios/determine-tensao-cisalhamento-maxima-escora-for-submetida-forca-cisalhamento--33452