Lógica Booleana e Circuitos Lógicos

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Eletrônica Digital I
Lógica Booleana e Circuitos Lógicos
Universidade Federal do Amazonas (UFAM)
Faculdade de Tecnologia (FT)
Departamento de Eletrônica e Computação (DTEC)
Lógica Booleana e Circuitos Lógicos
Prof. Francisco Januário
Mestrando em Engenharia Elétrica (UFAM)
Bacharel em Engenharia de Telecomunicações (FUCAPI)
Introdução
Eletrônica Digital I
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Introdução
Prof. Francisco Januário
Eletrônica Digital I
Introdução (1/2)
O mundo é analógico e não digital.
Tensões, correntes e outras quantidades físicas em circuitos
reais assumem valores infinitos.
Valores reais de grandezas físicas pertencem a variáveis
3Prof. Francisco Januário
Valores reais de grandezas físicas pertencem a variáveis
contínuas, e podem representar um número real.
Exemplo: O valor de tensão contínua 3.14159265358979 V
representa a constante matemática pi com precisão de 14
dígitos decimais.
Eletrônica Digital I
Introdução (2/2)
Em circuitos reais é difícil se obter estabilidade e precisão
nas quantidades físicas.
As quantidade físicas podem ser afetadas por variações
produzidas pela temperatura, tensão da fonte de
alimentação, raios e ruídos criados por outros circuitos.
4Prof. Francisco Januário
alimentação, raios e ruídos criados por outros circuitos.
Muitas operações matemáticas e lógicas podem ter
dificuldades ou serem impossíveis de realizar com
quantidades analógicas. Exigem circuitos grandes e
complexos.
Como realizar operações lógicas com precisão?
Eletrônica Digital I
Sinais Analógicos e Portas (1/10)
Lógica Digital: esconde as armadilhas do mundo analógico
através do mapeamento do conjunto infinito de valores
reais para um novo conjunto com apenas 2 números
possíveis ou valores lógicos: 0 e 1.
Dígito Binário (BIT): é a denominação dada para o valor
5Prof. Francisco Januário
Dígito Binário (BIT): é a denominação dada para o valor
lógico 0 ou 1.
Quando se chega ao detalhamento do projeto,
especificamente no circuito lógico, são usados os termos
“LOW” e “HIGH” no lugar de “0” e “1”. Isso acontece, pois
em circuitos lógicos trabalhamos com níveis de tensão.
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Sinais Analógicos e Portas (2/10)
LOW: sinal na faixa algébrica de tensões baixas, que é
interpretado como nível lógico “0”.
HIGH: sinal na faixa algébrica de tensões altas, que é
interpretado como nível lógico “1”.
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Lógica Positiva: atribuição natural para associar os termos
LOW e HIGH, respectivamente, para “0” e “1”
Lógica Negativa: atribuição oposta a lógica positiva que
associa os termos LOW e HIGH, respectivamente, para “1”
e “0”. Raramente usada.
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Sinais Analógicos e Portas (3/10)
Estados físicos representando “bits” em diferentes
tecnologias.
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Sinais Analógicos e Portas (4/10)
O circuito lógico pode ser representado com o mínimo de
detalhes, simplificado como uma caixa preta com um certo
número de entradas e saídas.
8Prof. Francisco Januário
Esta representação simplificada é útil para em uma análise
preliminar no projeto de sistemas digitais, para que a
análise seja focada no comportamento, listando em uma
tabela todas as possibilidades de níveis lógicos “0” e “1”.
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Sinais Analógicos e Portas (5/10)
Circuito Combinacional: circuito lógico cujas saídas
dependem unicamente dos níveis lógico atuais das entradas.
Tabela Verdade: descreve o comportamento de um circuito
combinacional, listando as combinações de entradas e os
valores de saídas produzidos por cada uma combinação.
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valores de saídas produzidos por cada uma combinação.
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Sinais Analógicos e Portas (6/10)
Circuito Sequencial: circuito lógico com memória, cujas
saídas dependem dos níveis lógico atuais das entradas, e da
sequencia de entradas passadas. Circuitos digitais
combinacionais podem ser construídos com três funções
lógicas básicas: AND, OR e NOT.
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Porta AND: produz nível lógico “1” na saída somente se todas
as entradas tiverem nível lógico “1”.
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Sinais Analógicos e Portas (7/10)
Porta OR: produz nível lógico “1” na saída se uma ou mais
entradas tiverem nível lógico “1”.
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Porta NOT: também chamado inversor, produz valor na saída
que é oposta ao valor de entrada.
Indicador de inversão (ou negação)
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Sinais Analógicos e Portas (8/10)
Porta NAND: produz nível lógico “0” na saída se uma ou mais
entradas tiverem nível lógico “1”. Oposto da porta AND.
Indicador de inversão (ou negação)
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Porta NOR: produz nível lógico “1” na saída se todas as
entradas tiverem nível lógico “0”.
Indicador de inversão (ou negação)
Indicador de inversão (ou negação)
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Sinais Analógicos e Portas (9/10)
A combinação de várias portas lógicas básicas produz
comportamento que pode ser expresso pela tabela verdade.
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Sinais Analógicos e Portas (10/10)
Diagrama de Tempo: mostra como o circuito responde às
entradas ao longo do tempo. No diagrama é possível observar a
mudança de níveis lógicos “0” e “1”.
14Prof. Francisco Januário
Princípios de Projetos de
Eletrônica Digital I
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Princípios de Projetos de
Lógica Combinacional
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Algebra Booleana (1/X)
As técnicas de análise formal para circuitos digitais têm
suas origens nos trabalhos do matemático inglês George
Boole, 1854, que definiu um sistema algébrico de apenas
dois valores.
Em 1938, Claude E. Shannon, pesquisador dos laboratórios
16Prof. Francisco Januário
Em 1938, Claude E. Shannon, pesquisador dos laboratórios
Bell, adaptou a álgebra de Boole para análise e descrição
do comportamento de circuitos construídos com relés
(Álgebra de Comutação – Switching Algebra).
Nos dias de hoje, a tecnologia mudou, mas ainda são
utilizados os estudos de Boole e Shannon.
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Algebra Booleana (2/X)
Na álgebra booleana, é definido a variável simbólica (lógica)
X para representar um sinal lógico.
O sinal lógico é uma de duas condições possíveis: low ou
high, off ou on, e assim por diante.
17Prof. Francisco Januário
A variável X tem o valor “0” para uma das condições
possíveis e “1” para a outra condição.
Axiomas (ou Postulados): são entes matemáticos básicos
que nós assumimos como verdadeiros. A partir dos
axiomas qualquer outra definição pode ser derivada.
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Algebra Booleana (3/X)
Axioma (A1): base do princípio da dualidade. Define que a
variável lógica pode assumir o valor “0” ou o valor “1”,
nunca os os 2 valores ao mesmo tempo.
Axioma (A2): na função inversora, representado pela porta
18Prof. Francisco Januário
Axioma (A2): na função inversora, representado pela porta
NOT, a saída é oposta (complementar) à entrada.
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Algebra Booleana (4/X)
Axiomas (A3 – A5): definem as funções básicas AND e OR.
19Prof. Francisco Januário
O símbolo (.) é denominado produto lógico, o símbolo (+)
é a soma lógica. A operação AND tem precedência de
prioridade em expressões lógicas:
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Algebra Booleana (5/X)
Teoremas de Uma Variável: são instruções que permitem
analisar e sintetizar expressões algébricas.
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Indução Perfeita: permite provar os teoremas utilizando os
axiomas. Provando (T1)
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Algebra Booleana (6/X)
Teoremas de Duas ou Três Variáveis: são instruções que
permitem analisar e sintetizar expressões algébricas que
possuem mais de 1 variável.
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Algebra Booleana (7/X)Provando (T9)
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Algebra Booleana (8/X)
Exemplo 1: Utilizando a álgebra booleana, reduza a
expressão abaixo:
Pelo Teorema T8
Pelo Teorema T5
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Pelo Teorema T5
Pelo Teorema T1’
Pelo Teorema T8
Pelo Teorema T8’
Pelo Teorema T5
Pelo Teorema T1’
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Algebra Booleana (9/X)
EXERCÍCIO 1: Reduza utilizando álgebra booleana.
a) 1 + B + C
b) D . C . 0
c) A + B + A
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c) A + B + A
d) A + A B C
e) A B C + A B C
f) C B A + C B A + C B A
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Algebra Booleana (10/X)
Teoremas de n-Variáveis: Os teoremas abaixo são
verdadeiros para um número arbitrário n de variáveis.
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Indução Infinita: é um método de 2 passos que permite
provar os teoremas de n-Variáveis. Primeiro provar para
n=2, se TRUE provar para n=i, e se TRUE para n=i + 1.
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Algebra Booleana (11/X)
Provando (T12)
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Teoremas de DeMorgan: O complemento de uma
expressão lógica, denotada por F’, é uma expressão cujo
valor é o oposto de F’s para cada possível combinação de
entrada.
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Algebra Booleana (12/X)
Circuitos lógicos equivalentes que expressam os teoremas
de DeMorgan.
27Prof. Francisco Januário
Eletrônica Digital I
Algebra Booleana (13/X)
Circuitos lógicos equivalentes que expressam os teoremas
de DeMorgan.
28Prof. Francisco Januário
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Algebra Booleana (14/X)
Teoremas de DeMorgan Generalizado (T14): Dado
qualquer expressão lógica de n-Variáveis, seu complemento
pode ser obtido pela troca entre os operadores (+) e (.), e
complementando todas as variáveis.
29Prof. Francisco Januário
Exemplo: